Kąt w układzie współrzędnych
Klasa 4 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 5
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Kąt $\alpha$: $\mathrm{tg}\,\alpha=-3$ oraz $90^\circ\lt \alpha\lt 180^\circ$. Wybierz dwie prawdziwe zależności spośród A–F (A: $\sin\alpha\lt 0$; B: $\sin\alpha\cos\alpha\lt 0$; C: $\sin\alpha\cos\alpha>0$; D: $\cos\alpha>0$; E: $\sin\alpha=-\tfrac13\cos\alpha$; F: $\sin\alpha=-3\cos\alpha$).
Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. Cosinus kąta $\alpha$ jest równy
Dane są kąty $\alpha,\beta\in(0^{\circ},180^{\circ})$ takie, że $\operatorname{tg}\alpha=-\dfrac{2}{3}$ oraz $\cos\beta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$. Na rysunkach A–F zaznaczono różne kąty; jedno ramię każdego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt o współrzędnych całkowitych.
Uzupełnij tabelę — wpisz właściwą literę A–F.
16.1. Kąt $\alpha$ jest zaznaczony na rysunku … .
16.2. Kąt $\beta$ jest zaznaczony na rysunku … .
Wiedząc, że \(0^\circ\le\alpha\le360^\circ\), \(\sin\alpha\lt 0\) oraz \(4\,\mathrm{tg}\,\alpha=3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha\):
a) oblicz \(\mathrm{tg}\,\alpha\),
b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt \(\alpha\) i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.
📘Teoria 2
Zakres
Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ definiujemy sinus, cosinus i tangens.
Wzory redukcyjne
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ oraz $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.
Znaki
W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
Jedynka trygonometryczna
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Kierunek
Kąt dodatni odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ujemny — zgodnie.
Kąty współkońcowe
Różnią się o wielokrotność $360^\circ$ ($2\pi$).
Miara łukowa
$180^\circ=\pi$ rad; kąt pełny to $2\pi$.
Przykład
$405^\circ$ jest współkońcowy z $45^\circ$.
∑Wzory 2
$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.
Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Zamiana stopni na radiany i odwrotnie.
Przykład: $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
🧩Quizy 4
✍Zadania dodatkowe 34
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Dla kąta rozwartego (między $90^\circ$ a $180^\circ$) cosinus jest:
Ile wynosi $\sin90^\circ$?
Dla kąta rozwartego sinus jest:
Ile wynosi $\cos90^\circ$?
Korzystając ze wzoru redukcyjnego, oblicz $\sin150^\circ$.
Oblicz $\cos120^\circ$.
Oblicz $\sin120^\circ$.
Oblicz $\cos150^\circ$.
Dla kąta rozwartego tangens jest:
Oblicz $\sin180^\circ$.
Oblicz $\cos180^\circ$.
Oblicz $\sin135^\circ$.
Oblicz $\cos135^\circ$.
$\sin90^\circ$ wynosi:
Oblicz $\sin150^\circ+\cos150^\circ$.
Jeśli $\cos\alpha=-\tfrac12$ i $\alpha$ rozwarty, podaj $\alpha$.
Sprawdź jedynkę dla $\alpha=120^\circ$: $\sin^2+\cos^2$.
Dla $\alpha=90^\circ$ tangens:
Oblicz $\operatorname{tg}135^\circ$.
Jeśli $\sin\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha$ rozwarty, oblicz $\cos\alpha$.
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $3$ i $4$. Sinus kąta leżącego naprzeciw krótszej przyprostokątnej jest równy
Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\tfrac{5}{13}$. Wtedy $\cos\alpha$ jest równy
Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=2$. Wtedy $\cos\alpha$ jest równy
Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos^3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha$ jest równe
Wartość wyrażenia $2\sin30^\circ+\cos60^\circ\cdot\operatorname{tg}45^\circ$ jest równa
Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha=\tfrac35$. Wtedy $\cos\alpha$ jest równy
Kąt $\alpha$ ma wierzchołek w punkcie $O=(0,0)$, jedno ramię na dodatniej półosi $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P=(-4,3)$. Tangens kąta $\alpha$ jest równy
Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- $\sin150^\circ=\tfrac12$
- $\cos120^\circ=\tfrac12$
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\dfrac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}=3$. Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$.
Kąt $\alpha$ spełnia warunki: $\operatorname{tg}\alpha=-2$ oraz $90^\circ\lt \alpha\lt 180^\circ$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.
Kąt obrotu wynosi $450^\circ$. Sprowadź go do przedziału $\langle0^\circ,\ 360^\circ)$.
Kąt $-30^\circ$ sprowadzony do przedziału $\langle0^\circ,\ 360^\circ)$ to:
Kąt $720^\circ$ odpowiada:
Kąt obrotu $390^\circ$ ma ten sam koniec co kąt: