Proste równoległe i prostopadłe w układzie współrzędnych

Dwie proste są względem siebie prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(2m-1\). Skoro ich iloczyn ma być równy \(-1\), to:
$$\frac{1}{3}\cdot(2m+1)=-1$$ $$\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}=-1$$ $$\frac{2}{3}m=-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$m=-\frac{4}{2}$$ $$m=-2$$

Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13$$ $$\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13$$ $$\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13$$ $$\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13}$$ $$x=6$$

Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6$$ $$y=4$$

To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$ $$5=-1+b$$ $$b=6$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$ $$5=-1+b$$ $$b=6$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne, ale dobrze jest sobie zobrazować całą sytuację za pomocą prostego rysunku. Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), więc bez problemu możemy wyznaczyć równanie prostej \(AC\). W tym celu możemy skorzystać z rozbudowanego wzoru z tablic lub po prostu z metody układu równań (w tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne najpierw punktu \(A\), potem \(C\)). Można też postąpić jeszcze nieco sprytniej. Skoro prosta przechodzi przez punkt \(C=(0;4)\) to znaczy, że przecina ona oś \(OY\) dla \(y=4\), co z kolei oznacza, że współczynnik \(b=4\). Wiemy już zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=ax+4\).

Chcąc poznać brakując współczynnik \(a\) wystarczy teraz podstawić do wyznaczonej postaci \(y=ax+4\) współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-2=-8\cdot a+4$$ $$-6=-8a$$ $$a=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Wyznaczenie środka odcinka \(AC\).
Musimy wyznaczyć środek odcinka \(AC\), ponieważ jest to punkt, przez który będzie przechodzić także poszukiwana prosta \(BD\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-8+0}{2};\frac{-2+4}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-8}{2};\frac{2}{2}\right)$$ $$S=(-4;1)$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AC\), ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AC\) miała współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), to nasza prosta \(BD\) będzie miała ten współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\), bo \(\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{3}{4}=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że ta prosta będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{4}{3}x+b\).

Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), musimy podstawić do wyznaczonego równania \(y=-\frac{4}{3}x+b\) współrzędne jakiegoś punktu, przez który ta prosta przechodzi - w tym przypadku możemy podstawić wyznaczone wcześniej współrzędne punktu \(S=(-4;1)\). Skoro tak, to:
$$1=-\frac{4}{3}\cdot(-4)+b$$ $$1=\frac{16}{3}+b$$ $$b=-\frac{13}{3}$$

To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest \(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), a druga ma \(a=2m-1\), zatem:
$$\frac{2}{3}\cdot(2m-1)=-1$$ $$\frac{4}{3}m-\frac{2}{3}=-1$$ $$\frac{4}{3}m=-\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4}$$ $$m=-\frac{3}{12}$$ $$m=-\frac{1}{4}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Wyznaczmy zatem najpierw współrzędne środka odcinka \(AB\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{1+5}{2};\frac{3+11}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{6}{2};\frac{14}{2}\right)$$ $$S=(3;7)$$

Krok 2. Wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna musi być prostą prostopadłą do prostej o równaniu \(y=2x+1\). Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro tak, to nasza symetralna musi mieć \(a=-\frac{1}{2}\), bo \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2=-1\). To oznacza, że symetralna wyrażać się będzie równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Brakujący współczynnik \(b\) obliczymy podstawiając współrzędne środka odcinka \(AB\), zatem:
$$7=-\frac{1}{2}\cdot3+b$$ $$7=-\frac{3}{2}+b$$ $$b=8\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$$

To oznacza, że symetralna odcinka \(AB\) ma równanie \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\).

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{5}{4}\) natomiast druga prosta ma \(a=\frac{4}{2m-1}\). To oznacza, że:
$$-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{2m-1}=-1$$ $$-\frac{5}{2m-1}=-1$$ $$-5=-1\cdot(2m-1)$$ $$-5=-2m+1$$ $$-6=-2m$$ $$m=3$$

Aby wyznaczyć współrzędne miejsca przecięcia się dwóch prostych, wystarczy rozwiązać układ równań składający się z równań tych prostych. W związku z tym:
\begin{cases} y=-3x+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3}x-3 \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy zapisać, że:
$$-3x+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x-3$$ $$-3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$$ $$x=1$$

Znamy już pierwszą współrzędną, czyli \(x=1\). Aby wyznaczyć drugą, wystarczy do dowolnego z równań (np. pierwszego) podstawić wyznaczona przed chwilą wartość \(x=1\), zatem:
$$y=-3\cdot1+\frac{1}{3}$$ $$y=-3+\frac{1}{3}$$ $$y=-2\frac{2}{3}$$

To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).

Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) prostej.
Jeżeli prosta określona równaniem \(y=ax+b\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, to jej współczynnik \(b=0\) (nie mylmy tego ze współrzędną \(b\) zapisaną w treści zadania). Skoro tak, to \(y=ax+0\), czyli po prostu \(y=ax\).

Podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \(A=(-2,6)\), otrzymamy:
$$6=a\cdot(-2)$$ $$6=-2a$$ $$a=-3$$

To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=-3x\).

Krok 2. Obliczenie wartości współrzędnej \(b\).
Aby poznać wartość brakującej współrzędnej \(b\) punktu \(B\), wystarczy podstawić współrzędne punktu \(B\) (czyli \(x=3\) oraz \(y=b\)) do wyznaczonego przed chwilą równania \(y=-3x\), zatem:
$$b=-3\cdot3$$ $$b=-9$$

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Z proponowanych prostych da się utworzyć tylko jedną parę prostych prostopadłych i będą to proste \(l\) oraz \(m\), ponieważ \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\).

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{4}{7}\), to nasza prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{7}{4}\), bo \(\frac{7}{4}\cdot\left(-\frac{4}{7}\right)=-1\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W przypadku pierwszej prostej współczynnik kierunkowy jest zapisany jako \(3a\), natomiast w drugiej prostej współczynnik kierunkowy jest równy \(2\). W związku z tym:
$$3a\cdot2=-1$$ $$6a=-1$$ $$a=-\frac{1}{6}$$

W tym zadaniu tak naprawdę nie musimy niczego obliczać. Z treści wynika, że prosta przechodząca przez wierzchołki \(C\) i \(D\) musi być równoległa do prostej \(y=5x+3\), która przechodzi przez wierzchołki \(A\) i \(B\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Prosta przechodząca przez wierzchołki \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=5\), zatem i prosta do niej równoległa musi mieć \(a=5\). Taką sytuację mamy jedynie w trzeciej odpowiedzi, stąd też wiemy, że poszukiwanym równaniem prostej będzie \(y=5x-10\).

Wbrew pozorom nie musimy wyznaczać równania tej prostej. Wystarczy pamiętać, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a skoro tak, to będziemy mogli skorzystać z własności prostych prostopadłych. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\), zatem druga (ta przez nas poszukiwana) musi mieć \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\).

Z proponowanych odpowiedzi tylko druga ma interesujący nas współczynnik kierunkowy, zatem bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że druga przekątna tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\).

Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Prosta \(k\) zapisana jest w postaci ogólnej, a my potrzebujemy postaci kierunkowej \(y=ax+b\) (bo tylko wtedy będziemy mogli przyrównać współczynniki kierunkowe). Musimy więc przekształcić równanie \(3x+2y-5=0\) w taki sposób, aby po lewej stronie był sam \(y\), a po prawej cała reszta zapisu. Zatem:
$$3x+2y-5=0$$ $$2y=-3x+5$$ $$y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

Krok 2. Ustalenie równania prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{2}\), więc prosta równoległa będzie się wyrażać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\).

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze obliczenia współczynnika \(b\). W tym celu do równania \(y=-\frac{3}{2}x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-5\):
$$y=-\frac{3}{2}x+b$$ $$-5=-\frac{3}{2}\cdot2+b$$ $$-5=-3+b$$ $$b=-2$$

To oznacza, że prosta równoległa wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x-2\).

