Klasa 4 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
✍Zadania dodatkowe 29
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
A$V=P_p+H$
B$V=P_p\cdot H$
C$V=\frac13 P_p\cdot H$
D$V=2P_p\cdot H$
Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:
$$V=P_p\cdot H$$
Uwaga: wzór $\frac13 P_p\cdot H$ dotyczy ostrosłupa, nie graniastosłupa. Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Odpowiedź: B. $V=P_p\cdot H$.
Zadanie nr 2
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $12$ cm² i wysokości $5$ cm.
$$V=P_p\cdot H=12\cdot5=60\ \text{cm}^3$$
Odpowiedź: $60$ cm³.
Zadanie nr 3
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Sześcian to graniastosłup o kwadratowej podstawie, gdzie wszystkie krawędzie są równe:
$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$
Odpowiedź: $64$ cm³.
Zadanie nr 4
Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ wynosi:
A$a^3$
B$4a^2$
C$6a^2$
D$a^2$
Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych o polu $a^2$ każda:
$$P=6a^2$$
Uwaga: $a^3$ to objętość sześcianu, a nie pole.
Odpowiedź: C. $6a^2$.
Zadanie nr 5
Prostopadłościan ma wymiary $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm. Oblicz jego objętość.
Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:
$$V=3\cdot4\cdot5=60\ \text{cm}^3$$
Odpowiedź: $60$ cm³.
Zadanie nr 6
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie:
Akwadrat
Bprostokąt
Cromb
Dtrapez
„Prawidłowy” oznacza, że w podstawie leży wielokąt foremny. Foremny czworokąt to kwadrat.
Analogicznie: graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a sześciokątny — sześciokąt foremny.
Odpowiedź: A. kwadrat.
Zadanie nr 7
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach $2$ cm, $3$ cm i $4$ cm.
Krok 1 — prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian. Pola par:
$$2\cdot3=6,\qquad 2\cdot4=8,\qquad 3\cdot4=12$$
Krok 2 — każda para występuje dwa razy:
$$P=2\cdot(6+8+12)=2\cdot26=52\ \text{cm}^2$$
Wzór ogólny: $P=2(ab+bc+ac)$.
Odpowiedź: $52$ cm².
Zadanie nr 8
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$. Oblicz jego objętość.
Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:
Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty. Po „rozwinięciu” tworzą jeden duży prostokąt o wysokości $H$ i szerokości równej obwodowi podstawy:
$$P_b=O_p\cdot H$$
Pole całkowite: $P=P_b+2P_p$ — pole boczne plus dwie podstawy.
Odpowiedź: A. obwód podstawy razy wysokość.
Zadanie nr 15
Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $50$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?
Krok 1 — objętość w cm³:
$$V=50\cdot30\cdot40=60\,000\ \text{cm}^3$$
Krok 2 — zamiana na litry. Jeden litr to $1000$ cm³:
$$60\,000:1000=60\ \text{litrów}$$
Warto zapamiętać: $1$ dm³ $=1$ litr $=1000$ cm³.
Odpowiedź: $60$ litrów.
Zadanie nr 16
Jeśli krawędź sześcianu podwoimy, to jego objętość wzrośnie:
Adwukrotnie
Bczterokrotnie
Cośmiokrotnie
Dszesnastokrotnie
Objętość zależy od trzeciej potęgi krawędzi. Dla krawędzi $2a$:
$$V=(2a)^3=8a^3$$
To osiem razy więcej niż $a^3$.
Zależność wymiarów: długość rośnie $2$ razy, pole $2^2=4$ razy, objętość $2^3=8$ razy.
Odpowiedź: C. ośmiokrotnie.
Zadanie nr 17
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $8$. Oblicz jego objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):
$$P_p=6^2=36$$
Krok 2 — objętość:
$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288$$
Krok 3 — pole boczne. Obwód podstawy to $4\cdot6=24$:
$$P_b=O_p\cdot H=24\cdot8=192$$
Krok 4 — pole całkowite:
$$P=P_b+2P_p=192+2\cdot36=192+72=264$$
Odpowiedź: $V=288$, $P=264$.
Zadanie nr 18
Przekątna ściany sześcianu wynosi $5\sqrt2$. Oblicz objętość sześcianu.
Krok 1 — krawędź z przekątnej ściany. Ściana to kwadrat, a jego przekątna to $a\sqrt2$:
$$a\sqrt2=5\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=5$$
Krok 2 — objętość:
$$V=a^3=5^3=125$$
Uwaga na rodzaj przekątnej. Chodziło o przekątną ściany ($a\sqrt2$), a nie przekątną przestrzenną sześcianu, która wynosi $a\sqrt3$. To dwie różne wielkości.
