Pola czworokątów

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków:

$$P=a\cdot b=7\cdot4=28$$

Pułapka: odpowiedź A ($22$ cm) to obwód, a nie pole. Pole podajemy zawsze w jednostkach kwadratowych.

Odpowiedź: B. $28$ cm$^2$.

Pole równoległoboku liczymy jak pole prostokąta — podstawa razy wysokość:

$$P=a\cdot h=9\cdot5=45$$

Dlaczego tak? Odcinając z równoległoboku trójkąt z jednej strony i doklejając go z drugiej, otrzymujemy prostokąt o tej samej podstawie i wysokości.

Uwaga: wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: $45$ cm$^2$.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{12\cdot6}{2}=\frac{72}{2}=36$$

Skąd dzielenie przez 2: dwa jednakowe trójkąty składają się dokładnie w równoległobok o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

W trapezie dwie podstawy mają różne długości, więc bierzemy ich sumę i dzielimy przez dwa — czyli używamy ich średniej:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Sprawdzenie sensu wzoru: gdy $a=b$, trapez staje się równoległobokiem i wzór daje $\frac{2a\cdot h}{2}=a\cdot h$ — dokładnie tyle, ile powinien.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — sumujemy podstawy:

$$a+b=8+12=20$$

Krok 2 — podstawiamy do wzoru:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{20\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

Pole rombu obliczamy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24$$

Najczęstszy błąd to pominięcie dzielenia przez $2$, co daje błędne $48$ cm$^2$.

Odpowiedź: A. $24$ cm$^2$.

Wychodzimy ze wzoru na pole i przekształcamy go tak, aby wyznaczyć wysokość:

$$P=\frac{a\cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$

Podstawiamy dane:

$$h=\frac{2\cdot30}{10}=\frac{60}{10}=6$$

Sprawdzenie: $\frac{10\cdot6}{2}=30$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — długość boku. Kwadrat ma cztery równe boki:

$$a=36:4=9$$

Krok 2 — pole:

$$P=a^2=9\cdot9=81$$

Uwaga na kolejność: nie da się policzyć pola bezpośrednio z obwodu — najpierw trzeba wyznaczyć bok.

Odpowiedź: $81$ cm$^2$.

Kluczowa zależność między jednostkami pola:

$$1\ \text{m}^2=100\ \text{cm}\cdot100\ \text{cm}=10\,000\ \text{cm}^2$$

Dzielimy więc przez $10\,000$:

$$30\,000:10\,000=3$$

Pułapka: przy jednostkach pola przelicznik wynosi $10\,000$, a nie $100$ jak przy długości.

Odpowiedź: D. $3$ m$^2$.

Krok 1 — pole w metrach kwadratowych:

$$P=25\cdot16=400$$

Krok 2 — zamiana na ary:

$$400:100=4$$

Odpowiedź: pole działki to $400$ m$^2$, czyli $4$ ary.

We wzorze $P=\frac{a\cdot h}{2}$ pole jest wprost proporcjonalne do wysokości.

Sprawdźmy na liczbach. Niech $a=10$, a wysokości to $4$ i $2$:

$$P_1=\frac{10\cdot4}{2}=20,\qquad P_2=\frac{10\cdot2}{2}=10$$

Rzeczywiście $20$ to dwa razy więcej niż $10$.

Uwaga: czterokrotny wzrost pola nastąpiłby, gdyby powiększyć obie wielkości dwukrotnie.

Odpowiedź: B.

Przekształcamy wzór na pole równoległoboku:

$$P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad a=\frac{P}{h}$$

Podstawiamy dane:

$$a=\frac{72}{8}=9$$

Sprawdzenie: $9\cdot8=72$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: podstawa ma $9$ cm.

Krok 1 — pole ogrodu:

$$P=\frac{(14+10)\cdot6}{2}=\frac{24\cdot6}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Ogród ma $72$ m$^2$.

Krok 2 — koszt:

$$72\cdot8=576$$

Odpowiedź: obsianie ogrodu kosztuje $576$ zł.