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, musimy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic, albo po prostu z układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, bo wbrew pozorom jest ona znacznie prostsza. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy najpierw podstawić współrzędne pierwszego punktu, a potem drugiego. Dzięki temu otrzymamy:
\begin{cases} -1=-4a+b \\ 5=5a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-9a$$ $$a=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$

Skoro współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), to możemy stwierdzić, że nasza prosta przyjmuje postać \(y=\frac{2}{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać brakujący współczynnik \(b\). W tym celu wystarczy do wybranego równania z układu (np. drugiego) podstawić obliczone przed chwilą \(a=\frac{2}{3}\), zatem:
$$5=5\cdot\frac{2}{3}+b$$ $$5=\frac{10}{3}+b$$ $$\frac{15}{3}=\frac{10}{3}+b$$ $$b=\frac{5}{3}$$

To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\).

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W pierwszej prostej ten współczynnik jest równy \(a=-\frac{1}{m-2}\), natomiast w drugiej jest to \(a=\frac{1}{3}\). Skoro te wartości muszą być sobie równe, to:
$$-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3}$$

I tu zanim zaczniemy liczyć, to taka mała uwaga - w mianowniku ułamka pojawiła się niewiadoma \(m\). Wiemy, że wartość mianownika musi być zawsze różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), z tego też względu powinniśmy zapisać, że \(m\neq2\). Teraz możemy przystąpić do liczenia. Całość będzie najprościej zacząć od wymnożenia obu stron przez \(3\):
$$-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot 3$$ $$-\frac{3}{m-2}=1 \quad\bigg/\cdot(m-2)$$ $$-3=m-2$$ $$m=-1$$

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=3\), natomiast druga ma \(a=\frac{m-3}{2}\). W związku z tym:
$$3=\frac{m-3}{2}$$ $$6=m-3$$ $$m=9$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki \(a\). To oznacza, że prosta \(l\) musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\) prostej \(l\).
Punkt \(P\) należący do prostej \(l\) jest bardzo charakterystyczny - jest to miejsce przecięcia się prostej z osią \(OY\). Z własności prostych wiemy, że w takiej sytuacji współczynnik \(b=7\).

To oznacza, że prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+7\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) (czyli liczb znajdujących się przed \(x\)) musi być równy \(-1\). Taka sytuacja ma miejsce jedynie w drugiej odpowiedzi, albowiem \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).

Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4;-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób:



Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-3\), zatem druga prosta musi mieć ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), bo \(-3\cdot\frac{1}{3}=-1\).

Krok 2. Przekształcenie wzorów funkcji do postaci kierunkowej.
Aby móc wybrać właściwą prostą, to wszystkie warianty w odpowiedziach A-D musimy zamienić na postać kierunkową, czyli postać \(y=ax+b\). Krótko mówiąc, musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej stronie jest \(y\), a po prawej jest cała reszta:
Odp. A.
\(x-3y+3=0\)
\(3y=x+3\)
\(y=\frac{1}{3}x+1\)

I tak prawdę w tym miejscu moglibyśmy zakończyć to zadanie, bo otrzymaliśmy prostą, która ma \(a=\frac{1}{3}\), zatem to jest na pewno prawidłowa odpowiedź do naszego zadania. Dla treningu możemy jeszcze przekształcić pozostałe odpowiedzi.

Odp. B.
\(-3x+y=0\)
\(y=3x\)

Tutaj współczynnik \(a=3\), zatem ta prosta nas nie interesuje.

Odp. C.
\(3x+y=0\)
\(y=-3x\)

Tutaj współczynnik \(a=-3\), zatem ta prosta nas nie interesuje.

Odp. D.
\(x+3y=0\)
\(3y=-x\)
\(y=-\frac{1}{3}x\)

Tutaj współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem ta prosta nas nie interesuje.

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Skoro tak, to musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2m+1=6-3m$$ $$5m=5$$ $$m=1$$

To oznacza, że te dwie proste będą względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy \(m=1\).

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe \(a\) są sobie równe. Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\) natomiast druga ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\). Skoro te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$m-2=\frac{3}{4}$$ $$m=2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$$

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy skorzystać albo z bardzo długiego wzoru dostępnego w tablicach, albo z prostej metody układu równań. Spróbujmy zastosować właśnie tą drugą metodę. Do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) oraz punktu \(B\), dzięki czemu otrzymamy dwa równania tworzące układ równań:
\begin{cases} -2=3a+b \\ 6=-1a+b \end{cases}

Ten układ równań najprościej będzie rozwiązać odejmując równania stronami, zatem:
$$-8=4a$$ $$a=-2$$

Znając wartość \(a\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współczynnika \(b\). W tym celu do wybranego równania z układu (np. pierwszego) wystarczy podstawić wyznaczone przed chwilą \(a=-2\). Otrzymamy wtedy:
$$-2=3\cdot(-2)+b$$ $$-2=-6+b$$ $$b=4$$

To oznacza, że nasza prosta jest określona równaniem \(y=-2x+4\).

Dwie proste są względem siebie prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\), natomiast druga ma \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:

$$(m-2)\cdot\frac{3}{4}=-1$$ $$\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}=-1$$ $$\frac{3}{4}m=\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$ $$m=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych poszczególne punkty z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy bez problemu wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z długiego i skomplikowanego wzoru z tablic lub też z metody układu równań - i to właśnie z tego drugiego sposobu skorzystamy.

W tym celu musimy podstawić do równania prostej \(y=ax+b\) najpierw współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(C\), zatem:
\begin{cases} -1=a\cdot1+b \\ 5=a\cdot7+b \end{cases}
\begin{cases} -1=a+b \\ 5=7a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-6a$$ $$a=1$$

Wartość brakującego współczynnika \(b\) wyznaczymy podstawiając \(a=1\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego), zatem:
$$-1=a+b$$ $$-1=1+b$$ $$b=-2$$

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=1x-2\), czyli po prostu \(y=x-2\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Równanie prostej \(BD\) wyznaczymy identycznie jak prostej \(AC\), zatem:
\begin{cases} 1=a\cdot6+b \\ 4=a\cdot2+b \end{cases}
\begin{cases} 1=6a+b \\ 4=2a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-3=4a$$ $$a=-\frac{3}{4}$$

Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając teraz \(a=-\frac{3}{4}\) do wybranego równania z układu równań (np. do pierwszego), zatem:
$$1=6a+b$$ $$1=6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b$$ $$1=-\frac{18}{4}+b$$ $$1=-4\frac{1}{2}+b$$ $$b=5\frac{1}{2}$$

To oznacza, że prosta \(BD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych przecięcia się przekątnych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych jest miejsce ich przecięcia się, czyli dokładnie to, co nas interesuje. W związku z tym:
\begin{cases} y=x-2 \\ y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy
$$x-2=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}$$ $$\frac{7}{4}x=7\frac{1}{2}$$ $$\frac{7}{4}x=\frac{15}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{7}$$ $$x=\frac{60}{14}=4\frac{4}{14}=4\frac{2}{7}$$

Znając współrzędną \(x=4\frac{2}{7}\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współrzędnej \(y\). Podstawiając obliczony \(x\) np. do pierwszego równania, otrzymamy:
$$y=x-2$$ $$y=4\frac{2}{7}-2$$ $$y=2\frac{2}{7}$$

To oznacza, że przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\).

Aby poznać wartość naszej niewiadomej \(a\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wskazanego równania. Podstawiając zatem \(x=a\) oraz \(y=3\) otrzymamy:
$$y=\frac{3}{4}x+6$$ $$3=\frac{3}{4}a+6$$ $$\frac{3}{4}a=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$ $$a=-4$$

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakową wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku pierwsza prosta ma współczynnik \(a=4m+1\), natomiast druga prosta ma \(a=5m-4\). Skoro więc te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$4m+1=5m-4$$ $$1=m-4$$ $$m=5$$

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).
Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:
$$\frac{1}{3}\cdot a=-1$$ $$a=-3$$

Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:
$$y=-3x+b$$ $$-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b$$ $$-1=\frac{63}{2}+b$$ $$-1=31\frac{1}{2}+b$$ $$b=-32\frac{1}{2}$$

To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).

Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Aby zacząć wyznaczenie prostej równoległej, to musimy najpierw zapisać prostą z treści zadania w postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść wyrazy w taki sposób, by po lewej stronie został igrek, a po prawej by była cała reszta:
$$-2x-4y+3=0$$ $$-4y=2x-3 \quad\bigg/:(-4)$$ $$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$$

Krok 2. Zapisanie prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\), zatem i prosta równoległa musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\).

