Odległość punktów w układzie współrzędnych

Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poznanie wartości funkcji \(y=-0,174x^2+1,3x+2,5\) dla \(x=7,01\) (bowiem na odległości \(x=7,01\) jest ustawiony kosz). W związku z tym:
$$y=-0,174\cdot(7,01)^2+1,3\cdot7,01+2,5$$ $$y=-0,174\cdot49,1401+9,113+2,5$$ $$y=-8,5503774+9,113+2,5$$ $$y=3,0626226\approx3,06$$

To oznacza, że obręcz jest zawieszona na wysokości ok. \(3,06m\).

Zadanie 2.
Maksymalna wysokość paraboli osiągana jest w jej wierzchołku. Interesuje nas więc poznanie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru z tablic:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Widzimy, że do tego wzoru musimy podstawić deltę (to jest dokładnie ta sama delta, którą obliczamy w równaniach kwadratowych), zatem wypiszmy współczynniki i policzmy wartość tej delty:
Współczynniki: \(a=-0,174,\;b=1,3,\;c=2,5\)
$$Δ=b^2-4ac=(1,3)^2-4\cdot(-0,174)\cdot2,5=1,69-(1,74)=3,43$$

W związku z tym:
$$q=\frac{-3,43}{4\cdot(0,174)}$$ $$q=\frac{-3,43}{0,696}$$ $$q\approx4,93$$

To oznacza, że maksymalną wysokością na jaką wzniesie się środek piłki będzie ok. \(4,93m\).

Zadanie 3.
Musimy sprawdzić, kiedy nasza funkcja \(y=-0,174x^2+1,3x+2,5\) przyjmie wartość \(0,12\), zatem:
$$0,12=-0,174x^2+1,3x+2,5$$ $$0,174x^2-1,3x-2,38=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=0,174,\;b=-1,3,\;c=-2,38\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1,3)^2-4\cdot0,174\cdot(-2,38)=1,69-(-1,65648)=3,34648$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{3,34648}\approx1,8293$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1,3)-1,8293}{2\cdot0,174}=\frac{1,3-1,8293}{0,348}=\frac{-0,5293}{0,348}\approx-1,52$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1,3)+1,8293}{2\cdot0,174}=\frac{1,3+1,8293}{0,348}=\frac{3,1293}{0,348}\approx8,99$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo nasza współrzędna \(x\) nie może być ujemna. To oznacza, że poszukiwaną współrzędną \(x\) punktu środka piłki jest \(x\approx8,99m\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Teoretycznie moglibyśmy próbować po kratkach określić współrzędne punktu \(D\), tak aby potem obliczyć długość przekątnej \(BD\), ale jest spora rozpiętość między punktami, więc łatwo tutaj o pomyłkę. Zróbmy więc to zadanie w sposób bardziej uniwersalny, zaczynając od prostego szkicu całej sytuacji:


Krok 2. Obliczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych równoległoboku.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Skoro tak, to znając współrzędne wierzchołków \(A\) oraz \(C\), możemy obliczyć środek tego odcinka, czyli jednocześnie miejsce przecięcia się tych przekątnych. Wykorzystamy w tym celu wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-6+10}{2};\frac{5+(-3)}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{4}{2};\frac{2}{2}\right)$$ $$S=(2;1)$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka BS (połowa przekątnej).
Odcinek \(BS\) to odcinek od wierzchołka równoległoboku do miejsca przecięcia się przekątnych. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2}$$ $$|BS|=\sqrt{(2-5)^2+(1-7)^2}$$ $$|BS|=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2}$$ $$|BS|=\sqrt{9+36}$$ $$|BS|=\sqrt{45}$$ $$|BS|=3\sqrt{5}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Skoro przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, to przekątna \(BD\) będzie dwa razy większa od odcinka \(BS\), zatem:
$$|BD|=2\cdot3\sqrt{5}$$ $$|BD|=6\sqrt{5}$$

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punkty \(A\) oraz \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(4+4)^2+(-4)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{8^2+(-4)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{64+16}$$ $$|AB|=\sqrt{80}$$ $$|AB|=\sqrt{16\cdot5}$$ $$|AB|=4\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to przekątna naszego kwadratu będzie mieć długość:
$$d=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}$$ $$d=4\sqrt{10}$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu \(ABCD\) (tak wynika z treści zadania). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-4-3)^2+(6-7)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{49+1}$$ $$|AC|=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień okręgu opisanego na kwadracie jest zawsze równy długości połowy przekątnej. Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), to promień okręgu będzie miał miarę:
$$r=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Na początek obliczmy długość odcinka \(AS\), czyli tak naprawdę połowę długości przekątnej kwadratu. Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2}$$ $$|AS|=\sqrt{(0-(-4))^2+(4-1)^2}$$ $$|AS|=\sqrt{4^2+3^2}$$ $$|AS|=\sqrt{16+9}$$ $$|AS|=\sqrt{25}$$ $$|AS|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Skoro obliczony odcinek \(|AS|\) ma długość równą połowie przekątnej kwadratu, to cała przekątna będzie mieć miarę:
$$d=2\cdot|AS|$$ $$d=2\cdot5$$ $$d=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Przekątna naszego kwadratu ma długość \(10\), zatem:
$$a\sqrt{2}=10$$ $$a=\frac{10}{\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$ $$a=\frac{10\sqrt{2}}{2}$$ $$a=5\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie obwodu kwadratu.
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu kwadratu:
$$Obw=4\cdot5\sqrt{2}$$ $$Obw=20\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Z treści zadania wynika, że punkty \(A\) oraz \(C\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, a to oznacza, że odcinek \(AC\) jest przekątną tej figury. Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-2-3)^2+(3-(-2))^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-5)^2+5^2}$$ $$|AC|=\sqrt{25+25}$$ $$|AC|=\sqrt{25\cdot2}$$ $$|AC|=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc nasza przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), to:
$$a\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$ $$a=5$$

Krok 3. Obliczenie obwodu kwadratu.
Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu kwadratu:
$$Obw=4a$$ $$Obw=4\cdot5$$ $$Obw=20$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne wierzchołków punktów \(A\) oraz \(B\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(5-(-7))^2+(-3-2)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{12^2+(-5)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{144+25}$$ $$|AB|=\sqrt{169}$$ $$|AB|=13$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości i w dodatku pod kątem prostym. Będziemy więc zatem taką oto sytuację:


Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Na rysunku pomocniczym powstał nam trójkąt prostokątny, zatem z pomocą przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa:
$$|AS|^2+|BS|^2=|AB|^2$$ $$12^2+|BS|^2=13^2$$ $$144+|BS|^2=169$$ $$|BS|^2=25$$ $$|BS|=5 \quad\lor\quad |BS|=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=5\), co oznacza, że poszukiwany odcinek \(BD\) ma długość dwa razy większą, czyli \(|BD|=2\cdot5=10\).