Pole prostokąta:

$$P_1=8\cdot4=32$$

Bok kwadratu o obwodzie $24$ cm:

$$a=24:4=6$$

Pole kwadratu:

$$P_2=6\cdot6=36$$

Różnica: $36-32=4$ cm$^2$ na korzyść kwadratu.

Wniosek: ten sam obwód nie oznacza tego samego pola — spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: C.

Pole figury złożonej to suma pól jej części.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot4=40$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{10\cdot3}{2}=15$$

Krok 3 — sumujemy:

$$P=40+15=55$$

Odpowiedź: $55$ cm$^2$.

Od pola całej kartki odejmujemy pole wyciętego otworu.

Krok 1 — pole kartki:

$$P_1=12\cdot12=144$$

Krok 2 — pole otworu:

$$P_2=5\cdot5=25$$

Krok 3 — różnica:

$$P=144-25=119$$

Odpowiedź: $119$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór na pole rombu:

$$P=\frac{e\cdot f}{2} \quad\Rightarrow\quad f=\frac{2P}{e}$$

Podstawiamy dane:

$$f=\frac{2\cdot40}{10}=\frac{80}{10}=8$$

Sprawdzenie: $\frac{10\cdot8}{2}=40$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: A. $8$ cm.

Krok 1 — pole podłogi:

$$P=5\cdot4=20$$

Krok 2 — liczba paczek:

$$20:2=10$$

Uwaga praktyczna: gdyby wynik nie był liczbą całkowitą, trzeba by go zaokrąglić w górę — nie da się kupić części paczki.

Odpowiedź: potrzeba $10$ paczek.

Krok 1 — podstawiamy dane do wzoru:

$$60=\frac{(9+b)\cdot8}{2}$$

Krok 2 — upraszczamy prawą stronę:

$$60=(9+b)\cdot4$$

Krok 3 — dzielimy przez 4:

$$15=9+b \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Sprawdzenie: $\frac{(9+6)\cdot8}{2}=\frac{15\cdot8}{2}=60$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: druga podstawa ma $6$ cm.

Krok 1 — pole całej działki:

$$P=30\cdot20=600$$

Krok 2 — pole ścieżki. Pas biegnie wzdłuż boku o długości $30$ m i ma $4$ m szerokości:

$$P_{sc}=30\cdot4=120$$

Krok 3 — pozostała część:

$$600-120=480$$

Krok 4 — jaką część stanowi ścieżka:

$$\frac{120}{600}=\frac{1}{5}$$

Sprawdzenie inną drogą: po odjęciu pasa zostaje prostokąt $30$ m na $16$ m, czyli $30\cdot16=480$ m$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: ścieżka ma $120$ m$^2$, reszta działki $480$ m$^2$; ścieżka to $\frac15$ całości.

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{10\cdot6}{2}=30\ \text{cm}^2$$

Pułapka: pominięcie dzielenia przez $2$ daje $60$ — to pole prostokąta o tych wymiarach.

Odpowiedź: B. $30$ cm$^2$.

$$P=a\cdot h=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga: we wzorze występuje wysokość, a nie długość drugiego boku — bok jest zawsze dłuższy od wysokości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(8+12)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Skąd ten wzór: romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych przekątnym i zajmuje jego połowę.

Odpowiedź: C. $24$ cm$^2$.

Z wzoru $P=\frac{a h}{2}$ wyznaczamy wysokość:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{56}{8}=7\ \text{cm}$$

Uwaga na dwójkę: to najczęściej gubiony element przy zadaniu odwrotnym.

Odpowiedź: $7$ cm.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości:

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $30$ cm$^2$.

Z wzoru $P=a\cdot h$:

$$a=54:6=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $9\cdot6=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $9$ cm.

Krok 1 — z wzoru wyznaczamy sumę podstaw:

$$a+b=\frac{2P}{h}=\frac{90}{6}=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — druga podstawa:

$$b=15-9=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{(9+6)\cdot6}{2}=45$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $6$ cm.