Standardowo w takich zadaniach znając już współczynnik \(a\) moglibyśmy zapisać, że prosta wyznacza się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\) i podstawiając współrzędne punktu \(P\) obliczylibyśmy brakujący współczynnik \(b\). Jednak w tym zadaniu współczynnik \(b\) możemy poznać bez wykonywania obliczeń, wystarczy odczytać go wprost z treści zadania. Zwróćmy uwagę na to, że punkt \(P=(0,-2)\) to miejsce przecięcia się z osią igreków. Współczynnik \(b\) informuje nas właśnie o tym gdzie dana prosta przecina się z osią igreków. Możemy więc już zapisać, że w takim razie \(b=-2\).

Skoro więc \(a=-\frac{1}{2}\) oraz \(b=-2\), to prosta równoległa przechodząca przez punkt \(P\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x-2\).

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemów wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. Możemy w tym celu skorzystać z długiego wzoru dostępnego w tablicach maturalnych lub też możemy zbudować odpowiedni układ równań. Podstawiając do postaci \(y=ax+b\) współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
\begin{cases} 3=-2a+b \\ 5=2a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-2=-4a$$ $$a=\frac{1}{2}$$

Znamy już wartość współczynnika \(a\). Wartość współczynnika \(b\) obliczymy podstawiając do dowolnego równania (np. drugiego) wyznaczoną przed chwilą wartość \(a=\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$5=2a+b$$ $$5=2\cdot\frac{1}{2}+b$$ $$5=1+b$$ $$b=4$$

Mamy już obliczone wartości obydwu współczynników, zatem możemy zapisać, że równaniem prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\) będzie \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Krok 2. Sprawdzenie, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\).
Musimy teraz sprawdzić, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Jeżeli tak, to rzeczywiście wszystkie wskazane punkty są współliniowe. Podstawmy zatem do równania prostej \(AB\) współrzędne punktu \(C\), czyli \(x=2\sqrt{2}\) oraz \(y=4+\sqrt{2}\):
$$y=\frac{1}{2}x+4$$ $$4+\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}+4$$ $$4+\sqrt{2}=\sqrt{2}+4$$ $$L=P$$

Lewa strona jest równa stronie prawej, a to oznacza, że punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Wniosek z tego płynie taki, że wszystkie trzy punkty są współliniowe i leżą na prostej \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik \(a\) równy \(2m+2\), natomiast druga prosta ma ten współczynnik równy \(3m-3\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2m+2=3m-3$$ $$m=5$$

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) dwóch prostych prostopadłych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-4\), to druga prosta musi mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{1}{4}\). Możemy to nawet rozpisać matematycznie:
$$-4\cdot a=-1$$ $$a=\frac{1}{4}$$

W ten oto sposób możemy już ograniczyć się do dwóch odpowiedzi, czyli \(B\) oraz \(D\).

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(b\).
Skoro nasza prosta prostopadła ma współczynnik \(a=\frac{1}{4}\), to znaczy że musi wyrażać się wzorem:
$$y=\frac{1}{4}x+b$$

Podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(P\) (przez który ta prosta przechodzi) obliczymy współczynnik \(b\):
$$0=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+b$$ $$0=\frac{1}{8}+b$$ $$b=-\frac{1}{8}$$

To oznacza, że prawidłowa będzie druga odpowiedź.

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczbę stojącą przed iksem. W związku z tym:
$$3m-4=12-m$$ $$4m=16$$ $$m=4$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą \(BD\), której równania szukamy:



Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znając współrzędne punktu \(A\) oraz \(C\) możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), korzystając ze wzoru:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$x_{D}=\frac{2+4}{2}$$ $$x_{D}=\frac{6}{2}$$ $$x_{D}=3$$ $$\quad$$ $$y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$y_{D}=\frac{4+(-2)}{2}$$ $$y_{D}=\frac{4-2}{2}$$ $$y_{D}=\frac{2}{2}$$ $$y_{D}=1$$

To oznacza, że \(D=(3;1)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Skoro znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\) to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0$$

Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:
$$\begin{cases} 0=0+b \\ 1=3a+b \quad , \end{cases}$$

$$\begin{cases} b=0 \\ 1=3a+b \end{cases}$$

Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że \(b=0\), co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika \(b\), teraz musimy wyznaczyć współczynnik \(a\). Zrobimy to podstawiając po prostu \(b=0\) do drugiego równania:
$$1=3a+b$$ $$1=3a+0$$ $$a=\frac{1}{3}$$

W związku z tym prosta \(BD\) wyraża się wzorem \(y=\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{3}x\).

Wartość \(a\) wyznaczymy podstawiając współrzędne punktu \(P\) do równania prostej. Podstawiając zatem \(x=-1\) oraz \(y=-2\) otrzymamy:
$$-1+\frac{1}{2}\cdot(-2)+a=0$$ $$-1+(-1)+a=0$$ $$-1-1+a=0$$ $$-2+a=0$$ $$a=2$$

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Aby móc wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, to najpierw musimy naszą pierwszą prostą zapisać w postaci kierunkowej, a nie ogólnej, jak to ma miejsce w treści zadania. Aby otrzymać postać kierunkową \(y=ax+b\) wystarczy doprowadzić do sytuacji w której po lewej stronie równania mamy samego igreka, a po prawej mamy całą resztą wyrazów, zatem:
$$2x+3y-5=0$$ $$3y=-2x+5$$ $$y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{2}{3}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć \(a=\frac{3}{2}\), bo \(-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=-1\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Warto zwrócić uwagę na to, że kąt \(ANM\) będzie także miał miarę \(90°\), bo proste \(BC\) oraz \(MN\) są względem siebie równoległe, zatem miary kątów \(ACB\) oraz \(ANM\) są sobie równe.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AN\) (oraz \(AC\)).
Prosta \(AN\) (lub \(AC\)) to prosta prostopadła do prostej \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(AN\) będzie mieć ten współczynnik \(a=-2\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\). To oznacza, że prosta \(AN\) wyrażać się będzie równaniem \(y=-2x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

Współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając do zapisanego przed chwilą równania wartości współrzędnych jakiegoś punktu, który przez tą prostą przechodzi. W naszym przypadku znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), zatem podstawiając \(x=1\) oraz \(y=6\) do postaci \(y=-2x+b\) otrzymamy:
$$6=-2\cdot1+b$$ $$6=-2+b$$ $$b=8$$

To oznacza, że równanie prostej \(AN\) przyjmuje postać \(y=-2x+8\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(N\).
Punkt \(N\) jest miejscem przecięcia się prostych \(MN\) oraz \(AN\). Znamy równania jednej i drugiej prostej, zatem tworząc z nich układ równań będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(N\):
$$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\ y=-2x+8 \end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-2x+8$$ $$2\frac{1}{2}x=7\frac{1}{2}$$ $$x=3$$

Znamy już wartość współrzędnej iksowej, musimy jeszcze poznać wartość współrzędnej igrekowej, a dokonamy tego podstawiając \(x=3\) do wybranego równania (np. drugiego):
$$y=-2x+8$$ $$y=-2\cdot3+8$$ $$y=-6+8$$ $$y=2$$

To oznacza, że \(N=(3;2)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), znamy też już współrzędne punktu \(N=(3;2)\), zatem możemy ze wzoru na środek odcinka wyznaczyć współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń najlepiej jest oddzielnie policzyć współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową:
$$x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$3=\frac{1+x_{C}}{2}$$ $$6=1+x_{C}$$ $$x_{C}=5$$ $$\quad$$ $$y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$2=\frac{6+y_{C}}{2}$$ $$4=6+y_{C}$$ $$y_{C}=-2$$

Wyszło nam zatem, że \(C=(5;-2)\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) jest równoległa do prostej \(MN\), zatem te dwie proste będą mieć jednakowy współczynnik \(a\). Skoro więc prosta \(MN\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to i prosta \(BC\) będzie mieć \(a=\frac{1}{2}\). To z kolei oznacza, że prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\).
$$-2=\frac{1}{2}\cdot5+b$$ $$-2=2\frac{1}{2}+b$$ $$b=-4\frac{1}{2}$$

To oznacza, że równaniem prostej \(BC\) będzie \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\).