Jedną z własności trójkąta prostokątnego jest to, że dwusieczne jego kątów przecinają się w punkcie, który jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Można więc powiedzieć, że poszukiwana odległość \(x\) to nic innego jak promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Do obliczenia długości takiego promienia możemy skorzystać ze wzoru na promień okręgu wpisanego (który znajduje się w tablicach), czyli:
$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

Podstawiając teraz do tego wzoru długości boków \(a=24\), \(b=10\) oraz \(c=26\), otrzymamy:
$$r=\frac{24+10-26}{2}$$ $$r=\frac{8}{2}$$ $$r=4$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(CD\).
Na początek obliczmy długość jednego z boków prostokąta, czyli boku \(CD\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2}$$ $$|CD|=\sqrt{(2-(-3))^2+(1-1)^2}$$ $$|CD|=\sqrt{5^2+0^2}$$ $$|CD|=\sqrt{25}$$ $$|CD|=5$$

Krok 2. Obliczenie pola prostokąta.
Widzimy wyraźnie, że mamy do czynienia z prostokątem o wymiarach \(6\times5\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=6\cdot5$$ $$P=30$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AM\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AM|=\sqrt{(x_{M}-x_{A})^2+(y_{M}-y_{A})^2}$$ $$|AM|=\sqrt{(1-3)^2+(3-(-5))^2}$$ $$|AM|=\sqrt{(-2)^2+8^2}$$ $$|AM|=\sqrt{4+64}$$ $$|AM|=\sqrt{68}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Odcinek \(|AM|\) stanowi połowę długości przekątnej, zatem:
$$d=2\sqrt{68}$$

Krok 4. Obliczenie pola kwadratu.
Możemy oczywiście obliczyć długość boku kwadratu i tym samym skorzystać później ze wzoru \(P=a^2\). Warto jednak pamiętać, że pole kwadratu damy radę także obliczyć ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d^2$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{68})^2$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot68$$ $$P=136$$

I sposób - porównując długości odcinków.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z treści zadania wynika, że długość odcinka \(AC\) jest dokładnie taka sama jak \(BC\) (są to ramiona naszego trójkąta równoramiennego). Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka i zapisać, że w takim razie:
$$|AC|=|BC|$$ $$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \quad\bigg/^2$$ $$(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$ $$(x_{C}-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(x_{C}-7)^2+(y_{C}-3)^2$$

Mamy równanie z dwoma niewiadomymi, ale z treści zadania wypływa jeszcze jedna ważna informacja - wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\), a to oznacza, że współrzędna \(x_{C}\) na pewno jest równa \(0\). To umożliwia nam doprowadzenie całego zapisu do równania z jedną niewiadomą:
$$(0-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(0-7)^2+(y_{C}-3)^2$$ $$20^2+(y_{C}-12)^2=(-7)^2+(y_{C}-3)^2$$ $$400+{y_{C}}^2-24y_{C}+144=49+{y_{C}}^2-6y_{C}+9$$ $$-24y_{C}+544=-6y_{C}+58$$ $$-18y_{C}=-486$$ $$y_{C}=27$$

W ten sposób błyskawicznie poznaliśmy brakującą współrzędną \(y\) naszego punktu \(C\), stąd też możemy zapisać, że \(C=(0;27)\).

Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{729+81}$$ $$|AB|=\sqrt{810}$$ $$|AB|=\sqrt{81\cdot10}$$ $$|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{20^2+15^2}$$ $$|AC|=\sqrt{400+225}$$ $$|AC|=\sqrt{625}$$ $$|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25$$ $$Obw=50+9\sqrt{10}$$

II sposób - wyznaczając środek odcinka \(AB\) oraz równanie prostej \(AB\).
Ten sposób jest znacznie dłuższy, ale w podobnych zadaniach jest często jedynym, który pozwoli nam na dojście do prawidłowego rozwiązania.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych znane nam punkty \(A\) oraz \(B\) i sprawdźmy jak całość wygląda w rzeczywistości. Przy okazji warto zaznaczyć, że bok \(AB\) będzie podstawą naszego trójkąta.


Kluczem do sukcesu będzie oczywiście wykorzystanie własności trójkątów równoramiennych. Powinniśmy pamiętać, że wysokość takiego trójkąta przecina podstawę w połowie długości. To właśnie dzięki tej informacji będziemy mogli dotrzeć do współrzędnych punktu \(C\), a potem do długości poszczególnych boków.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-20+7}{2};\frac{12+3}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), możemy bez problemu wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej, która przez te punkty przechodzi. Znajomość tego współczynnika przyda nam się za chwilę do wyznaczenia prostej prostopadłej. W tym celu wystarczy skorzystać ze wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ $$a=\frac{3-12}{7-(-20)}$$ $$a=\frac{-9}{27}$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

Gdybyśmy o tym wzorze nie pamiętali, to współczynnik \(a\) wyznaczymy chociażby z metody układu równań (dzięki której możemy poznać wręcz pełne równanie prostej \(AB\)). W tym celu do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) wystarczy podstawić najpierw współrzędne punktu \(A\), a potem \(B\), otrzymując:
\begin{cases} 12=-20a+b \\ 3=7a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$9=-27a$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

Moglibyśmy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) i tym samym mielibyśmy cały wzór prostej \(AB\), ale nam to nie jest potrzebne. Wystarczy informacja, że \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Prosta \(SC\) jest wysokością trójkąta, czyli jest prostopadła do podstawy \(AB\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma \(a=-\frac{1}{3}\), to prosta \(SC\) musi mieć \(a=3\), ponieważ \(-\frac{1}{3}\cdot3=-1\). To oznacza, że prosta \(SC\) da się opisać równaniem \(y=3x+b\). Do pełni szczęścia brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\).

