Dana jest prosta $k:\ y=-\tfrac13x+2$. Prosta $l$ jest równoległa do $k$ i przechodzi przez punkt $(2,-2)$. Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie
A$(0,-3)$
B$(0,-\tfrac12)$
C$(0,-1)$
D$(0,-\tfrac43)$
Rozwiązanie
$l:\ y=-\tfrac13x+b$. Z $(2,-2)$: $-2=-\tfrac23+b\Rightarrow b=-\tfrac43$.
Przecięcie z $Oy$: $(0,-\tfrac43)$.
Odpowiedź: D
Zadanie nr 26 · Matura 2026
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).
Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie:
A\((0,-3)\)
B\((0,-\frac{1}{2})\)
C\((0,-1)\)
D\((0,-\frac{4}{3})\)
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(l\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(k\), zatem prosta \(l\) ma równanie postaci:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), podstawiamy współrzędne punktu \((2,-2)\) do wzoru, przez który przechodzi prosta \(l\):
$$-2=-\frac{1}{3}\cdot2+b$$
$$-2=-\frac{2}{3}+b$$
$$b=-2+\frac{2}{3}$$
$$b=-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}$$
$$b=-\frac{4}{3}$$
Równanie prostej \(l\) to w takim razie \(y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\).
Krok 3. Znalezienie punktu przecięcia z osią \(Oy\).
Punkt przecięcia z osią \(Oy\) ma współrzędną \(x=0\), a jego współrzędna \(y\) jest równa wyrazowi wolnemu \(b\). Zatem jest to punkt \((0,-\frac{4}{3})\).
Zadanie nr 22.1 · Matura 2026
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(0,-6)$, $B=(4,2)$ oraz $C=(0,4)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Bok $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
Prosta przechodzi przez $A=(0,-6)$, więc wyraz wolny $b=-6$: $y=2x-6$.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 24 · Matura 2026
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $k:\ y=(m-3)x+(m+4)$ oraz $l:\ y=-5x+1$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa
A$(-5)$
B$(-3)$
C$(-2)$
D$1$
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $m-3=-5\Rightarrow m=-2$.
Sprawdzenie, że się nie pokrywają: wyraz wolny $m+4=2\ne 1$ — proste są równoległe rozłączne.
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 23 · Próbny 2026
Proste $k:(m-1)x+3y+5=0$ oraz $l:6x+y+7=0$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa
A$6$
B$7$
C$18$
D$19$
Współczynniki kierunkowe: $k$ ma $a_{k}=-\dfrac{m-1}{3}$, $l$ ma $a_{l}=-6$. Równoległość: $-\dfrac{m-1}{3}=-6$, stąd $m-1=18$, czyli $m=19$.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 23 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $k:\ y=(m-2)x+5$ oraz $l:\ y=-4x+(m+3)$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa
A$(-4)$
B$(-2)$
C$2$
D$5$
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $m-2=-4$, stąd $m=-2$.
Sprawdzenie, że proste się nie pokrywają: wyrazy wolne $5$ oraz $m+3=1$ — różne, więc proste są równoległe (rozłączne).
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 23 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:
$$k:\quad y=(m-2)x+5$$
$$l:\quad y=-4x+(m+3)$$
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa:
A\((-4)\)
B\((-2)\)
C\(2\)
D\(5\)
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(m-2\), a druga ma równy \(-4\). Skoro te współczynniki muszą być równe to:
$$m-2=-4$$
$$m=-2$$
Zadanie nr 24 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami
\(k:\;y=(3-m)x+5\) \(l:\;y=(m+3)x-4\)
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa ..... .
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
\(3-m=m+3\)
\(-2m=0\)
\(m=0\)
Sprawdzenie: dla \(m=0\) mamy \(k:\;y=3x+5\) oraz \(l:\;y=3x-4\) — proste są równoległe i różne ✓
Odpowiedź: \(m=0\)
Zadanie nr 22 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=5x+7\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\).
Oblicz \(p\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Równanie prostej \(l\).
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc \(a=5\). Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), czyli \(b=-4\):
\(l:\;y=5x-4\)
Krok 2. Wyznaczenie \(p\).
Punkt \((p,2)\) należy do prostej \(l\):
\(2=5p-4\)
\(5p=6\)
\(p=\frac{6}{5}=1{,}2\)
Odpowiedź: \(p=\frac{6}{5}\)
Zadanie nr 8 · Matura 2024
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A\(\begin{cases}y=x+2\\y=2x-3\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-3\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x+2\\y=-2x-3\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=-x+2\\y=2x+3\end{cases}\)
Odczytujemy z wykresu równania obu prostych.
Prosta opadająca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
\(a=\frac{0-2}{2-0}=-1\), czyli \(y=-x+2\)
Prosta rosnąca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), a przez punkt \((2,1)\), więc:
\(a=\frac{1-(-3)}{2-0}=2\), czyli \(y=2x-3\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 10 · Matura 2024
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}x-3\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(y=f(x)\) jest prostą nachyloną do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\).
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę tak, aby zdanie było prawdziwe.
Sinus kąta \(\alpha\) jest równy .....
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\):
Taką wartość tangensa ma kąt ostry o mierze \(30^\circ\), zatem:
\(\alpha=30^\circ\)
Stąd:
\(\sin\alpha=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\)
Odpowiedź: \(\frac{1}{2}\)
Zadanie nr 22 · Matura 2024
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:
\(k:\;y=(3m-2)x-2\) \(l:\;y=(2m+4)x+2\)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa
A\((-6)\)
B\((-2)\)
C\(2\)
D\(6\)
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
\(3m-2=2m+4\)
\(m=6\)
Sprawdzenie: dla \(m=6\) obie proste mają współczynnik kierunkowy \(16\), a różne wyrazy wolne (\(-2\) i \(2\)), więc są równoległe i różne.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 22 · Próbny 2024
Dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-7x+3$. Prosta $l$ jest równoległa do $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$. Punkt $(1,p)$ należy do prostej $l$. Liczba $p$ jest równa
A$(-4)$
B$(-1)$
C$\dfrac{5}{7}$
D$7$
Prosta $l$ jest równoległa do $k$, więc ma współczynnik $-7$; przecina $Oy$ w $(0,6)$, więc $l:\ y=-7x+6$.