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
O punkcie \(B\) wiemy tyle, że leży on na osi igreków, czyli na pewno współrzędna iksowa tego punktu jest równa \(x=0\). Możemy więc do równania prostej \(BC\), czyli \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\) podstawić \(x=0\) i otrzymamy współrzędną igrekową naszego punktu. Tak prawdę mówiąc, to współrzędną igrekową punktu \(B\) możemy wprost odczytać ze wzoru funkcji - wystarczy spojrzeć na współczynnik \(b\) tej prostej, bo to on pokazuje nam jaka jest współrzędna igrekowa naszego punktu \(B\). Skoro współczynnik \(b=-4\frac{1}{2}\), to współrzędna \(y=-4\frac{1}{2}\). To oznacza, że \(B=\left(0;-4\frac{1}{2}\right)\).

Chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w prawo/lewo musimy zmienić wartość stojącą przy iksie. Przesunięcie o dwie jednostki w prawo oznacza, że wartość iksa należy pomniejszyć o \(2\) (gdybyśmy przesuwali w lewo, to wartość iksa należałoby powiększyć o \(2\)). Skoro więc iks znajduje się w potędze, to musimy pomniejszyć wykładnik tej potęgi o \(2\), zatem \(g(x)=-3^{x-2}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic całej sytuacji, tak aby mieć lepszy podgląd na to co trzeba zrobić:


Liniami przerywanymi zostały narysowane wysokości opuszczone z wierzchołka \(B\) oraz \(C\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Z treści zadania (i tym samym z rysunku) wynika, że proste o równaniu \(y=-2x+38\) oraz \(3x+2y-61=0\) przecinają się w punkcie \(B\). Zgodnie z tak zwaną geometryczną interpretacją układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych będzie miejsce ich przecięcia. W ten sposób będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(B\), zatem:
$$\begin{cases} y=-2x+38 \\ 3x+2y-61=0 \end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3x+2\cdot(-2x+38)-61=0$$ $$3x-4x+76-61=0$$ $$-x+15=0$$ $$x=15$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=15\):
$$y=-2x+38$$ $$y=-2\cdot15+38$$ $$y=-30+38$$ $$y=8$$

To oznacza, że \(B=(15,8)\).

Krok 3. Zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci kierunkowej.
Prosta \(BD\) będąca wysokością poprowadzoną z wierzchołka \(B\) jest zapisana w postaci ogólnej, a my za chwilę będziemy potrzebować postaci kierunkowej (do wyznaczenia prostej prostopadłej). W związku z tym już teraz przekształćmy ten zapis do wspomnianej postaci kierunkowej:
$$3x+2y-61=0$$ $$2y=-3x+61$$ $$y=-\frac{3}{2}x+30\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wiemy, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BD\). Z własności prostych prostopadłych wynika, że aby dwie proste były względem prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(BD\) ma współczynnik kierunkowy równy \(a=-\frac{3}{2}\), zatem prosta \(AC\), czyli prosta prostopadła, będzie mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\). To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=-9\) oraz \(y=8\):
$$y=\frac{2}{3}x+b$$ $$8=\frac{2}{3}\cdot(-9)+b$$ $$8=-6+b$$ $$b=14$$

Skoro współczynnik \(b=14\) to prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+14\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej punktu \(C\).
Zastosujemy identyczny zabieg co przy wyznaczaniu współrzędnych punktu \(B\). Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych \(y=-2x+38\) oraz \(y=\frac{2}{3}x+14\), zatem jego współrzędne obliczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases} y=-2x+38 \\ y=\frac{2}{3}x+14 \end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-2x+38=\frac{2}{3}x+14 \quad\bigg/\cdot3$$ $$-6x+114=2x+42$$ $$-8x=-72$$ $$x=9$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=9\):
$$y=-2x+38$$ $$y=-2\cdot9+38$$ $$y=-18+38$$ $$y=20$$

To oznacza, że \(C=(9,20)\).

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej \(CE\).
Poszukiwana przez nas prosta \(CE\) (czyli wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\)) jest prostopadła do prostej \(AB\). Teoretycznie powinniśmy najpierw obliczyć jakie jest równanie prostej \(AB\), a potem obliczyć równanie prostej \(CE\), ale da się poznać wzór tej prostej znacznie szybciej.

Powinniśmy zauważyć, że punkty \(A\) i \(B\) mają jednakową współrzędną igrekową, czyli leżą "na tej samej linii". Bez żadnych więc obliczeń możemy zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=8\). Prostymi prostopadłymi do tej prostej byłyby więc np. \(x=1\), \(x=3\) czy też \(x=7\). Nas interesuje taka prosta prostopadła, która przejdzie przez punkt \(C=(9,20)\), czyli przejdzie przez współrzędną iksową równą \(9\). Z tego też względu interesująca nas prosta \(CE\) wyrazi się wzorem \(x=9\).

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku pierwsza prosta ma współczynnik \(a=(m+2)\) natomiast druga prosta ma \(a=2m-1\). W związku z tym, że te współczynniki muszą być sobie równe to:
$$m+2=2m-1$$ $$-m=-3$$ $$m=3$$

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{6^2+2^2}$$ $$|AB|=\sqrt{36+4}$$ $$|AB|=\sqrt{40}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$

Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.

Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2$$ $$(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2$$ $$40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2$$ $$40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2$$ $$5x^2-28x+144=5x^2-8x+16$$ $$-28x+144=-8x+16$$ $$-20x=-128$$ $$x=6,4$$

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3$$ $$y=2\cdot6,4+3$$ $$y=12,8+3$$ $$y=15,8$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).

Jeżeli prosta \(k\) jest prostopadła do osi \(Ox\) i przechodzi przez punkt \(A=(4;-4)\) to musi ona wyglądać w ten sposób:



Widzimy wyraźnie, że prosta \(k\) wyraża się równaniem \(x=4\). Takiej odpowiedzi nie mamy, ale przenosząc czwórkę na lewą stronę otrzymamy \(x-4=0\) i to jest poszukiwane przez nas równanie.

Krok 1. Zapisanie równania prostej.
Równanie prostej możemy opisać wzorem \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. Skoro nasza prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że przecina oś igreków dla \(y=0\). Stąd też płynie wniosek, że współczynnik \(b=0\), zatem równanie naszej prostej możemy zapisać jako \(y=ax\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Podstawiając do równania \(y=ax\) współrzędne punktu \(A\) obliczymy wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$y=ax$$ $$5=a\cdot(-10)$$ $$a=-\frac{5}{10}$$ $$a=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej prostopadłej.
Wiemy już, że nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem druga prosta będzie mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$ $$a=2$$

Teraz jak spojrzymy na odpowiedzi to widzimy, że tylko jedna prosta ma w swoim równaniu współczynnik \(a=2\) i jest to prosta z czwartej odpowiedzi.

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4)$$ $$a=4$$

To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej.
Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą.
$$y=4x+b$$ $$4=4\cdot(-2)+b$$ $$4=-8+b$$ $$b=12$$

Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).

Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\).
$$y=2x+b$$ $$2m+5=2(m-1)+b$$ $$2m+5=2m-2+b$$ $$b=7$$

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(BC\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że proste \(BC\) oraz \(AD\) są względem siebie równoległe. Jeżeli więc wyznaczymy współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (a nie jest to trudne, bo znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\)), to będziemy bardzo blisko odnalezienia równania prostej przechodzącej przez przekątną \(AD\).

Oczywiście możemy wyznaczyć całe równanie prostej \(BC\) (np. z metody układu równań), ale nam wystarczy poznanie współczynnika \(a\) tej prostej, a dokonamy tego za pomocą prostego wzoru:
$$a=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}$$ $$a=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0}$$ $$a=\frac{3}{\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{3\sqrt{3}}{3}$$ $$a=\sqrt{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Wiemy, że prosta \(AD\) jest równoległa do prostej \(BC\), zatem współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej będzie równy \(\sqrt{3}\). Możemy więc powiedzieć, że nasza prosta będzie się wyrażać równaniem \(y=\sqrt{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając współrzędne punktu przez które ta prosta przechodzi, czyli punktu \(A=(-2\sqrt{3},0)\):
$$y=\sqrt{3}x+b$$ $$0=\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{3})+b$$ $$0=-2\cdot3+b$$ $$b=6$$

Skoro współczynnik \(b=6\), to nasza prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=\sqrt{3}x+6\).