Chcąc poznać wartość współczynnika \(b\), wystarczy do równania \(y=3x+b\) podstawić współrzędne punktu, który przez tą prostą przechodzi, czyli współrzędne punktu \(S=\left(\frac{-13}{2};\frac{15}{2}\right)\). Otrzymamy zatem:
$$\frac{15}{2}=3\cdot\left(\frac{-13}{2}\right)+b$$ $$\frac{15}{2}=\frac{-39}{2}+b$$ $$b=\frac{54}{2}=27$$

To oznacza, że prosta \(SC\) wyraża się równaniem \(y=3x+27\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy już, że punkt \(C\) leży na osi \(OY\), czyli wiemy, że współrzędna \(x=0\). Wyliczyliśmy sobie przed chwilą, że ten punkt musi leżeć na prostej \(y=3x+27\). To oznacza, że brakująca współrzędna \(y\) będzie równa:
$$y=3\cdot0+27$$ $$y=27$$

Wyszło nam więc, że \(C=(0;27)\).

Krok 6. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków. Obliczmy zatem długość podstawy \(AB\) oraz ramion \(AC\) i \(BC\) (ramiona będą miały tą samą długość).
Podstawa:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{27^2+(-9)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{729+81}$$ $$|AB|=\sqrt{810}$$ $$|AB|=\sqrt{81\cdot10}$$ $$|AB|=9\sqrt{10}$$

Ramię:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{20^2+15^2}$$ $$|AC|=\sqrt{400+225}$$ $$|AC|=\sqrt{625}$$ $$|AC|=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 7. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
$$Obw=9\sqrt{10}+25+25$$ $$Obw=50+9\sqrt{10}$$

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punktu \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odległość między tymi punktami jest równa długości boku kwadratu. Korzystając zatem ze wzoru na długość odcinka wyjdzie nam, że:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(5+2)^2+(-3)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{49+9}$$ $$|BC|=\sqrt{58}$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Skoro bok kwadratu jest równy \(\sqrt{58}\), to znaczy że:
$$P=|BC|^2$$ $$P=(\sqrt{58})^2$$ $$P=58$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, możemy bez problemu obliczyć długość odcinka \(AB\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(-3-1)^2+(5-2)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(-4)^2+3^2}$$ $$|AB|=\sqrt{16+9}$$ $$|AB|=\sqrt{25}$$ $$|AB|=5$$

Krok 2. Obliczenie obwodu kwadratu.
Co prawda nie jest zbyt dobrze sprecyzowane, czy wierzchołki \(A\) oraz \(B\) tworzą jeden bok kwadratu, czy też może przekątną, ale po nazewnictwie figury możemy wywnioskować, że wierzchołki \(A\) oraz \(B\) są obok siebie, więc stanowią one bok kwadratu. Skoro tak, to obwód kwadratu będzie równy:
$$Obw=4\cdot5$$ $$Obw=20$$

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy bez problemu obliczyć długość przekątnej \(AC\):
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(0-1)^2+(5-(-2))^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-1)^2+7^2}$$ $$|AC|=\sqrt{1+49}$$ $$|AC|=\sqrt{50}$$ $$|AC|=\sqrt{25\cdot2}$$ $$|AC|=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$a\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$ $$a=5$$

Krok 3. Obliczenie obwodu kwadratu.
Znając długość boku kwadratu, obliczenie jego obwodu jest już tylko formalnością:
$$Obw=4a$$ $$Obw=4\cdot5$$ $$Obw=20$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając wskazany punkt oraz rysując podane proste otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie odległości od pierwszej i drugiej prostej.
Z rysunku widać wyraźnie, że od punktu \(A\) do prostej \(x=4\) mamy \(8\) jednostek, natomiast do prostej \(y=-4\) mamy \(6\) jednostek. To oznacza, że suma tych odległości jest równa:
$$8+6=14$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Stwórzmy sobie prosty rysunek na którym zaznaczymy to co nas interesuje, czyli odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\). Przypomnę, że odległość punktu od prostej to tak naprawdę odcinek, który jest prostopadły do wskazanej prostej.


Krok 2. Dostrzeżenie przystawania trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ADS\) oraz \(SBE\). Naszym zadaniem jest teraz udowodnić, że te trójkąty są trójkątami przystającymi (nie wystarczy by były podobne, muszą być przystające, czyli muszą mieć jednakowe miary poszczególnych boków). Jak udowodnimy, że są to trójkąty przystające, to będziemy mieć pewność że przyprostokątne tych trójkątów (czyli odcinki łączące punkty z prostą \(CS\) zaznaczone przerywaną zieloną linią) mają jednakowe miary.

Przeanalizujmy zatem te dwa trójkąty. Są to trójkąty prostokątne, czyli już na pewno wiemy, że mają jedną wspólną miarę kątów. Dodatkowo kąty przy wierzchołku \(S\), czyli \(ASD\) oraz \(ESB\) są kątami wierzchołkowymi, zatem te kąty także mają jednakową miarę.

Aby udowodnić, że te trójkąty są przystające (czyli jednakowe) to musimy jeszcze wykazać, że mają przynajmniej jedną parę boków równej długości (cecha kąt-bok-kąt). Skoro punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\), to znaczy że przeciwprostokątne \(AS\) oraz \(SB\) mają tą samą miarę, a to pozwala nam stwierdzić, że te trójkąty są na pewno przystające, a tym samym odcinki \(AD\) oraz \(EB\) są jednakowej miary.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nie musimy nawet rysować tego wszystkiego w układzie współrzędnych, wystarczy szybki rysunek kwadratu z wpisanym okręgiem, tak aby dostrzec czym tak naprawdę jest długość średnicy.


Z rysunku jasno wynika, że jak poznamy długość odcinka \(AB\), to tym samym poznamy długość średnicy okręgu.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka AB.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{36+36}$$ $$|AB|=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$

Krok 3. Ustalenie długości średnicy okręgu.
Średnica okręgu wpisanego w kwadrat ma identyczną długość co bok tego kwadratu. W związku z tym średnica ta ma długość \(6\sqrt{2}\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PA\).
Styczna do okręgu tworzy z promieniem zawsze kąt prosty, a to oznacza, że trójkąt \(PSA\) jest prostokątny. Znamy dwie długości w tym trójkącie, a mianowicie \(|AS|=5\) oraz \(|PS|=13\). Możemy więc wyznaczyć długość odcinka \(PA\) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+|PA|^2=13^2$$ $$25+|PA|^2=169$$ $$|PA|^2=144$$ $$|PA|=12 \quad\lor\quad |PA|=-12$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|PA|=12\).

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(PSA\).
Trójkąt \(PSA\) jest połową naszego deltoidu. Jeżeli więc poznamy pole tego trójkąta, to za chwilę bez problemu obliczymy pole deltoidu. Znamy długości dwóch przyprostokątnych w tym trójkącie, zatem znamy miary podstawy i wysokości, czyli:
$$P_{PSA}=\frac{1}{2}ah$$ $$P_{PSA}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12$$ $$P_{PSA}=30$$

Krok 3. Obliczenie pola deltoidu \(PBSA\).
Pole deltoidu będzie dwukrotnie większe od wyznaczonego przed chwilą pola trójkąta \(PSA\), zatem:
$$P=2\cdot P_{PSA}$$ $$P=2\cdot30$$ $$P=60$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) możemy obliczyć długość odcinka \(AC\) korzystając z następującego wzoru:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-5-1)^2+(3-(-3))^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-6)^2+(3+3)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-6)^2+6^2}$$ $$|AC|=\sqrt{36+36}$$ $$|AC|=\sqrt{72}$$ $$|AC|=6\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu. Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$ $$a=6$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych znane nam punkty oraz równanie prostej \(AB\), tak aby łatwiej dostrzec co musimy policzyć:



Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że boku \(AC\) oraz \(BC\) są równej długości. Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych \(|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}\) oraz \(|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}\) i podstawić tam współrzędne naszych punktów \(A=(-1,1)\), \(C=(1,9)\) oraz \(B=(x,y)\). Otrzymamy wtedy:
$$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$\sqrt{(1-(-1))^2+(9-1)^2}=\sqrt{(1-x)^2+(9-y)^2} \quad\bigg/^2$$ $$(1+1)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+(9-y)^2$$ $$2^2+8^2=(1-x)^2+(9-y)^2$$ $$4+64=(1-x)^2+(9-y)^2$$ $$(1-x)^2+(9-y)^2=68$$

Krok 3. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.
Póki co mamy równanie z dwiema niewiadomymi - \(x\) oraz \(y\). Pod wartość igreka możemy teraz podstawić równanie z treści zadania, czyli \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Dzięki temu będziemy mieć równanie z jedną niewiadomą. I ten sposób rozwiązania jest dobry (i jest chyba najpopularniejszy), ale sprawi iż w trakcie liczenia będziemy mieć dużo ułamków na swojej drodze, przez co łatwo będzie o błąd. Możemy więc postąpić nieco sprytniej. Przekształcając równanie prostej otrzymamy:
$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot2$$ $$2y=x+3$$ $$x=2y-3$$

Teraz możemy podstawić to równanie pod naszego iksa i otrzymamy:
$$(1-(2y-3))^2+(9-y)^2=68$$ $$(1-2y+3)^2+(9-y)^2=68$$ $$(4-2y)^2+(9-y)^2=68$$ $$16-16y+4y^2+81-18y+y^2=68$$ $$5y^2-34y+97=68$$ $$5y^2-34y+29=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=29\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot29=1156-580=576$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)-24}{2\cdot5}=\frac{34-24}{10}=\frac{10}{10}=1$$ $$y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)+24}{2\cdot5}=\frac{34+24}{10}=\frac{58}{10}=\frac{29}{5}$$

Krok 5. Interpretacja otrzymanego wyniku i wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Otrzymaliśmy dwa wyniki: \(y=1\) oraz \(y=\frac{29}{5}\). Spróbujmy zatem wyznaczyć dla obu tych przypadków współrzędną iksową, podstawiając igreki np. do równania \(x=2y-3\).

Dla \(y=1\):
$$x=2\cdot1-3$$ $$x=2-3$$ $$x=-1$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=-1\) oraz \(y=1\), czyli współrzędne punktu \(A\).

Dla \(y=\frac{29}{5}\):
$$x=2\cdot\frac{29}{5}-3$$ $$x=\frac{58}{5}-3$$ $$x=\frac{43}{5}$$

Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=\frac{43}{5}\) oraz \(y=\frac{29}{5}\) i to są właśnie współrzędne punktu \(B\).

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punktu \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odległość między tymi punktami jest równa długości boku kwadratu. Korzystając zatem ze wzoru na długość odcinka wyjdzie nam, że:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(5+2)^2+(-3)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{49+9}$$ $$|BC|=\sqrt{58}$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Skoro bok kwadratu jest równy \(\sqrt{58}\), to znaczy że:
$$P=|BC|^2$$ $$P=(\sqrt{58})^2$$ $$P=58$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie całą sytuację, tak aby było łatwiej zrozumieć co musimy policzyć:



Z rysunku powinniśmy wywnioskować, że kluczem do sukcesu będzie odnalezienie współrzędnych punktu \(D\), który jest środkiem odcinka \(BC\) (wiemy że jest środkiem, bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). Aby jednak tego dokonać, musimy poznać równanie prostej \(BC\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prostą \(BC\) możemy wyrazić równaniem \(y=ax+b\). Aby poznać pełen wzór, to musimy obliczyć wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). O prostej \(BC\) wiemy, że jest prostopadła do prostej \(AD\), zatem iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AD\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(BC\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1$$ $$a=-2$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów przechodzących przez tą prostą, czyli punktu \(B=(14;-8)\):
$$y=-2x+b$$ $$-8=-2\cdot14+b$$ $$-8=-28+b$$ $$b=20$$

