Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Wysokość ostrosłupa i rzut krawędzi bocznej na podstawę tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna $=12$ jest przeciwprostokątną, a kąt nachylenia to $60^{\circ}$.

$H=12\cdot\sin 60^{\circ}=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.

Odpowiedź: D.

Rozwiązanie

Najdłuższa przekątna łączy wierzchołek dolny z przeciwległym górnym; jej rzutem na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta (przez środek). Kąt nachylenia jest między tą przekątną a jej rzutem — poprawnie zaznaczony na rysunku D.

Odpowiedź: D

Ostrosłup ma jedną podstawę i pozostałe ściany boczne, więc:

liczba ścian bocznych: \(12-1=11\)

Każda ściana boczna opiera się na jednym boku podstawy, zatem podstawą jest jedenastokąt.

Wierzchołki: \(11\) wierzchołków podstawy oraz \(1\) wierzchołek ostrosłupa:

\(11+1=12\)

Odpowiedź: C.

Krawędź \(AB\) jest prostopadła do ściany \(ADHE\) (bo \(AB\perp AD\) oraz \(AB\perp AE\)), więc trójkąt \(ABH\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(A\).

Kąt o mierze \(30^\circ\) leży przy wierzchołku \(H\), a naprzeciw niego znajduje się przyprostokątna \(AB=6\). Przeciwprostokątną jest szukana przekątna \(BH\):

\(\sin 30^\circ=\frac{|AB|}{|BH|}\)

\(\frac{1}{2}=\frac{6}{|BH|}\)

\(|BH|=12\)

Odpowiedź: C.

Ostrosłup o \(2024\) ścianach bocznych ma w podstawie wielokąt o \(2024\) bokach.

Liczba krawędzi podstawy: \(2024\)

Liczba krawędzi bocznych (po jednej z każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa): \(2024\)

Łącznie:

\(2024+2024=4048\)

Odpowiedź: C.

Rzutem przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątna kwadratu o boku \(4\):

\(d=4\sqrt{2}\)

Przekątna graniastosłupa, jej rzut i wysokość \(H\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt \(\alpha\) leży przy rzucie:

\(\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{H}{4\sqrt{2}}\)

Podstawiamy \(\mathrm{tg}\,\alpha=2\):

\(2=\frac{H}{4\sqrt{2}}\)

\(H=8\sqrt{2}\)

Odpowiedź: C.

Dłuższa przekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki obu podstaw. Jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego, równa podwojonemu bokowi:

\(d_p=2\cdot 6=12\)

Wysokość graniastosłupa wynosi \(H=6\).

Przekątna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej:

\(d=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

Cosinus kąta nachylenia to stosunek rzutu do przekątnej:

\(\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź: \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Wierzchołek ostrosłupa znajduje się nad jednym z wierzchołków podstawy — oznaczmy go \(A\). Najdłuższa krawędź boczna łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem \(C\) przeciwległym do \(A\), bo jego rzut jest najdalej od spodka wysokości.

Rzutem tej krawędzi na podstawę jest przekątna kwadratu:

\(|AC|=6\sqrt{2}\)

Kąt nachylenia \(\alpha\) tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(H=12\) (naprzeciw kąta) i \(|AC|=6\sqrt{2}\) (przy kącie):

\(\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{12}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Odpowiedź: A.

W sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna (łącząca przeciwległe wierzchołki) jest dwa razy dłuższa od boku:

\(|AD|=2\cdot 5=10\)

Trójkąt \(ADD'\) jest prostokątny (krawędź boczna jest prostopadła do podstawy), a kąt przy wierzchołku \(A\) ma miarę \(45^\circ\). W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(45^\circ\) przyprostokątne są równe, zatem wysokość graniastosłupa:

\(H=|DD'|=|AD|=10\)

Ściana boczna jest prostokątem o wymiarach \(5\times 10\):

\(P=5\cdot 10=50\)

Odpowiedź: C.

1) Apotema ściany bocznej. Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie \(a\) i wysokości \(h_b\):

\(P_b=3\cdot\tfrac12 a\,h_b=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\),

\(h_b=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\).

2) Apotema podstawy. Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu wpisanego wynosi

\(m=\dfrac{a\sqrt3}{6}\).

3) Kąt nachylenia \(\beta\). Kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kąt między apotemą ściany \(h_b\) a jej rzutem \(m\) na płaszczyznę podstawy (na rysunku: kąt przy spodku wysokości ściany, w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(h_b\)):

\(\cos\beta=\dfrac{m}{h_b}=\dfrac{\tfrac{a\sqrt3}{6}}{\tfrac{a\sqrt{15}}{6}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{15}}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\approx0{,}447\).

4) Odczyt z tablic. Wartości \(\cos\beta\approx0{,}447\) odpowiada

\(\beta\approx63^\circ\).

a) Rysujemy ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(a=4\) m. Zaznaczamy apotemę podstawy \(m\) (odcinek od środka podstawy do środka krawędzi) oraz apotemę ściany bocznej \(h_b\); kąt między nimi to kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, równy \(60^\circ\).

b) Apotema ściany bocznej.

\(m=\dfrac{a}{2}=2\) m, \(\ \cos60^\circ=\dfrac{m}{h_b}\), skąd \(h_b=\dfrac{2}{\tfrac12}=4\) m.

Pole powierzchni bocznej. Dach tworzy cztery przystające trójkąty równoramienne:

\(P_b=4\cdot\tfrac12\cdot a\cdot h_b=4\cdot\tfrac12\cdot4\cdot4=32\ \text{m}^2\).

Liczba dachówek.

\(32\cdot24=768\) sztuk,

z 8% zapasem: \(768\cdot1{,}08=829{,}44\).

Dachówki kupujemy w całych sztukach, więc należy kupić 830 dachówek.