Dla $x=1$: $p=-7\cdot 1+6=-1$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 24 · Matura 2023
Dana jest prosta $k:\ y=-\tfrac13x+2$. Prosta $y=ax+b$ jest równoległa do $k$ i przechodzi przez $P=(3,5)$, gdy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:
A\(a=3\) i \(b=4\)
B\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\)
C\(a=3\) i \(b=-4\)
D\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$
$$5=-1+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 25 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}\) oraz punkt \(P=(12,-1)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie
A\(y=-\frac{3}{4}x+8\)
B\(y=\frac{3}{4}x-10\)
C\(y=\frac{4}{3}x-17\)
D\(y=-\frac{4}{3}x+15\)
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc szukana prosta ma postać:
\(y=\frac{3}{4}x+b\)
Podstawiamy współrzędne punktu \(P=(12,-1)\):
\(-1=\frac{3}{4}\cdot 12+b\)
\(-1=9+b\)
\(b=-10\)
\(y=\frac{3}{4}x-10\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 19 · Próbny 2023
Dane są proste $k:\ y=-\dfrac{1}{2}x-7$ oraz $l:\ y=(2m-1)x+13$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) oraz \(B=(4,3)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik \(a\) w równaniu tej prostej jest równy
A\((-4)\)
B\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
C\(2\)
D\(\frac{4}{7}\)
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A=(x_A,y_A)\) i \(B=(x_B,y_B)\) obliczamy ze wzoru:
\(a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
Podstawiamy współrzędne:
\(a = \frac{3-(-1)}{4-(-3)} = \frac{4}{7}\)
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 24 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:
A\(a=3\) i \(b=4\)
B\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\)
C\(a=3\) i \(b=-4\)
D\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$
$$5=-1+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 23 · Matura 2023
Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:
A\(a=3\) i \(b=4\)
B\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\)
C\(a=3\) i \(b=-4\)
D\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$
$$5=-1+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 21 · Próbny 2022
Przez punkty \(A=(-2,5)\) i \(B=(4,9)\) poprowadzono prostą. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
A\(a=\frac{2}{3}\)
B\(a=-\frac{2}{3}\)
C\(a=\frac{3}{2}\)
D\(a=-\frac{3}{2}\)
Nie musimy wyznaczać równania całej prostej. Aby poznać wartość współczynnika \(a\) możemy skorzystać ze wzoru:
$$a=\frac{9-5}{4-(-2)}$$
$$a=\frac{4}{6}$$
$$a=\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2022
Punkty \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(3,b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy \(b\) jest równe:
A\(9\)
B\((-9)\)
C\((-4)\)
D\(4\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) prostej.
Jeżeli prosta określona równaniem \(y=ax+b\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, to jej współczynnik \(b=0\) (nie mylmy tego ze współrzędną \(b\) zapisaną w treści zadania). Skoro tak, to \(y=ax+0\), czyli po prostu \(y=ax\).
Podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \(A=(-2,6)\), otrzymamy:
$$6=a\cdot(-2)$$
$$6=-2a$$
$$a=-3$$
To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=-3x\).
Krok 2. Obliczenie wartości współrzędnej \(b\).
Aby poznać wartość brakującej współrzędnej \(b\) punktu \(B\), wystarczy podstawić współrzędne punktu \(B\) (czyli \(x=3\) oraz \(y=b\)) do wyznaczonego przed chwilą równania \(y=-3x\), zatem:
$$b=-3\cdot3$$
$$b=-9$$
Zadanie nr 21 · Matura 2021
W układzie współrzędnych dane są dwa punkty \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\frac{3}{2}\)
Znając wartości współrzędnych dwóch punktów możemy wręcz wyznaczyć wzór prostej \(AB\) (korzystając z długiego wzoru z tablic albo z metody układu równań) i wtedy też poznamy wartość współczynnika \(a\). Nie mniej jednak, najprostszą metodą będzie po prostu posłużenie się wzorem na współczynnik \(a\), który wygląda następująco:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\), otrzymamy:
$$a=\frac{1-(-2)}{3-1}$$
$$a=\frac{1+2}{2}$$
$$a=\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2021
Funkcja liniowa \(f(x)=(a-1)x+3\) osiąga wartość najmniejszą równą \(3\). Wtedy:
A\(a=-1\)
B\(a=0\)
C\(a=1\)
D\(a=3\)
Z treści zadania możemy wywnioskować, że nasza funkcja liniowa jest dość nietypowa, bo wyjątkowo osiąga ona swoją najmniejszą wartość i jest ona równa \(3\) (zazwyczaj funkcje liniowe nie mają najmniejszej i największej wartości). To prowadzi nas do wniosku, że tą funkcją liniową musi być \(y=3\), zatem współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być równy \(0\). Nasz współczynnik kierunkowy (czyli liczba stojąca przed \(x\)) to \(a-1\), zatem:
$$a-1=0$$
$$a=1$$
To oznacza, że warunki zadania są spełnione jedynie dla \(a=1\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2021
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(P=(-3;3)\) i \(Q=(4;-2)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:
A\(-\frac{5}{7}\)
B\(\frac{5}{6}\)
C\(\frac{6}{5}\)
D\(\frac{6}{7}\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty najprościej będzie skorzystać z metody układu równań. W tym celu do równania \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(P\), a później punktu \(Q\), otrzymując:
\begin{cases} 3=-3a+b \\ -2=4a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$5=-7a$$
$$a=-\frac{5}{7}$$
Znamy już wartość współczynnika \(a\), jednak to nie koniec, bo nas interesuje poznanie współczynnika \(b\). Podstawmy zatem obliczone \(a=-\frac{5}{7}\) do jednego z równań w układzie (np. do pierwszego), dzięki czemu otrzymamy:
$$3=-3a+b$$
$$3=-3\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)+b$$
$$3=\frac{15}{7}+b$$
$$3=2\frac{1}{7}+b$$
$$b=\frac{6}{7}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2021
Prosta przechodząca przez punkty \((-4,-1)\) oraz \((5,5)\) ma równanie:
A\(y=x+3\)
B\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\)
C\(y=x-3\)
D\(y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, musimy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic, albo po prostu z układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, bo wbrew pozorom jest ona znacznie prostsza. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy najpierw podstawić współrzędne pierwszego punktu, a potem drugiego. Dzięki temu otrzymamy:
\begin{cases} -1=-4a+b \\ 5=5a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-9a$$
$$a=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
Skoro współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), to możemy stwierdzić, że nasza prosta przyjmuje postać \(y=\frac{2}{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać brakujący współczynnik \(b\). W tym celu wystarczy do wybranego równania z układu (np. drugiego) podstawić obliczone przed chwilą \(a=\frac{2}{3}\), zatem:
$$5=5\cdot\frac{2}{3}+b$$
$$5=\frac{10}{3}+b$$
$$\frac{15}{3}=\frac{10}{3}+b$$
$$b=\frac{5}{3}$$
To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\).