Wzór $P=\frac{a h}{2}$ zależy wyłącznie od podstawy i wysokości. Trójkąt może być ostrokątny albo rozwartokątny — pole będzie takie samo.

Odpowiedź: D. są równe.

Krok 1 — pole w metrach kwadratowych:

$$P=\frac{(30+20)\cdot16}{2}=\frac{800}{2}=400\ \text{m}^2$$

Krok 2 — zamiana na ary ($1$ ar $=100$ m$^2$):

$$400:100=4\ \text{ary}$$

Odpowiedź: $4$ ary.

Romb jest równoległobokiem, więc działa wzór $P=a\cdot h$:

$$P=5\cdot4=20\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wzór $\frac{e f}{2}$ stosujemy, gdy dane są przekątne. Tutaj podano bok i wysokość, więc korzystamy z pierwszego wzoru.

Odpowiedź: B. $20$ cm$^2$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot6=60\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{10\cdot4}{2}=20\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=60+20=80\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $80$ cm$^2$.

Z wzoru $P=\frac{e f}{2}$ wyznaczamy drugą przekątną:

$$f=\frac{2P}{e}=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{9\cdot8}{2}=36$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

$$P=\frac{(7+13)\cdot4}{2}=\frac{80}{2}=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: odpowiedź A powstaje przez pominięcie dzielenia przez $2$.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

Krok 1 — powierzchnia:

$$P=25\cdot12=300\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$300\cdot3=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $900$ zł.

Powstałe trójkąty mają wspólną przekątną i takie same pozostałe boki — są przystające, więc ich pola są równe. Każdy ma pole równe połowie pola równoległoboku.

To wyjaśnia wzór na pole trójkąta: $\frac{a h}{2}$ to dokładnie połowa pola równoległoboku $a\cdot h$.

Odpowiedź: A. dwa trójkąty o równych polach.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=12\cdot8=96\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{12\cdot8}{2}=48\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$96-48=48\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: trójkąt o podstawie i wysokości równych bokom prostokąta zajmuje dokładnie połowę jego pola — dlatego obie części są równe.

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Krok 1 — pole trapezu:

$$P_1=\frac{(14+6)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta o podstawie $20$ cm i wysokości $5$ cm:

$$P_2=\frac{20\cdot5}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — porównanie. Pola są równe.

Dlaczego tak wyszło: oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku $\frac{(a+b)h}{2}$ — trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości.

Odpowiedź: oba pola wynoszą $50$ cm$^2$.

Krok 1 — pole całej działki:

$$P=30\cdot30=900\ \text{m}^2$$

Krok 2 — każda część. Przekątna dzieli kwadrat na dwa przystające trójkąty:

$$900:2=450\ \text{m}^2$$

Krok 3 — koszty:

$$\text{trawa: } 450\cdot2=900\ \text{zł}$$

$$\text{kostka: } 450\cdot85=38\,250\ \text{zł}$$

Krok 4 — razem:

$$900+38\,250=39\,150\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $39\,150$ zł.

Krok 1 — pole trapezu:

$$P_1=\frac{(16+10)\cdot8}{2}=\frac{208}{2}=104\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole rombu:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=104-12=92\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $92$ cm$^2$.

Pole prostokąta to $a\cdot b$.

Odpowiedź: B.

$$P=\tfrac{4+6}{2}\cdot2=10$$

Odpowiedź: $10$.

$$P=\tfrac{6\cdot8}{2}=24$$

Odpowiedź: C.

$$P=7^2=49$$

Odpowiedź: $49$.

$$P=a\cdot h \Rightarrow 20=5h \Rightarrow h=4$$

Odpowiedź: $4$.

$$30=\tfrac{4+8}{2}\cdot h=6h \Rightarrow h=5$$

Odpowiedź: $5$.

$54$.

Odpowiedź: $54$.

$\tfrac{ef}{2}$.

Odpowiedź: C.

$\tfrac{80}{2}=40$.

Odpowiedź: $40$.

$28$.

Odpowiedź: $28$.

$\tfrac{5+9}{2}\cdot4=28$.

Odpowiedź: $28$.

