Pole powierzchni i objętość brył

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z własności brył podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa brył jest równa \(k\), to bryła podobna ma \(k^3\) razy większą objętość. Widzimy, że drugi prostopadłościan ma objętość \(27\) razy większą od pierwszego, zatem:
$$k^3=27$$ $$k=3$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku \(k=3\), więc pole powierzchni będzie \(k^2=3^2=9\) razy większe.

To oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe \(9P\), ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał kwadrat. Oznaczmy zatem krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(b\). Dodatkowo możemy zapisać, że przekątna podstawy ma długość \(a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna podstawy o boku \(a\)), a przekątna ściany bocznej będzie pięciokrotnie dłuższa, czyli będzie miała długość \(5a\sqrt{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie stosunku długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny, który powstał nam na ścianie bocznej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+b^2=(5a\sqrt{2})^2$$ $$a^2+b^2=25\cdot a^2\cdot 2$$ $$a^2+b^2=50a^2$$ $$b^2=49a^2$$ $$b=\sqrt{49a^2} \quad\lor\quad b=-\sqrt{49a^2}$$ $$b=7a \quad\lor\quad b=-7a$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W takim razie zostaje nam wynik \(b=7a\), który informuje nas, że krawędź boczna jest \(7\) razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(3n\) krawędzi oraz \(n+2\) ścian. Skoro stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7:3\), to:
$$3\cdot3n=7(n+2)$$ $$9n=7n+14$$ $$2n=14$$ $$n=7$$

To oznacza, że podstawą tego graniastosłupa jest siedmiokąt.

Krok 1. Obliczenie długości boków podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(BCD\), w którym znamy długość przeciwprostokątnej. Jeśli długość boku \(BC\) oznaczymy jako \(x\), to zgodnie z treścią zadania bok \(CD\) będzie mieć długość \(x+3\).


Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(x+3)^2=15^2$$ $$x^2+x^2+6x+9=225$$ $$2x^2+6x=216$$ $$2x^2+6x-216=0$$ $$x^2+3x-108=0$$

Tak na marginesie, nie ma konieczności dzielenia całego równania przez \(2\) (tak jak ja to zrobiłem na samym końcu), ale dzięki temu później będziemy mieć mniejsze liczby.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc rozwiążemy je przy pomocy delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=-108\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-108)=9-(-432)=441$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{441}=21$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-21}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+21}{2\cdot1}=\frac{18}{2}=9$$

Krok 3. Obliczenie długości \(BC\) oraz \(CD\).
Wyszło nam, że rozwiązaniem równania jest \(x=-12\) oraz \(x=9\), ale oczywiście ujemny wynik musimy odrzucić, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam \(x=9\), czyli tym samym (zgodnie z oznaczeniami) \(|BC|=9\) oraz \(|CD|=9+3=12\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(DCG\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długość dolnej przyprostokątnej \(|CD|=9+3=12\) i znamy miarę kąta ostrego \(|\sphericalangle CDG|=60°\). Chcąc obliczyć wysokość graniastosłupa (czyli bok \(CG\)) możemy więc wykorzystać funkcje trygonometryczne, a konkretnie tangensa:
$$tg60°=\frac{H}{12}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{12}$$ $$H=12\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie miary krawędzi graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej stanowią dwa prostokąty o wymiarach \(9\times12\sqrt{3}\) i dwa prostokąty o wymiarach \(12\times12\sqrt{3}\), zatem:
$$P_{b}=2\cdot9\cdot12\sqrt{3}+2\cdot12\cdot12\sqrt{3}$$ $$P_{b}=216\sqrt{3}+288\sqrt{3}$$ $$P_{b}=504\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Celem zadania jest także obliczenie objętości, zatem:
$$V=9\cdot12\cdot12\sqrt{3}$$ $$V=1296\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\) (wiemy, że jest to kwadrat, bo graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). Z własności kwadratów wynika, że przekątna ma długość \(d=a\sqrt{2}\), zatem:
$$d=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$ $$d=2\cdot2$$ $$d=4$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, zatem jego przekątne przecinają się w połowie swojej długości. Skoro przecinają się w dodatku pod kątem prostym, to będziemy mieć taką oto sytuację:


Zaznaczony na rysunku trójkąt jest równoramienny, a skoro jest on jeszcze prostokątny, to będzie to na pewno trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty zaznaczone na niebiesko i zielono są tak naprawdę trójkątami przystającymi (obydwa mają jednakowe długości przyprostokątnych i miarę kąta między nimi). Skoro tak, to wysokość graniastosłupa będzie taka sama jak długość przekątnej podstawy, czyli \(H=4\).

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znając wszystkie miary, możemy już bez problemu przystąpić do liczenia objętości:
$$V=2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot4$$ $$V=4\cdot2\cdot4$$ $$V=32$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, iż trójkąt \(PCH\) jest prostokątny. Skoro tak, to pomoże nam tutaj Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu ma długość \(a\), to \(|PC|=\frac{1}{2}a\) natomiast \(|CH|=a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna kwadratu o boku \(a\)). W treści zadania mamy jeszcze podaną długość \(|HP|=4\) (która jest przeciwprostokątną naszego trójkąta), zatem:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+(a\sqrt{2})^2=4^2$$ $$\frac{1}{4}a^2+2a^2=16$$ $$\frac{9}{4}a^2=16 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$ $$a^2=\frac{64}{9}$$ $$a=\sqrt{\frac{64}{9}} \quad\lor\quad a=-\sqrt{\frac{64}{9}}$$ $$a=\frac{8}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{8}{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3$$ $$V=\left(\frac{8}{3}\right)^3$$ $$V=\frac{512}{27}=18\frac{26}{27}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że w podstawie mamy trójkąt równoboczny, a ostrosłup wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Skoro w podstawie mamy trójkąt równoboczny, to jego wysokość obliczymy korzystając ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru \(a=10\sqrt{3}\), otrzymamy:
$$h_{p}=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=\frac{10\cdot3}{2}$$ $$h_{p}=\frac{30}{2}$$ $$h_{p}=15$$

Tym samym odcinek o długości \(\frac{2}{3}h_{p}\) będzie miał długość \(\frac{2}{3}\cdot15=10\).

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz kluczowy trójkąt prostokątny, który tworzą odcinek o długości \(\frac{2}{3}h\), wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. Znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$10^2+H^2=15^2$$ $$100+H^2=225$$ $$H^2=125$$ $$H=\sqrt{125} \quad\lor\quad H=-\sqrt{125}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość ostrosłupa musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{125}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}\).

Krok 1. Wyznaczenie figury, która znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie mieć \(3n\) krawędzi. Skoro nasz graniastosłup ma \(42\) krawędzie, to:
$$3n=42$$ $$n=14$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa jest czternastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie mieć \(2n\) wierzchołków. Skoro \(n=14\), to liczba wierzchołków będzie równa:
$$2\cdot14=28$$

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Każda ściana tej bryły będzie więc mieć pole powierzchni równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P=\frac{64\sqrt{3}}{4}$$ $$P=16\sqrt{3}$$

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma cztery ściany (podstawa plus trzy ściany boczne), zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot16\sqrt{3}$$ $$P_{c}=64\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni sześciokąta.
Na początek obliczmy pole powierzchni sześciokąta, który znajduje się w dolnej i górnej podstawie naszej bryły. Z własności sześciokątów wynika, że jego pole będzie równe polu sześciu małych trójkątów równobocznych o boku \(2\), zatem:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=6\cdot\frac{4\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=6\sqrt{3}$$



Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwie podstawy (których pole policzyliśmy przed chwilą) oraz sześć kwadratowych ścian o boku \(2\). Skoro tak, to:
$$P_{c}=2P_{p}+6P_{b}$$ $$P_{c}=2\cdot6\sqrt{3}+6\cdot2\cdot2$$ $$P_{c}=12\sqrt{3}+24$$

To oznacza, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(24+12\sqrt{3}\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Ze wzorów wynika, że przekątną sześcianu możemy opisać wzorem:
$$d=a\sqrt{3}$$

Skoro przekątna ma długość \(6\), to:
$$a\sqrt{3}=6$$ $$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$ $$a=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$ $$V=(2\sqrt{3})^3$$ $$V=8\cdot3\sqrt{3}$$ $$V=24\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$ $$a=5$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu wyjdzie nam, że:
$$V=a^3$$ $$V=5^3$$ $$V=125$$

Krok 1. Obliczenie pól podstaw obu ostrosłupów.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w swojej podstawie trójkąt równoboczny. Wzór na pole takiego trójkąta to \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

Z treści zadania wynika, że krawędź podstawy ostrosłupa \(O_{1}\) (czyli krawędź trójkąta równobocznego) ma długość \(3a\), natomiast ostrosłupa \(O_{2}\) ma długość \(a\). Skoro tak, to pola podstaw tych ostrosłupów będą równe:
$$P_{p1}=\frac{(3a)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Zapisanie objętości ostrosłupów.
Korzystając ze wzoru na objętość \(V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H\) możemy zapisać, że:
$$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$ $$V_{1}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$

$$V_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$ $$V_{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$

Krok 3. Obliczenie stosunku objętości.
Interesuje nas stosunek objętości ostrosłupa \(O_{1}\) do objętości ostrosłupa \(O_{2}\). Porównując obliczone przed chwilą objętości widzimy wyraźnie, że \(V_{1}\) jest \(9\) razy większe od \(V_{2}\) (to przez tą dziewiątkę, która stoi przed \(a^2\)), stąd też stosunek objętości na pewno wynosi \(9:1\). Gdybyśmy nie byli tego pewni, to zawsze możemy rozpisać to w ten sposób:
$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}{\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}:\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{12}{a^2\sqrt{3}}=\frac{9}{1}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację, zaznaczając odpowiednie miary na graniastosłupie:


Kluczową obserwacją jest dostrzeżenie, że tak naprawdę długość przekątnej podstawy jest równa wysokości graniastosłupa. Skąd to wiemy? Zaznaczony na rysunku trójkąt to charakterystyczny trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) a więc trójkąt równoramienny.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
W podstawie mamy kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że ich przekątną można obliczyć ze wzoru \(d=a\sqrt{2}\). Skoro krawędź podstawy ma długość \(a=\sqrt{8}\), to:
$$d=a\sqrt{2}$$ $$d=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}$$ $$d=\sqrt{16}$$ $$d=4$$

Tym samym, zgodnie z informacją omówioną w kroku pierwszym, możemy zapisać, że także \(H=4\).

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Obliczenie objętości jest już tylko formalnością:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\cdot4$$ $$V=8\cdot4$$ $$V=32$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie prostopadłościan i zastanówmy się, co tak naprawdę wynika z treści zadania:


Nie jest istotne jakimi symbolami opiszemy te ściany. Ważne jest to, że powstaną nam tak naprawdę trzy różne prostokąty, których pola zapisane są w treści zadania. Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy ułożyć trzy następujące równania, które stworzą nam tym samym układ równań:
\begin{cases} a\cdot b=18 \\ b\cdot c=36 \\ a\cdot c=72 \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie układu równań. Jest wiele dróg na dojście do wyniku, ale najprościej będzie chyba przekształcić pierwsze i drugie równanie w taki sposób:
\begin{cases} a=\frac{18}{b} \\ c=\frac{36}{b} \\ a\cdot c=72 \end{cases}

Podstawmy teraz do trzeciego równania to, co otrzymaliśmy w równaniu pierwszym i drugim:
$$\frac{18}{b}\cdot\frac{36}{b}=72$$ $$\frac{648}{b^2}=72$$ $$72b^2=648$$ $$b^2=9$$ $$b=3 \quad\lor\quad b=-3$$

Oczywiście ujemną długość musimy odrzucić, więc zostaje nam \(b=3\). Teraz korzystając z odpowiednich równań z układu, możemy dojść do brakujących długości \(a\) oraz \(c\):
$$a\cdot b=18$$ $$a\cdot3=18$$ $$a=6$$

$$b\cdot c=36$$ $$3\cdot c=36$$ $$c=12$$

Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając wszystkie długości boków prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=6\cdot3\cdot12$$ $$V=216$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek kluczowe informacje, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(OD\).
Wysokość ostrosłupa \(SO\) dzieli nam wysokość podstawy na dwie równe części (tak wynika wprost z zadania). Każda z tych części ma długość \(\frac{1}{2}h_{p}\). Skoro tak, to odcinek \(OD\) będzie mieć długość:
$$|OD|=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}$$ $$|OD|=\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCS\).
Trójkąt \(BCS\) jest także trójkątem równobocznym o boku \(a=4\) (wynika to z zadania). Jego wysokość obliczymy więc dokładnie tak samo, jak wysokość \(h_{p}\), zatem:
$$h_{b}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{b}=\frac{4\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{b}=2\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spoglądamy teraz na kluczowy trójkąt prostokątny \(SOD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć wysokość ostrosłupa:
$$(\sqrt{3})^2+H^2=(2\sqrt{3})^2$$ $$3+H^2=4\cdot3$$ $$3+H^2=12$$ $$H^2=9$$ $$H=3 \quad\lor\quad H=-3$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=3\).

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=4\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=4\sqrt{3}$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy, że \(P_{p}=4\sqrt{3}\). Wysokość ostrosłupa też już znamy, bowiem \(H=3\). Możemy zatem przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot3$$ $$V=4\sqrt{3}$$

Krok 8. Obliczenie długości krawędzi \(AS\).
Spoglądamy tym razem na trójkąt prostokątny \(AOS\). Odcinek \(AO\) będzie taki sam jak \(OD\), czyli ma długość \(|AS|=\sqrt{3}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=3\), zatem ponownie możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że:
$$(\sqrt{3})^2+3^2=|AS|^2$$ $$3+9=|AS|^2$$ $$|AS|^2=12$$ $$|AS|=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$$

Krok 9. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABS\) (oraz \(ACS\)).
Trójkąt \(ABS\) jest trójkątem równoramiennym (takim obróconym), w którym podstawa \(|AS|=2\sqrt{3}\), a ramiona \(|AB|=4\) oraz \(|BS|=4\).


Musimy poznać pole tego trójkąta, a do tego potrzebujemy wysokości. Wiemy, że w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części (patrz rysunek), tworząc nam tym samym kolejne trójkąty prostokątne. Ponownie z pomocą przyjdzie nam więc Twierdzenie Pitagorasa:
$$(\sqrt{3})^2+h^2=4^2$$ $$3+h^2=16$$ $$h=\sqrt{13}$$

To oznacza, że pole trójkąta \(ABS\) będzie równe:
$$P_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}$$ $$P_{ABS}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}$$ $$P_{ABS}=\sqrt{39}$$

Analogiczna sytuacja jest w trójkącie \(ACS\) (tutaj także mamy podstawę \(|AS|=2\sqrt{3}\) oraz ramiona \(|AC|=4\) oraz \(|CS|=4\)), zatem także \(P_{ACS}=\sqrt{39}\).

Krok 10. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Podsumowując - nasz trójkąt składa się z dwóch trójkątów równobocznych o polu \(4\sqrt{3}\) (wyliczyliśmy to w szóstym kroku) oraz dwóch trójkątów o polu \(\sqrt{39}\) (wyliczyliśmy to w dziewiątym kroku). Skoro tak, to pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\sqrt{39}+\sqrt{39}=8\sqrt{3}+2\sqrt{39}$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi. Skoro suma ich długości wynosi \(72\), to każda krawędź ma:
$$12a=72$$ $$a=6$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$ $$V=6^3$$ $$V=216$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli pierwszą krawędź oznaczymy sobie jako \(a\), to druga zgodnie z treścią zadania będzie dwa razy większa, czyli \(b=2a\), a kolejna będzie jeszcze dwa razy większa, czyli \(c=4a\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Objętość naszej bryły jest równa \(216\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c$$ $$216=a\cdot2a\cdot4a$$ $$216=8a^3$$ $$a^3=27$$ $$a=3$$

Skoro \(a=3\), to zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami \(b=2\cdot3=6\) oraz \(c=4\cdot3=12\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$ $$P_{c}=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot12+2\cdot6\cdot12$$ $$P_{c}=36+72+144$$ $$P_{c}=252$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Z tabelki trygonometrycznej musimy odczytać jaką miarę przyjmuje kąt dla sinusa równego \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Spoglądając do tak zwanej małej tabelki widzimy, że będzie to miara \(45°\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nasz graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Zwróć uwagę, że powstał nam trójkąt równoramienny, w którym wysokość \(H\) będzie miała taką samą długość jak przekątna podstawy \(b\). Z własności kwadratów wiemy, że \(b=a\sqrt{2}\), zatem \(H=a\sqrt{2}\). Dodatkowo przekątna graniastosłupa \(d\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większa od przekątnej podstawy \(b\), czyli \(d=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\).

Krok 3. Zapisanie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa to w tym przypadku:
$$V=a^2\cdot H$$ $$V=a^2\cdot a\sqrt{2}$$ $$V=a^3\cdot\sqrt{2}$$

Chcąc dopasować się do odpowiedzi, musimy jeszcze nasz wynik przekształcić. Wiedząc, że \(d=2a\), czyli że \(a=\frac{1}{2}\), otrzymamy:
$$V=\left(\frac{1}{2}d\right)^3\cdot\sqrt{2}$$ $$V=\frac{1}{8}d^3\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}d^3$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako:
I krawędź: \(2n+1\)
II krawędź: \(2n+3\)
III krawędź: \(2n+5\)

W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to:
$$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60$$ $$4\cdot(6n+9)=60$$ $$24n+36=60$$ $$24n=24$$ $$n=1$$

Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy:
To oznacza, że:
I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\)
II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\)
III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\)

Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc$$ $$V=3\cdot5\cdot7$$ $$V=105$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc)$$ $$P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7)$$ $$P_{c}=2\cdot(15+21+35)$$ $$P_{c}=2\cdot71$$ $$P_{c}=142$$

Krok 1. Ustalenie jaka figura jest w podstawie graniastosłupa.
Aby móc obliczyć pole powierzchni bocznej, musimy na wstępie określić z jakim w ogóle graniastosłupem mamy do czynienia (czyli co znajduje się w jego podstawie). Ta informacja jest dla nas kluczowa, bowiem póki co, nie wiemy ile ścian bocznych ma nasza bryła. Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(3n\) krawędzi. Skoro tych krawędzi mamy mieć \(36\), to:
$$3n=36$$ $$n=12$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się dwunastokąt.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Jeżeli w podstawie mamy dwunastokąt, to wiemy już, że będziemy mieć \(12\) ścian bocznych. Z treści zadania wynika, że każda z tych ścian to tak naprawdę kwadrat o boku \(4\), zatem:
$$P_{b}=12\cdot 4^2$$ $$P_{b}=12\cdot16$$ $$P_{b}=192$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Na podstawie tych danych, musimy teraz obliczyć pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej tworzy \(6\) trójkątów o podstawie \(x\) i wysokości \(2x\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P_{b}=6\cdot\frac{1}{2}\cdot x\cdot2x$$ $$P_{b}=6x^2$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Korzystając ze wzoru na pole sześciokąta możemy zapisać, że:
$$P_{p}=6\cdot\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2$$

Krok 4. Obliczenie stosunku pól powierzchni.
Na sam koniec musimy obliczyć stosunek tych dwóch pól, czyli podzielić pole powierzchni bocznej przez pole podstawy:
$$\frac{P_{b}}{P_{p}}=\frac{6x^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}=\frac{6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=6:\frac{3\sqrt{3}}{2}=6\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale musimy jeszcze wyłączyć niewymierność z mianownika, zatem:
$$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków.
Ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków.

Z treści zadania wynika, że liczba wierzchołków graniastosłupa jest o \(9\) większa, zatem:
$$W_{graniastosłupa}=W_{ostrosłupa}+9$$ $$2n=n+1+9$$ $$2n=n+10$$ $$n=10$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się dziesięciokąt.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian. Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(12\), to pole takiej pojedynczej ściany będzie równe:
$$P=12:6$$ $$P=2$$

Wiemy, że każda taka ściana sześcianu jest kwadratem, zatem korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2$$ $$2=a^2$$ $$a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{2}\).

Krok 2. Obliczenie sumy długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi, zatem suma ich długości będzie równa \(12\sqrt{2}\).

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do ostrosłupa tworzą boki \(SA\) oraz \(AO\), zatem poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle SAO\).

Krok 1. Ustalenie jaki wielokąt znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupa wynika, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków. W związku z tym:
$$2n=14$$ $$n=7$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się siedmiokąt.

Krok 2. Ustalenie liczby krawędzi ostrosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. My już wiemy, że w przypadku tego graniastosłupa \(n=7\), zatem:
$$3n=3\cdot7=21$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5$$ $$|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2$$ $$(4x)^2+(3x)^2=10^2$$ $$16x^2+9x^2=100$$ $$25x^2=100$$ $$x^2=4$$ $$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x$$ $$|AC|=4\cdot2$$ $$|AC|=8$$ $$\quad$$ $$|BC|=3x$$ $$|BC|=3\cdot2$$ $$|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE|$$ $$48=6\cdot|BE|$$ $$|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8$$ $$V=192$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Ostrosłup jest czworokątny prawidłowy, zatem w podstawie na pewno znajduje się kwadrat. Jeżeli wysokość ostrosłupa oznaczymy sobie jako \(x\), a przekątną podstawy oznaczymy sobie jako \(2x\) (bo ma być dwa razy dłuższa od przekątnej), to otrzymamy taką oto sytuację:


Widzimy wyraźnie, że połowa długości przekątnej podstawy, wysokość bryły oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny z którego będziemy teraz obliczać interesujący nas kąt.

Krok 2. Obliczenie miary kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Powinniśmy dostrzec, że przyprostokątne naszego trójkąta prostokątnego mają jednakową długość. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt jest równoramienny, czyli że jest to klasyczny trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\), bo tylko taki trójkąt jest jednocześnie prostokątny i równoramienny. Stąd też bez żadnych dodatkowych obliczeń możemy być pewni, że kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy \(45°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli wysokość graniastosłupa jest \(3\) razy większa od krawędzi podstawy, to całość po zaznaczeniu wszystkich informacji z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(FB\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABF\), który znalazł się w podstawie naszej bryły. Dolna przyprostokątna tego trójkąta ma długość \(a\), boczna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=|FB|^2$$ $$a^2+\frac{1}{4}a^2=|FB|^2$$ $$|FB|^2=\frac{5}{4}a^2$$ $$|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2} \quad\lor\quad |FB|=-\sqrt{\frac{5}{4}a^2}$$

Ujemny wynik odrzucamy, bo długość odcinka \(BF\) jest na pewno dodatnia, zatem zostaje nam \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Teoretycznie moglibyśmy uprościć jeszcze ten zapis (otrzymując ostateczną postać \(|FB|=\frac{a\sqrt{5}}{2})\), ale nie ma takiej potrzeby, bo za chwilę będziemy i tak podnosić tę wartość do kwadratu.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(FBE\). Wyliczyliśmy przed chwilą, że \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Wiemy, że \(|FE|=3a\). Dodatkowo znamy też miarę przeciwprostokątnej, bowiem \(|BE|=4\sqrt{41}\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\right)^2+(3a)^2=(4\sqrt{41})^2$$ $$\frac{5}{4}a^2+9a^2=16\cdot41$$ $$\frac{41}{4}a^2=656$$ $$41a^2=2624$$ $$a^2=64$$ $$a=8 \quad\lor\quad a=-8$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=8\).

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wiemy już, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku \(a=8\). Wiemy też, ze wysokość jest równa \(3a\), zatem \(H=3\cdot8=24\). Możemy wiec bez przeszkód obliczyć objętość naszego graniastosłupa:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=8\cdot8\cdot24$$ $$V=1536$$

Krok 5. Obliczenie sinusa kąta \(α\).
Na koniec musimy jeszcze poprawnie obliczyć wartość sinusa naszego kąta \(α\). W tym celu spoglądamy na trójkąt prostokątny \(FBE\). Sinus to długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta (czyli u nas \(FE\), która jest wysokością graniastosłupa) względem przeciwprostokątnej (czyli u nas \(BE\)). Możemy zatem zapisać, że:
$$sinα=\frac{|FE|}{|BE|}$$ $$sinα=\frac{24}{4\sqrt{41}}$$ $$sinα=\frac{6}{\sqrt{41}}$$ $$sinα=\frac{6\cdot\sqrt{41}}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{41}}$$ $$sinα=\frac{6\sqrt{41}}{41}$$

Ostrosłup, który ma w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(n+1\) wierzchołków i \(2n\) krawędzi. Z treści zadania wynika, że wierzchołków jest o \(5\) mniej niż krawędzi, zatem:
$$n+1+5=2n$$ $$n+6=2n$$ $$n=6$$

To oznacza, że w podstawie tego ostrosłupa jest sześciokąt.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna naszego sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$ $$a=4$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Wiemy już, że nasz sześcian ma krawędź o długości \(a=4\). Pole powierzchni sześcianu to pole sześciu jednakowych kwadratów, zatem:
$$P_{c}=6a^2$$ $$P_{c}=6\cdot4^2$$ $$P_{c}=6\cdot16$$ $$P_{c}=96$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W rysunku pomocniczym najważniejsze jest to, by zaznaczyć poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Kiedy naniesiemy na rysunek dane z treści zadania, to otrzymamy taką oto sytuację:


Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie przede wszystkim niebieskiego trójkąta prostokątnego \(SOE\) w którym dolna przyprostokątna jest połową długości krawędzi podstawy, boczna przyprostokątna jest wysokością bryły, a przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej.

Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń, które wynikają z informacji na temat tangensa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny \(SOE\). Wiemy, że \(tgα=\sqrt{7}\). Tangens jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. I tu pojawia się problem, bo nie znamy ani jednej, ani drugiej długości. Zastanówmy się jednak co się musi stać, aby tangens naszego kąta \(α\) był równy \(\sqrt{7}\). Aby tak się stało, to przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(α\) (czyli nasza wysokość ostrosłupa) musi być \(\sqrt{7}\) razy większa od przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Jeżeli więc dolna przyprostokątna leżąca przy kącie \(α\) ma długość \(\frac{1}{2}a\), to wtedy wysokość naszej bryły będzie miała długość \(\sqrt{7}\cdot\frac{1}{2}a=\frac{a\sqrt{7}}{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na zielony trójkąt prostokątny \(SOC\). Ten trójkąt w dolnej przyprostokątnej ma połowę długości przekątnej kwadratu, jego boczną przyprostokątną jest wysokość bryły, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna o długości \(6\).

Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), czyli przyprostokątna \(OC\) będzie mieć długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=\frac{a\sqrt{7}}{2}\). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2=6^2$$ $$\frac{2a^2}{4}+\frac{7a^2}{4}=36$$ $$\frac{9a^2}{4}=36$$ $$9a^2=144$$ $$a^2=16$$ $$a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Wiemy, że ostrosłup ma długość \(H=\frac{a\sqrt{7}}{2}\), zatem skoro \(a=4\), to:
$$H=\frac{4\sqrt{7}}{2}=2\sqrt{7}$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Na koniec została już tylko formalność, bowiem skoro \(a=4\) oraz \(H=2\sqrt{7}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}a^2\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot2\sqrt{7}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{7}$$ $$V=\frac{32\sqrt{7}}{3}$$

Jeżeli wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, to możemy zapisać, że \(H=2a\). Podstawiając te dane do wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$144=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot2a$$ $$144=\frac{2}{3}\cdot a^3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$a^3=216$$ $$a=6$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa oraz przekątna bryły tworzą taki oto trójkąt prostokątny:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku długości \(2\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) będzie miał przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$d=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spoglądamy na zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{2\sqrt{2}}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{2\sqrt{2}}$$ $$H=\sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}$$ $$H=2\sqrt{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy znany nam kąt o mierze \(60°\) oraz kąt, którego cosinus musimy policzyć:


Z własności sześciokątów wiemy, że przekątne dzielą nam taki sześciokąt na sześć jednakowych trójkątów równobocznych, a każdy z nich ma bok o długości \(a=8\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Na naszym rysunku odcinek \(x\) jest wysokością trójkąta równobocznego, której potrzebujemy do dalszych obliczeń. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkątów równobocznych możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$ $$h=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny. Znamy długość dolnej przyprostokątnej oraz kąt przy niej leżący. Korzystając z tangensa możemy zatem zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{4\sqrt{3}}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}$$ $$H=\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}$$ $$H=4\cdot3$$ $$H=12$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.
Tym razem spoglądamy na zielony trójkąt prostokątny. Znamy długości dwóch przyprostokątnych tego trójkąta, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$8^2+12^2=c^2$$ $$64+144=c^2$$ $$c^2=208$$ $$c=\sqrt{208} \quad\lor\quad c=-\sqrt{208}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(c=\sqrt{208}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{16\cdot13}=4\sqrt{13}\).

Krok 5. Obliczenie cosinusa kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.
Ponownie spoglądamy na nasz zielony trójkąt, bowiem to tu musimy wyznaczyć poszukiwany cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{8}{4\sqrt{13}}$$ $$cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}$$ $$cos\alpha=\frac{2\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}$$ $$cos\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wiemy, że w podstawie ostrosłupa mamy kwadrat (oznaczmy sobie jego bok jako \(a\)). Wiemy też, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Możemy więc powiedzieć, że w takim razie wszystkie krawędzie tej bryły mają jednakową miarę i jest ona równa \(a\). Dodatkowo możemy dostrzec, że skoro w podstawie jest kwadrat, to przekątna \(AC\) będzie mieć długość \(a\sqrt{2}\). Całość więc będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Dostrzeżenie połowy kwadratu i wyznaczenie miary kąta \(SAC\).
Na powyższym rysunku zaznaczyliśmy sobie trójkąt \(ASC\). Ma on ramiona o długości \(a\) i podstawę o długości \(a\sqrt{2}\). W tym momencie powinniśmy dostrzec, że to jest tak naprawdę połówka kwadratu o boku \(a\). Taka obserwacja prowadzi nas do wniosku, że kąt \(ASC\) jest kątem prostym, a kąty \(SAC\) oraz \(ACS\) mają po \(45°\). Nas interesuje właśnie miara kąta \(SAC\), zatem prawidłową odpowiedzią jest wartość \(45°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.


Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$120^2+30^2=c^2$$ $$14400+900=c^2$$ $$c^2=15300$$ $$c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2$$ $$15300+1600=d^2$$ $$d^2=16900$$ $$d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900}$$ $$d=130 \quad\lor\quad d=-130$$

Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).

Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Krok 1. Omówienie sytuacji z treści zadania.
Na początek warto zwrócić uwagę na to, że nasz ostrosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w tym konkretnym przypadku będziemy mieć w podstawie kwadrat.

Spójrzmy teraz na trójkąt \(AOS\). Jest to trójkąt prostokątny na który składa się połowa przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna ostrosłupa. Naszym zadaniem będzie tak naprawdę poznanie długości jednej i drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (poznanie dolnej przyprostokątnej doprowadzi nas do poznania długości krawędzi podstawy, no a wysokość jest sama w sobie niezbędna do obliczenia objętości).

Podaną mamy wartość tangensa kąta \(α\) i długość przeciwprostokątnej, która jest równa \(12\). Cała trudność tego zadania opiera się na tym, że tangens odpowiada przecież za stosunek długości przyprostokątnych (czyli tych boków, które szukamy) i nie jest on w żaden sposób powiązany z przeciwprostokątną. Gdybyśmy mieli podaną wartość np. cosinusa zamiast tangensa, to wtedy błyskawicznie obliczylibyśmy sobie wysokość bryły. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by tangensa zamienić na cosinusa i to będzie nasz kolejny krok.

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Wiemy też z jedynki trygonometrycznej, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W związku z tym możemy przystąpić do zamiany tangensa na cosinusa:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ $$\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ $$sinα=\frac{2}{\sqrt{5}}cosα$$

Podstawiając teraz wyznaczonego sinusa do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1$$ $$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}cosα\right)^2+cos^2α=1$$ $$\frac{4}{5}cos^2α+cos^2α=1$$ $$\frac{9}{5}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{9}$$ $$cos^2α=\frac{5}{9}$$ $$cosα=\frac{\sqrt{5}}{3} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Nad otrzymanymi wynikami musimy się jeszcze pochylić, zastanawiając się nad tym, czy przypadkiem któregoś cosinusa nie trzeba odrzucić. Co prawda nie mamy wprost podane w treści zadania, że \(α\) jest kątem ostrym (gdyby tak było, to ujemne rozwiązanie trzeba odrzucić), ale wiemy że tangens był wartością dodatnią, czyli \(α\) rzeczywiście musi być kątem ostrym. Stąd też ujemnego cosinusa możemy odrzucić i zostaje nam, że \(cosα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Teraz sprawa z obliczeniem wysokości ostrosłupa jest już bardzo prosta, bowiem korzystając z cosinusa możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{H}{12}$$ $$\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{H}{12}$$ $$H=\frac{12\sqrt{5}}{3}$$ $$H=4\sqrt{5}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W trójkącie \(AOS\) nasza dolna przyprostokątna \(AO\) ma długość równą połowie przekątnej podstawy. Wyznaczmy więc najpierw długość tej przyprostokątnej \(AO\), a potem obliczymy długość całej przekątnej \(AC\).

Do obliczenia długości \(AO\) możemy skorzystać albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo znamy już długości dwóch boków tego trójkąta), albo nawet z podanego tangensa (bo znamy już długość jednej przyprostokątnej). Korzystając więc z tangensa otrzymamy:
$$tgα=\frac{|AO|}{H}$$ $$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|AO|}{4\sqrt{5}}$$ $$\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=|AO|$$ $$|AO|=8$$

Odcinek \(AO\) jest połową przekątnej naszej podstawy, zatem cała przekątna będzie mieć długość:
$$|AC|=2\cdot8$$ $$|AC|=16$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie bryły jest kwadrat, bo ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc przekątna kwadratu ma długość \(16\), to:
$$a\sqrt{2}=16$$ $$a=\frac{16}{\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{16\sqrt{2}}{2}$$ $$a=8\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie jest kwadrat o boku \(a=8\sqrt{2}\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(8\sqrt{2})^2$$ $$P_{p}=64\cdot2$$ $$P_{p}=128$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc już, że \(P_{p}=128\) oraz że \(H=4\sqrt{5}\) bez problemu obliczymy objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot128\cdot4\sqrt{5}$$ $$V=\frac{512\sqrt{5}}{3}$$ $$V=170\frac{2}{3}\sqrt{5}$$

Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+2\) ścian. Skoro nasza bryła ma \(12\) ścian, to:
$$n+2=12$$ $$n=10$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się dziesięciokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby krawędzi graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. W podstawie naszej bryły znajduje się dziesięciokąt, zatem liczba krawędzi będzie równa:
$$3n=3\cdot10=30$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy wskazany ostrosłup, nanosząc na niego dane z treści zadania (w szczególności kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy). Warto tutaj od razu pamiętać, że skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat.


Krok 2. Zapisanie zależności między wysokością ściany bocznej i krawędzią podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Dolna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), natomiast przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej. Stosunek długości tych dwóch boków opisuje nam właśnie cosinus kąta \(α\), który jest równy \(\frac{1}{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$cosα=\frac{\frac{1}{2}a}{h_{b}}$$ $$\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}a}{h_{b}} \quad\bigg/\cdot h_{b}$$ $$\frac{1}{3}h_{b}=\frac{1}{2}a \quad\bigg/\cdot3$$ $$h_{b}=\frac{3}{2}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h_{b}\), która ja już ustaliliśmy jest równa \(\frac{3}{2}a\). Skoro pole tego trójkąta jest równe \(12\), to:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{b}$$ $$12=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{3}{2}a$$ $$12=\frac{3}{4}a^2 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$ $$a^2=16$$ $$a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 4. Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej.
Wiemy już, że \(h_{b}=\frac{3}{2}\). Skoro więc \(a=4\), to:
$$h_{b}=\frac{3}{2}\cdot4$$ $$h_{b}=6$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Odcinek \(AB\) ma długość \(\frac{1}{2}a\), czyli \(|AB|=2\). Wiemy też, że przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość równą \(6\). W związku z tym korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć brakującą wysokość całego ostrosłupa:
$$2^2+H^2=6^2$$ $$4+H^2=36$$ $$H^2=32$$ $$H=\sqrt{32} \quad\lor\quad H=-\sqrt{32}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. To oznacza, że \(H=\sqrt{32}\), co po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możemy jeszcze zapisać jako \(H=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\).

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mając długość krawędzi podstawy \(a=4\) oraz wysokość bryły \(H=4\sqrt{2}\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}a^2\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot4\sqrt{2}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot4\sqrt{2}$$ $$V=21\frac{1}{3}\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(s=a\sqrt{3}\). Wiemy, że przekątna naszego sześcianu ma długość \(6cm\), zatem:
$$a\sqrt{3}=6$$ $$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$ $$a=2\sqrt{3}[cm]$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Wiedząc, że \(a=2\sqrt{3}cm\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu:
$$V=a^3$$ $$V=(2\sqrt{3})^3$$ $$V=2^3\cdot\sqrt{3}^3$$ $$V=8\cdot3\sqrt{3}$$ $$V=24\sqrt{3}[cm^3]$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Tutaj kluczowy staje się trójkąt \(EFB\), który jest trójkątem prostokątnym, a dokładniej rzecz ujmując jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(FB\) oraz \(EF\).
Spójrzmy na nasz trójkąt \(EFB\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(12\sqrt{5}\). Za pomocą funkcji trygonometrycznych lub też własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) jesteśmy w stanie wyznaczyć pozostałe boki tego trójkąta. Spróbujmy może skorzystać z własności takich trójkątów i zacznijmy od wyznaczenia długości odcinka \(FB\).


Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\), odcinek \(FB\) jest dwukrotnie krótszy od przeciwprostokątnej, zatem:
$$FB=12\sqrt{5}:2$$ $$FB=6\sqrt{5}$$

Teraz wyznaczmy długość odcinka \(EF\) (która jest jednocześnie wysokością naszego ostrosłupa). Ją moglibyśmy wyznaczyć nawet z Twierdzenia Pitagorasa, ale trzymając się własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że ten odcinek będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od przyprostokątnej \(FB\). W związku z tym:
$$EF=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}$$ $$EF=6\sqrt{15}$$

Skoro odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa, to możemy od razu zapisać, że \(H=6\sqrt{15}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ABF\). Na pewno jest to trójkąt prostokątny, bo kąt \(FAB\) jest kątem kwadratu znajdującego się w podstawie.
Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli \(FB=6\sqrt{5}\). Jeżeli odcinek \(AB\) oznaczymy jako \(a\), to odcinek \(AF\) będziemy mogli zapisać jako \(\frac{1}{2}a\). W związku z tym zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=(6\sqrt{5})^2$$ $$a^2+\frac{1}{4}a^2=36\cdot5$$ $$\frac{5}{4}a^2=180$$ $$a^2=144$$ $$a=12 \quad\lor\quad a=-12$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=12\).

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku \(a=12\), a wysokość ostrosłupa to \(H=6\sqrt{15}\). Znając te dane możemy przystąpić do liczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}a^2\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot6\sqrt{15}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot144\cdot6\sqrt{15}$$ $$V=48\cdot6\sqrt{15}$$ $$V=288\sqrt{15}[cm^3]$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
W sześcianie mamy \(12\) krawędzi, które są jednakowej długości. Skoro suma długości wszystkich krawędzi wynosi \(96cm\), to każda z tych krawędzi ma:
$$96cm:12=8cm$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu składa się z \(6\) ścian, a każda ze ścian jest kwadratem o boku \(8cm\). W związku z tym:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$ $$P_{c}=6\cdot8^2$$ $$P_{c}=6\cdot64$$ $$P_{c}=384[cm^2]$$

Krok 1. Dostrzeżenie, że trójkąt \(BCS\) jest prostokątny.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, iż trójkąt \(BCS\) jest prostokątny (gdzie \(|\sphericalangle BCS|=90°\). Skąd to wiemy, skoro z rysunku takiej informacji nie możemy odczytać? Obliczmy długości poszczególnych boków tego trójkąta.

Długość boku \(CS\):
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DCS\). Dolna przyprostokątna ma długość \(|DC|=4\), boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\), zatem z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$4^2+3^2=|CS|^2$$ $$16+9=|CS|^2$$ $$|CS|^2=25$$ $$|CS|=5 \quad\lor\quad |CS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|CS|=5\).

Długość boku \(BS\):
Spójrzmy na trójkąt \(BDS\). Dolna przyprostokątna to będzie przekątna naszego kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(|BD|=4\sqrt{2}\). Boczna przyprostokątna ma długość \(|DS|=3\). W związku z tym:
$$3^2+(4\sqrt{2})^2=|BS|^2$$ $$9+16\cdot2=|BS|^2$$ $$9+32=|BS|^2$$ $$|BS|^2=41$$ $$|BS|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=\sqrt{41}\).

W tym momencie znamy długości trzech boków naszego trójkąta \(BCS\):
$$|BC|=4$$ $$|CS|=5$$ $$|BS|=\sqrt{41}$$

Aby udowodnić, że jest to trójkąt prostokątny, skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Boki \(BC\) oraz \(CS\) to przyprostokątne, natomiast \(BS\) to przeciwprostokątna naszego trójkąta. W związku z tym:
$$|BC|^2+|CS|^2=|BS|^2$$ $$4^2+5^2=(\sqrt{41})^2$$ $$16+25=41$$ $$41=41$$ $$L=P$$

Skoro lewa strona równania jest równa prawej, to możemy być pewni, że trójkąt \(BCS\) jest trójkątem prostokątnym.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(BCS\).
Skoro jest to trójkąt prostokątny i znamy miary przyprostokątnych tego trójkąta, to obliczenie pola powierzchni jest już tylko formalnością:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5$$ $$P=2\cdot5$$ $$P=10$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy, że w podstawie ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek boków jest równy \(3:4\). Możemy więc powiedzieć, że krótszy bok tego prostokąta ma długość \(3x\), natomiast dłuższy ma długość \(4x\). Wiemy też, że pole tego prostokąta jest równe \(432\), a skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$3x\cdot4x=432$$ $$12x^2=432$$ $$x^2=36$$ $$x=6$$

Wyszło nam, że \(x=6\), a skoro nasze krawędzie podstawy mają długość odpowiednio \(3x\) oraz \(4x\) to otrzymamy:
Krótsza krawędź podstawy: \(3x=3\cdot6=18\)
Dłuższa krawędź podstawy: \(4x=4\cdot6=24\)

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Przekątna \(AC\) naszego prostokąta znajdującego się w podstawie tworzy wraz z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. Przed chwilą obliczyliśmy długości krawędzi tej podstawy, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$18^2+24^2=|AC|^2$$ $$324+576=|AC|^2$$ $$|AC|^2=900$$ $$|AC|=30 \quad\lor\quad |AC|=-30$$

Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AC|=30\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AO\).
Znamy już długość przekątnej podstawy, ale nam do dalszych obliczeń przyda się tak naprawdę znajomość długości odcinka \(AO\), bo to będzie dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego \(AOS\). Odcinek \(AO\) jest dwa razy krótszy od całej przekątnej \(AC\), zatem:
$$|AO|=30:2$$ $$|AO|=15$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz trójkąt \(AOS\). Znamy miarę kąta \(SAO\), znamy długość dolnej przyprostokątnej, a szukamy wysokości ostrosłupa (czyli przyprostokątnej \(|SO|\) tego trójkąta), bo jest ona nam potrzebna do wyliczenia objętości. W związku z tym do wyliczenia długości odcinka \(SO\) możemy wykorzystać tangensa:
$$tg60°=\frac{|SO|}{|AO|}$$ $$tg60°=\frac{|SO|}{15}$$ $$\sqrt{3}=\frac{|SO|}{15}$$ $$|SO|=15\sqrt{3}$$

To oznacza, że wysokość naszego ostrosłupa to \(H=15\sqrt{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni \(P_{p}=432\), znamy też wysokość ostrosłupa \(H=15\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot432\cdot15\sqrt{3}$$ $$V=2160\sqrt{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie nasz ostrosłup i wprowadźmy proste oznaczenia, pamiętając o tym że skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny:



Musimy obliczyć cosinus kąta \(α\), czyli:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|}$$

To oznacza, że będziemy chcieli poznać długości odcinków \(OC\) oraz \(SC\). Długości jako takich na pewno nie poznamy, bo w zadaniu nie występują konkretne liczby, dlatego będziemy musieli operować na wyrażeniach algebraicznych i powiązaniach poszczególnych długości z długością \(a\). Na tym tak naprawdę polegać będzie cała trudność tego zadania.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OC\).
Odcinek \(OC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności ostrosłupów prawidłowych trójkątnych). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|OC|=\frac{2}{3}\cdot h$$ $$|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$|OC|=\frac{2a\sqrt{3}}{6}$$ $$|OC|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) (wysokość ściany bocznej oznaczona jako \(h\)) przyda nam się do obliczenia długości krawędzi bocznej, czyli boku \(SC\). Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy. W związku z tym:
$$P_{b}=2P_{p}$$ $$P_{b}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{b}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Pole powierzchni bocznej to pole trzech trójkątów równoramiennych, każdy o boku \(a\) oraz wysokości \(h\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ $$P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a\cdot h$$

Przyrównując teraz do siebie te dwa wyznaczone równania otrzymamy:
$$\frac{3}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2$$ $$3a\cdot h=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:3a$$ $$h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3a}$$ $$h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

W związku z tym: \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SC\).
Spójrzmy na trójkąt \(DCS\). Długość kluczowego odcinka \(SC\) (oznaczonego na rysunku jako \(b\)) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Odcinek \(DC\) będący dolną przyprostokątną tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{2}a\) (bo wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na dwie równe części). Odcinek \(DS\) który jest drugą przyprostokątną wyliczyliśmy przed chwilą i wiemy że \(DS=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), zatem:
$$|DC|^2+|DS|^2=|SC|^2$$ $$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=b^2$$ $$\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=b^2$$ $$\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=b^2$$ $$\frac{3a^2}{12}+\frac{4a^2}{12}=b^2$$ $$\frac{7a^2}{12}=b^2$$ $$b=\sqrt{\frac{7a^2}{12}}$$ $$b=\frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{12}}$$ $$b=\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{4\cdot3}}$$ $$b=\frac{\sqrt{7}a}{2\sqrt{3}}$$ $$b=\frac{\sqrt{7}a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$b=\frac{\sqrt{21}a}{2\cdot3}$$ $$b=\frac{\sqrt{21}a}{6}$$

To oznacza, że krawędź boczna ma długość \(|SC|=\frac{\sqrt{21}a}{6}\).

Krok 5. Obliczenie wartości \(cosα\).
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|}$$ $$cosα=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}a}{6}}$$ $$cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{21}a}{6}$$ $$cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{6}{\sqrt{21}a}$$ $$cosα=\frac{6a\sqrt{3}}{3\sqrt{21}a}$$ $$cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{21}a}$$ $$cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}\cdot a}$$ $$cosα=\frac{2}{\sqrt{7}}$$ $$cosα=\frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}$$ $$cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji zaznaczmy kluczowy trójkąt prostokątny:


Krok 2. Obliczenie długości drugiego boku prostokąta.
Drugi bok prostokątna jest przeciwprostokątną naszego zaznaczonego powyżej trójkąta prostokątnego. Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{1}{x}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{1}{x}$$ $$x=2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni otrzymanego przekroju.
Nasz przekrój jest prostokątem o wymiarach \(1\times2\), zatem:
$$P=1\cdot2$$ $$P=2$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiemy, że ostrosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie będzie miał trójkąt równoboczny. Zróbmy więc prosty rysunek szkicowy i nanieśmy na niego dane z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(PC\).
Patrząc się na nasz szkicowy rysunek powinniśmy dostrzec, że trójkąt prostokątny \(PCS\) jest jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wynika to wprost z własności trójkątów prostokątnych - kiedy jeden kąt ostry ma miarę \(45°\), to i drugi kąt ostry w tym trójkącie ma taką miarę. Z tego też względu długości przyprostokątnych w tym trójkącie są jednakowe, a skoro wysokość \(SP\) ma miarę \(2\sqrt{3}\), to i odcinek \(PC\) będzie miał miarę \(|PC|=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Odcinek \(PC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym:
$$\frac{2}{3}h_{p}=2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3$$ $$2h_{p}=6\sqrt{3}$$ $$h_{p}=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy bez problemu obliczyć długość boku trójkąta. Dokonamy tego korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2$$ $$6\sqrt{3}=a\sqrt{3}$$ $$a=6$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=6\) możemy przejść do obliczenia pola podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{36\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole podstawy, znamy też wysokość ostrosłupa, zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}$$ $$V=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}$$ $$V=6\cdot3$$ $$V=18$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając na rysunku kluczowy trójkąt prostokątny otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Graniastosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. W tym przypadku będzie to kwadrat. Wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem skoro bok kwadratu ma długość \(4\), to przekątna będzie mieć długość \(d=4\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości połowy przekątnej podstawy.
Jak spojrzymy na nasz trójkąt prostokątny zaznaczony na rysunku szkicowym, to zauważymy że do obliczenia długości wysokości bryły potrzebujemy połowy przekątnej podstawy. Skoro tak, to piszemy, że:
$$PC=4\sqrt{2}:2$$ $$PC=2\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie długości wysokości graniastosłupa.
Patrząc się na zaznaczony niebieski trójkąt prostokątny i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(2\sqrt{2})^2+H^2=12^2$$ $$4\cdot2+H^2=144$$ $$8+H^2=144$$ $$H^2=136$$ $$H=\sqrt{136} \quad\lor\quad H=-\sqrt{136}$$

Wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{136}\). Aby dopasować się do odpowiedzi, to musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, czyli:
$$H=\sqrt{136}=H=\sqrt{4\cdot34}=2\sqrt{34}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby przystąpić do obliczeń sporządźmy prosty rysunek pomocniczy, zaznaczając na nim dane z treści zadania:


Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Ostrosłup jest prawidłowy, zatem w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny. Wiemy, że bok tego trójkąta ma długość \(a=12\), zatem wysokość podstawy będzie równa:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=\frac{12\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=6\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości dolnej przyprostokątnej niebieskiego trójkąta prostokątnego.
Zgodnie z naszym rysunkiem (i zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych), dolna przyprostokątna niebieskiego trójkąta prostokątnego stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym:
$$PC=\frac{2}{3}h_{p}$$ $$PC=\frac{2}{3}\cdot6\sqrt{3}$$ $$PC=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Ponownie spoglądamy na niebieski trójkąt prostokątny. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy teraz zapisać, że:
$$|PC|^2+|PD|^2=|CD|^2$$ $$(4\sqrt{3})^2+x^2=(3x)^2$$ $$16\cdot3+x^2=9x^2$$ $$8x^2=48$$ $$x^2=6$$ $$x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, czyli już wiemy, że wysokość naszego ostrosłupa to \(H=\sqrt{6}\).

Krok 5. Obliczenie długości dolnej przyprostokątnej zielonego trójkąta prostokątnego.
Zgodnie z naszym rysunkiem dolna przyprostokątna zielonego trójkąta prostokątnego ma długość \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie, zatem:
$$EP=\frac{1}{3}h_{p}$$ $$EP=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3}$$ $$EP=2\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia pola powierzchni bocznej musimy znać wysokość ściany bocznej. W tym celu spoglądamy na nasz zielony trójkąt prostokątny i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$|EP|^2+|PD|^2=|ED|^2$$ $$(2\sqrt{3})^2+(\sqrt{6})^2=|ED|^2$$ $$4\cdot3+6=|ED|^2$$ $$12+6=|ED|^2$$ $$|ED|^2=18$$ $$|ED|=\sqrt{18} \quad\lor\quad |ED|=-\sqrt{18}$$

Długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|ED|=\sqrt{18}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|ED|=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\). To oznacza, że wysokość ściany bocznej jest równa \(h_{b}=3\sqrt{2}\).

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już komplet informacji na temat naszego ostrosłupa. Wiemy, że w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku \(a=12\), wiemy też że \(H=\sqrt{6}\), zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{6}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{144\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{6}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot36\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}$$ $$V=12\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}$$ $$V=12\sqrt{18}$$ $$V=12\sqrt{9\cdot2}$$ $$V=12\cdot3\sqrt{2}$$ $$V=36\sqrt{2}$$

Krok 8. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Na pole powierzchni bocznej składają się \(3\) ściany, każda z nich ma podstawę o długości \(a=12\) oraz wysokość \(h_{b}=3\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah$$ $$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot3\sqrt{2}$$ $$P_{b}=18\cdot3\sqrt{2}$$ $$P_{b}=54\sqrt{2}$$

Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. Wiemy, że suma krawędzi i wierzchołków jest równa \(15\), zatem:
$$3n+2n=15$$ $$5n=15$$ $$n=3$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się trójkąt. Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, liczba krawędzi będzie równa \(3n\), czyli \(3\cdot3=9\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:



Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.
Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$cosα=\frac{b}{c}$$ $$\frac{3}{5}=\frac{b}{c}$$ $$b=\frac{3}{5}c$$

Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$b^2+H^2=c^2$$ $$\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2$$ $$\frac{9}{25}c^2+256=c^2$$ $$\frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16}$$ $$c^2=400$$ $$c=20 \quad\lor\quad c=-20$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\).

Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.
Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy:
$$b=\frac{3}{5}\cdot20$$ $$b=12$$

Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:
$$d=2b$$ $$d=2\cdot12$$ $$d=24$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem:
$$a\sqrt{2}=24$$ $$a=\frac{24}{\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{24\sqrt{2}}{2}$$ $$a=12\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:



W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2$$ $$h^2+36\cdot2=400$$ $$h^2+72=400$$ $$h^2=328$$ $$h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:
$$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah$$ $$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82}$$ $$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82}$$ $$P_{b}=48\sqrt{164}$$ $$P_{b}=48\sqrt{4\cdot41}$$ $$P_{b}=48\cdot2\sqrt{41}$$ $$P_{b}=96\sqrt{41}$$

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do ostrosłupa tworzą boki \(SA\) oraz \(AO\), zatem poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle SAO\).

Krok 1. Ustalenie jaki wielokąt znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupa wynika, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków. W związku z tym:
$$2n=14$$ $$n=7$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się siedmiokąt.

Krok 2. Ustalenie liczby krawędzi ostrosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. My już wiemy, że w przypadku tego graniastosłupa \(n=7\), zatem:
$$3n=3\cdot7=21$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5$$ $$|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2$$ $$(4x)^2+(3x)^2=10^2$$ $$16x^2+9x^2=100$$ $$25x^2=100$$ $$x^2=4$$ $$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x$$ $$|AC|=4\cdot2$$ $$|AC|=8$$ $$\quad$$ $$|BC|=3x$$ $$|BC|=3\cdot2$$ $$|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE|$$ $$48=6\cdot|BE|$$ $$|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8$$ $$V=192$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie bryły znajduje się kwadrat. O tym kwadracie wiemy, że jego pole jest równe \(4\), zatem bok kwadratu (a tym samym długość krawędzi podstawy) będzie równa:
$$P=a^2$$ $$a^2=4$$ $$a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=2\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej.
Wiemy już, że krawędź podstawy jest równa \(2\), zatem trójkąty znajdujące się w ścianie bocznej mają także podstawę równą \(2\). Wiemy też, że pole każdego takiego trójkąta jest równe \(4\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$4=\frac{1}{2}\cdot2\cdot h$$ $$4=1\cdot h$$ $$h=4$$

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Ostrosłup jest prawidłowy, zatem ściany boczne będą w tym przypadku trójkątami równoramiennymi. Wiedząc, że wysokość w takich trójkątach dzieli podstawę na dwie równe części, to powstała nam następująca sytuacja:


Krok 4. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$1^2+4^2=x^2$$ $$1+16=x^2$$ $$x^2=17$$ $$x=\sqrt{17} \quad\lor\quad x=-\sqrt{17}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość krawędzi nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{17}\).

Uwaga: To zadanie jest bardzo nieprecyzyjne. Można odnieść wrażenie, że pytają się nas w zadaniu o to jaka jest różnica między odcinkiem \(AE\) oraz \(AL\), bo są to jak najbardziej wysokości powstałych ostrosłupów, które padają na podstawy \(AKM\) oraz \(ABD\). Zarówno jeden jak i drugi ostrosłup ma wierzchołek w punkcie \(A\), więc wszystko jest zgodne z treścią zadania. Jak tak byśmy podeszli do zadania, to wysokości ostrosłupów są bardzo proste do policzenia, bowiem \(|AE|=10\), a skoro \(L\) jest środkiem odcinka \(AE\) to \(|AL|=5\). Różnica wysokości wyniosłaby więc \(5\).

Nieprecyzyjność tego zadania wynika z tego, że intencją autora było to, że wierzchołek \(A\) uznano za "górny wierzchołek", czyli że te dwa ostrosłupy powinny być obrócone w taki sposób, że w podstawie pierwszego znajduje się trójkąt \(MKL\), a w podstawie drugiego znajduje się trójkąt \(BDE\). Wtedy wysokość poprowadzona z wierzchołka \(A\) padałaby na te dwie płaszczyzny.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z głównych trudności w tym zadaniu jest prawidłowe odszukanie poszukiwanych ostrosłupów (o czym wspomniałem powyżej). Narysujmy więc sobie te dwa ostrosłupy oddzielnie i zróbmy to od razu tak, jak zazwyczaj rysujemy ostrosłupy (czyli podstawy \(MKL\) oraz \(DBE\) na dole, a wierzchołek \(A\) na górze).


Krok 2. Obliczenie długości boków \(BD\), \(BE\) oraz \(DE\).
Jak spojrzymy się na rysunek z treści zadania to możemy zauważyć, że boki \(BD\), \(BE\) oraz \(DE\) są przekątnymi kwadratów, które znalazły się w podstawie lub ścianie bocznej sześcianu. Z własności kwadratów wiemy, że przekątne kwadratów o boku \(a\) mają długość \(a\sqrt{2}\). Skoro więc krawędź kwadratu ma długość \(10\), to wszystkie te trzy boki będą miały długość \(10\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości dużego ostrosłupa.
Zacznijmy od policzenia wysokości dużego ostrosłupa. Tutaj też możemy sporządzić prosty rysunek, zaznaczając przy okazji trójkąt prostokątny z którego obliczymy poszukiwaną wysokość:


Widzimy wyraźnie, że dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego ma długość \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. Wysokość takich trójkątów obliczamy ze wzoru \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$BP=\frac{2}{3}h_{p}$$ $$BP=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$BP=\frac{2}{3}\cdot\frac{10\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}$$ $$BP=\frac{10\sqrt{6}}{3}$$

Teraz znając dwie długości boków w trójkącie prostokątnym \(BPA\) możemy bez problemu obliczyć poszukiwaną wysokość z Twierdzenia Pitagorasa:
$$\left(\frac{10\sqrt{6}}{3}\right)^2+H^2=10^2$$ $$\frac{100\cdot6}{9}+H^2=100$$ $$\frac{600}{9}+H^2=\frac{900}{9}$$ $$H^2=\frac{300}{9}$$ $$H^2=\frac{100}{3}$$ $$H=\sqrt{\frac{100}{3}} \quad\lor\quad H=-\sqrt{\frac{100}{3}}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{\frac{100}{3}}\), co możemy jeszcze uprościć do następującej postaci:
$$H=\sqrt{\frac{100}{3}}$$ $$H=\frac{10}{\sqrt{3}}$$ $$H=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$H=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa ostrosłupów.
Jeżeli spojrzymy na nasze ostrosłupy, które narysowaliśmy sobie w pierwszym kroku, to powinniśmy dostrzec, że są one ostrosłupami podobnymi, bo każdy wymiar drugiego ostrosłupa jest dwukrotnie mniejszy od wymiaru pierwszego ostrosłupa. Jeżeli więc potraktujemy pierwszy ostrosłup jako bryłę podstawową, a drugi jako bryłę podobną, bo możemy zapisać, że skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\).

Krok 5. Obliczenie wysokości małego ostrosłupa.
Skoro skala podobieństwa tych ostrosłupów jest równa \(k=\frac{1}{2}\), to także wysokość małego ostrosłupa będzie dwukrotnie mniejsza od wysokości ostrosłupa dużego. W związku z tym:
$$H_{m}=\frac{1}{2}H$$ $$H_{m}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ $$H_{m}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Krok 6. Obliczenie różnicy między wysokością dużego i małego ostrosłupa.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć różnicę wysokości dwóch ostrosłupów, zatem:
$$H-H_{m}=\frac{10\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Zapisanie zależności między wysokością graniastosłupa i długością podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ACC'\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny w którym jak widzimy przyprostokątne mają długość \(a\) oraz \(H\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{a}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{a}$$ $$H=a\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skorzystamy z informacji, która mówi nam, że ściana boczna będąca prostokątem o bokach \(a\) oraz \(H\) ma pole równe \(2\sqrt{3}\). Wiedząc, że \(H=a\sqrt{3}\) możemy zapisać, że:
$$P=a\cdot H$$ $$2\sqrt{3}=a\cdot a\sqrt{3}$$ $$2\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3}$$ $$a^2=2$$ $$a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skoro \(a=\sqrt{2}\), a wiemy że \(H=a\sqrt{3}\), to znaczy że:
$$H=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$ $$H=\sqrt{6}$$

Krok 5. Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej.
Skoro znamy długość \(a\) oraz \(H\) to jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej ściany bocznej, czyli długość odcinka \(AC'\). Zrobimy to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2=|AC'|^2$$ $$2+6=|AC'|^2$$ $$|AC'|^2=8$$ $$|AC'|=\sqrt{8} \quad\lor\quad |AC'|=-\sqrt{8}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC'|=\sqrt{8}\).

Krok 6. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC'\).
Dla przejrzystości obliczeń naszkicujmy sobie nasz kluczowy trójkąt \(ABC'\) i nanieśmy na niego dane, które obliczyliśmy w poprzednich krokach:



Teraz naszym zadaniem jest obliczenie pola powierzchni tego trójkąta, a aby to uczynić musimy poznać jeszcze jego wysokość. Widzimy, że to jest trójkąt równoramienny, dlatego mamy pewność że wysokość dzieli nam podstawę na dwie równe części. To pozwoli nam teraz obliczyć wysokość trójkąta korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+h^2=(\sqrt{8})^2$$ $$\frac{2}{4}+h^2=8$$ $$h^2=\frac{15}{2}$$ $$h=\sqrt{\frac{15}{2}} \quad\lor\quad h=-\sqrt{\frac{15}{2}}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(h=\sqrt{\frac{15}{2}}\).

Krok 7. Obliczenie pola trójkąta \(ABC'\).
Mamy już komplet danych, bowiem wiemy że podstawa trójkąta \(ABC'\) ma długość \(a=\sqrt{2}\), wiemy też że \(h=\sqrt{\frac{15}{2}}\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{15}{2}}$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$$ $$P=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krąwędzi \(a\) ma przekątną długości \(d=a\sqrt{3}\), zatem zgodnie z treścią zadania:
$$a\sqrt{3}=6$$ $$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$

Możemy usunąć niewymierność z mianownika, ale jesteśmy w trakcie liczenia, więc nie musimy tego póki co robić (zwłaszcza, że za chwilę będziemy potęgować).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian, z których każda ma bok długości \(a=\frac{6}{\sqrt{3}}\), zatem:
$$P_{c}=6a^2$$ $$P_{c}=6\cdot\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2$$ $$P_{c}=6\cdot\frac{36}{3}$$ $$P_{c}=6\cdot12$$ $$P_{c}=72$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i wprowadźmy też proste oznaczenia kluczowych długości:



Skoro w podstawie graniastosłupa znajduje się romb to warto pamiętać, że przekątne rombu mają różne długości oraz przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Dzięki tym własnościom rombu będziemy w stanie wyliczać poszczególne długości.

Krok 2. Wyznaczenie długości pierwszej przekątnej podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Odcinek \(AC\) oznaczony na rysunku jako \(c\) jest przekątną podstawy, którą wyliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych.
$$cos30°=\frac{c}{8}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{8}$$ $$c=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$ $$c=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Nadal patrzymy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Znamy już dwie długości w tym trójkącie, więc trzecią długość, czyli wysokość \(CC'\) oznaczoną jako \(h\) możemy policzyć zarówno z Twierdzenia Pitagorasa jak i funkcji trygonometrycznych. Korzystając tym razem z sinusa zapiszemy, że:
$$sin30°=\frac{h}{8}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{h}{8}$$ $$h=4$$

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej przekątnej podstawy.
Teraz spójrzmy na trójkąt \(BDD'\). Zawiera się w nim długość drugiej z przekątnych rombu, czyli bok \(BD\) oznaczony symbolem \(d\). Ten trójkąt jest nie tylko trójkątem prostokątnym, ale także jest to trójkąt równoramienny (bo jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\)). W związku z tym przyprostokątne tego trójkąta mają tą samą długość, a to z kolei oznacza, że:
$$d=h=4$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Znając długości przekątnych rombu możemy obliczyć pole podstawy, a będzie ono równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot d$$ $$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4$$ $$P_{p}=2\sqrt{3}\cdot4$$ $$P_{p}=8\sqrt{3}$$

Krok 6. Wyznaczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Jest to trójkąt prostokątny, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wiemy też, że przekątne przecinają się w połowie swojej długości, zatem:
$$|CE|=\frac{1}{2}\cdot c$$ $$|CE|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}$$ $$|CE|=2\sqrt{3}$$ $$\quad$$ $$|DE|=\frac{1}{2}d$$ $$|DE|=\frac{1}{2}\cdot4$$ $$|DE|=2$$

Skoro tak, to odcinek \(DC\), oznaczony symbolem \(a\), który jest długością boku rombu wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|CE|^2+|DE|^2=a^2$$ $$(2\sqrt{3})^2+2^2=a^2$$ $$4\cdot3+4=a^2$$ $$12+4=a^2$$ $$a^2=16$$ $$a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. W skład tej powierzchni wejdą dwa pola podstawy (góra i dół) obliczone w piątym kroku (\(P_{p}=8\sqrt{3}\)) oraz cztery ściany boczne o wymiarach \(4\times4\). Zatem:
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b}$$ $$P_{c}=2\cdot8\sqrt{3}+4\cdot4\cdot4$$ $$P_{c}=16\sqrt{3}+64$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\).

Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(α\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{α}{2}\).

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\frac{α}{2}\).
Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{α}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc:
$$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa:
$$sin\frac{α}{2}=\frac{|CP|}{|CA|}$$ $$sin\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów w figurze znajdującej się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n+1\) wierzchołków. To pozwoli nam utworzyć proste równanie:
$$2n-(n+1)=11$$ $$2n-n-1=11$$ $$n=12$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(|DC|\) oraz \(|DO|\).
Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(DS\).
Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).

W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:
$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60°$$ $$\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2}$$ $$\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS|$$ $$|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\), czyli wysokości ostrosłupa.
Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:
$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60°$$ $$\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}$$ $$|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.

Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.
$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2$$ $$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2$$ $$\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49$$ $$\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12$$ $$3a^2+4a^2=588$$ $$7a^2=588$$ $$a^2=84$$ $$a=\sqrt{4\cdot21}$$ $$a=2\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.

Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:
$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=21\sqrt{3}$$

Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.
$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$

Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21}$$ $$V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21}$$ $$V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7}$$ $$V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}$$ $$V=7\cdot3\cdot\sqrt{7}$$ $$V=21\sqrt{7}$$

Kątem między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy jest kąt \(DES\). Kąt ten tworzy wysokość ściany bocznej oraz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie (a w tym przypadku będzie to \(\frac{1}{3}\) takiej wysokości).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji wykonajmy jeden z celów tego zadania, czyli zaznaczmy poszukiwaną figurę:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą naszego trójkąta, który znalazł się w przekroju. Jeżeli oznaczymy sobie tę długość jako \(d\), to z treści zadania wynika, że wysokość tego trójkąta \(OC'\) ma długość \(d+4\). Skoro pole trójkąta jest równe \(48\), to otrzymamy następujące równanie:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$48=\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4)$$ $$48=\frac{1}{2}d^2+2d \quad\bigg/\cdot2$$ $$96=d^2+4d$$ $$d^2+4d-96=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać obliczając klasyczną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=16+384=400$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12$$ $$d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Otrzymaliśmy dwie możliwości, ale ujemny wynik musimy odrzucić, bo długość przekątnej podstawy musi być liczbą dodatnią. W związku z tym \(d=8\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCC'\). Dolna podstawa będzie miała długość połowy przekątnej (którą przed chwilą wyznaczyliśmy). Możemy nawet zapisać, że:
$$|OC|=\frac{1}{2}d$$ $$|OC|=\frac{1}{2}\cdot8$$ $$|OC|=4$$

Praktycznie znamy też długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bo z treści zadania wynika, że jest ona o \(4\) dłuższa od przekątnej podstawy, zatem:
$$|OC'|=d+4$$ $$|OC'|=8+4$$ $$|OC'|=12$$

Znając miary dwóch boków trójkąta \(OCC'\) możemy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość trzeciego boku, który jest jednocześnie wysokością naszego graniastosłupa:
$$|OC|^2+H^2=|OC'|^2$$ $$4^2+H^2=12^2$$ $$16+H^2=144$$ $$H^2=128$$ $$H=\sqrt{128} \quad\lor\quad H=-\sqrt{128}$$

Wysokość nie może być oczywiście ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy już, że w podstawie znajduje się kwadrat o przekątnej długości \(d=8\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8$$ $$a=\frac{8}{\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{8\sqrt{2}}{2}$$ $$a=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=4\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość bryły jest równa \(H=8\sqrt{2}\), zatem:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=a^2\cdot H$$ $$V=(4\sqrt{2})^2\cdot8\sqrt{2}$$ $$V=16\cdot2\cdot8\sqrt{2}$$ $$V=256\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako \(a\). Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość \(a\sqrt{2}\).

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ASC\).
W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby:
I sposób - z podobieństwa trójkątów.
Możemy zauważyć, że trójkąt \(ASC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\). Mają one te same długości ramion , czyli \(a\) oraz podstawy czyli \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że \(|\sphericalangle ABC|=90°\), bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także \(|\sphericalangle ASC|=90°\).

II sposób - z Twierdzenia Pitagorasa.
Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod \(a^2+b^2=c^2\) podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym \(\sphericalangle ASC=90°\). Zatem:
$$a^2+a^2=(a\sqrt{2})^2$$ $$2a^2=2a^2$$ $$L=P$$

Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to \(90°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:



Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:
$$3x\cdot4x=192$$ $$12x^2=192$$ $$x^2=16$$ $$x=4$$

Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:
$$|AB|=3x=3\cdot4=12$$ $$|BC|=4x=4\cdot4=16$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2$$ $$12^2+16^2=|AC|^2$$ $$144+256=|AC|^2$$ $$|AC|^2=400$$ $$|AC|=20$$

Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:
$$|AE|=\frac{1}{2}|AC|$$ $$|AE|=\frac{1}{2}\cdot20$$ $$|AE|=10$$

Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:
$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10}$$ $$|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$P_{p}=192$$ $$H=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ $$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ $$V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ $$V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest wysokością trójkąta równobocznego o boku \(a=9\), zatem:
$$|BD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$|BD|=\frac{9\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BO\).
Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego dzieli nam odcinek \(BD\) na dwa części z których odcinek \(BO=\frac{2}{3}BD\) oraz \(DO=\frac{1}{3}BD\) (wynika to wprost z własności trójkątów równobocznych). Nas interesuje długość odcinka \(BO\), zatem:
$$|BO|=\frac{2}{3}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2}$$ $$|BO|=\frac{18\sqrt{3}}{6}$$ $$|BO|=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\).
Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(OBS\) możemy obliczyć wysokość bryły, czyli długość odcinka \(OS\):
$$|OB|^2+|OS|^2=|SB|^2$$ $$(3\sqrt{3})^2+|OS|^2=9^2$$ $$9\cdot3+|OS|^2=81$$ $$27+|OS|^2=81$$ $$|OS|^2=54$$ $$|OS|=\sqrt{54} \quad\lor\quad |OS|=-\sqrt{54}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam:
$$|OS|=\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot6}=3\sqrt{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a skoro jego pole jest równe \(36\), to każdy z boków ma długość \(a=6\). Nasz rysunek będzie więc wyglądał w ten oto sposób:



Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Do obliczenia wysokości graniastosłupa będziemy za chwilę potrzebować długości przekątnej podstawy. Skoro w podstawie znajduje się kwadrat, to z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). W naszym przypadku \(a=6\), zatem przekątna ma długość \(d=6\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{H}{d}$$ $$tg30°=\frac{H}{6\sqrt{2}}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{6\sqrt{2}} \quad\bigg/\cdot6\sqrt{2}$$ $$H=\frac{\sqrt{3}\cdot6\sqrt{2}}{3}$$ $$H=\frac{6\sqrt{6}}{3}$$ $$H=2\sqrt{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie zależności między krawędzią podstawy i wysokością trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{\frac{1}{2}a}{h}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}a}{h} \quad\bigg/\cdot h$$ $$\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}a$$ $$h=a$$

To oznacza, że wysokość trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej jest równa długości krawędzi podstawy.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej.
Korzystając z informacji, że pole ściany bocznej jest równe \(10\) możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$10=\frac{1}{2}a\cdot a \quad\bigg/\cdot2$$ $$a^2=20$$ $$a=\sqrt{20} \quad\lor\quad a=-\sqrt{20}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{20}\). Tym samym zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, także \(h=\sqrt{20}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Tutaj także skorzystamy z funkcji trygonometrycznych (tym razem z sinusa). Skoro odcinek \(SE\) (czyli wysokość ściany bocznej oznaczonej jako \(h\)) ma długość \(h=\sqrt{20}\), to:
$$sinα=\frac{H}{h}$$ $$sin60°=\frac{H}{\sqrt{20}}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{\sqrt{20}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{20}$$ $$H=\frac{\sqrt{60}}{2}$$ $$H=\frac{\sqrt{4\cdot15}}{2}$$ $$H=\frac{2\sqrt{15}}{2}$$ $$H=\sqrt{15}$$

Krok 5. Obliczenie objętości bryły.
Znając długość krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot(\sqrt{20})^2\cdot\sqrt{15}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot20\cdot\sqrt{15}$$ $$V=\frac{20\sqrt{15}}{3}$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Graniastosłup jest prawidłowy, więc w podstawie musi znaleźć się figura foremna, a skoro jest to graniastosłup czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat. Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(a\), zatem:
$$P_{p}=a^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest \(8\) razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=8a^2$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W graniastosłupie mamy cztery prostokątne ściany. Wiemy, że pole powierzchni bocznej (czyli pole wszystkich ścian bocznych) jest równe \(8a^2\). To oznacza, że pojedyncza ściana będzie mieć powierzchnię:
$$P_{śb}=8a^2:4$$ $$P_{śb}=2a^2$$

Pojedyncza ściana boczna jest prostokątem w którym jeden bok jest taki jak krawędź podstawy, czyli ma długość \(a\), a drugi bok jest wysokością graniastosłupa.