Zadanie nr 18 · Matura 2020
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem:
A\(y=-2x+4\)
B\(y=-2x+8\)
C\(y=2x+8\)
D\(y=2x-4\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy skorzystać albo z bardzo długiego wzoru dostępnego w tablicach, albo z prostej metody układu równań. Spróbujmy zastosować właśnie tą drugą metodę. Do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) oraz punktu \(B\), dzięki czemu otrzymamy dwa równania tworzące układ równań:
\begin{cases} -2=3a+b \\ 6=-1a+b \end{cases}
Ten układ równań najprościej będzie rozwiązać odejmując równania stronami, zatem:
$$-8=4a$$
$$a=-2$$
Znając wartość \(a\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współczynnika \(b\). W tym celu do wybranego równania z układu (np. pierwszego) wystarczy podstawić wyznaczone przed chwilą \(a=-2\). Otrzymamy wtedy:
$$-2=3\cdot(-2)+b$$
$$-2=-6+b$$
$$b=4$$
To oznacza, że nasza prosta jest określona równaniem \(y=-2x+4\).
Zadanie nr 32 · Matura 2020
Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych poszczególne punkty z treści zadania:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy bez problemu wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z długiego i skomplikowanego wzoru z tablic lub też z metody układu równań - i to właśnie z tego drugiego sposobu skorzystamy.
W tym celu musimy podstawić do równania prostej \(y=ax+b\) najpierw współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(C\), zatem:
\begin{cases} -1=a\cdot1+b \\ 5=a\cdot7+b \end{cases}
\begin{cases} -1=a+b \\ 5=7a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-6a$$
$$a=1$$
Wartość brakującego współczynnika \(b\) wyznaczymy podstawiając \(a=1\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego), zatem:
$$-1=a+b$$
$$-1=1+b$$
$$b=-2$$
To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=1x-2\), czyli po prostu \(y=x-2\).
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-3=4a$$
$$a=-\frac{3}{4}$$
Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając teraz \(a=-\frac{3}{4}\) do wybranego równania z układu równań (np. do pierwszego), zatem:
$$1=6a+b$$
$$1=6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b$$
$$1=-\frac{18}{4}+b$$
$$1=-4\frac{1}{2}+b$$
$$b=5\frac{1}{2}$$
To oznacza, że prosta \(BD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych przecięcia się przekątnych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych jest miejsce ich przecięcia się, czyli dokładnie to, co nas interesuje. W związku z tym:
\begin{cases} y=x-2 \\ y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy
$$x-2=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}$$
$$\frac{7}{4}x=7\frac{1}{2}$$
$$\frac{7}{4}x=\frac{15}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{7}$$
$$x=\frac{60}{14}=4\frac{4}{14}=4\frac{2}{7}$$
Znając współrzędną \(x=4\frac{2}{7}\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współrzędnej \(y\). Podstawiając obliczony \(x\) np. do pierwszego równania, otrzymamy:
$$y=x-2$$
$$y=4\frac{2}{7}-2$$
$$y=2\frac{2}{7}$$
To oznacza, że przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\).
Zadanie nr 10 · Matura 2019
Punkt \(A=(a,3)\) leży na prostej określonej równaniem \(y=\frac{3}{4}x+6\). Stąd wynika, że:
A\(a=-4\)
B\(a=4\)
C\(a=\frac{33}{4}\)
D\(a=\frac{39}{4}\)
Aby poznać wartość naszej niewiadomej \(a\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wskazanego równania. Podstawiając zatem \(x=a\) oraz \(y=3\) otrzymamy:
$$y=\frac{3}{4}x+6$$
$$3=\frac{3}{4}a+6$$
$$\frac{3}{4}a=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$
$$a=-4$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2019
Sprawdź, czy punkty \(A=(-2,3)\), \(B=(2,5)\), \(C=(2\sqrt{2},4+\sqrt{2})\) są współliniowe.
Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemów wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. Możemy w tym celu skorzystać z długiego wzoru dostępnego w tablicach maturalnych lub też możemy zbudować odpowiedni układ równań. Podstawiając do postaci \(y=ax+b\) współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
\begin{cases} 3=-2a+b \\ 5=2a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-2=-4a$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Znamy już wartość współczynnika \(a\). Wartość współczynnika \(b\) obliczymy podstawiając do dowolnego równania (np. drugiego) wyznaczoną przed chwilą wartość \(a=\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$5=2a+b$$
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b$$
$$5=1+b$$
$$b=4$$
Mamy już obliczone wartości obydwu współczynników, zatem możemy zapisać, że równaniem prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\) będzie \(y=\frac{1}{2}x+4\).
Krok 2. Sprawdzenie, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\).
Musimy teraz sprawdzić, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Jeżeli tak, to rzeczywiście wszystkie wskazane punkty są współliniowe. Podstawmy zatem do równania prostej \(AB\) współrzędne punktu \(C\), czyli \(x=2\sqrt{2}\) oraz \(y=4+\sqrt{2}\):
$$y=\frac{1}{2}x+4$$
$$4+\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}+4$$
$$4+\sqrt{2}=\sqrt{2}+4$$
$$L=P$$
Lewa strona jest równa stronie prawej, a to oznacza, że punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Wniosek z tego płynie taki, że wszystkie trzy punkty są współliniowe i leżą na prostej \(y=\frac{1}{2}x+4\).
