Stereometria — zagadnienia uzupełniające

$$V=a^3=5^3=125$$

Uwaga: $150$ to pole powierzchni tego sześcianu ($6\cdot25$), a $25$ to pole jednej ściany.

Odpowiedź: C. $125$.

$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p\cdot H$$

$$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac13 P_p\cdot H$$

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2 H$$

$$V_{\text{stożka}}=\frac13\pi r^2 H$$

$$V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

Zauważ prawidłowość: bryły „ostro zakończone" (ostrosłup, stożek) mają współczynnik $\frac13$ względem odpowiadających im brył „prostych".

Odpowiedź: pięć wzorów jak wyżej.

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$$

Odpowiedź: $7$.

$$P=4\pi r^2$$

Rozróżnienie: $\frac43\pi r^3$ to objętość, $\pi r^2$ to pole koła, a $2\pi r$ to długość okręgu.

Kontrola wymiarowa: pole musi zależeć od kwadratu długości, objętość od sześcianu.

Odpowiedź: B. $4\pi r^2$.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=36$$

Krok 2 — objętość:

$$V=36\cdot10=360$$

Odpowiedź: $360$.

Najpierw przekątna podstawy ($a\sqrt2$), potem Pitagoras z wysokością:

$$d=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt3$$

Pułapka: $a\sqrt2$ to przekątna ściany.

Odpowiedź: A. $a\sqrt3$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\frac13\cdot64\cdot3=64$$

Krok 2 — wysokość ściany bocznej. Tworzą ją: wysokość bryły ($3$) i połowa krawędzi podstawy ($4$):

$$h=\sqrt{9+16}=5$$

Rozpoznanie: trójka $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $V=64$, wysokość ściany $5$.

Objętość:

$$V=\pi\cdot16\cdot9=144\pi$$

Pole powierzchni:

$$P=2\pi r^2+2\pi r H=32\pi+72\pi=104\pi$$

Odpowiedź: $V=144\pi$, $P=104\pi$.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ krawędzi:

$$2n=10 \quad\Rightarrow\quad n=5$$

Kontrola: ma wtedy $6$ ścian i $6$ wierzchołków.

Odpowiedź: D. pięciokąt.

Krok 1 — tworząca:

$$l=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi r^2+\pi r l=25\pi+65\pi=90\pi$$

Odpowiedź: $l=13$, $V=100\pi$, $P=90\pi$.

Objętość zależy od trzeciej potęgi wymiarów liniowych:

$$k^3=2^3=8$$

Zestawienie: długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, objętości $k^3$ razy.

Odpowiedź: C. wzrośnie ośmiokrotnie.

Krok 1 — promień:

$$\frac43\pi r^3=\frac{256}{3}\pi \quad\Rightarrow\quad 4r^3=256 \quad\Rightarrow\quad r^3=64$$

$$r=4$$

Krok 2 — pole powierzchni:

$$P=4\pi\cdot16=64\pi$$

Odpowiedź: $r=4$, $P=64\pi$.

Krok 1 — pole podstawy (trójkąt równoboczny):

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Krok 2 — objętość:

$$V=9\sqrt3\cdot8=72\sqrt3\approx124{,}7$$

Odpowiedź: $72\sqrt3$.

Przekrój osiowy to prostokąt o wymiarach: średnica na wysokość:

$$P=2r\cdot H$$

Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy.

Odpowiedź: B. $2rH$.

Z wzoru $V=\frac13 P_p H$:

$$H=\frac{3V}{P_p}=\frac{144}{24}=6$$

Sprawdzenie: $\frac13\cdot24\cdot6=48$ ✔

Uwaga na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.

Odpowiedź: $H=6$.

Dwie podstawy plus siedem ścian bocznych:

$$2+7=9$$

Kontrola wzorem Eulera: wierzchołków $14$, krawędzi $21$, ścian $9$, a $14-21+9=2$ ✔

Odpowiedź: A. $9$.

Krok 1 — połowa przekątnej podstawy. Przekątna kwadratu o boku $12$ to $12\sqrt2$, więc jej połowa:

$$\frac{12\sqrt2}{2}=6\sqrt2$$

Krok 2 — wysokość. Krawędź boczna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $H$ i $6\sqrt2$:

$$H=\sqrt{100-72}=\sqrt{28}=2\sqrt7$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\cdot144\cdot2\sqrt7=96\sqrt7\approx254$$

Kontrola istnienia: $100>72$, więc bryła jest możliwa. Gdyby krawędź boczna była krótsza niż $6\sqrt2\approx8{,}49$, taki ostrosłup nie istniałby.

Odpowiedź: $H=2\sqrt7$, $V=96\sqrt7$.

Krok 1 — promień:

$$r=1\ \text{m}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\pi\cdot1\cdot3=3\pi\approx9{,}42\ \text{m}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. $1$ m$^3=1000$ litrów:

$$9{,}42\cdot1000=9420\ \text{litrów}$$

Uwaga: podano średnicę, więc trzeba ją najpierw podzielić na pół. Użycie $r=2$ dałoby wynik czterokrotnie za duży.

Odpowiedź: około $9420$ litrów.

Krok 1 — krawędź sześcianu. Kula wpisana dotyka ścian, więc jej średnica równa się krawędzi:

$$a=2r=6$$

Krok 2 — objętość sześcianu:

$$V_1=216$$

Krok 3 — objętość kuli:

$$V_2=\frac43\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{36\pi}{216}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}524=52{,}4\%$$

Warto zauważyć: wynik $\frac{\pi}{6}$ nie zależy od rozmiaru — kula wpisana w dowolny sześcian zawsze wypełnia około $52{,}4\%$ jego objętości.

Odpowiedź: $a=6$, $V_1=216$, $V_2=36\pi$; kula wypełnia około $52{,}4\%$.

Krok 1 — walec:

$$V_1=\pi\cdot36\cdot10=360\pi$$

Krok 2 — stożek:

$$V_2=\frac13\pi\cdot36\cdot10=120\pi$$

Krok 3 — stosunek:

$$\frac{360\pi}{120\pi}=3$$

Wniosek. Trzy stożki wypełniają dokładnie jeden walec o tej samej podstawie i wysokości. Ten sam stosunek zachodzi między ostrosłupem a graniastosłupem — i właśnie stąd bierze się współczynnik $\frac13$ w obu wzorach.

Praktyczna konsekwencja: lejek stożkowy o tych samych wymiarach co szklanka walcowa trzeba napełnić trzykrotnie, żeby ją zapełnić.

Odpowiedź: walec $360\pi$, stożek $120\pi$; potrzeba $3$ stożków.