Skoro pole pojedynczej ściany ściany bocznej ma wynosić \(2a^2\), to:
$$P_{śb}=a\cdot H$$ $$2a^2=a\cdot H$$ $$H=2a$$

Krok 4. Obliczenie objętości.
Podstawiając do wzoru na objętość graniastosłupa znane nam dane otrzymamy:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=a^2\cdot2a$$ $$V=2a^3$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy sporządzić następujący rysunek:



Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nasz otrzymany przekrój jest prostokątem o wymiarach \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$P=a\cdot a\sqrt{2}$$ $$16=a\cdot a\sqrt{2}$$ $$16=a^2\sqrt{2}$$ $$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$

Biorąc pod uwagę fakt, że pole całkowite sześcianu jest równe \(P_{c}=6a^2\) to nie ma za bardzo sensu pierwiastkować i obliczać ile jest równe \(a\), skoro za chwilę będziemy znowu potrzebować \(a^2\). Możemy pozostać przy wyliczeniu \(a^2\), ale usuńmy jeszcze niewymierność z mianownika:
$$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$ $$a^2=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$ $$a^2=\frac{16\sqrt{2}}{2}$$ $$a^2=8\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola całkowitego sześcianu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej:
$$P_{c}=6a^2$$ $$P_{c}=6\cdot8\sqrt{2}$$ $$P_{c}=48\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z własności okręgów wpisanych w trójkąt równoboczny wiemy, że długość promienia okręgu jest równa \(\frac{1}{3}\) wysokości takiego trójkąta, zatem:
$$h_{p}=3\cdot6=18$$

Krok 3. Obliczenie długości boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o wysokości \(h_{p}=18\), zatem jego długość boku będzie równa:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$18=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$36=a\sqrt{3}$$ $$a=\frac{36}{\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{36\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$a=\frac{36\sqrt{3}}{3}$$ $$a=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(SOD\). Wiemy, że podstawa tego trójkąta (czyli odcinek \(DO\) będący promieniem okręgu) ma długość \(r=6\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{|DO|}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{6}$$ $$H=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(SOD\). Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebujemy znać długość wysokości ściany bocznej, a tę możemy obliczyć albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo wiemy już, że przyprostokątne mają długości \(|DO|=6\) oraz \(H=6\sqrt{3}\)), albo po prostu z cosinusa:
$$cos60°=\frac{|DO|}{h_{b}}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{6}{h_{b}}$$ $$\frac{1}{2}h_{b}=6$$ $$h_{b}=12$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już komplet informacji na temat naszego ostrosłupa, bo wiemy że \(a=12\sqrt{3}\) oraz \(H=6\sqrt{3}\), więc możemy przystąpić do obliczenia objętości, korzystając ze wzoru:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{(12\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{432\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot108\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}$$ $$V=36\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}$$ $$V=216\cdot3$$ $$V=648$$

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W powierzchni bocznej mamy trzy trójkąty o podstawie \(a=12\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h_{b}=12\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{b}$$ $$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{3}\cdot12$$ $$P_{b}=3\cdot6\sqrt{3}\cdot12$$ $$P_{b}=216\sqrt{3}$$

Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta znajdującego się w podstawie graniastosłupa, to będzie miał on \(2n\) wierzchołków i \(3n\) krawędzi. W naszym przypadku graniastosłup o podstawie ośmiokąta miałby \(16\) wierzchołków i \(24\) krawędzie, tak więc prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Jeżeli ostrosłup czworokątny ma wszystkie krawędzie równej długości to na pewno w podstawie mamy kwadrat. Cały ostrosłup wyglądać będzie mniej więcej w ten sposób:



Na rysunku zaznaczyliśmy sobie też dwa kąty - kąt między krawędzią i przekątną podstawy (czyli kąt \(α\)) oraz poszukiwany kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy (czyli kąt \(β\)).

Krok 2. Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Poszukujemy miary kąta \(β\).
Zwróćmy uwagę na to, że trójkąty \(ABD\) oraz \(BDS\) są trójkątami przystającymi (mają te same długości ramion bo krawędzie są sobie równe oraz mają wspólną podstawę trójkąta, która jest przekątną kwadratu). To oznacza, że na naszym rysunku \(α=β\).

Kąt \(α\) ma znaną nam miarę \(45°\), bo przekątna kwadratu dzieli kąt prosty na dwie równe części, czyli \(90°:2=45°\). Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie napisaliśmy wcześniej \(β=45°\).

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa.
Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H$$ $$27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H$$ $$H=9$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\).



Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej.

Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta.
Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy:
$$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$|AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2}$$ $$|AD|=3\sqrt{3}$$

Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej:
$$a^2+b^2=c^2$$ $$|SO|^2+|OD|^2=|SD|^2$$ $$9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2$$ $$81+3=|SD|^2$$ $$|SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej.
Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa:
$$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h$$ $$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21}$$ $$P_{b}=6\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa.
$$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b}$$ $$P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21}$$ $$P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$

Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\).

Ostrosłup prawidłowy trójkąty składa się z czterech trójkątów równobocznych. O tych trójkątach wiemy, że mają bok o długości \(a=8\). Skoro są to trójkąty równoboczne, to pole każdego z nich obliczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem pole całkowite składające się z czterech takich trójkątów będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{c}=a^2\sqrt{3}$$ $$P_{c}=8^2\sqrt{3}$$ $$P_{c}=64\sqrt{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na rysunek informacje z treści zadania, które ułatwią nam obliczenia.



Krok 2. Zapisanie długości przekątnej podstawy.
Widzimy, że kluczowym z punktu widzenia zadania będzie trójkąt \(BDH\). W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się przekątna podstawy prostopadłościanu, oznaczona symbolem \(d\). Spróbujmy zapisać jej długość za pomocą wyrażeń algebraicznych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=d^2$$ $$d=\sqrt{a^2+b^2}$$

Krok 3. Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BDH\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+1^2=(a+b)^2$$ $$\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+1^2=(a+b)^2$$ $$a^2+b^2+1=a^2+2ab+b^2$$ $$2ab=1$$ $$ab=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Spójrzmy na wzór na objętość prostopadłościanu:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=ab\cdot H$$

Znamy wysokość prostopadłościanu, bo \(H=1\). Nie wiemy jaką konkretnie miarę mają odcinki \(a\) oraz \(b\), ale wiemy że ich iloczyn jest równy \(\frac{1}{2}\). I ta wiedza nam w zupełności wystarczy do obliczenia objętości. Podstawiając te dane otrzymamy:
$$V=\frac{1}{2}\cdot1$$ $$V=\frac{1}{2}$$

Wzór na objętość graniastosłupa:
$$V_{g}=P_{p}\cdot H$$

Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$

Podstawmy teraz do wzoru na objętość ostrosłupa objętość z treści zadania:
$$81\sqrt{3}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \quad\bigg/\cdot3$$ $$243\sqrt{3}=P_{p}\cdot H$$

Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wzór na pole graniastosłupa. W związku z tym \(V_{g}=243\sqrt{3}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.



Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.
Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.
$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|}$$ $$\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a$$ $$H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a$$ $$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2$$ $$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2$$ $$\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484$$ $$\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484$$ $$\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100$$ $$25a^2+96a^2=48400$$ $$121a^2=48400$$ $$a^2=400$$ $$a=20$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2$$ $$P_{p}=20^2$$ $$P_{p}=400$$

Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:
$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20$$ $$H=\frac{40\sqrt{6}}{5}$$ $$H=8\sqrt{6}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6}$$ $$V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Musimy obliczyć pole powierzchni trójkąta \(ABD\), który jest podstawą tego ostrosłupa. Jest to połowa kwadratu o boku \(a\), zatem:
$$P_{p}=\frac{1}{2}a^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Pole podstawy ostrosłupa obliczyliśmy przed chwilą. Wysokość ostrosłupa \(H=a\), bo jest to sześcian, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^2\cdot a$$ $$V_{o}=\frac{1}{6}a^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości pozostałej części sześcianu.
Cały sześcian ma objętość równą \(V=a^3\). Aby więc obliczyć objętość pozostałej części (bo to do niej musimy się odnieść) to musimy od objętości sześcianu odjąć obliczoną przed chwilą objętość ostrosłupa:
$$V_{p}=a^3-\frac{1}{6}a^3$$ $$V_{p}=\frac{5}{6}a^3$$

To oznacza, że objętość ostrosłupa jest pięciokrotnie mniejsza od pozostałej części sześcianu.

Zgodnie z zasadą podobieństwa figur, jeśli krawędzie pierwszego ostrosłupa są \(k\) razy większe od drugiego, to pole powierzchni całkowitej pierwszego ostrosłupa jest \(k^2\) większe od pola drugiego, a objętość jest \(k^3\) razy większa.

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa, czyli \(k\).
Wczytując się w treść zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej pierwszego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola drugiego ostrosłupa, zatem:
$$k^2=2$$ $$k=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie ile razy objętość pierwszego ostrosłupa jest większa od drugiego.
Zgodnie z tym co sobie napisaliśmy na wstępie - objętość pierwszego ostrosłupa będzie \(k^3\) razy większa, zatem:
$$k^3=(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają mieć jednakową długość, to powstanie nam taka oto bryła:



Krok 2. Zapisanie zależności kluczowych odcinków.
Spójrzmy teraz na nasz rysunek. Odcinek \(SE\) jest wysokością trójkąta równobocznego znajdującego się w ścianie bocznej. W związku z tym jego długość możemy zapisać jako:
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Teraz spójrzmy na odcinek \(OE\) - jest to połowa długości krawędzi bocznej, zatem:
$$|OE|=\frac{1}{2}a$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\).
Do wyznaczenia sinusa kąta \(α\) potrzebna nam będzie znajomość długości odcinka \(SO\), a tą wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2$$ $$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+|SO|^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ $$\frac{a^2}{4}+|SO|^2=\frac{3a^2}{4}$$ $$|SO|^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}$$ $$|SO|^2=\frac{2a^2}{4}$$ $$|SO|=\frac{a\sqrt{2}}{2} \quad\lor\quad |SO|=-\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Wartość ujemną oczywiście pomijamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam więc \(|SO|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Teraz zgodnie z definicją sinusa możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{|SO|}{|SE|}$$ $$sinα=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$$ $$sinα=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$sinα=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{a\sqrt{3}}$$ $$sinα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ $$sinα=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$ $$sinα=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie wysokości podstawy.
Z własności okręgów opisanych na trójkącie wynika, że długość promienia takiego okręgu jest równa \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta. Z treści zadania wiemy, że \(R=2\sqrt{3}\), czyli:
$$R=\frac{2}{3}h_{p}$$ $$2\sqrt{3}=\frac{2}{3}h_{p} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$h_{p}=\frac{6\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie naszej bryły znajduje się trójkąt równoboczny (bo ostrosłup jest prawidłowy). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego wyliczymy długość jego boku:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$6\sqrt{3}=a\sqrt{3}$$ $$a=6$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DO\).
Odcinek \(DO\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta. Wynika to z własności ostrosłupów - wysokość ostrosłupa dzieli nam wysokość podstawy właśnie na dwa odcinki o długości \(\frac{1}{3}h_{p}\) oraz \(\frac{2}{3}h_{p}\). To oznacza, że:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}$$ $$|DO|=\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa oraz wysokości ściany bocznej.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(DOS\). To właśnie z niego obliczymy wysokość całej bryły. Możemy to zrobić albo z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), albo po prostu korzystając z tangensa:
$$tg30°=\frac{H}{|DO|}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{\sqrt{3}} \quad\bigg/\cdot\sqrt{3}$$ $$H=\frac{3}{3}$$ $$H=1$$

Krok 6. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Musimy obliczyć jeszcze wysokość ściany bocznej, bo przyda nam się to do obliczenia pola powierzchni bocznej. Tutaj możemy skorzystać z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), z funkcji trygonometrycznych, albo nawet z Twierdzenia Pitagorasa. Mamy więc pełną dowolność. Obliczmy to może z funkcji trygonometrycznych, a konkretniej z sinusa:
$$sin30°=\frac{H}{h_{b}}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{1}{h_{b}}$$ $$\frac{1}{2}h_{b}=1$$ $$h_{b}=2$$

Krok 7. Obliczenie objętości bryły.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, zatem możemy przystąpić do obliczenia objętości bryły. W podstawie możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot1$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4}$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}$$ $$V=3\sqrt{3}$$

Krok 8. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Na pole powierzchni bocznej składają się trzy trójkąty w których \(a=6\) oraz \(h_{b}=2\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah$$ $$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot2$$ $$P_{b}=3\cdot3\cdot2$$ $$P_{b}=18$$

Wysokość ostrosłupa wyznaczymy podstawiając do wzoru na objętość tej bryły wszystkie dane z treści zadania, pamiętając że w podstawie tego ostrosłupa mamy kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny):
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$432=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot H$$ $$432=\frac{1}{3}\cdot144\cdot H$$ $$432=48\cdot H$$ $$H=9$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i analiza danych z treści zadania.



Dorysujmy sobie wysokość naszego ostrosłupa, bo będzie nam ona potrzebna do obliczenia objętości. Widzimy wyraźnie, że wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACS\). Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to wszystkie ramiona trójkąta \(ACS\) mają tą samą długość (patrz kolor pomarańczowy na rysunku), a więc na pewno jest to trójkąt równoramienny. Ale... okazuje się, że on jest nawet nie tyle równoramienny, co równoboczny. Skąd to wynika? Wiemy, że między pomarańczowymi ramionami kąt ma miarę \(60°\). To oznacza, że kąty przy podstawie muszą mieć łącznie \(180°-60°=120°\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie muszą mieć tą samą miarę, czyli każdy z nich ma\(120°:2=60°\). Z tego wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ACS\) będą mieć \(60°\).

Dostrzeżenie tej własności bardzo ułatwia nam rozwiązanie zadania, bo w tablicach mamy bezpośredni wzór na wysokość trójkąta równobocznego. Gdybyśmy nie zauważyli że to trójkąt równoboczny, to moglibyśmy próbować obliczyć wysokość z tangensa w trójkącie \(AOS\).