Zadanie nr 31 · Matura 2018
Punkty \(A=(2,4)\), \(B=(0,0)\), \(C=(4,-2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą \(BD\), której równania szukamy:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znając współrzędne punktu \(A\) oraz \(C\) możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), korzystając ze wzoru:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$
$$x_{D}=\frac{2+4}{2}$$
$$x_{D}=\frac{6}{2}$$
$$x_{D}=3$$
$$\quad$$
$$y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$
$$y_{D}=\frac{4+(-2)}{2}$$
$$y_{D}=\frac{4-2}{2}$$
$$y_{D}=\frac{2}{2}$$
$$y_{D}=1$$
To oznacza, że \(D=(3;1)\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Skoro znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\) to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0$$
Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:
$$\begin{cases} 0=0+b \\ 1=3a+b \quad , \end{cases}$$
$$\begin{cases} b=0 \\ 1=3a+b \end{cases}$$
Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że \(b=0\), co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika \(b\), teraz musimy wyznaczyć współczynnik \(a\). Zrobimy to podstawiając po prostu \(b=0\) do drugiego równania:
$$1=3a+b$$
$$1=3a+0$$
$$a=\frac{1}{3}$$
W związku z tym prosta \(BD\) wyraża się wzorem \(y=\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{3}x\).
Zadanie nr 19 · Próbny 2018
Jeśli prosta o równaniu \(x+\frac{1}{2}y+a=0\) przechodzi przez punkt \(P=(-1,-2)\), to \(a\) jest równe:
A\(-2\)
B\(0\)
C\(2\)
D\(4\)
Wartość \(a\) wyznaczymy podstawiając współrzędne punktu \(P\) do równania prostej. Podstawiając zatem \(x=-1\) oraz \(y=-2\) otrzymamy:
$$-1+\frac{1}{2}\cdot(-2)+a=0$$
$$-1+(-1)+a=0$$
$$-1-1+a=0$$
$$-2+a=0$$
$$a=2$$
Zadanie nr 11 · Matura 2018
Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla:
A\(m=1\)
B\(m=0\)
C\(m=-1\)
D\(m=-2\)
Aby funkcja nie miała miejsc zerowych to musi to być prosta równoległa do osi iksów, która będzie się znajdować nad lub pod tą osią. Będziemy więc chcieli otrzymać wzór funkcji typu np. \(y=3\) albo \(y=-4\), czyli będziemy chcieli otrzymać tak zwaną funkcję stałą. To z kolei oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być w tym przypadku równy \(0\). W funkcji liniowej z treści zadania \(a=1-m^2\), zatem:
$$1-m^2=0$$
$$m^2=1$$
$$m=1 \quad\lor\quad m=-1$$
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa znajdują się w naszych odpowiedziach. To oznacza, że prawdopodobnie jedno z tych rozwiązań daje nam prostą idealnie pokrywającą się z osią iksów i to rozwiązanie będziemy musieli odrzucić. Podstawmy zatem \(m=1\) oraz \(m=-1\) i sprawdźmy, którą z tych odpowiedzi trzeba odrzucić.
Dla \(m=1\):
$$y=(1-1^2)x+1-1$$
$$y=(1-1)x+0$$
$$y=0x+0$$
$$y=0$$
Otrzymaliśmy prostą \(y=0\), która pokrywa się z osią iksów. To rozwiązanie musimy więc odrzucić, bo ta prosta ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Dla \(m=-1\):
$$y=(1-(-1)^2)x+(-1)-1$$
$$y=(1-1)x-1-1$$
$$y=0x-2$$
$$y=-2$$
Tym razem otrzymaliśmy prostą równoległą do osi iksów, która znajduje się pod tą osią. To jest rozwiązanie przez nas poszukiwane, zatem możemy powiedzieć że funkcja \(f(x)\) nie ma miejsc zerowych dla \(m=-1\).
Zadanie nr 8 · Matura 2018
Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.
AFunkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).
BFunkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
CFunkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).
DFunkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
Krok 1. Ustalenie czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
O tym czy funkcja jest rosnąca, czy też malejąca, decyduje współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczba stojąca przed iksem. W naszym przypadku ten współczynnik jest dodatni, bo \(a=\frac{1}{3}\), co oznacza że funkcja jest rosnąca.
Krok 2. Ustalenie miejsca przecięcia się funkcji z osią \(Oy\).
O tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków decyduje współczynnik \(b\). W tym przypadku \(b=-1\), a to oznacza, że prosta przetnie oś igreków dla \(y=-1\). W związku z tym poszukiwanym przez nas punktem przecięcia z osią igreków będzie \(P=(0,-1)\).
Łącząc informacje z obydwu kroków wynika, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.
Zadanie nr 4 · Próbny 2017
Prosta \(l\) przechodzi przez punkty \(A=(6,-7), B=(-10,3)\). Prosta \(k\) jest symetralną odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:
A\(-\frac{8}{5}\)
B\(\frac{8}{5}\)
C\(\frac{5}{8}\)
D\(-\frac{5}{8}\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Jesteśmy w stanie wyznaczyć pełny wzór prostej \(l\) (bo znamy współrzędne dwóch punktów przez które ona przechodzi, więc możemy skorzystać np. z metody układu równań), ale nam do tego zadania wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego tej prostej, a wyznaczyć go możemy z następującego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
$$a=\frac{3-(-7)}{-10-6}$$
$$a=\frac{3+7}{-16}$$
$$a=\frac{10}{-16}$$
$$a=-\frac{5}{8}$$
Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Prosta \(k\) jest symetralną do odcinka \(AB\). My wiemy, że symetralna do odcinka jest zawsze prostą prostopadłą. Wniosek dla nas z tego płynie taki, że prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro wiec prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{5}{8}\), to prosta \(k\) będzie miała ten współczynnik równy \(a=\frac{8}{5}\), bo \(-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-1\).
Zadanie nr 19 · Matura 2017
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie:
A\(y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\)
B\(y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}\)
C\(y=4x-12\)
D\(y=4x+12\)
Krok 1. Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4)$$
$$a=4$$
To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\).
Krok 2. Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej.
Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą.
$$y=4x+b$$
$$4=4\cdot(-2)+b$$
$$4=-8+b$$
$$b=12$$
Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).
Zadanie nr 14 · Matura 2016
Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1;\;2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?