Odpowiedź: $V=125$.
Zadanie nr 19
Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt3$. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu.
Krok 1 — krawędź z przekątnej przestrzennej. Dla sześcianu przekątna wynosi $a\sqrt3$:
$$a\sqrt3=6\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad a=6$$
Krok 2 — pole powierzchni:
$$P=6a^2=6\cdot36=216$$
Skąd wzór $a\sqrt3$: przekątna przestrzenna prostopadłościanu to $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, a dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc $\sqrt{3a^2}=a\sqrt3$.
Odpowiedź: $P=216$.
Zadanie nr 20
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy wynosi $4$, a przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $45^\circ$. Oblicz wysokość i objętość.
Krok 1 — przekątna podstawy. Podstawą jest kwadrat o boku $4$, więc jego przekątna to:
$$d_p=4\sqrt2$$
Krok 2 — wykorzystujemy kąt nachylenia. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi $45^\circ$:
$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{H}{d_p}$$
Krok 3 — wyznaczamy wysokość. Ponieważ $\operatorname{tg}45^\circ=1$:
Dlaczego $H=d_p$. Kąt $45^\circ$ oznacza trójkąt prostokątny równoramienny — wysokość równa się przekątnej podstawy. To charakterystyczna cecha tego kąta.
Odpowiedź: $H=4\sqrt2$, $V=64\sqrt2$.
Zadanie nr PP21.1
Objętość sześcianu jest równa $216$. Przekątna tego sześcianu ma długość
Objętość sześcianu jest równa $729$. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
A$9\sqrt{3}$
B$9\sqrt{2}$
C$3\sqrt{3}$
D$3\sqrt{2}$
Krawędź: $a=\sqrt[3]{729}=9$.
Przekątna sześcianu: $d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 26 · Matura 2025
Objętość sześcianu jest równa \(729\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
A\(9\sqrt{3}\)
B\(9\sqrt{2}\)
C\(3\sqrt{3}\)
D\(3\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$
$$729=a^3$$
$$a=9$$
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Sześcian o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Stąd też przekątna naszego sześcianu ma długość \(d=9\sqrt{3}\).
Zadanie nr 25.1 · Matura 2024
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość $6$ i pole podstawy $15\sqrt3$. Pole jednej ściany bocznej jest równe
A$36\sqrt{10}$
B$60$
C$6\sqrt{10}$
D$360$
Rozwiązanie
Pole sześciokąta $\tfrac{3\sqrt3}{2}a^2=15\sqrt3\Rightarrow a^2=10\Rightarrow a=\sqrt{10}$.
Ściana boczna to prostokąt $a\times6=6\sqrt{10}$.
Odpowiedź: C
Zadanie nr 25 · Matura 2024
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).
Zadanie 25.1
Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:
A. \(36\sqrt{10}\)
B. \(60\)
C. \(6\sqrt{10}\)
D. \(360\)
Zadanie 25.2
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku:
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4$$
$$6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6$$
$$a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$$
$$a^2=10$$
$$a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).
Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6$$
$$P=6\sqrt{10}$$
Rozwiązanie 2.
Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.
Zadanie nr 25 · Próbny 2024
Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź ma długość $p$. Objętość tego prostopadłościanu jest równa
A$p^{3}-3p^{2}+2p$
B$p^{3}+3p^{2}+2p$
C$p^{3}-6p^{2}-8p$
D$p^{3}-6p^{2}+8p$
Trzy kolejne parzyste liczby, w których największa to $p$, to $p-4,\ p-2,\ p$.
Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(B_{1}\) oraz \(B_{2}\). Objętość prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równe \(P\).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe:
A. \(27P\)
B. \(9P\)
C. \(3\sqrt{3}P\)
ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy
1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
3. kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z własności brył podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa brył jest równa \(k\), to bryła podobna ma \(k^3\) razy większą objętość. Widzimy, że drugi prostopadłościan ma objętość \(27\) razy większą od pierwszego, zatem:
$$k^3=27$$
$$k=3$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku \(k=3\), więc pole powierzchni będzie \(k^2=3^2=9\) razy większe.
To oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe \(9P\), ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Zadanie nr 25 · Matura 2023
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $15$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$, gdzie $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt2}{3}$. Długość przekątnej graniastosłupa jest równa
A$15\sqrt2$
B$45$
C$5\sqrt2$
D$10$
Rozwiązanie
Przekątna podstawy (kwadrat) $=15\sqrt2$ — jest to rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę.
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $5$. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt $P$.