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy na pewno kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Długość tej przekątnej jest podana w treści i wynosi \(|AC|=4\sqrt{2}\), zatem w podstawie mamy kwadrat o boku \(4\). To oznacza, że jego pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2$$ $$P_{p}=4^2$$ $$P_{p}=16$$

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=4\sqrt{2}\). Ta przekątna kwadratu jest jednocześnie podstawią naszego trójkąta równobocznego \(ACS\), a więc wysokość obliczymy w następujący sposób:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$H=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}$$ $$H=\frac{4\sqrt{6}}{2}$$ $$H=2\sqrt{6}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, więc możemy podstawić dane i obliczyć objętość ostrosłupa.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{6}$$ $$V=\frac{32\sqrt{6}}{3}$$

Krok 1. Obliczenie liczby kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(3n\) krawędzi. Zatem w podstawie graniastosłupa znajduje się:
$$3n=24$$ $$n=8$$ $$\text{(czyli ośmiokąt)}$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(2n\) wierzchołków, zatem łącznie wszystkich wierzchołków będziemy mieć:
$$2\cdot8=16$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną sześcianu (\(s\)) oraz przekątną podstawy (\(d\)), która przyda nam się do dalszych obliczeń. I tu od razu możemy zauważyć, że nasza przekątna podstawy jest tak naprawdę przekątną kwadratu, który znalazł się w podstawie sześcianu. Zatem jeśli długość krawędzi oznaczymy jako \(a\) to \(d=a\sqrt{2}\).



Krok 2. Wyznaczenie wzoru ogólnego na długość przekątnej sześcianu.
Ten krok możemy pominąć, jeśli po prostu pamiętamy że przekątna sześcianu jest opisana wzorem \(s=a\sqrt{3}\). Niestety tego wzoru nie ma w tablicach maturalnych, dlatego zobaczmy jak go łatwo możemy sobie wyprowadzić.

Spójrzmy na trójkąt \(BDH\). Jest on prostokątny, a jego przyprostokątne mają długośc odpowiednio \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+(a\sqrt{2})^2=s^2$$ $$a^2+2a^2=s^2$$ $$s^2=3a^2$$ $$s=\sqrt{3\cdot a^2}$$ $$s=a\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Z treści zadania wynika, że \(a=s-2\). Możemy teraz podstawić tą zależność do wyznaczonego wzoru z kroku drugiego i otrzymamy wtedy:
$$s=(s-2)\sqrt{3}$$ $$s=s\sqrt{3}-2\sqrt{3}$$ $$s-s\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot(-1)$$ $$s\sqrt{3}-s=2\sqrt{3}$$ $$s(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$$ $$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$

(Mnożenie przez \(-1\) nie było koniecznie, ale sprawiało że pozbyliśmy się minusów, więc warto było ten krok wykonać). Teoretycznie otrzymany wynik można byłoby uznać za prawidłowy, ale warto tutaj jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez (\(\sqrt{3}+1\)).
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$ $$s=\frac{2\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1\cdot(\sqrt{3}+1)}$$ $$s=\frac{6+2\sqrt{3}}{3-1}$$ $$s=\frac{6+2\sqrt{3}}{2}$$ $$s=3+\sqrt{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):



Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:
$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h$$ $$r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$2=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$ $$a\sqrt{3}=12$$ $$a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H$$ $$72=4\sqrt{3}\cdot H$$ $$H=\frac{72}{4\sqrt{3}}$$ $$H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
$$|OD|=r=2$$ $$|SO|=H=6\sqrt{3}$$ $$\text{więc}$$ $$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$ $$tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Podstawiając do wzoru na objętość ostrosłupa dane z treści zadania otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$32=\frac{1}{3}\cdot4\cdot4\cdot H$$ $$32=\frac{1}{3}\cdot16\cdot H$$ $$2=\frac{1}{3}H$$ $$H=6$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten graniastosłup, oznaczając na nim dane z treści zadania.



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z kluczowych odcinków powstał nam trójkąt prostokątny, dzięki czemu będziemy w stanie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Możemy zatem zapisać, że:
$$(H+4)^2+H^2=(H+8)^2$$ $$H^2+8H+16+H^2=H^2+16H+64$$ $$2H^2+8H+16=H^2+16H+64$$ $$H^2-8H-48=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-48)=64-(-192)=64+192=256$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$

$$H_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-16}{2\cdot1}=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$ $$H_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+16}{2\cdot1}=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=12\).

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Zgodnie z naszym rysunkiem oraz zgodnie możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{H}{H+8}$$ $$sinα=\frac{12}{12+8}$$ $$sinα=\frac{12}{20}$$ $$sinα=\frac{3}{5}$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Skoro w sześcianie mamy sześć ścian, a pole każdej z nich możemy zapisać jako \(a^2\), to znając pole powierzchni całkowitej możemy wyznaczyć długość krawędzi sześcianu:
$$6a^2=12$$ $$a^2=2$$ $$a=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
W sześcianie znajduje się \(12\) krawędzi, zatem:
$$12\cdot a=12\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:



Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).

Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.

Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:
$$tg30°=\frac{3}{a}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$\sqrt{3}a=9$$ $$a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:
$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2$$ $$9+9\cdot3=|DB|^2$$ $$9+27=|DB|^2$$ $$|DB|^2=36$$ $$|DB|=6$$

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):
$$tg60°=\frac{H}{6}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{6}$$ $$H=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}$$ $$V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}$$ $$V=54\cdot3$$ $$V=162$$

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znać długość krawędzi tego sześcianu. Wyznaczymy ją ze wzoru na objętość, bowiem to właśnie objętość jest podana w treści zadania:
$$V=a^3$$ $$64=a^3$$ $$a=\sqrt[3]{64}$$ $$a=4$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Znając długość krawędzi sześcianu możemy przystąpić do obliczenia jego pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$ $$P_{c}=6\cdot4^2$$ $$P_{c}=6\cdot16$$ $$P_{c}=96$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną \(AC\), bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie \(ACS\).



Warto zauważyć, że skoro \(ACS\) jest trójkątem równobocznym, to \(|AC|=|AS|=|SD|=8\).

Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo \(|AC|=8\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8$$ $$a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta \(ACS\) ma długość \(a=8\).
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$|SE|=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$ $$|SE|=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SF\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(FDS\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt \(F\) znajduje się w połowie długości odcinka \(AD\), bo \(ADS\) jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka \(AD\) wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
$$|FD|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}$$ $$|FD|=2\sqrt{2}$$

Skoro znamy długość \(|FD|=2\sqrt{2}\), wiemy też, że \(|SD|=8\), to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość \(|SF|\):
$$|FD|^2+|SF|^2=|SD|^2$$ $$(2\sqrt{2})^2+|SF|^2=8^2$$ $$4\cdot2+|SF|^2=64$$ $$8+|SF|^2=64$$ $$|SF|^2=56$$ $$|SF|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}$$

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$ $$sinα=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}}$$ $$sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}$$ $$sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}$$ $$sinα=\frac{4\sqrt{42}}{2\cdot14}$$ $$sinα=\frac{4\sqrt{42}}{28}$$ $$sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}$$

W naszej siatce powinniśmy się spodziewać dwóch różnych rodzajów trójkątów. Pierwszym rodzajem są trójkąty \(ABE\) oraz \(ADE\) (są na pewno prostokątne i równoramienne bo wyznacza nam to bok sześcianu). Drugim rodzajem są trójkąty \(BCE\) oraz \(CDE\) (też będą to trójkąty prostokątne, ale już nie będą równoramienne no i będą tak jakby "dłuższe").

Już ta pierwsza weryfikacja sprawia, że odrzucimy odpowiedzi \(C\) i \(D\), bo tam wszystkie trójkąty są jednakowych rozmiarów. Teraz używając naszej wyobraźni przestrzennej musimy dokonać wyboru między \(A\) i \(B\). Siatka \(A\) różni się od \(B\) jedynie ułożeniem dwóch "dłuższych" trójkątów. W siatce \(B\) najdłuższe krawędzie wychodzą z jednego wierzchołka i to jest dla nas znak, że po złożeniu te krawędzie idealnie się ze sobą spasują. W siatce \(A\) już takiej zależności nie znajdziemy i w zasadzie po złożeniu tej siatki otrzymamy bardzo nieregularną figurę przestrzenną (nie będzie nam nawet to przypominać ostrosłupa). Stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(B\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.

Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:



To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2$$ $$|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2$$ $$|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2$$ $$|SO|^2+4\cdot3=100$$ $$|SO|^2+12=100$$ $$|SO|^2=88$$ $$|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2$$ $$|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2$$ $$2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2$$ $$4+4\cdot22=|BS|^2$$ $$|BS|^2=92$$ $$|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$

Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początku stwórzmy prosty rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy przede wszystkim kąt \(α\) (co stanowi w sumie jedną z większych pułapek tego zadania, bo zazwyczaj zaznaczamy inne kąty w ostrosłupie niż kąt płaski ściany bocznej) oraz kąt \(β\), który jest kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy:



Krok 2. Rozpisanie tangensa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DBS\), który utworzył nam się na rysunku pomocniczym. Wiemy, że tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(α\) do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku otrzymamy więc następujące równanie:
$$tgα=\frac{h_{b}}{\frac{1}{2}a}$$ $$2=\frac{h_{b}}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a$$ $$a=h_{b}$$

Z naszych obliczeń wynika więc, że wysokość ściany bocznej jest równa długości krawędzi podstawy.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skorzystamy teraz z informacji, która mówi że pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\). W naszym ostrosłupie mamy \(3\) identyczne ściany boczne, zatem pole powierzchni każdej z nich jest równe:
$$P_{b}=24:3=8$$

W ścianie bocznej znajduje się trójkąt o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h_{b}\), która jak już ustaliliśmy jest równa długości \(a\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{b}$$ $$8=\frac{1}{2}a\cdot a$$ $$16=a^2$$ $$a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. W związku z tym \(a=4\) i tym samym \(h_{b}=4\).

Krok 4. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie oraz obliczenie długości odcinka \(AO\).
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(AOS\) z zaznaczonym kątem \(β\). To właśnie cosinus tego kąta musimy wyznaczyć, a do tego niezbędna będzie znajomość odcinka \(AO\). Czym jest ten odcinek \(AO\)? Jest to długość \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności trójkątów równobocznych). Musimy więc obliczyć wysokość trójkąta równobocznego, korzystając z następującego wzoru:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{p}=2\sqrt{3}$$

Odcinek \(AO\) jest zatem równy:
$$|AO|=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Krok 5. Obliczenie wartości cosinusa.
Mamy już komplet informacji do obliczenia cosinusa, bowiem cosinus opisuje zależność między przyprostokątną leżącą przy kącie (u nas jest to \(|AO|=\frac{2\sqrt{3}}{3}\), a przeciwprostokątną (u nas jest to \(h_{b}=4\)). W związku z tym:
$$cosβ=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{4}$$ $$cosβ=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{4}$$ $$cosβ=\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy do głównego rysunku dwie wysokości - pierwszą niech będzie wysokość trójkąta \(ABC\) oraz drugą, tym razem trójkąta \(ABF\). Dodatkowo podpiszmy długości poszczególnych boków, a skoro jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie mamy trójkąt równoboczny, czyli więc wszystkie krawędzie podstawy mają długość \(8\).



Krok 2. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABF\), czyli odcinka \(FG\).
Możemy dostrzec, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym (obydwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych). Korzystając więc z pola trójkąta podanego w treści zadania (\(P=52\)) oraz długości podstawy trójkąta (\(a=8\)) możemy obliczyć wysokość trójkąta \(ABF\):
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1}$$ $$52=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h_{1}$$ $$52=4h_{1}$$ $$h_{1}=13$$

Wysokość \(|FG|\) jest więc równa \(13\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\), czyli odcinka \(CG\).
Jak już sobie ustaliliśmy - w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku długości \(a=8\). Jego wysokość możemy więc obliczyć korzystając z następującego wzoru:
$$h_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$ $$h_{2}=4\sqrt{3}$$

Wysokość \(|CG|\) jest więc równa \(4\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa, czyli odcinka \(FC\).
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest oczywiście wysokość graniastosłupa. Wyznaczymy ją przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa z trójkąta \(FCG\):
$$|FC|^2+|CG|^2=|FG|^2$$ $$|FC|^2+(4\sqrt{3})^2=13^2$$ $$|FC|^2+16\cdot3=169$$ $$|FC|^2+48=169$$ $$|FC|^2=121$$ $$|FC|=11$$

Wysokość całego graniastosłupa jest więc równa \(H=11\).

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, to jego pole jest równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P=\frac{64\sqrt{3}}{4}$$ $$P=16\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie dane, tak więc możemy przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=16\sqrt{3}\cdot11$$ $$V=176\sqrt{3}$$

To zadanie jest bardzo proste jeśli pamiętamy że istnieje wzór na przekątną sześcianu. Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). W związku z tym skoro w naszym zadaniu \(a=9\), to przekątna ma długość \(9\sqrt{3}\).

Tego wzoru niestety nie ma w tablicach maturalnych, dlatego też jeśli byśmy o nim nie pamiętali, to musimy obliczyć to zadanie na piechotę. Zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:



Przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie ma długość \(a\sqrt{2}\), czyli w tym przypadku \(9\sqrt{2}\). Tworzy ona wraz z krawędzią boczną przyprostokątne trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest nasza poszukiwana przekątna sześcianu. Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie nam, że:
$$9^2+(9\sqrt{2})^2=s^2$$ $$81+81\cdot2=s^2$$ $$81+162=s^2$$ $$s^2=243$$ $$s=\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot3}=9\sqrt{3}$$