Obydwa równania prostych są zapisane w postaci kierunkowej, zatem aby obydwie te proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy (czyli liczbę stojącą przed iksem). W związku z tym:
$$m+2=2m-1$$ $$-m=-3$$ $$m=3$$

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych jest ich punkt przecięcia się (czyli dokładnie to czego szukamy, bo przecież dwusieczna kąta musi przechodzić przez punkt przecięcia się prostych). W związku z tym:
$$\begin{cases} y=x-1 \\ y=-x+1 \end{cases}$$

$$x-1=-x+1$$ $$2x=2$$ $$x=1$$

Znając wartość współrzędnej iksowej możemy obliczyć wartość współrzędnej igrekowej, podstawiając \(x=1\) do jednego z równań:
$$y=1-1$$ $$y=0$$

To oznacza, że poszukiwanym punktem jest \(P=(1;0)\).

Krok 1. Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(m\).
Obie proste są malejące, a to z kolei oznacza że ich współczynniki kierunkowe (\(a\) oraz \(m\)) są ujemne. Iloczyn liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, stąd też \(a\cdot m\gt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynników \(b\) oraz \(n\).
Współczynniki \(b\) oraz \(n\) mówią nam w którym miejscu na osi \(y\) przetną się poszczególne proste. Z wykresów możemy odczytać, że pierwsza przecina oś \(Oy\) w dodatnim miejscu, a druga w miejscu ujemnym. To oznacza, że współczynnik \(b\) jest dodatni, natomiast \(n\) jest ujemny. Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, zatem \(b\cdot n\lt0\).

Podsumowując informacje z pierwszego i drugiego kroku możemy wywnioskować, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Aby dwie proste były względem prostopadłe to ich iloczyn współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma \(a=\frac{2}{m-1}\), druga \(a=m\), zatem:
$$\frac{2}{m-1}\cdot m=-1 \quad\bigg/\cdot(m-1) \quad \text{zał. }x\neq1$$ $$2m=-m+1$$ $$3m=1$$ $$m=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić w ogóle do działania musimy zapisać równanie prostej \(l\) w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Zatem:
$$3x-2y=7$$ $$-2y=-3x+7 \quad\bigg/:(-2)$$ $$y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$$

Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta \(l\) ma ten współczynnik kierunkowy równy \(\frac{3}{2}\) (właśnie po to zapisywaliśmy równanie tej prostej w postaci kierunkowej), zatem druga prosta musi mieć współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{2}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$ $$a=-\frac{2}{3}$$

Taki współczynnik kierunkowy znalazł się jedynie w drugiej odpowiedzi, zatem poszukiwaną przez nas prostą prostopadłą jest \(y=-\frac{2}{3}x+1\).

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2$$ $$2=6a-2$$ $$6a=4$$ $$a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej \(k\).
Na podstawie informacji z zadania możemy określić wzór naszej prostej \(k\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), zatem nasza prosta \(k\) ma na pewno \(a=-3\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;6)\) to wiemy też, że współczynnik \(b=6\). To oznacza, że wzór naszej prostej to:
$$y=-3x+6$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostej \(k\) z osią \(Ox\).
Miejsce przecięcia się z osią \(Ox\) to nic innego jak miejsce zerowe funkcji. Aby więc poznać współrzędne takiego punktu przecięcia wystarczy przyrównać wzór prostej do zera, tak więc:
$$0=-3x+6$$ $$-6=-3x$$ $$x=2$$

Prosta \(k\) przecina się więc z osią \(Ox\) w punkcie o współrzędnych \((2;0)\).

Krok 1. Utworzenie równania z parametrem \(m\).
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). To oznacza, że musi między nimi zajść równanie:
$$m^2=4m-4$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Aby móc rozwiązać to równanie kwadratowe, to najpierw oczywiście musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Następnie możemy skorzystać z metody delty, albo z postaci iloczynowej wynikającej ze wzorów skróconego mnożenia (tak będzie szybciej i tak też właśnie ja to obliczę). Zatem:
$$m^2=4m-4$$ $$m^2-4m+4=0$$ $$(m-2)^2=0$$ $$m-2=0$$ $$m=2$$

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1$$ $$8m^3=-1$$ $$m^3=-\frac{1}{8}$$ $$m=-\frac{1}{2}$$

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases} -12=-43a+b \\ 19=50a+b \end{cases}

Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a$$ $$a=\frac{1}{3}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b$$ $$\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b$$ $$b=\frac{7}{3}$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).
Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3$$ $$x+7=0$$ $$x=-7$$

To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Zatem:
$$2m\cdot4m^2=-1$$ $$8m^3=-1$$ $$m^3=-\frac{1}{8}$$ $$m=-\frac{1}{2}$$

Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0$$ $$(y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0$$ $$(y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0$$ $$-4y-20-12x+36=0$$ $$-4y-12x+16=0$$ $$-4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4)$$ $$y=-3x+4$$

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Jest tylko jedna para, która spełnia taką własność i są to proste \(k\) oraz \(m\).
$$\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$$

Krok 1. Określenie wartości współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(a=-\frac{3}{4}\), natomiast drugiej prostej jest równy \(a=0\) (jest to funkcja stała).

Krok 2. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
\(Odp. A.\): Aby dwie przecinały się pod kątem \(90°\) (czyli aby proste były względem siebie prostopadłe) to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, więc odrzucamy tą odpowiedź.

\(Odp. B.\) oraz \(Odp. D.\): Aby dwie proste były równoległe względem siebie (niezależnie od tego czy się pokrywają czy nie) to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy. Tą odpowiedź także musimy odrzucić, bo u nas współczynniki są różne.

Jedyną odpowiedzią, która nam zostaje jest \(Odp. C\). i faktycznie te dwie proste przetną się pod kątem innym niż \(90°\), co możemy jeszcze zweryfikować na rysunku:

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Aby cokolwiek zacząć liczyć, to musimy najpierw przekształcić podane równanie z postaci ogólnej do postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\), zatem:
$$6x+10y+7=0$$ $$10y=-6x-7$$ $$y=-\frac{6}{10}x-\frac{7}{10}$$ $$y=-\frac{3}{5}x-\frac{7}{10}$$

Krok 2. Określenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{5}\), to znaczy że druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot-\frac{3}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot-\frac{5}{3}$$ $$a=\frac{5}{3}$$

Po przesunięciu wykresu funkcji \(f(x)=3^x\) o \(4\) jednostki w dół otrzymamy funkcję \(y=3^x-4\).

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić do obliczeń musimy na samym początku przekształcić prostą \(l\) do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść igreki na lewą stronę, a po prawej dać całą resztę, zatem:
$$-2x+5y+1=0$$ $$5y=2x-1 \quad\bigg/:5$$ $$y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{2}{5}\), zatem prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2}$$ $$a=-\frac{5}{2}$$

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\).



Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\).
Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\).

Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\).

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m\). Druga ma \(a=1-2m\), zatem:
$$m=1-2m$$ $$3m=1$$ $$m=\frac{1}{3}$$

Z własności figur geometrycznych wiemy, że trapez ma podstawy równoległe względem siebie. Wiemy też, że aby dwie proste opisane wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). W naszym przypadku \(a=2\), więc pasującą odpowiedzią jest tylko i wyłącznie ostatnia prosta.

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku prosta z treści zadania ma \(a=\frac{2}{3}\), więc i prosta do niej równoległa musi mieć tą samą wartość tego współczynnika. W odpowiedziach tylko drugie równanie spełnia warunki naszego założenia i to jest tym samym prawidłowa odpowiedź.

Krok 1. Zapisanie prostych w postaci kierunkowej.
Aby móc w ogóle przystąpić do obliczeń musimy pierwszą prostą doprowadzić do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Przenosimy więc igreki na jedną stronę, całą resztę na drugą, otrzymując:
$$-3y-mx+12=0$$ $$-mx+12=3y \quad\bigg/:3$$ $$y=-\frac{1}{3}mx+4$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości parametru \(m\).
Aby proste były prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{3}m\), druga prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=6\), zatem:
$$-\frac{1}{3}m\cdot6=-1$$ $$-2m=-1$$ $$m=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AC\).
Symetralna dzieli nam odcinek na dwie równe części. Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu \(S\), który jest miejscem przecięcia się symetralnej z odcinkiem \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$x_{S}=\frac{-3+(-1)}{2}$$ $$x_{S}=\frac{-4}{2}$$ $$x_{S}=-2$$ $$\quad$$ $$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$y_{S}=\frac{-2+4}{2}$$ $$y_{S}=\frac{2}{2}$$ $$y_{S}=1$$

Udało nam się w ten sposób wyznaczyć współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(S=(-2;1)\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AC\).
Aby poznać wzór prostej prostopadłej do prostej \(AC\) musimy najpierw poznać równanie prostej \(AC\) lub przynajmniej jej współczynnik \(a\), bo to właśnie ten współczynnik będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń.