A\(y=2x+5\)
B\(y=2x+6\)
C\(y=2x+7\)
D\(y=2x+8\)
Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\).
$$y=2x+b$$
$$2m+5=2(m-1)+b$$
$$2m+5=2m-2+b$$
$$b=7$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2016
Punkty \(A=(-2\sqrt{3},0)\), \(B=(0,0)\), \(C=(\sqrt{3},3)\) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego \(ABCDEF\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(AD\) tego sześciokąta.
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(BC\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że proste \(BC\) oraz \(AD\) są względem siebie równoległe. Jeżeli więc wyznaczymy współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (a nie jest to trudne, bo znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\)), to będziemy bardzo blisko odnalezienia równania prostej przechodzącej przez przekątną \(AD\).
Oczywiście możemy wyznaczyć całe równanie prostej \(BC\) (np. z metody układu równań), ale nam wystarczy poznanie współczynnika \(a\) tej prostej, a dokonamy tego za pomocą prostego wzoru:
$$a=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}$$
$$a=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0}$$
$$a=\frac{3}{\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{3\sqrt{3}}{3}$$
$$a=\sqrt{3}$$
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Wiemy, że prosta \(AD\) jest równoległa do prostej \(BC\), zatem współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej będzie równy \(\sqrt{3}\). Możemy więc powiedzieć, że nasza prosta będzie się wyrażać równaniem \(y=\sqrt{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając współrzędne punktu przez które ta prosta przechodzi, czyli punktu \(A=(-2\sqrt{3},0)\):
$$y=\sqrt{3}x+b$$
$$0=\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{3})+b$$
$$0=-2\cdot3+b$$
$$b=6$$
Skoro współczynnik \(b=6\), to nasza prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=\sqrt{3}x+6\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2016
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\) dla \(b=-3\) oraz \(ab\lt0\). Wynika z tego, że funkcja \(f\):
Ajest rosnąca
Bjest malejąca
Cjest stała
Dnie jest ani rosnąca, ani malejąca
Jeżeli współczynnik \(b\) jest równy \(-3\), a iloczyn \(ab\lt0\), to:
$$ab\lt0$$
$$-3a\lt0 \quad\bigg/:(-3)$$
$$a\gt0$$
Dodatni współczynnik kierunkowy \(a\) oznacza, że prosta jest rosnąca.
Zadanie nr 20 · Matura 2015
Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy:
A\(a=3\)
B\(a=-1\)
C\(a=\frac{5}{6}\)
D\(a=\frac{1}{3}\)
Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$
Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$(y-3)(8-(-4))-(7-3)(x-(-4))=0$$
$$(y-3)(8+4)-(7-3)(x+4)=0$$
$$(y-3)\cdot12-4\cdot(x+4)=0$$
$$12y-36-4x-16=0$$
$$12y-4x-52=0$$
$$12y=4x+52$$
$$y=\frac{4}{12}x+\frac{52}{12}$$
$$y=\frac{1}{3}x+4\frac{1}{3}$$
To oznacza, że współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej jest równy \(a=\frac{1}{3}\).
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty \((0,-2)\) i \((6,2)\).
Wtedy:
A\(a=\frac{2}{3}, b=-2\)
B\(a=3, b=-2\)
C\(a=\frac{3}{2}, b=2\)
D\(a=-3, b=2\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2$$
$$2=6a-2$$
$$6a=4$$
$$a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 30 · Matura 2015
W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).
Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases} -12=-43a+b \\ 19=50a+b \end{cases}
Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a$$
$$a=\frac{1}{3}$$
Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b$$
$$\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b$$
$$b=\frac{7}{3}$$
Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).
Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).
Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3$$
$$x+7=0$$
$$x=-7$$
To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\).
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
A\(a=-\frac{3}{2}\)
B\(a=-\frac{2}{3}\)
C\(a=-\frac{2}{5}\)
D\(a=-\frac{3}{5}\)
Do zapisania równania prostej (a tym samym do wyznaczenia współczynnika kierunkowego) posłużymy się współrzędnymi punktów \(P\) oraz \(Q\), które możemy odczytać z rysunku. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{P})(x_{Q}-x_{P})-(y_{Q}-y_{P})(x-x_{P})=0$$
$$(y-5)(5-2)-(3-5)(x-2)=0$$
$$(y-5)\cdot3-(-2)\cdot(x-2)=0$$
$$3y-15-(-2x+4)=0$$
$$3y-15+2x-4=0$$
$$3y+2x-19=0$$
$$3y=-2x+19 \quad\bigg/:3$$
$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{19}{3}$$
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest w takim razie równy \(a=-\frac{2}{3}\).
Zadanie nr 18 · Matura 2015
Dane są punkty \(M=(3,-5)\) oraz \(N=(-1,7)\). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie:
A\(y=-3x+4\)
B\(y=3x-4\)
C\(y=-\frac{1}{3}x+4\)
D\(y=3x+4\)
Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0$$
$$(y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0$$
$$(y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0$$
$$-4y-20-12x+36=0$$
$$-4y-12x+16=0$$
$$-4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4)$$
$$y=-3x+4$$
Zadanie nr 4 · Matura 2014
Na prostej o równaniu \(y=ax+b\) leżą punkty \(K=(1,0)\) i \(L=(0,1)\). Wynika stąd, że:
A\(a=-1\) i \(b=1\)
B\(a=1\) i \(b=-1\)
C\(a=-1\) i \(b=-1\)
D\(a=1\) i \(b=1\)
Krok 1. Określenie współczynnika \(a\).
Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\).
Krok 2. Określenie współczynnika \(b\).
Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\).
Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\).
Zadanie nr 8 · Matura 2014
Punkt \(C=(0,2)\) jest wierzchołkiem trapezu \(ABCD\), którego podstawa \(AB\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=2x-4\). Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę \(CD\).
A\(y=\frac{1}{2}x+2\)
B\(y=-2x+2\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+2\)
D\(y=2x+2\)
Z własności figur geometrycznych wiemy, że trapez ma podstawy równoległe względem siebie. Wiemy też, że aby dwie proste opisane wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). W naszym przypadku \(a=2\), więc pasującą odpowiedzią jest tylko i wyłącznie ostatnia prosta.
