Okrąg w układzie współrzędnych

Ogólna postać równania okręgu:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Dla środka $(0,0)$ i $r=5$:

$$x^2+y^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi promień do kwadratu, a nie sam promień.

Odpowiedź: B. $x^2+y^2=25$.

Porównujemy z postacią $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$a=2,\qquad b=-3,\qquad r=\sqrt{16}=4$$

Uwaga na znak. Zapis $(y+3)^2$ to $\bigl(y-(-3)\bigr)^2$, więc druga współrzędna środka jest ujemna. To najczęstsza pomyłka przy odczytywaniu.

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Podstawiamy do wzoru ogólnego:

$$(x-1)^2+\bigl(y-(-2)\bigr)^2=3^2$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9$$

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.

Równanie $x^2+y^2=9$ opisuje sam okrąg — brzeg figury.

Nierówność nieostra $x^2+y^2\le9$ dołącza wnętrze, więc opisuje koło wraz z brzegiem.

Promień: $r=\sqrt9=3$.

Odpowiedź: B. koło o promieniu $3$.

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Lewa strona równa się prawej, więc punkt leży na okręgu.

Interpretacja: odległość punktu $(3,4)$ od początku układu wynosi dokładnie $5$ — to znana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$.

Odpowiedź: tak, punkt leży na okręgu.

Przepisujemy równanie w postaci wzorcowej:

$$\bigl(x-(-1)\bigr)^2+(y-2)^2=2^2$$

Stąd $S=(-1,\ 2)$ oraz $r=2$.

Zasada: we wzorze występuje odejmowanie, więc znaki we współrzędnych środka są przeciwne do tych widocznych w nawiasach.

Odpowiedź: B. $(-1,\ 2)$.

Krok 1 — grupujemy wyrazy z tą samą zmienną:

$$\left(x^2-4x\right)+\left(y^2+6y\right)-3=0$$

Krok 2 — uzupełniamy każdą grupę do kwadratu:

$$x^2-4x=(x-2)^2-4$$

$$y^2+6y=(y+3)^2-9$$

Krok 3 — wstawiamy z powrotem:

$$(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $d=5$.

Porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+4=7=d$$

Gdy $d=r_1+r_2$, okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą na zewnątrz siebie — są styczne zewnętrznie.

Pełna klasyfikacja: $d>r_1+r_2$ — rozłączne zewnętrznie; $d=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie; $|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2$ — przecinające się; $d=|r_1-r_2|$ — styczne wewnętrznie; $d\lt |r_1-r_2|$ — jeden wewnątrz drugiego.

Odpowiedź: B. styczne zewnętrznie.

Krok 1 — liczymy wartości graniczne:

$$r_1+r_2=7,\qquad |r_1-r_2|=3$$

Krok 2 — porównujemy z $d=3$:

$$d=|r_1-r_2|$$

Krok 3 — wniosek. Okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie.

Dwa różne okręgi mogą mieć $0$, $1$ albo $2$ punkty wspólne. „Przecinające się” oznacza właśnie dwa punkty.

Jeden punkt to styczność, zero — rozłączność. Nieskończenie wiele punktów wspólnych miałyby tylko okręgi identyczne.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — na osi $OX$ zachodzi $y=0$:

$$x^2+0=25$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x^2=25 \quad\Rightarrow\quad x=5 \ \text{lub}\ x=-5$$

Krok 3 — punkty:

$$(5,\ 0) \quad\text{oraz}\quad (-5,\ 0)$$

Uwaga: pierwiastkując równanie kwadratowe, bierzemy oba znaki — pominięcie ujemnego to typowy błąd.

Odpowiedź: $(5,0)$ i $(-5,0)$.

Krok 1 — odczytujemy promień:

$$r^2=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi r^2=16\pi\approx50{,}27$$

Skrót: we wzorze na pole i tak występuje $r^2$, a to dokładnie liczba stojąca po prawej stronie nierówności — pierwiastkowanie było zbędne.

Odpowiedź: $P=16\pi$.

Krok 1 — odczytujemy dane okręgu: $S=(3,\ 4)$, $r=3$.

Krok 2 — odległość punktu od środka:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

Krok 3 — porównujemy z promieniem:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt leży na zewnątrz}$$

Reguła: $d\lt r$ — wewnątrz, $d=r$ — na okręgu, $d>r$ — na zewnątrz.

Odpowiedź: C. na zewnątrz.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu na okręgu:

$$r=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — układamy równanie:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Sprawdzenie punktem $A$: $9+16=25$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

Suma dwóch kwadratów jest zerem tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami:

$$x=0 \quad\text{i}\quad y=0$$

Zbiorem rozwiązań jest jeden punkt $(0,\ 0)$ — to okrąg „zdegenerowany” o promieniu zerowym.

Dla porównania: równanie $x^2+y^2=-1$ opisuje zbiór pusty, bo suma kwadratów nigdy nie jest ujemna.

Odpowiedź: B. jeden punkt.

Krok 1 — odczytujemy dane:

$$S_1=(1,\ 2),\ r_1=3;\qquad S_2=(5,\ 5),\ r_2=2$$

Krok 2 — odległość środków:

$$d=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 3 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=5,\qquad |r_1-r_2|=1$$

Krok 4 — porównanie:

$$d=r_1+r_2=5$$

Wniosek. Okręgi są styczne zewnętrznie — mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą po przeciwnych stronach stycznej poprowadzonej w tym punkcie.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^2+6x\right)+\left(y^2-8y\right)+9=0$$

Krok 2 — uzupełniamy do kwadratów. Bierzemy połowę współczynnika przy zmiennej i podnosimy do kwadratu:

$$x^2+6x=(x+3)^2-9$$

$$y^2-8y=(y-4)^2-16$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x+3)^2-9+(y-4)^2-16+9=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x+3)^2+(y-4)^2=16$$

Krok 5 — odczytujemy: $S=(-3,\ 4)$ oraz $r=4$.

