Kula

Objętość:

$$V=\frac43\pi r^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Pole powierzchni:

$$P=4\pi r^2=4\pi\cdot9=36\pi$$

Ciekawostka: dla $r=3$ obie wielkości wychodzą liczbowo takie same — to zbieg okoliczności, bo mają różne jednostki.

Odpowiedź: $V=36\pi$, $P=36\pi$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$\frac43\pi r^3=\frac{500}{3}\pi$$

Krok 2 — dzielimy przez $\pi$ i mnożymy przez $3$:

$$4r^3=500 \quad\Rightarrow\quad r^3=125$$

Krok 3 — pierwiastek sześcienny:

$$r=5$$

Odpowiedź: $r=5$.

Objętość zależy od sześcianu promienia:

$$V_{\text{nowe}}=\frac43\pi(2r)^3=\frac43\pi\cdot8r^3=8V$$

Dla porównania: pole powierzchni ($4\pi r^2$) wzrośnie tylko czterokrotnie.

Odpowiedź: B. wzrośnie ośmiokrotnie.

Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc $H=2r$:

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3,\qquad V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

$$\frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{walca}}}=\frac{4/3}{2}=\frac23$$

To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć ten wynik na swoim nagrobku.

Odpowiedź: A. $\frac23$.

Krok 1 — kluczowa obserwacja. Przetapianie nie zmienia objętości materiału.

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi\cdot216=288\pi$$

Krok 3 — przyrównujemy do objętości walca:

$$\pi\cdot36\cdot H=288\pi$$

Krok 4 — wyznaczamy wysokość:

$$H=\frac{288}{36}=8$$

Kontrola sensu: średnica kuli wynosi $12$, a walec o tym samym promieniu wyszedł niższy ($8$) — to zgadza się z faktem, że kula wypełnia tylko $\frac23$ opisanego na niej walca ✔

Odpowiedź: $H=8$.

Walec:

$$V_1=\pi\cdot9\cdot6=54\pi$$

Stożek:

$$V_2=\frac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi$$

Kula:

$$V_3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Uporządkowanie:

$$18\pi\lt 36\pi\lt 54\pi$$

$$\text{stożek}\lt \text{kula}\lt \text{walec}$$

Warto zauważyć. Przy $H=2r$ zachodzi ładna zależność: objętości stożka, kuli i walca mają się jak $1:2:3$. Tutaj $18\pi$, $36\pi$, $54\pi$ — dokładnie w tym stosunku ✔ To znany wynik Archimedesa.

Odpowiedź: stożek $18\pi$, kula $36\pi$, walec $54\pi$.

$$V=\frac43\pi r^3$$

Odpowiedź: D. $\frac43\pi r^3$.

$$V=\frac43\pi\cdot3^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$

Odpowiedź: $36\pi$.

$$P=4\pi r^2$$

Odpowiedź: A. $4\pi r^2$.

$$P=4\pi\cdot5^2=4\pi\cdot25=100\pi$$

Odpowiedź: $100\pi$.

Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej daje stożek (obrót prostokąta → walec, obrót półkola → kula).

Odpowiedź: B. trójkąta prostokątnego.

Z wzoru $V=\frac43\pi r^3$:

$$\frac43\pi r^3=\frac{32}{3}\pi \quad\Rightarrow\quad r^3=\frac{32}{3}\cdot\frac{3}{4}=8$$

$$r=\sqrt[3]{8}=2$$

Odpowiedź: $r=2$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot2=\pi\cdot0{,}25\cdot2=0{,}5\pi\approx1{,}57\ \text{m}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry:

$$1{,}57\ \text{m}^3=1570\ \text{l}$$

Odpowiedź: około $1570$ litrów.

Krok 1 — przekrój przez środek to koło wielkie o promieniu równym promieniowi kuli ($r=6$).

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi$$

Odpowiedź: $36\pi$.

Krok 1 — objętość dla promienia $r$:

$$V=\frac43\pi r^3$$

Krok 2 — objętość dla promienia $2r$:

$$V'=\frac43\pi(2r)^3=\frac43\pi\cdot8r^3=8\cdot\frac43\pi r^3=8V$$

Krok 3 — wniosek. $V'=8V$ — objętość rośnie ośmiokrotnie. $\quad∎$

Dlaczego. Objętość zależy od trzeciej potęgi promienia, a $2^3=8$. Sprawdzenie: $r=1\to V=\frac43\pi$; $r=2\to V=\frac{32}{3}\pi=8\cdot\frac43\pi$ ✔

1. $\tfrac43\pi r^3=36\pi \Rightarrow r^3=27 \Rightarrow r=3$.
2. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pole koła wielkiego; D — $r^3$ zamiast pola.

1. $V=\pi\cdot5^2\cdot2=\pi\cdot25\cdot2$.
2. $=50\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=\tfrac13\cdot36\pi$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $V=\tfrac43\pi r^3=\tfrac43\pi\cdot27$.
2. $=36\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D używa $r^2$ zamiast $r^3$.

1. $P=4\pi r^2=4\pi\cdot4$.
2. $=16\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\pi\cdot1^2\cdot10$.
2. $=10\pi$.

Odpowiedź: $10\pi$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot1=\tfrac13\cdot36\pi$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija $\tfrac13$.

1. $P_b=2\pi r H=2\pi\cdot3\cdot4$.
2. $=24\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija czynnik $2$.

1. $V=\tfrac43\pi\cdot1^3$.
2. $=\tfrac43\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to pole powierzchni.

1. $V=\pi\cdot4\cdot3$.
2. $=12\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r$ zamiast $r^2$.

1. $V=\tfrac13\pi r^2 H=\tfrac13\pi\cdot9\cdot8$.
2. $=\tfrac13\cdot72\pi=24\pi$.

Odpowiedź: $24\pi$.

1. $V=\pi\cdot9\cdot2=18\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B używa $r$.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot2=24\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac13$.

1. $P=4\pi\cdot9=36\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A używa $r^2$ bez $4$.

1. $V=\pi\cdot1\cdot5=5\pi$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi$.

Odpowiedź: $12\pi$