Ostrosłupy

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości:

$$V=\frac13 P_p\cdot H$$

Warto zapamiętać: ostrosłup ma dokładnie trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: C. $V=\frac13 P_p\cdot H$.

$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot30\cdot9=90\ \text{cm}^3$$

Wskazówka rachunkowa: najpierw dzielimy przez $3$ tę liczbę, która się dzieli — tutaj $30:3=10$, potem $10\cdot9=90$.

Odpowiedź: $90$ cm³.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\cdot36\cdot10=120\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $120$ cm³.

„Prawidłowy czworokątny” oznacza w podstawie wielokąt foremny o czterech bokach, czyli kwadrat, a wierzchołek nad jego środkiem.

Odpowiedź: B. kwadrat.

$$P_c=P_p+P_b$$

Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $P_b$ — suma pól wszystkich ścian bocznych (trójkątów).

Uwaga: ostrosłup ma tylko jedną podstawę, w przeciwieństwie do graniastosłupa, który ma dwie.

Odpowiedź: $P_c=P_p+P_b$.

Ostrosłup ma jedną podstawę oraz tyle ścian bocznych, ile boków ma podstawa:

$$1+6=7$$

Ogólnie: ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ ścian, $n+1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.

Odpowiedź: D. $7$.

Krok 1 — jedna ściana boczna. To trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$:

$$P_{\triangle}=\frac{8\cdot5}{2}=20$$

Krok 2 — cztery jednakowe ściany:

$$P_b=4\cdot20=80$$

Uwaga na pojęcie apotemy: to wysokość ściany bocznej (trójkąta), nie wysokość całego ostrosłupa. Łatwo je pomylić.

Odpowiedź: $P_b=80$.

Krok 1 — przekształcamy wzór na objętość:

$$V=\frac13 P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad P_p=\frac{3V}{H}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P_p=\frac{3\cdot60}{5}=\frac{180}{5}=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga: mnożymy przez $3$, bo we wzorze na objętość dzieliliśmy przez $3$ — przekształcenie musi to odwrócić.

Odpowiedź: $P_p=36$ cm².

Czworościan foremny ma cztery jednakowe ściany będące trójkątami równobocznymi. To najprostszy z brył platońskich.

Ciekawostka: w czworościanie foremnym każda z czterech ścian może pełnić rolę podstawy — wszystkie są równoważne.

Odpowiedź: A. trójkątami równobocznymi.

Podstawiamy do wzoru na objętość ostrosłupa:

$$V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot8=\frac{72\sqrt3}{3}=24\sqrt3\approx41{,}6$$

Odpowiedź: $V=24\sqrt3$.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ krawędzi: $n$ w podstawie i $n$ bocznych.

$$2\cdot4=8$$

Odpowiedź: C. $8$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — pole boczne. Cztery trójkąty o podstawie $6$ i wysokości $4$:

$$P_b=4\cdot\frac{6\cdot4}{2}=4\cdot12=48$$

Krok 3 — pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b=36+48=84$$

Odpowiedź: $P_c=84$.

Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości:

$$V_{ostr}=\frac13 V_{gran}=\frac13\cdot150=50\ \text{cm}^3$$

Interpretacja. Trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie jeden graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — stąd współczynnik $\frac13$.

Odpowiedź: $50$ cm³.

Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i pada na jej środek (w ostrosłupie prawidłowym).

Nie mylić z apotemą — wysokością ściany bocznej, która łączy wierzchołek ze środkiem krawędzi podstawy.

Odpowiedź: B. środkiem podstawy, prostopadły.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — z wzoru na objętość wyznaczamy $H$:

$$V=\frac13 P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad H=\frac{3V}{P_p}$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$H=\frac{3\cdot48}{36}=\frac{144}{36}=4$$

Odpowiedź: $H=4$.

Objętość jest wielkością trójwymiarową, więc zależy od trzeciej potęgi współczynnika skali:

$$2^3=8$$

Zależność wymiarów: długości rosną $2$ razy, pola $4$ razy, objętości $8$ razy.

Odpowiedź: A. ośmiokrotnie.

Krok 1 — trójkąt do apotemy. Apotema $h_b$, wysokość ostrosłupa $H=4$ i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Połowa krawędzi to $3$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$h_b=\sqrt{H^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — pole boczne:

$$P_b=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=4\cdot15=60$$

Klucz do zadania. Apotema łączy się z wysokością ostrosłupa przez odległość od środka podstawy do środka jej krawędzi — a ta odległość to połowa boku kwadratu.

Odpowiedź: apotema $5$, $P_b=60$.

Krok 1 — przekątna podstawy. Kwadrat o boku $10$ ma przekątną:

$$d=10\sqrt2$$

Krok 2 — połowa przekątnej to odległość środka podstawy od wierzchołka:

$$\frac{d}{2}=5\sqrt2$$

Krok 3 — krawędź boczna z twierdzenia Pitagorasa. Tworzy trójkąt prostokątny z wysokością i połową przekątnej:

$$k=\sqrt{H^2+\left(5\sqrt2\right)^2}=\sqrt{144+50}=\sqrt{194}\approx13{,}9$$

Uwaga na wybór odcinka. Do krawędzi bocznej używamy połowy przekątnej (do wierzchołka podstawy), a nie połowy boku (tamta prowadzi do apotemy).