Możemy to zrobić tak naprawdę na dwa sposoby - albo układając odpowiedni układ równań, albo korzystając ze wzoru \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\).

Spróbujmy może obliczyć ten współczynnik bardziej popularną metodą układu równań. Aby tego dokonać to do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i ułożyć z nich następujący układ:
$$\begin{cases} -2=-3a+b \\ 4=-1a+b \end{cases}$$

Odejmując równania stronami otrzymamy:
$$-6=-2a$$ $$a=3$$

Współczynnik \(b\) jest nam w tym przypadku niepotrzebny, więc nie musimy go obliczać.

Krok 3. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej symetralnej.
Prosta symetralna jest tak naprawdę prostą prostopadłą do odcinka \(AC\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Wiemy, że nasza prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a=3\), zatem prosta symetralna ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

Krok 4. Ustalenie równania prostej symetralnej.
Musimy jeszcze ustalić równanie prostej symetralnej. Wiemy już, że na pewno \(a=-\frac{1}{3}\), czyli że nasza symetralna przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Do wyznaczenia pozostaje nam zatem współczynnik \(b\). Aby go wyznaczyć, to pod iksa i igreka podstawimy współrzędne punktu, który należy do tej prostej, czyli współrzędne punktu \(S=(-2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$ $$1=-\frac{1}{3}\cdot(-2)+b$$ $$1=\frac{2}{3}+b$$ $$b=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza symetralna przyjmuje postać:
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$$

Na podstawie rysunku spróbujmy określić wzór funkcji w postaci ogólnej \(y=ax+b\), którą następnie odpowiednio przekształcimy, tak aby dopasować się do naszych odpowiedzi.

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Zaczniemy od współczynnika \(b\), który możemy od razu odczytać z wykresu. Współczynnik \(b\) mówi nam w którym miejscu funkcja liniowa przetnie oś \(Oy\). W naszym przypadku funkcja przecina oś \(Oy\) dla \(y=2\), zatem \(b=2\).

Wiemy już, że nasza funkcja ma postać \(y=ax+2\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((4;0)\), czyli dla \(x=4\) funkcja przyjmuje wartość \(y=0\). Podstawmy te współrzędne do wzoru zapisanego w pierwszym kroku i tym samym wyznaczmy wartość współczynnika \(a\):
$$y=ax+2$$ $$0=a\cdot4+2$$ $$4a=-2$$ $$a=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Wskazanie równania prostej.
Nasza prosta przyjmuje wzór \(y=-\frac{1}{2}x+2\), jednak nie mamy takiej odpowiedzi w proponowanych. Musimy więc odpowiednio przekształcić to równanie (przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę), tak aby dopasować się do odpowiedzi:
$$y=-\frac{1}{2}x+2$$ $$\frac{1}{2}x+y-2=0 \quad\bigg/\cdot2$$ $$x+2y-4=0$$

Krok 1. Określenie wartości współczynnika \(a\) prostej równoległej.
Skoro obie proste są względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być taki sam. Prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{2}{5}\), zatem i prosta \(k\) musi mieć identyczny. W naszych odpowiedziach pojawiają się jednak ułamki dziesiętne, zatem zapiszmy, że \(a=-0,4\).

Krok 2. Określenie wartości współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji przecina oś \(Oy\). Widzimy, że funkcja przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;3)\), zatem \(b=3\).

To oznacza, że poszukiwanym równaniem prostej równoległej będzie:
$$y=-0,4x+3$$

Krok 1. Określenie tego, kiedy dwie proste są względem siebie prostopadłe.
Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że:
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

Krok 2. Rozwiązanie otrzymanego równania.
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$ $$-\frac{6}{2m}=-1$$ $$-6=-2m$$ $$2m=6$$ $$m=3$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1$$ $$a=3$$

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu wykres prostej przetnie się z osią \(Oy\). Skoro prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych \((0;0)\), to oznacza, że \(b=0\).

Równanie poszukiwanej prostej prostopadłej to w takim razie: \(y=3x\).

Aby dwie proste były prostopadłe względem siebie to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Musimy więc najpierw poznać współczynnik kierunkowy prostej \(l\), a żeby tego dokonać to musimy równanie tej prostej zapisać w postaci kierunkowej.

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Chcemy zapisać nasze równanie w postaci typu \(y=ax+b\), zatem musimy przenieść igreki na lewą stronę, a na prawą dać całą resztę:
$$2x-9y+6=0$$ $$-9y=-2x-6 \quad\bigg/\cdot(-1)$$ $$9y=2x+6 \quad\bigg/:9$$ $$y=\frac{2}{9}x+\frac{6}{9}$$

Dzięki tej postaci wiemy już, że współczynnik kierunkowy prostej \(l\) wynosi \(a=\frac{2}{9}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Skoro iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), to druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{9}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{2}$$ $$a=-\frac{9}{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy sobie układ współrzędnych i zaznaczmy w nim współrzędne punktów z treści zadania.



Najlepszą metodą na znalezienie współrzędnych punktu \(D\) będzie chyba wyznaczenie najpierw równania prostej \(AB\), później wyznaczenie równania prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\), no i na sam koniec rozwiązanie układu równań złożonego z tych dwóch prostych.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Do wyznaczenia równania prostej przechodzącej przez punkt \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy posłużyć się prostym wzorem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Podstawiając współrzędne punktów \(A=(2,11)\) oraz \(B=(8,23)\) otrzymamy:
$$(y-11)(8-2)-(23-11)(x-2)=0$$ $$(y-11)\cdot6-12\cdot(x-2)=0$$ $$6y-66-12x+24=0$$ $$6y-12x-42=0$$ $$6y=12x+42 \quad\bigg/:6$$ $$y=2x+7$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\), przechodzącej przez punkt \(C\).
Szukamy prostej prostopadłej w postaci \(y=ax+b\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro więc pierwsza prosta ma \(a=2\), to druga musi mieć:
$$a\cdot2=-1$$ $$a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(C=(6;14)\), który przez tą prostą przechodzi. Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{2}x+b$$ $$14=-\frac{1}{2}\cdot6+b$$ $$14=-3+b$$ $$b=17$$

To oznacza, że prosta prostopadła ma wzór \(y=-\frac{1}{2}x+17\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych są współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. W naszym przypadku będą to poszukiwane współrzędne punktu \(D\), zatem:
\begin{cases} y=2x+7 \\ y=-\frac{1}{2}x+17 \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, możemy podstawić wartość \(y=2x+7\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$2x+7=-\frac{1}{2}x+17 \quad\bigg/\cdot2$$ $$4x+14=-x+34$$ $$5x=20$$ $$x=4$$

Podstawiając wartość \(x=4\) do jednego z równań obliczymy drugą współrzędną:
$$y=2\cdot4+7$$ $$y=8+7$$ $$y=15$$

Współrzędne poszukiwanego punktu to w takim razie \(D=(4;15)\).

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Aby móc wskazać równanie prostej równoległej musimy doprowadzić nasze równanie do postaci ogolnej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy tak naprawdę przenieść wartości \(y\) na lewą stronę, a pozostałe wyrazy na prawą. Zatem:
$$3x-6y+7=0$$ $$-6y=-3x-7$$ $$6y=3x+7$$ $$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{6}$$

Krok 2. Określenie wzoru prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczną wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\), więc prawidłowa jest tylko i wyłącznie pierwsza odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=1\) (bo przed \(x\) nie ma żadnej wartości, więc domyślnie jest \(1\)), to druga prosta musi mieć:
$$a\cdot1=-1$$ $$a=-1$$

W tym momencie już wiemy, że szukamy prostej o wzorze \(y=-x+b\), co od razu oznacza, że odpowiedzi \(A\) i \(C\) są na pewno błędne.