Sprawdzenie sensowności. Prawa strona wyszła dodatnia, więc równanie faktycznie opisuje okrąg. Gdyby wyszło zero — byłby to punkt, a przy liczbie ujemnej zbiór pusty.

Odpowiedź: $(x+3)^2+(y-4)^2=16$, $S=(-3,4)$, $r=4$.

Krok 1 — co oznacza styczność do osi. Odległość środka od osi $OY$ musi być równa promieniowi.

Krok 2 — odległość od osi $OY$ to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej:

$$r=|3|=3$$

Krok 3 — równanie:

$$(x-3)^2+(y-1)^2=9$$

Sprawdzenie. Punkt styczności to $(0,\ 1)$ — leży na osi $OY$, a podstawienie daje $9+0=9$ ✔

Analogicznie: gdyby okrąg miał być styczny do osi $OX$, promieniem byłaby druga współrzędna, czyli $r=|1|=1$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y-1)^2=9$.

Krok 1 — szukamy punktów wspólnych. Podstawiamy $y=r$ do równania okręgu:

$$x^2+r^2=r^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

Krok 3 — wniosek. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a to właśnie definicja styczności prostej i okręgu. $\qquad ∎$

Krok 4 — punkt styczności:

$$(0,\ r)$$

Sposób alternatywny. Odległość środka $(0,0)$ od prostej poziomej $y=r$ wynosi $r$ — dokładnie tyle, ile promień. A warunek styczności prostej i okręgu to właśnie równość odległości środka od prostej i promienia.

Sprawdzenie dla $r=5$: prosta $y=5$ dotyka okręgu $x^2+y^2=25$ w punkcie $(0,5)$, czyli w jego najwyższym punkcie ✔

1. $|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane przyrosty $3+4$; D — brak pierwiastka.

1. $S=\left(\frac{-3+7}2,\frac{5+1}2\right)=(2,3)$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — połowa różnicy współrzędnych; C — suma bez dzielenia.

1. $(x-(-2))^2+(y-3)^2=4^2$: $S=(-2,3)$, $r=4$.

Odpowiedź: C

1. $r=|SP|=\sqrt{9+16}=5$.
2. $(x-1)^2+(y-2)^2=25$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — po prawej $r$ zamiast $r^2$; C — środek w punkcie $P$.

1. $C=2A-B=(2+3,\ 2-4)=(5,-2)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — policzono środek odcinka $AB$ zamiast punktu $C$.

1. Symetria względem $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej: $(-3,-5)$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — symetria względem $Ox$; C — względem początku układu.

1. Kąt prosty jest przy $A$, więc przeciwprostokątną jest $BC$; środek okręgu opisanego to jej środek: $(3,4)$.
2. (Promień $R=\tfrac12|BC|=5$.)

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia środkowych), a nie środek okręgu opisanego.

1. 1. $(1+2)^2+(3-1)^2=9+4=13$ — punkt $(1,3)$ leży na okręgu — prawda.
2. 2. Środek to $(-2,1)$ — nie leży na osi $Oy$ (tam $x=0$) — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. Przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek: $D=A+C-B=(-1+6-5,\ 2+4-0)=(0,6)$.
2. Kontrola: $\overrightarrow{AB}=[6,-2]=\overrightarrow{DC}=[6,-2]$ ✓.

Odpowiedź: $D=(0,6)$

1. $C=2P-A=(10-1,\ 8+2)=(9,10)$.
2. $|BC|=\sqrt{(9-7)^2+(10-1)^2}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$.
3. $|AB|=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt5$. Obwód: $2\sqrt{85}+2\cdot3\sqrt5=2\sqrt{85}+6\sqrt5$.

Odpowiedź: $|BC|=\sqrt{85}$, obwód $2\sqrt{85}+6\sqrt5$

1. Po prawej jest $r^2=16$.
2. $r=\sqrt{16}=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B bierze $r^2$ zamiast $r$.

1. $(x+3)=(x-(-3))$, więc $a=-3$; $b=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A myli znak pierwszej współrzędnej.

1. $r^2=36$.
2. $r=6$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A bierze $r^2$.

1. $a=5$, $b=0$ (brak wyrazu z $y$ przesuniętego).

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A zamienia współrzędne.

1. $a=4$, $b=-1$.
2. $r=\sqrt{49}=7$.

Odpowiedź: środek $(4,-1)$, $r=7$.

1. $r^2=25$.
2. $x^2+y^2=25$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $3^2+0^2=9$.
2. Równość spełniona - punkt leży na okręgu.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? Współrzędne spełniają równanie.

1. Środek $(2,-1)$: $(x-2)^2+(y+1)^2$.
2. $r^2=9$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $r=\sqrt{25}=5$.
2. $d=2r=10$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A podaje promień, nie średnicę.

1. Środek: $a=-2$, $b=3$.
2. $r=\sqrt{16}=4$.
3. $d=2r=8$.

Odpowiedź: środek $(-2,3)$, $r=4$, $d=8$.

1. $a=3$, $b=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B myli znaki.

1. $r=\sqrt{49}=7$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to $r^2$.

1. $a=-1$, $b=4$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A myli znak.

1. $r^2=9$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$.

1. $a=2$, $b=-5$, $r=\sqrt{36}=6$.

Odpowiedź: środek $(2,-5)$, $r=6$