Odpowiedź: $k=\sqrt{194}$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Krok 2 — wysokość czworościanu. Korzystamy ze wzoru $H=\frac{a\sqrt6}{3}$:

$$H=\frac{6\sqrt6}{3}=2\sqrt6$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6=\frac13\cdot18\sqrt{18}=6\cdot3\sqrt2=18\sqrt2$$

Rachunek pierwiastków: $\sqrt3\cdot\sqrt6=\sqrt{18}=3\sqrt2$, stąd uproszczenie.

Sprawdzenie wzorem gotowym: objętość czworościanu foremnego to $\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $V=18\sqrt2$.

Krok 1 — punkt wyjścia. Wzór na objętość ostrosłupa zależy wyłącznie od pola podstawy i wysokości:

$$V=\frac13 P\cdot H$$

Krok 2 — obserwacja. We wzorze nie występuje kształt podstawy — tylko jej pole $P$. Zatem dwa ostrosłupy o podstawach różnego kształtu, ale tym samym polu i tej samej wysokości, mają równe objętości. $\qquad ∎$

Krok 3 — przykład. Weźmy $H=6$ i pole podstawy $P=12$:

• podstawa kwadratowa o boku $\sqrt{12}=2\sqrt3$ — pole $12$,
• podstawa trójkątna o polu $12$ (np. podstawa $6$ i wysokość $4$).

W obu przypadkach:

$$V=\frac13\cdot12\cdot6=24$$

Kontekst. To szczególny przypadek zasady Cavalieriego: bryły o jednakowych polach przekrojów na każdej wysokości mają równe objętości.

Wniosek: objętość ostrosłupa zależy tylko od pola podstawy i wysokości, a nie od kształtu podstawy — oba przykłady dały $V=24$.

1. $a^3=216 \Rightarrow a=6$. Przekątna: $a\sqrt3=6\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — przekątna ściany (kwadratu), a nie sześcianu.

1. $d=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — suma krawędzi; C — przekątna ściany $2\times3$.

1. $P_p=\frac{16\sqrt3}4=4\sqrt3$, $V=4\sqrt3\cdot5=20\sqrt3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — wzór dla ostrosłupa (z $\frac13$); A — podstawa jako kwadrat.

1. $V=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — wzór stożka; B — pole powierzchni bocznej $2\pi rH$.

1. $H=\sqrt{100-36}=8$.
2. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — bez $\frac13$; C — wysokość zastąpiona tworzącą.

1. $\tfrac43\pi r^3=36\pi \Rightarrow r^3=27 \Rightarrow r=3$.
2. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pole koła wielkiego; D — $r^3$ zamiast pola.

1. Trójkąt: wysokość ostrosłupa $4$, połowa krawędzi podstawy $3$, wysokość ściany — przeciwprostokątna.
2. $h_b=\sqrt{16+9}=5$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — to krawędź boczna (z połową przekątnej $3\sqrt2$); A — użyta cała krawędź $6$.

1. 1. $V_s=\tfrac13\pi r^2H=\tfrac13V_w$ — prawda.
2. 2. Po podwojeniu promienia: $\tfrac13\pi(2r)^2H=4\cdot\tfrac13\pi r^2H$ — objętość rośnie czterokrotnie — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. Krawędź podstawy: $a=8$, $P_p=64$. Połowa przekątnej: $4\sqrt2$.
2. Kąt $45^\circ$ → trójkąt równoramienny: $H=4\sqrt2$.
3. $V=\tfrac13\cdot64\cdot4\sqrt2=\dfrac{256\sqrt2}{3}$.

Odpowiedź: $V=\dfrac{256\sqrt2}{3}$

1. Trójkąt: $h_b=10$, kąt $60^\circ$ przy podstawie, przyprostokątne: $\frac a2$ i $H$.
2. $\frac a2=10\cos60^\circ=5 \Rightarrow a=10$; $H=10\sin60^\circ=5\sqrt3$.
3. $V=\tfrac13\cdot100\cdot5\sqrt3=\dfrac{500\sqrt3}{3}$.
4. $P_c=a^2+4\cdot\tfrac12\cdot a\cdot h_b=100+200=300$.

Odpowiedź: $V=\dfrac{500\sqrt3}{3}$, $P_c=300$

1. $V=\tfrac13\cdot6\cdot10=\tfrac13\cdot60$.
2. $=20$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija $\tfrac13$.

1. $P_p=9$, $V=\tfrac13\cdot9\cdot4$.
2. $=\tfrac13\cdot36=12$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. Wzór $V=\tfrac13 P_p H$.
2. To trzecia część objętości graniastosłupa.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? Czynnik $\tfrac13$ rozróżnia bryły.

1. $V=\tfrac13\cdot15\cdot4=\tfrac13\cdot60$.
2. $=20$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $P_p=6^2=36$.
2. $V=\tfrac13\cdot36\cdot5=\tfrac13\cdot180=60$.

Odpowiedź: $60$.

1. $V=\tfrac13\cdot9\cdot1=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija $\tfrac13$.

1. $V=\tfrac13\cdot8\cdot3=\tfrac13\cdot24$.
2. $=8$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $24=\tfrac13\cdot12\cdot H=4H$.
2. $H=6$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija czynnik $\tfrac13$ przy odwracaniu.