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią \(Oy\). Nasz punkt \(A=(0;5)\) leży właśnie na osi \(Oy\) i to właśnie na jego podstawie jesteśmy w stanie określić, że \(b=5\).

To oznacza, że poszukiwaną prostą jest ta o wzorze \(y=-x+5\).

Aby prosta była prostopadła do tej której równanie jest podane w treści zadania, to iloczyn współczynników kierunkowych obydwu tych prostych musi być równy \(-1\). Nasza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć ten współczynnik równy:
$$\frac{1}{2}\cdot a=-1$$ $$a=-2$$

Tylko prosta z pierwszej odpowiedzi posiada taki współczynnik kierunkowy, zatem to ona jest poszukiwaną odpowiedzią.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Na początek przekształćmy to równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci \(y=ax+b\):
$$-3x+y-4=0$$ $$y=3x+4$$

Krok 2. Ustalenie postaci prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. W naszym przypadku \(a=3\), zatem i nasza prosta równoległa musi mieć taki współczynnik, a to oznacza, że możemy ją opisać wzorem \(y=3x+b\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Teraz naszym celem jest poznanie współczynnika \(b\), a w tym celu do równania \(y=3x+b\) podstawimy współrzędne punktu \(P=(-1,-4)\), otrzymując:
$$-4=3\cdot(-1)+b$$ $$-4=-3+b$$ $$b=-1$$

Krok 4. Zapisanie równania prostej równoległej.
Znamy już wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) więc możemy zapisać, że nasza prosta równoległa przyjmuje wzór \(y=3x-1\).

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe to warunkiem koniecznym jest to, aby miały one identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przykładzie prosta \(k\) ma współczynnik \(a=2\), więc prosta \(l\) musi mieć dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy, dlatego będzie ona na pewno opisana wzorem \(y=2x+b\). Dzięki temu już na \(100\%\) wiemy, że pod uwagę bierzemy już tylko drugą i trzecią odpowiedź.

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Teraz musimy ustalić jaka jest brakująca wartość współczynnika \(b\). Do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy współrzędne naszego punktu \(D=(-2,1)\), czyli \(x=-2\) oraz \(y=1\), dzięki czemu poznamy wartość współczynnika \(b\).
$$y=2x+b$$ $$1=2\cdot(-2)+b$$ $$1=-4+b$$ $$b=5$$

Krok 3. Zapisanie wzoru poszukiwanej prostej.
Skoro \(a=2\) oraz \(b=5\), to prosta \(l\) ma postać \(y=2x+5\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) to prosta do niej prostopadła będzie miała:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1$$ $$a=4$$

Taki współczynnik znalazł się tylko w trzeciej odpowiedzi, stąd też poszukiwanym równaniem prostej było \(y=4x-1\).

Krok 1. Sprawdzenie, czy te proste są równoległe.
Aby proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe \(a\) (czyli liczba stojąca przed wartością \(x\)) muszą być identyczne. W naszym przypadku w pierwszym równaniu współczynnik \(a=2\), a w drugim \(a=-\frac{1}{3}\). W związku z tym proste te na pewno nie są równoległe, ani tym bardziej się nie pokrywają.

Krok 2. Sprawdzenie, czy te proste są prostopadłe.
Aby proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\). To z kolei wyklucza informację o tym, że mogłyby to być proste prostopadłe.

W związku z powyższymi krokami wykluczyliśmy odpowiedzi \(A\), \(B\) oraz \(D\). Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź \(C\), bo te proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Musimy przekształcić nasze równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy po prostu poprzenosić odpowiednio poszczególne wyrazy:
$$4x-2y+1=0$$ $$4x+1=2y \quad\bigg/:2$$ $$y=2x+\frac{1}{2}$$

Krok 2. Określenie współczynnika kierunkowego prostej równoległej.
Jeżeli prosta ma być równoległa, to znaczy że musi mieć identyczny współczynnik kierunkowy (czyli liczbę znajdującą się przed iksem). W naszym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy \(a=2\), zatem prosta równoległa także musi mieć \(a=2\).

Krok 1. Sprawdzenie, czy te proste są równoległe.
Aby proste były równoległe to ich współczynniki kierunkowe \(a\) (czyli liczba stojąca przed wartością \(x\)) muszą być identyczne. W naszym przypadku w pierwszym równaniu współczynnik \(a=2\), a w drugim \(a=-\frac{1}{3}\). W związku z tym proste te na pewno nie są równoległe, ani tym bardziej się nie pokrywają.

Krok 2. Sprawdzenie, czy te proste są prostopadłe.
Aby proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\). To z kolei wyklucza informację o tym, że mogłyby to być proste prostopadłe.

W związku z powyższymi krokami wykluczyliśmy odpowiedzi \(A\), \(B\) oraz \(D\). Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź \(C\), bo te proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć współczynniki kierunkowe (czyli współczynniki \(a\)). Stąd też wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej opisanej w zadaniu będzie równy \(a=-3\).

Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(3\), zatem poszukiwana przez nas prosta prostopadła musi mieć:
$$a\cdot3=-1$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

Taki współczynnik znajduje się tylko w pierwszej odpowiedzi, więc to jest poszukiwany przez nas wzór.

Do równania z treści zadania musimy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\) i rozwiązać powstałe równanie:
$$y=-4x+(2m-7)$$ $$-1=-4\cdot2+(2m-7)$$ $$-1=-8+2m-7$$ $$-1=-15+2m$$ $$2m=14$$ $$m=7$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na początku dobrze jest zaznaczyć sobie w układzie współrzędnych punkty \(A\) oraz \(C\), a także prostą na której znajdą się brakujące punkty \(B\) oraz \(D\). I tu pierwsze bardzo ważne spostrzeżenie - przekątne kwadratu przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a więc nasza prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(S\), który jest środkiem odcinka \(AC\).



Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(S\).
Skorzystamy ze wzorów, które dostępne są w tablicach matematycznych:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$ $$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6$$ $$S=(4;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej \(AC\).
Nasz plan działania jest dość prosty. Wyznaczymy sobie wzór prostej \(AC\), a następnie wzór prostej prostopadłej, która będzie przechodzić przez punkt \(S\). To właśnie ta prosta prostopadła jest przez nas poszukiwana. Prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=ax+b\), więc możemy podstawić pod ten wzór najpierw współrzędne punktu \(A\), następnie punktu \(C\) i w ten sposób stworzymy prosty układ równań:
\begin{cases} 5=2a+b \\ 7=6a+b \end{cases}

Możemy zastosować tu metodę podstawiania, przyjmując z pierwszego równania \(b=5-2a\), jednak znacznie prościej i szybciej będzie po prostu odjąć to równanie stronami. Otrzymamy wtedy:
$$-2=-4a \quad\bigg/:(-4)$$ $$a=\frac{1}{2}$$

Możemy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) tej prostej, choć nie będzie nam on już potrzebny do dalszych obliczeń. Podstawiamy obliczoną przed chwilą wartość współczynnika \(a\) do wybranego równania, otrzymując:
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b$$ $$5=1+b$$ $$b=4$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\) to \(y=\frac{1}{2}+4\).

Krok 4. Wyznaczenie wzoru prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie na pewno prostopadła do prostej \(AC\) oraz będzie przechodzić przez punkt \(S\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\) to druga musi mieć:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1$$ $$a=-2$$

Wiemy już, że prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze tylko współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając współrzędne punktu \(S\), przez który musi ta prosta przechodzić, stąd też:
$$6=-2\cdot4+b$$ $$6=-8+b$$ $$b=14$$

Wzór prostej \(BD\) to w takim razie \(y=-2x+14\).