Zadanie nr 18 · Matura 2013
Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie:
A\(x-2y-4=0\)
B\(x+2y+4=0\)
C\(x-2y+4=0\)
D\(x+2y-4=0\)
Na podstawie rysunku spróbujmy określić wzór funkcji w postaci ogólnej \(y=ax+b\), którą następnie odpowiednio przekształcimy, tak aby dopasować się do naszych odpowiedzi.
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Zaczniemy od współczynnika \(b\), który możemy od razu odczytać z wykresu. Współczynnik \(b\) mówi nam w którym miejscu funkcja liniowa przetnie oś \(Oy\). W naszym przypadku funkcja przecina oś \(Oy\) dla \(y=2\), zatem \(b=2\).
Wiemy już, że nasza funkcja ma postać \(y=ax+2\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((4;0)\), czyli dla \(x=4\) funkcja przyjmuje wartość \(y=0\). Podstawmy te współrzędne do wzoru zapisanego w pierwszym kroku i tym samym wyznaczmy wartość współczynnika \(a\):
$$y=ax+2$$
$$0=a\cdot4+2$$
$$4a=-2$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Krok 3. Wskazanie równania prostej.
Nasza prosta przyjmuje wzór \(y=-\frac{1}{2}x+2\), jednak nie mamy takiej odpowiedzi w proponowanych. Musimy więc odpowiednio przekształcić to równanie (przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę), tak aby dopasować się do odpowiedzi:
$$y=-\frac{1}{2}x+2$$
$$\frac{1}{2}x+y-2=0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$x+2y-4=0$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2012
Dane są punkty \(A=(6,1)\) i \(B=(3,3)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A\(-\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{3}{2}\)
C\(\frac{3}{2}\)
D\(\frac{2}{3}\)
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
Mamy wszystkie dane, więc wystarczy podstawić odpowiednie liczby i w ten sposób obliczymy współczynnik \(a\):
$$a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 9 · Matura 2011
Funkcja liniowa \(f(x)=-\frac{1}{2}x+3\)
Ajest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,3)\)
Bjest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-3)\)
Cjest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-3)\)
Djest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,3)\)
Krok 1. Odczytanie współczynnika kierunkowego \(a\) i ustalenie, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca.
Ze wzoru funkcji wynika, że współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Skoro współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to funkcja jest malejąca.
Krok 2. Ustalenie przez który punkt przechodzi funkcja liniowa.
Wszystkie wypisane punkty mają wartość współrzędnej iksowej równą \(x=0\), zatem podstawiając zero do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(0)=-\frac{1}{2}\cdot0+3$$
$$f(0)=0+3$$
$$f(0)=3$$
To oznacza, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,3)\). Prawidłową odpowiedzią jest więc odpowiedź ostatnia.
Zadanie nr 15 · Matura 2011
Dane są punkty \(A=(-2,2)\) i \(B=(4,-2)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A\(a=-\frac{2}{3}\)
B\(a=-\frac{3}{2}\)
C\(a=\frac{3}{2}\)
D\(a=\frac{2}{3}\)
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
Znamy współrzędne obydwu punktów, zatem możemy podstawić odpowiednie liczby, obliczając w ten sposób poszukiwany współczynnik kierunkowy \(a\):
$$a=\frac{-2-2}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 9 · Matura 2009
Punkty \(B=(0,10)\) i \(O=(0,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(OAB\), w którym \(|\sphericalangle OAB|=90^\circ\). Przyprostokątna \(OA\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=\tfrac12x\). Oblicz współrzędne punktu \(A\) i długość przyprostokątnej \(OA\).
1) Prosta \(AB\). Kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\), więc prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(y=\tfrac12x\); jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-2\).
Prosta \(AB\) przechodzi przez \(B=(0,10)\), zatem
\(y=-2x+10\).
2) Współrzędne \(A\). Punkt \(A\) jest przecięciem obu prostych:
\(\tfrac12x=-2x+10\),
\(\tfrac52x=10\), skąd \(x=4\) oraz \(y=\tfrac12\cdot4=2\).
Prosta o równaniu \(y=-4x+(2m-7)\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-1)\). Wtedy:
A\(m=7\)
B\(m=2\frac{1}{2}\)
C\(m=-\frac{1}{2}\)
D\(m=-17\)
Do równania z treści zadania musimy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\) i rozwiązać powstałe równanie:
$$y=-4x+(2m-7)$$
$$-1=-4\cdot2+(2m-7)$$
$$-1=-8+2m-7$$
$$-1=-15+2m$$
$$2m=14$$
$$m=7$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2009
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \(A=(2,5)\) i \(C=(6,7)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na początku dobrze jest zaznaczyć sobie w układzie współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\), a także prostą na której znajdą się brakujące punkty \(B\) oraz \(D\). I tu pierwsze bardzo ważne spostrzeżenie - przekątne kwadratu przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a więc nasza prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(S\), który jest środkiem odcinka \(AC\).
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\).
Skorzystamy ze wzorów, które dostępne są w tablicach matematycznych:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6$$
$$S=(4;6)$$
Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej \(AC\).
Nasz plan działania jest dość prosty. Wyznaczymy sobie wzór prostej \(AC\), a następnie wzór prostej prostopadłej, która będzie przechodzić przez punkt \(S\). To właśnie ta prosta prostopadła jest przez nas poszukiwana. Prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=ax+b\), więc możemy podstawić pod ten wzór najpierw współrzędne punktu \(A\), następnie punktu \(C\) i w ten sposób stworzymy prosty układ równań:
\begin{cases} 5=2a+b \\ 7=6a+b \end{cases}
Możemy zastosować tu metodę podstawiania, przyjmując z pierwszego równania \(b=5-2a\), jednak znacznie prościej i szybciej będzie po prostu odjąć to równanie stronami. Otrzymamy wtedy:
$$-2=-4a \quad\bigg/:(-4)$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Możemy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) tej prostej, choć nie będzie nam on już potrzebny do dalszych obliczeń. Podstawiamy obliczoną przed chwilą wartość współczynnika \(a\) do wybranego równania, otrzymując:
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b$$
$$5=1+b$$
$$b=4$$
Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\) to \(y=\frac{1}{2}+4\).