W ten oto sposób udało nam się wyznaczyć równanie prostej \(BC\) i jest to \(y=-2x+20\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się prostych \(BC\) oraz \(AD\), zatem współrzędne tego punktu będą rozwiązaniem układu równań składającego się ze wzorów tych dwóch prostych:
$$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x-7 \\ y=-2x+20 \end{cases}$$

Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-7=-2x+20$$ $$\frac{5}{2}x=27$$ $$5x=54$$ $$x=\frac{54}{5}$$

Znamy już współrzędną iksową punktu \(D\), a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając do jednego z równań wyliczonego przed chwilą iksa:
$$y=-2x+20$$ $$y=-2\cdot\frac{54}{5}+20$$ $$y=-\frac{108}{5}+20$$ $$y=-\frac{8}{5}$$

To oznacza, że \(D=\left(\frac{54}{5};-\frac{8}{5}\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Ustaliliśmy już, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\). Środek odcinka \(BC\) możemy opisać wzorem:
$$D=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2};\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne środka \(D\) oraz punktu \(B\) obliczymy współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{D}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}$$ $$\frac{54}{5}=\frac{14+x_{C}}{2}$$ $$\frac{108}{5}=14+x_{C}$$ $$x_{C}=\frac{38}{5}$$ $$\quad$$ $$y_{D}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}$$ $$-\frac{8}{5}=\frac{-8+y_{C}}{2}$$ $$-\frac{16}{5}=-8+y_{C}$$ $$y_{C}=\frac{24}{5}$$

Zatem poszukiwane przez nas współrzędne punktu \(C\) są następujące: \(C=\left(\frac{38}{5};\frac{24}{5}\right)\)

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(CDS\). Są to trójkąty podobne i wiemy to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt, co wynika wprost z własności kątów naprzemianległych oraz wierzchołkowych.


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(CDS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|AB|}{|CD|}$$

Z treści zadania wynika, że \(|AB|=2|CD|\), zatem:
$$k=\frac{2|CD|}{|CD|}$$ $$k=2$$

Uwaga: Gdybyśmy przyjęli, że trójkąt \(ABS\) jest podstawowy, a trójkąt \(CDS\) jest podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\) i jest to jak najbardziej poprawny tok rozwiązywania zadania. Różnica jest tylko taka, że w dalszych krokach trzeba konsekwentnie odnosić się do wybranej przez siebie figury podobnej.

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku poszukiwaną odległość punktu \(S\) od ramienia \(AD\) i zobaczmy co nam w tym momencie powstanie:


Tutaj kluczową obserwacją jest to, co wynika ze skali podobieństwa \(k=2\). Jeżeli wysokość trójkąta \(CDS\) ma długość \(h\), to wysokość trójkąta \(ABS\) będzie dwukrotnie dłuższa, czyli wyniesie \(2h\). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że odcinek \(AD\) ma miarę równą \(h+2h=3h\).

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy teraz na trójkąty \(ABD\) oraz \(PSD\). Te trójkąty są także podobne (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bowiem odcinek \(PS\) jest równoległy do odcinka \(AB\)). Jeżeli więc odcinek \(PD\) jest trzykrotnie krótszy od odcinka \(AD\), to odcinek \(PS\) będzie także trzykrotnie krótszy od odcinka \(AB\).

Możemy to nawet zapisać matematycznie w formie proporcji. Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(ABD\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(PSD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|PD|}{|AD|}$$ $$k=\frac{h}{3h}$$ $$k=\frac{1}{3}$$

Z tego też względu każdy odcinek trójkąta podobnego \(PSD\) jest trzykrotnie krótszy od odpowiadającemu mu odcinkowi trójkąta podstawowego \(ABD\), zatem \(|PS|=\frac{1}{3}|AB|\), co należało udowodnić.

Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa. Relacje między poszczególnymi odcinkami i kątami możemy zapisać jako:
$$sin31°=\frac{|KS|}{|AS|}$$ $$0,52\approx\frac{|KS|}{10}$$ $$|KS|\approx5,2$$

Jedynym przedziałem, w którym mieści się nasz wynik jest ten z pierwszej odpowiedzi, którego dolną granicą jest \(\frac{9}{2}=4,5\), a górną \(\frac{11}{2}=5,5\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(MN\).
Odcinek \(MN\) jest bokiem trójkąta równobocznego, a jego długość obliczymy ze wzoru:
$$|MN|=\sqrt{(x_{N}-x_{M})^2+(y_{N}-y_{M})^2}$$

Podstawiając współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\) otrzymamy:
$$|MN|=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-0)^2}$$ $$|MN|=\sqrt{4^2+4^2}$$ $$|MN|=\sqrt{16+16}$$ $$|MN|=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Wiemy już, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=4\sqrt{2}\). Naszym celem jest poznanie wysokości tego trójkąta. Korzystając więc ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{4\sqrt{6}}{2}$$ $$h=2\sqrt{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek odpowiednie informacje z treści zadania oraz łącząc środek okręgu z punktem styczności \(S\) otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CO\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OSC\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|OS|^2+|SC|^2=|CO|^2$$ $$5^2+12^2=|CO|^2$$ $$25+144=|CO|^2$$ $$|CO|^2=169$$ $$|CO|=13 \quad\lor\quad |CO|=-13$$

Długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(|CO|=13\).