$P=\tfrac{d^2}{2}$.

Odpowiedź: B.

$48:6=8$.

Odpowiedź: $8$.

$81$.

Odpowiedź: $81$.

$\tfrac{6f}{2}=24 \Rightarrow f=8$.

Odpowiedź: $8$.

$\tfrac{14}{2}h=35 \Rightarrow 7h=35 \Rightarrow h=5$.

Odpowiedź: $5$.

$a\sqrt2=5\sqrt2$.

Odpowiedź: A.

$\tfrac{36}{2}=18$.

Odpowiedź: $18$.

$2(2x+2)=20 \Rightarrow x=4$; boki $4,6$; pole $24$.

Odpowiedź: $24$.

$\tfrac{20+30}{2}\cdot10=250$ m².

Odpowiedź: $250$ m².

1. Druga przyprostokątna: $\sqrt{169-25}=12$.
2. $P=\tfrac12\cdot5\cdot12=30$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — brak $\tfrac12$; C — pomnożono przez przeciwprostokątną.

1. $P=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — to wysokość trójkąta.

1. $P=\tfrac12\cdot8\cdot5\cdot\sin30^\circ=20\cdot\tfrac12=10$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — użyty $\sin60^\circ$ zamiast $\sin30^\circ$.

1. $P=a^2\sin\alpha=16\cdot\tfrac12=8$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — pole kwadratu o boku $4$.

1. $P=ab\sin\alpha=30\cdot\sin120^\circ=30\cdot\tfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — użyte $\cos60^\circ$; C — pominięte $\tfrac{\sqrt3}{2}$ jako $\sqrt3$.

1. $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=89-40=49$, $c=7$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — policzone dla $120^\circ$ ($\cos=-\tfrac12$); D — Pitagoras, choć kąt nie jest prosty.

1. Tw. sinusów: $\dfrac{|BC|}{\sin\angle A}=2R \Rightarrow \dfrac{10}{\tfrac12}=20=2R$, więc $R=10$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — to $2R$, czyli średnica.

1. 1. $36+64=100$ — z twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa trójkąt jest prostokątny — prawda.
2. 2. $P=\tfrac12\cdot6\cdot8=24\ne48$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $R=\dfrac{a\sqrt3}{3} \Rightarrow a=\dfrac{3R}{\sqrt3}=\sqrt3R=\sqrt3\cdot4\sqrt3=12$.

Odpowiedź: $12$

1. Tw. cosinusów: $|BC|^2=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot\cos120^\circ=136+60=196$, więc $|BC|=14$.
2. Pole: $P=\tfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ=30\cdot\tfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$.

Odpowiedź: $|BC|=14$, $P=15\sqrt3$

1. $P=a^2=5^2$.
2. $=25$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to obwód.

1. $P=a\cdot b=4\cdot6$.
2. $=24$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to obwód.

1. $P=a\cdot h=10\cdot4$.
2. $=40$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to obwód przybliżony.

1. $P=\tfrac12(4+6)\cdot5=\tfrac12\cdot10\cdot5$.
2. $=25$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija czynnik $\tfrac12$.

1. $P=3\cdot8=24$.
2. $Obw=2(3+8)=22$.

Odpowiedź: $P=24$, $Obw=22$.

1. $a^2=36$.
2. $a=6$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B błędnie dzieli $36:4$.

1. $P=\tfrac12\cdot10\cdot4$.
2. $=20$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac12$.

1. $P=\tfrac12(5+9)\cdot4=\tfrac12\cdot14\cdot4$.
2. $=28$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija czynnik $\tfrac12$.

1. $6\cdot b=48$.
2. $b=8$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A odejmuje zamiast dzielić.

1. $P=\tfrac12(a+b)h=\tfrac12(6+10)\cdot5$.
2. $=\tfrac12\cdot16\cdot5=40$.

Odpowiedź: $40$.

1. $P=7^2=49$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to obwód.

1. $P=5\cdot8=40$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to obwód.

1. $P=\tfrac12\cdot6\cdot10=30$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac12$.