Krok 4. Wyznaczenie wzoru prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie na pewno prostopadła do prostej \(AC\) oraz będzie przechodzić przez punkt \(S\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\) to druga musi mieć:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1$$
$$a=-2$$
Wiemy już, że prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze tylko współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając współrzędne punktu \(S\), przez który musi ta prosta przechodzić, stąd też:
$$6=-2\cdot4+b$$
$$6=-8+b$$
$$b=14$$
Wzór prostej \(BD\) to w takim razie \(y=-2x+14\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2009
Prosta o równaniu \(y=mx+6\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-4)\), gdy:
A\(m=5\)
B\(m=-5\)
C\(m=1\)
D\(m=-4\)
Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne punktu \(A\), czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=-4\).
$$y=mx+6$$
$$-4=m\cdot2+6$$
$$-10=2m$$
$$m=-5$$
Zadanie nr 31 · Próbny 2009
Punkty \(A=(-2,4), B=(-2,-2), C=(5,-3), D=(1,4)\) są wierzchołkami czworokąta. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy zwizualizować sobie jak ten czworokąt będzie wyglądać i gdzie będzie miał punkt przeciecia się przekątnych:
Z pomocą tego rysunku możemy określić plan postępowania: musimy wyznaczyć równania prostych \(AC\) oraz \(BD\), a następnie z równań tych prostych ułożyć układ równań, którego wynikiem będą współrzędne poszukiwanego punktu przecięcia.
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wyznaczmy równanie prostej \(AC\), czyli prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(C\), czyli przez które tworzą jedną z przekątnych czworokąta. Możemy to zrobić za pomocą wzoru z tablic, czyli:
$$(y-y_{A})(x_{C}-x_{A})-(y_{C}-y_{A})(x-x_{A})=0$$
Do tego wzoru wystarczy tylko podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i otrzymamy poszukiwany wzór. Istnieje też drugi sposób na wyznaczenie równania prostej, który jest nieco szybszy i właśnie z niego tutaj skorzystamy. Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
$$\begin{cases} 4=-2a+b \\ -3=5a+b \end{cases}$$
Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$7=-7a$$
$$a=-1$$
Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić tę wartość do jednego z równań, wyznaczając tym samym współczynnik \(b\):
$$4=-2a+b$$
$$4=-2\cdot(-1)+b$$
$$4=2+b$$
$$b=2$$
To oznacza, że nasza prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=-1x+2\), czyli \(y=-x+2\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Postępujemy analogicznie jak w przypadku prostej \(AC\), podstawiając tym razem współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\):
$$\begin{cases} -2=-2a+b \\ 4=1a+b \end{cases}$$
Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-6=-3a$$
$$a=2$$
Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić tę wartość do jednego z równań, wyznaczając tym samym współczynnik \(b\):
$$-2=-2a+b$$
$$-2=-2\cdot2+b$$
$$-2=-4+b$$
$$b=2$$
To oznacza, że nasza prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=2x+2\).
Krok 4. Wyznaczenie miejsca przecięcia się przekątnych.
Rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne punktu ich przecięcia (czyli dokładnie to czego szukamy). W związku z tym musimy stworzyć układ równań z dwóch równań prostych wyznaczonych przed chwilą i sprawdzić jakie współrzędne otrzymamy:
$$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=2x+2 \end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-x+2=2x+2$$
$$-3x=0$$
$$x=0$$
Znając iksa możemy teraz obliczyć igreka, podstawiając \(x=0\) do jednego z równań:
$$y=-x+2$$
$$y=-0+2$$
$$y=2$$
To oznacza, że współrzędne punktu przecięcia się przekątnych są równe \((0;2)\).
Zadanie nr 1 · Matura 2008
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną \(ABCD\), która jest wykresem funkcji \(y=f(x)\).
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji \(f\),
b) podaj wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=1-\sqrt{10}\),
c) wyznacz równanie prostej \(BC\),
d) oblicz długość odcinka \(BC\).
Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołków łamanej:
a) Najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), największa \(3\), a funkcja jest ciągła, więc
\(ZW=\langle-4,3\rangle\).
b) Szacujemy argument: \(3\lt \sqrt{10}\lt 4\), więc \(1-\sqrt{10}\in(-3,-2)\). Na tym przedziale wykres jest poziomym odcinkiem \(AB\) o wartości \(-4\), zatem
\(f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4\).
c) Współczynnik kierunkowy prostej \(BC\):
\(a=\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)}=\dfrac74\).
Prosta przechodzi przez \(B=(-2,-4)\):
\(y+4=\tfrac74(x+2)\), czyli \(y=\dfrac74x-\dfrac12\).
Dany jest punkt \(C=(2,3)\) i prosta o równaniu \(y=2x-8\) będąca symetralną odcinka \(BC\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\). Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.
Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(C\) w symetrii osiowej względem danej prostej.
1) Prosta \(BC\). Jest prostopadła do symetralnej, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\dfrac12\). Przechodzi przez \(C=(2,3)\):
\(y-3=-\tfrac12(x-2)\), czyli \(y=-\tfrac12x+4\).
2) Środek odcinka \(BC\). To punkt przecięcia obu prostych:
\(2x-8=-\tfrac12x+4\),
\(\tfrac52x=12\), skąd \(x=\tfrac{24}{5}=4{,}8\) oraz \(y=2\cdot4{,}8-8=1{,}6\).
Zatem \(S=(4{,}8;\ 1{,}6)\).
3) Współrzędne \(B\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BC\), więc
Dana jest funkcja \(f:R\to R\) określona wzorem \(f(x)=ax+4\).
a) Wyznacz wartość \(a\), dla której miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(-1\).
b) Wyznacz wartość \(a\), dla której prosta będąca wykresem funkcji \(f\) jest nachylona do osi \(OX\) pod kątem \(60^\circ\).
c) Wyznacz wartość \(a\), dla której równanie \(ax+4=2a+4\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
a) Warunek \(f(-1)=0\):
\(a\cdot(-1)+4=0\), czyli \(-a+4=0\), skąd \(a=4\).
b) Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia do osi \(OX\):
\(a=\mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt3\).
c) Przekształcamy równanie:
\(ax+4=2a+4\),
\(ax=2a\),
\(a(x-2)=0\).
Jeśli \(a\neq0\), równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=2\). Nieskończenie wiele rozwiązań otrzymujemy tylko dla \(a=0\) (wtedy każda liczba rzeczywista spełnia równanie \(0=0\)).