Krok 3. Obliczenie wysokości \(CD\).
Patrząc się na rysunek możemy teraz zauważyć, że wysokość trójkąta będzie równa sumie długości odcinka \(CO\) (którą obliczyliśmy przed chwilą) oraz \(OD\) (który jest równy długości promienia okręgu), zatem:
$$|CD|=13+5$$ $$|CD|=18$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych dwa wskazane wierzchołki i zobaczmy co z tego możemy otrzymać:


Tu powinniśmy dostrzec, że zaznaczony odcinek może być bokiem kwadratu, ale może też być jego przekątną, co sprawi że otrzymamy w tym zadaniu tak naprawdę dwie różne odpowiedzi.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Z rysunku jasno wynika, że odcinek \(AB\) ma długość \(3\). Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego (albo gdyby nie było to takie oczywiste do odczytania) to możemy posłużyć się wzorem na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(2-(-1))^2+(1-1)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{3^2+0^2}$$ $$|AB|=\sqrt{9}$$ $$|AB|=3$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
I tu właśnie rozpatrujemy dwie możliwości:
• Pierwsza możliwość - jeżeli odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu, to:
$$P=a^2$$ $$P=3^2$$ $$P=9$$

• Druga możliwość - jeżeli odcinek \(AB\) jest przekątną kwadratu, to wiedząc że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=3$$ $$a=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Moglibyśmy usunąć jeszcze niewymierność z mianownika, otrzymalibyśmy wtedy \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\), ale tak prawdę mówiąc, to nie trzeba wykonywać tej operacji, bo obliczając pole powierzchni i tak pozbędziemy się pierwiastka. Skoro więc \(a=\frac{3}{\sqrt{2}}\), to pole powierzchni będzie równe:
$$P=a^2$$ $$P=\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$$ $$P=\frac{9}{2}=4,5$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znając współrzędne obydwu punktów możemy obliczyć długość odcinka \(AB\) (czyli długość boku trójkąta):
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(2-4)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{8^2+(-2)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{64+4}$$ $$|AB|=\sqrt{68}$$ $$|AB|=\sqrt{4\cdot17}$$ $$|AB|=2\sqrt{17}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Nasz trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem znając długość boku możemy obliczyć wysokość figury z następującego wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{2\sqrt{17}\cdot\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\sqrt{17}\cdot\sqrt{3}$$ $$h=\sqrt{51}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W treści zadania mamy podane bardzo dokładne współrzędne punktów \(A\) i \(B\), które w dodatku są liczbami całkowitymi, więc możemy wykonać dość przyzwoity rysunek pomocniczy, który przy okazji posłuży nam później do weryfikacji obliczeń. Zastanówmy się też gdzie może znaleźć się nasz punkt \(C\). Na pewno będzie on na osią \(Oy\), ale gdzie tak mniej więcej powinniśmy się go spodziewać? Nad osią iksów, czy pod nią? Na pewno nie może być nad osią, bo nad osią będzie bardzo daleko od punktu \(B\), a jednocześnie blisko punktu \(A\). To nas nie satysfakcjonuje, bo wiemy z relacji \(|AC|=|BC|\), że odległość punktu \(C\) od punktu \(A\) oraz \(B\) jest jednakowa. Ten nasz poszukiwany punkt znajdzie się tuż pod osią iksów - a gdzie dokładnie, to sobie to zaraz obliczymy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(y_{C}\).
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Znamy współrzędne \(A\) i \(B\), ale to nie wszystko, bo znamy też jeszcze jedną bardzo ważną współrzędną - wiemy, że współrzędna \(x\) punktu \(C\) jest równa \(x_{C}=0\), bo wierzchołek \(C\) leży do osi \(Oy\).
Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a to z kolei pozwoli nam ułożyć odpowiednie równanie, z którego wyznaczymy sobie brakującą współrzędną \(y_{C}\).
$$\require{cancel}
|AC|=|BC|$$ $$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$ $$(0-(-2))^2+(y_{C}-4)^2=(0-6)^2+(y_{C}-(-2))^2$$ $$2^2+(y_{C}-4)^2=(-6)^2+(y_{C}+2)^2$$ $$\cancel{4}+\cancel{y_{C}^2}-8y_{c}+16=36+\cancel{y_{C}^2}+4y_{C}+\cancel{4}$$ $$-12y=20$$ $$y_{C}=-\frac{20}{12}$$ $$y_{C}=-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że \(C=\left(0;-\frac{5}{3}\right)\).

Najlepiej będzie zrozumieć ideę tego zadania w momencie kiedy narysujemy sobie całą sytuację:



Odległość punktu od prostej mierzymy zawsze po najkrótszej linii, czyli po linii prostopadłej. W tym przypadku widzimy bardzo wyraźnie, że od punktu A do prostej \(x\) mamy \(5\) jednostek, a od punktu \(A\) do prostej \(y\) mamy także \(5\) jednostek. Nas pytają o sumę tych odległości, czyli:
$$5+5=10$$

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli tak naprawdę na odległość między dwoma punktami:
$$|PQ|=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^2+(y_{Q}-y_{P})^2}$$ $$|PQ|=\sqrt{(3-(-2))^2+(3-(-2))^2}$$ $$|PQ|=\sqrt{5^2+5^2}$$ $$|PQ|=\sqrt{25+25}$$ $$|PQ|=\sqrt{25\cdot2}$$ $$|PQ|=5\sqrt{2}$$

Spróbujmy narysować sobie szkic tej sytuacji, całość będzie wyglądać następująco:



Z rysunku widać, że kompletnie nie interesuje nas promień okręgu, dlatego zupełnie nie ma co się przejmować tak dużymi liczbami. My musimy skupić się tylko na środkach okręgów. Odległość między środkami okręgów jest równa \(6+6=12\) jednostek.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie poszczególne punkty w układzie współrzędnych oraz narysujmy prostą, której wzór jest podany w treści zadania i która zawiera się w jednym z ramion. Równanie naszej prostej po przekształceniu do postaci kierunkowej możemy zapisać jako \(y=2x-3\), co oznacza że współczynnik kierunkowy prostej jest dodatni. Prosta jest więc rosnąca i to właśnie na niej znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(C\) i jak się za chwilę okaże, znajdzie się tam też punkt \(A\).



Krok 2. Wyznaczenie symetralnej odcinka \(AB\).
Generalnie naszym celem jest wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(C\). Aby go wyznaczyć musimy znać wzory dwóch prostych, z których zbudujemy układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne przecięcia się prostych (czyli współrzędne punktu \(C\)). Jedną prostą już mamy (jest podana w treści zadania) i teraz musimy jakoś wyznaczyć drugą prostą, która przez ten punkt \(C\) przejdzie. Oczywiście nie wyznaczymy wzoru prostej \(BC\), no bo właśnie brakuje nam tej współrzędnej \(C\). Co wiec możemy zrobić?

