Środek odcinka
Klasa 4 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Wzór
Środek odcinka o końcach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ to $S\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Interpretacja
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
Przykład
Dla $A(1,2)$, $B(5,4)$ środek to $(3,3)$.
Zastosowanie
Znajdowanie środka ciężkości, punktu symetrii.
∑Wzory 1
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych.
Przykład: $A(1,2)$, $B(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 10
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Odległość między punktami $A=(1,-2)$ i $B=(4,2)$ jest równa
Środkiem odcinka o końcach $A=(-3,5)$ i $B=(7,1)$ jest punkt
Okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ ma środek $S$ i promień $r$. Wtedy
Okrąg o środku $S=(1,2)$ przechodzi przez punkt $P=(4,6)$. Ten okrąg ma równanie
Punkt $A=(1,1)$ jest środkiem odcinka $BC$, gdzie $B=(-3,4)$. Punkt $C$ ma współrzędne
Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne
Punkty $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,8)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie ma współrzędne
Dany jest okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-1)^2=13$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Punkt $A=(1,3)$ leży na tym okręgu.
- Środek tego okręgu leży na osi $Oy$.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Punkty $A=(-1,2)$, $B=(5,0)$, $C=(6,4)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$.
W równoległoboku $ABCD$ dane są $A=(1,-2)$ i $B=(7,1)$, a przekątne przecinają się w punkcie $P=(5,4)$. Oblicz długość boku $BC$ oraz obwód równoległoboku.
📄Zadania z arkuszy 39
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku $S=(-8,-6)$. Odcinek $AB$, gdzie $A=(4,-15)$ i $B=(-20,y_{B})$, jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Współrzędna $y_{B}$ punktu $B$ jest równa
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=5x+7\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\).
Oblicz \(p\). Zapisz obliczenia.
Równoległobok $ABCD$: $A=(-2,6)$, $B=(10,2)$; przekątne przecinają się w $P=(6,7)$. Oblicz długość boku $BC$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(9,11)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-1\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=2x-4\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\). Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) odcinek o końcach \(A=(-4,7)\) oraz \(B=(6,-1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.
Wierzchołek \(B\) ma współrzędne:
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(1,7)\) oraz \(P=(3,1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkt \(B\) ma współrzędne
Dany jest punkt \(C=(2,3)\) i prosta o równaniu \(y=2x-8\) będąca symetralną odcinka \(BC\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\). Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości \(h\) i tworzą kąt o mierze \(2\alpha\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.