Zadanie nr 45 · Matura
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), rozważamy dwie proste o równaniach \(y=a+b\cdot x\) oraz \(y=-\frac{1}{a}-\frac{2}{3}b^2\cdot x\), gdzie \(a\neq0, b\neq0\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Dla \(a=2\) i \(b=-\frac{3}{2}\) rozważane proste są:
Sporą pułapką w tym zadaniu są dość niestandardowe oznaczenia w równaniu prostej (zazwyczaj prostą zapisujemy równaniem w postaci \(y=ax+b\), a tutaj mamy model typu \(y=a+bx\)). Musimy być więc bardzo ostrożni.
Na początek podstawmy do naszych równań dane z treści zadania, czyli \(a=2\) i \(b=-\frac{3}{2}\).
I prosta:
$$y=2+\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot x$$
$$y=2-\frac{3}{2}x$$
$$y=-\frac{3}{2}x+2$$
II prosta:
$$y=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2\cdot x$$
$$y=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}\cdot x$$
$$y=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}x$$
$$y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$$
Otrzymaliśmy dwie proste, które mają jednakową liczbę przed \(x\) (czyli mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\) - nie mylić tego z liczbami \(a\) i \(b\), które pojawiły się w tym zadaniu). To oznacza, że te dwie proste są względem siebie równoległe.
Musimy jeszcze ustalić powód - stało się tak, ponieważ liczby stojące przed \(x\) okazały się takie same, czyli \(b\) z pierwszej prostej było równe tyle samo co \(-\frac{2}{3}b^2\) z drugiej prostej. Stąd też prawidłową odpowiedzią będzie, że te dwie proste są względem siebie równoległe, ponieważ \(b=-\frac{2}{3}b^2\).
📘Teoria 1
Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
Postać kierunkowa
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
Postać ogólna
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Punkty przecięcia z osiami
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Współliniowość trzech punktów
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Zastosowania
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Na co uważać
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Uwaga. Wyrazy wolne ($3\neq-4$) są różne, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się — warunek spełniony.
Odpowiedź: $m=2$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że dla dowolnych dwóch różnych punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ o różnych odciętych współczynnik kierunkowy prostej $AB$ wynosi $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Krok 1 — założenie. Prosta ma postać $y=ax+b$ i przechodzi przez oba punkty, więc:
Wniosek. Współczynnik kierunkowy to „przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$”. Założenie $x_1\neq x_2$ jest konieczne — dla równych odciętych prosta byłaby pionowa i nie jest wykresem funkcji.
Sprawdzenie dla $(1,3)$, $(4,12)$: $a=\frac{12-3}{4-1}=3$ — zgodnie z zad. 15 ✔
Zadanie nr PP12.1
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x+6$ jest liczba
A$3$
B$-3$
C$6$
D$-6$
$-2x+6=0 \Rightarrow x=3$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — to wyraz wolny (punkt przecięcia z $Oy$), nie miejsce zerowe.
Zadanie nr PP12.2
Funkcja liniowa $f(x)=(2m-4)x+1$ jest rosnąca dla każdej liczby $m$ z przedziału
A$(-\infty,2)$
B$(2,\infty)$
C$(4,\infty)$
D$(-\infty,-2)$
Rosnąca ⇔ $2m-4\gt 0 \Rightarrow m\gt 2$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A — warunek funkcji malejącej; C — rozwiązane $m-4\gt 0$ bez dzielenia.
Zadanie nr PP12.3
Prosta przechodząca przez punkty $A=(-1,3)$ i $B=(2,-3)$ ma równanie
A$y=2x+5$
B$y=-2x+5$
C$y=-2x+1$
D$y=-\tfrac12x+\tfrac52$
$a=\dfrac{-3-3}{2-(-1)}=\dfrac{-6}{3}=-2$.
$3=-2\cdot(-1)+b \Rightarrow b=1$, więc $y=-2x+1$.
Kontrola $B$: $-4+1=-3$ ✓.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? D — odwrócony iloraz przyrostów; A — przechodzi przez $A$, ale nie przez $B$.
Zadanie nr PP12.4
Prosta równoległa do prostej $y=3x-2$ i przechodząca przez punkt $P=(1,5)$ ma równanie
Funkcje liniowe $f(x)=2x-8$ oraz $g(x)=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy
A$\tfrac34$
B$-\tfrac43$
C$-\tfrac34$
D$\tfrac43$
Miejsce zerowe $f$: $2x-8=0 \Rightarrow x=4$.
$g(4)=0$: $4a+3=0 \Rightarrow a=-\tfrac34$.
Odpowiedź:C
Zadanie nr PP12.8
Dana jest funkcja $f(x)=-3x+6$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$.
Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem ostrym.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $f(0)=6$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,6)$ — prawda.
2. $a=-3\lt 0$, więc $\operatorname{tg}\alpha\lt 0$ i kąt nachylenia jest rozwarty — fałsz.
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr PP12.9
Oblicz miarę kąta, jaki prosta $y=\sqrt3x-2$ tworzy z dodatnią półosią $Ox$.
$\operatorname{tg}\alpha=a=\sqrt3$, a $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$.
Odpowiedź: $60^\circ$
Zadanie nr PP12.10
Dana jest prosta $k:\ y=2x-3$ oraz punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $P$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $k$ i $l$.
Prostopadła: $a=-\tfrac12$. $1=-\tfrac12\cdot4+b \Rightarrow b=3$, więc $l:\ y=-\tfrac12x+3$.
Sprawdzenie równoległości: dla $m=3$ mamy $y=2x+3$ — ten sam współczynnik co $y=2x-5$, ale inny wyraz wolny, więc proste są rozłączne ✔
Odpowiedź: równoległe dla $m=3$, prostopadłe dla $m=\frac12$.
Zadanie nr 19
Taksówka pobiera $8$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz koszt przejazdu jako funkcję liniową, podaj interpretację obu współczynników i oblicz, ile kilometrów przejedziemy za $50$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji:
$$f(x)=3x+8$$
Krok 2 — interpretacja. Współczynnik kierunkowy $a=3$ to cena jednego kilometra, czyli tempo wzrostu kosztu. Wyraz wolny $b=8$ to koszt początkowy — płacimy go nawet przy zerowym przejeździe.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