Możemy wyznaczyć równanie prostej, która jest prostopadła do odcinka \(AB\) i która przechodzi przez środek tego odcinka. Ta prosta będzie na pewno przechodzić przez punkt \(C\) bo będzie to tak naprawdę wysokość trójkąta równoramiennego, a wiemy że w trójkątach równoramiennych wysokość pada dokładnie na środek podstawy. Czyli chcąc standardowo rozwiazać to zadanie moglibyśmy wyznaczyć wzór prostej \(AB\) (bo znamy odpowiednie wierzchołki), następnie wyznaczylibyśmy środek tego odcinka (wyszłoby nam, że \(S=(\frac{7}{2};\frac{3}{2})\)) no i na sam koniec wyznaczylibyśmy wzór prostej prostopadłej do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S\). Ja jednak pokażę Ci jak można byłoby taką symetralną wyznaczyć nieco prościej:

Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny w którym \(|AC|=|CB|\). Skoro znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), to możemy je podstawić do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AC|=|CB|$$ $$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^2+(y_{B}-y_{C})^2}$$

Dla przejrzystości obliczeń podnieśmy do potęgi obie strony równania i przyjmijmy że \(x_{c}=x\) oraz \(y_{c}=y\).
$$\require{cancel}
(x-x_{A})^2+(y-y_{A})^2=(x_{B}-x)^2+(y_{B}-y)^2$$ $$(x-2)^2+(y-1)^2=(5-x)^2+(2-y)^2$$ $$\cancel{x^2}-4x+\cancel{4}+\cancel{y^2}-2y+1=25-10x+\cancel{x^2}+\cancel{4}-4y+\cancel{y^2}$$ $$2y=-6x+24 \quad\bigg/:2$$ $$y=-3x+12$$

Udało nam się otrzymać kolejny wzór prostej, która przechodzi przed punkt \(C\) i jest to właśnie symetralna odcinka \(AB\).

Krok 3. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z wyznaczonego w drugim kroku równania prostej i z równania podanego w treści zadania (który po przekształceniu jest równy \(y=2x-3\)) możemy stworzyć taki mały układ równań. Obrazowo rzecz ujmując - te dwie proste przetną się w punkcie \(C\), a wiemy z interpretacji geometrycznej układu równań, że miejsce przecięcia się dwóch prostych jest właśnie rozwiązaniem układu równań. Zatem:
\begin{cases} y=-3x+12 \\ y=2x-3 \end{cases}

Rozwiązując metodę podstawiania otrzymamy:
$$-3x+12=2x-3$$ $$15=5x$$ $$x=3$$

Znając współrzędną \(x\) możemy już bez problemu obliczyć współrzędną \(y\):
$$y=2x-3$$ $$y=2\cdot3-3$$ $$y=3$$

To oznacza, że poszukiwane przez nas współrzędne to \(C=(3;3)\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Odcinek \(AC\) jest zgodnie z treścią zadania przekątną naszego kwadratu, a jego długość obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-6-(-2))^2+(2-4)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{4^2+(-2)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{16+4}$$ $$|AC|=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest równa połowie długości przekątnej tego kwadratu. W związku z tym:
$$r=\frac{1}{2}|AC|$$ $$r=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{5}$$ $$r=\sqrt{5}$$

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Z treści zadania możemy wyczytać, że punkty \(A\) i \(B\) są kolejnymi wierzchołkami rombu, czyli że tworzoną one odcinek, który jest jednocześnie bokiem naszej figury. Na początku więc obliczmy długość tego odcinka. Skorzystamy tutaj ze wzoru na długość odcinka, znając jego współrzędne:
$$a=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$

\(x_{1}\) oraz \(y_{1}\) to współrzędne pierwszego punktu, a \(x_{2}\) oraz \(y_{2}\) to współrzędne drugiego punktu.

Podstawiając współrzędne \(A=(-1;2)\) i \(B=(5;-2)\) otrzymamy:
$$a=\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-2)^2}$$ $$a=\sqrt{6^2+(-4)^2}$$ $$a=\sqrt{36+16}$$ $$a=\sqrt{52}$$ $$a=\sqrt{4\cdot13}$$ $$a=2\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu rombu.
Znamy długość jednego z boków rombu, a wiemy że romb ma cztery boki równej długości. To znaczy, że:
$$Obw=4a$$ $$Obw=4\cdot2\sqrt{13}$$ $$Obw=8\sqrt{13}$$

Równanie okręgu w postaci kanonicznej przybiera postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są współrzędnymi środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. Nas interesuje odczytanie z tych dwóch równań z treści zadania współrzędnych środków dwóch okręgów, co później pozwoli nam na wyznaczenie długości odcinka między tymi środkami.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środków okręgów.
Okrąg o równaniu \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) ma zgodnie z tym co wyżej napisaliśmy współrzędne środka okręgu \(S_{1}=(-1;2)\).
Okrąg o równaniu \(x^2+y^2=10\) ma współrzędne środka okręgu \(S_{2}=(0;0)\).

Krok 2. Obliczenie odległości między środkami okręgów.
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość odcinka między nimi, korzystając ze wzoru:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$ $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(0-(-1))^2+(0-2)^2}$$ $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}$$ $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{1+4}$$ $$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{5}$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BC\).
Skoro punkty \(B\) i \(C\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to znaczy że odcinek \(BC\) jest bokiem kwadratu (a nie np. przekątną). Obliczając więc długość tego boku wiemy, że otrzymana wartość będzie długością boku kwadratu. Zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka:
$$|BC|=\sqrt{(x_{c}-x_{b})^2+(y_{c}-y_{b})^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(5-(-2))^2+(1-4)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{7^2+(-3)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{49+9}$$ $$|BC|=\sqrt{58}$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Znając długość boku kwadratu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni:
$$P=a^2$$ $$P=(\sqrt{58})^2$$ $$P=58$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako \((x;y)\). Z treści zadania wiemy, że przez punkt \(B\) przechodzi prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x\). Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną \(y\) i zapisać współrzędne tego punktu jako: \(B=(x;\frac{1}{2}x)\).

Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej \(y\), a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.

Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki \(AC\) oraz \(BC\) mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne \(A\) i \(C\), zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu \(B\) z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
$$|AC|=|BC|$$ $$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2$$ $$1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4}$$ $$65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82$$ $$\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4$$ $$5x^2-44x+68=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-44,\;c=68\)
$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$

Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu \(B\).
Dla \(x=2\) otrzymaliśmy współrzędną punktu \(A\). To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt \(A\) także leży na prostej \(y=\frac{1}{2}x\)).

Współrzędne punktu \(B\) otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli \(x=\frac{68}{10}\). Brakuje nam jeszcze współrzędnej \(y\), ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
$$y=\frac{1}{2}x$$ $$y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10}$$ $$y=\frac{68}{20}$$

Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5}$$ $$y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$

Poszukiwane współrzędne to \(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\).

Skorzystamy z wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne poszczególnych punktów otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(3-(-4))^2}$$ $$|AB|=\sqrt{1^2+7^2}$$ $$|AB|=\sqrt{1+49}$$ $$|AB|=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Długość odcinka \(AB\) obliczymy z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(2-(-2))^2+(2-(-1))^2}$$ $$|AB|=\sqrt{4^2+3^2}$$ $$|AB|=\sqrt{16+9}$$ $$|AB|=\sqrt{25}$$ $$|AB|=5$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Znając długość boku trójkąta równobocznego możemy obliczyć jego wysokość z następującego wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{5\sqrt{3}}{2}$$ $$h=2,5\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość danego odcinka za pomocą wzoru:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-5-(-1))^2+(5-3)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-4)^2+2^2}$$ $$|AC|=\sqrt{16+4}$$ $$|AC|=\sqrt{20}$$

Warto też dodać, że zgodnie z treścią zadania jest to przekątna naszego kwadratu.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni kwadratu.
Najprościej będzie tutaj skorzystać ze wzoru na pole kwadratu z wykorzystaniem długości przekątnej:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d^2$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{20})^2$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot20$$ $$P=10$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(KL\).
To zadanie nie jest do końca precyzyjne, bo nie wiemy czy \(K\) oraz \(L\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, czy też wierzchołkami leżącymi po przekątnej. W zasadzie dopiero z nazwy kwadratu (czyli \(KLAM\)) powinniśmy wywnioskować, że faktycznie będą to sąsiednie boki. Skoro tak to odległość od punktu \(K\) do punktu \(L\) będzie jednocześnie długością boku takiego kwadratu. Długość odcinka \(KL\) obliczymy z następującego wzoru:
$$|KL|=\sqrt{(x_{L}-x_{K})^2+(y_{L}-y_{K})^2}$$ $$|KL|=\sqrt{(6-0)^2+(-4-4)^2}$$ $$|KL|=\sqrt{6^2+(-8)^2}$$ $$|KL|=\sqrt{36+64}$$ $$|KL|=\sqrt{100}$$ $$|KL|=10$$

Krok 2. Obliczenie obwodu kwadratu.
Skoro jest to kwadrat o boku \(a=10\), to jego obwód będzie równy:
$$Obw=4\cdot10$$ $$Obw=40$$

Znając współrzędne punktów \(A\) i \(B\) jesteśmy w stanie obliczyć odległość między tymi punktami (czyli w naszym przypadku długość boku trójkąta). W tym celu skorzystamy z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Podstawiamy współrzędne wierzchołków do powyższego wzoru i obliczamy w ten sposób długość boku \(AB\).
$$|AB|=\sqrt{(3-(-5)^2+(-2-2)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{8^2+(-4)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{64+16}$$ $$|AB|=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABC\).
Treścią zadania było obliczenie obwodu trójkąta, a nie tylko długości jednego z jego boków. W trójkącie równobocznym wszystkie trójkąty mają tą samą miarę, stąd też:
$$Obw_{ABC}=3\cdot4\sqrt{5}=12\sqrt{5}$$

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(6-3)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{6^2+3^2}$$ $$|AB|=\sqrt{36+9}$$ $$|AB|=\sqrt{45}$$

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punkty \(P\) oraz \(R\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to możemy korzystając z tej informacji obliczyć długość boku kwadratu. Najprościej będzie to zrobić stosując następujący wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|PR|=\sqrt{(x_{R}-x_{P})^2+(y_{R}-y_{P})^2}$$

Stosując ten wzór do naszych danych otrzymamy:
$$|PR|=\sqrt{(x_{R}-x_{P})^2+(y_{R}-y_{P})^2}$$ $$|PR|=\sqrt{(3-(-1))^2+(-1-2)^2}$$ $$|PR|=\sqrt{4^2+(-3)^2}$$ $$|PR|=\sqrt{16+9}$$ $$|PR|=\sqrt{25}$$ $$|PR|=5$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z naszego rysunku musimy odczytać bardzo ważną informację (którą zaznaczyłem już na rysunku), czyli że przekątna \(AC\) jest dwa razy większa od przekątnej \(EF\). Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(EB\) oraz analogicznie bok \(BC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BF\). Krótko mówiąc - bok \(EF\) jest tak jakby przekątną kwadratu, który ma dwa razy krótszy bok od kwadratu \(ABCD\). Stąd też przekątna \(EF\) jest dwa razy krótsza od przekątnej \(AC\).

Skoro tak, to musimy teraz obliczyć długość przekątnej \(EF\) i otrzymany wynik pomnożyć przez dwa - wtedy otrzymamy długość przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(EF\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|EF|=\sqrt{(x_{F}-x_{E})^2+(y_{F}-y_{E})^2}$$ $$|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2}$$ $$|EF|=\sqrt{2^2+6^2}$$ $$|EF|=\sqrt{4+36}$$ $$|EF|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od przekątnej \(EF\), zatem:
$$|AC|=2\cdot2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$$