Aby sprawdzić jaki parametr \(m\) ma nasza prosta wystarczy podstawić do jej równania współrzędne punktu \(A\), czyli podstawić \(x=2\) oraz \(y=-4\).
$$y=mx+6$$ $$-4=m\cdot2+6$$ $$-10=2m$$ $$m=-5$$

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Wzór na równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) ma postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Spróbujmy przekształcić nasze równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci jak powyżej. Możemy to zrobić w następujący sposób:
$$x^2-4x+y^2-2y-4=0$$ $$(x-2)^2-4+(y-1)^2-1-4=0$$ $$(x-2)^2+(y-1)^2-9=0$$ $$(x-2)^2+(y-1)^2=9$$

Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu oraz długości promienia.
Z otrzymanej przed chwilą postaci po przyrównaniu poszczególnych liczb do wzoru na równanie okręgu możemy odczytać, że środek okręgu ma współrzędne \(S=(2;1)\), natomiast promień będzie równy \(r=3\) (bo \(r^2=9)\).

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie rozwiązania.
Na podstawie wyznaczonych informacji stwórzmy prosty rysunek pomocniczy, który pozwoli nam odczytać rozwiązanie zadania.



Z rysunku wynika, że proste styczne do okręgu (które są jednocześnie równoległe do osi \(OY\)) to proste \(x=-1\) oraz \(x=5\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy zwizualizować sobie jak ten czworokąt będzie wyglądać i gdzie będzie miał punkt przeciecia się przekątnych:



Z pomocą tego rysunku możemy określić plan postępowania: musimy wyznaczyć równania prostych \(AC\) oraz \(BD\), a następnie z równań tych prostych ułożyć układ równań, którego wynikiem będą współrzędne poszukiwanego punktu przecięcia.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wyznaczmy równanie prostej \(AC\), czyli prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(C\), czyli przez które tworzą jedną z przekątnych czworokąta. Możemy to zrobić za pomocą wzoru z tablic, czyli:
$$(y-y_{A})(x_{C}-x_{A})-(y_{C}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Do tego wzoru wystarczy tylko podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i otrzymamy poszukiwany wzór. Istnieje też drugi sposób na wyznaczenie równania prostej, który jest nieco szybszy i właśnie z niego tutaj skorzystamy. Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
$$\begin{cases} 4=-2a+b \\ -3=5a+b \end{cases}$$

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$7=-7a$$ $$a=-1$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić tę wartość do jednego z równań, wyznaczając tym samym współczynnik \(b\):
$$4=-2a+b$$ $$4=-2\cdot(-1)+b$$ $$4=2+b$$ $$b=2$$

To oznacza, że nasza prosta \(AC\) przyjmuje postać \(y=-1x+2\), czyli \(y=-x+2\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Postępujemy analogicznie jak w przypadku prostej \(AC\), podstawiając tym razem współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\):
$$\begin{cases} -2=-2a+b \\ 4=1a+b \end{cases}$$

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-6=-3a$$ $$a=2$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić tę wartość do jednego z równań, wyznaczając tym samym współczynnik \(b\):
$$-2=-2a+b$$ $$-2=-2\cdot2+b$$ $$-2=-4+b$$ $$b=2$$

To oznacza, że nasza prosta \(BD\) przyjmuje postać \(y=2x+2\).

Krok 4. Wyznaczenie miejsca przecięcia się przekątnych.
Rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne punktu ich przecięcia (czyli dokładnie to czego szukamy). W związku z tym musimy stworzyć układ równań z dwóch równań prostych wyznaczonych przed chwilą i sprawdzić jakie współrzędne otrzymamy:
$$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=2x+2 \end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-x+2=2x+2$$ $$-3x=0$$ $$x=0$$

Znając iksa możemy teraz obliczyć igreka, podstawiając \(x=0\) do jednego z równań:
$$y=-x+2$$ $$y=-0+2$$ $$y=2$$

To oznacza, że współrzędne punktu przecięcia się przekątnych są równe \((0;2)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy zobrazować tą sytuację, zaznaczając poszczególne punkty w układzie współrzędnych.



Ustalmy teraz co musimy obliczyć. Chcemy przede wszystkim wyznaczyć współrzędne punktu \(D\). Jednak żeby to zrobić, to musimy najpierw wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AB\), a następnie musimy znaleźć prostą prostopadłą do tej prostej, która przechodzi przez punkt \(C\). Punkt \(D\) będzie miejscem przecięcia się tych dwóch prostych. Na sam koniec musimy jeszcze wyznaczyć prostą równoległą do boku \(BC\), która przejdzie przez punkt \(D\). No to po kolei:

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Możemy albo skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez punkty \(AB\), albo ułożyć i rozwiązać układ równań w którym do wzoru ogólnego \(y=ax+b\) podstawimy raz współrzędne punktu \(A\), a drugi raz współrzędne punktu \(B\).
\begin{cases} 2=2a+b \\ 5=9a+b \end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-3=-7a$$ $$a=\frac{3}{7}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy z dowolnego równania wyznaczyć także współczynnik \(b\):
$$2=2\cdot\frac{3}{7}+b$$ $$2=\frac{6}{7}+b$$ $$b=\frac{8}{7}$$

To oznacza, że prosta \(AB\) jest opisana równaniem \(y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Skoro prosta \(CD\) jest ma być prostopadła do prostej \(AB\), a to znaczy że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{7}\), to prosta \(CD\) ma współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{7}=-1$$ $$a=-\frac{7}{3}$$

Wiemy już, że nasza prosta musi się wyrażać wzorem \(y=-\frac{7}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), ale skoro prosta przechodzi przez punkt \(C\) o znanych nam współrzędnych, to podstawiając te współrzędne do wzoru bez problemu obliczymy brakujący współczynnik:
$$y=-\frac{7}{3}x+b$$ $$9=-\frac{7}{3}\cdot3+b$$ $$9=-7+b$$ $$b=16$$

To oznacza, że prosta \(CD\) jest opisana równaniem \(y=-\frac{7}{3}x+16\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Zgodnie z geometryczną interpretacją układu równań, rozwiązanie układu równań dwóch prostych da wynik będący miejscem przecięcia się tych prostych, czyli w naszym przypadku otrzymamy współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases} y=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7} \\ y=-\frac{7}{3}x+16 \end{cases}

Podstawiając wartość \(y\) z pierwszej funkcji do drugiej otrzymamy:
$$\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}=-\frac{7}{3}x+16 \quad\bigg/\cdot21$$ $$9x+24=-49x+336$$ $$58x=312$$ $$x=\frac{312}{58}=\frac{156}{29}$$

Podstawiajac wartość \(x=\frac{156}{29}\) do dowolnego z równań zapisanego wcześniej układu (do drugiego będzie chyba łatwiej, bo tam mamy tylko jeden ułamek) wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$y=-\frac{7}{3}\cdot\frac{156}{29}+16$$ $$y=-\frac{1092}{87}+16$$ $$y=-\frac{364}{29}+16$$ $$y=-\frac{364}{29}+\frac{464}{29}$$ $$y=\frac{100}{29}$$

Zatem \(D=\left(\frac{156}{29};\frac{100}{29}\right)\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Zanim wyznaczymy prostą równoległą do prostej \(BC\), to musimy poznać równanie tej prostej \(BC\). Wyznaczymy je dokładnie w ten sam sposób co równanie prostej \(AB\) z kroku drugiego.
\begin{cases} 5=9a+b \\ 9=3a+b \end{cases}

Odejmujemy równanie stronami i otrzymujemy:
$$-4=6a$$ $$a=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$$

I w zasadzie tyle nam wystarczy, nie potrzebujemy już obliczać współczynnika \(b\). Wystarczy nam sam współczynnik \(a\) bo to właśnie on jest potrzebny do wyznaczenia prostej równoległej.

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej równoległej przechodzącej przez punkt \(D\).
I to jest już ostatnia rzecz którą musimy zrobić - czyli wyznaczyć wzór prostej równoległej do \(BC\), która przechodzi przez punkt \(D\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik \(a\). My w poprzednim punkcie ten współczynnik sobie wyznaczyliśmy, zatem wiemy już, że ta poszukiwana prosta równoległa będzie opisana wzorem:
$$y=-\frac{2}{3}x+b$$

Brakuje nam współczynnika \(b\), ale bez problemu go wyznaczymy podstawiając do tej prostej współrzędne punktu \(D\), które wyliczyliśmy w czwartym kroku, zatem:
$$\frac{100}{29}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{156}{29}+b$$ $$\frac{100}{29}=-\frac{312}{87}+b$$ $$\frac{100}{29}=-\frac{104}{29}+b$$ $$b=\frac{204}{29}$$

Szukana prosta równoległa ma więc równanie: \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{204}{29}\).