Suma odległości punktu $P$ od wszystkich ścian sześcianu jest równa
A$15$
B$20$
C$25$
D$30$
Dla każdej pary przeciwległych ścian suma odległości punktu $P$ od nich jest równa krawędzi, czyli $5$.
Ściany tworzą $3$ takie pary, więc suma wszystkich odległości wynosi $3\cdot 5=15$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 24 · Próbny 2023
W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej jest pięć razy dłuższa od przekątnej podstawy.
Stosunek długości krawędzi bocznej tego graniastosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy:
A\(5\)
B\(\sqrt{5}\)
C\(5\sqrt{2}\)
D\(7\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał kwadrat. Oznaczmy zatem krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(b\). Dodatkowo możemy zapisać, że przekątna podstawy ma długość \(a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna podstawy o boku \(a\)), a przekątna ściany bocznej będzie pięciokrotnie dłuższa, czyli będzie miała długość \(5a\sqrt{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
Krok 2. Obliczenie stosunku długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny, który powstał nam na ścianie bocznej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+b^2=(5a\sqrt{2})^2$$
$$a^2+b^2=25\cdot a^2\cdot 2$$
$$a^2+b^2=50a^2$$
$$b^2=49a^2$$
$$b=\sqrt{49a^2} \quad\lor\quad b=-\sqrt{49a^2}$$
$$b=7a \quad\lor\quad b=-7a$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W takim razie zostaje nam wynik \(b=7a\), który informuje nas, że krawędź boczna jest \(7\) razy dłuższa od krawędzi podstawy.
Zadanie nr 25 · Matura 2022
W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7:3\). Podstawą tego graniastosłupa jest:
Atrójkąt
Bpięciokąt
Csiedmiokąt
Dośmiokąt
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(3n\) krawędzi oraz \(n+2\) ścian. Skoro stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7:3\), to:
$$3\cdot3n=7(n+2)$$
$$9n=7n+14$$
$$2n=14$$
$$n=7$$
To oznacza, że podstawą tego graniastosłupa jest siedmiokąt.
Zadanie nr 35 · Matura 2022
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD|=15\), a ponadto \(|CD|=3+|BC|\) oraz \(|\sphericalangle CDG|=60°\) (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
Krok 1. Obliczenie długości boków podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(BCD\), w którym znamy długość przeciwprostokątnej. Jeśli długość boku \(BC\) oznaczymy jako \(x\), to zgodnie z treścią zadania bok \(CD\) będzie mieć długość \(x+3\).
Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(x+3)^2=15^2$$
$$x^2+x^2+6x+9=225$$
$$2x^2+6x=216$$
$$2x^2+6x-216=0$$
$$x^2+3x-108=0$$
Tak na marginesie, nie ma konieczności dzielenia całego równania przez \(2\) (tak jak ja to zrobiłem na samym końcu), ale dzięki temu później będziemy mieć mniejsze liczby.
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc rozwiążemy je przy pomocy delty:
Krok 3. Obliczenie długości \(BC\) oraz \(CD\).
Wyszło nam, że rozwiązaniem równania jest \(x=-12\) oraz \(x=9\), ale oczywiście ujemny wynik musimy odrzucić, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam \(x=9\), czyli tym samym (zgodnie z oznaczeniami) \(|BC|=9\) oraz \(|CD|=9+3=12\).
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(DCG\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długość dolnej przyprostokątnej \(|CD|=9+3=12\) i znamy miarę kąta ostrego \(|\sphericalangle CDG|=60°\). Chcąc obliczyć wysokość graniastosłupa (czyli bok \(CG\)) możemy więc wykorzystać funkcje trygonometryczne, a konkretnie tangensa:
$$tg60°=\frac{H}{12}$$
$$\sqrt{3}=\frac{H}{12}$$
$$H=12\sqrt{3}$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie miary krawędzi graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej stanowią dwa prostokąty o wymiarach \(9\times12\sqrt{3}\) i dwa prostokąty o wymiarach \(12\times12\sqrt{3}\), zatem:
$$P_{b}=2\cdot9\cdot12\sqrt{3}+2\cdot12\cdot12\sqrt{3}$$
$$P_{b}=216\sqrt{3}+288\sqrt{3}$$
$$P_{b}=504\sqrt{3}$$
Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Celem zadania jest także obliczenie objętości, zatem:
$$V=9\cdot12\cdot12\sqrt{3}$$
$$V=1296\sqrt{3}$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2022
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(2\sqrt{2}\), a jego przekątne są prostopadłe (jak na rysunku).
Objętość tego graniastosłupa jest równa:
A\(32\)
B\(24\)
C\(16\sqrt{2}\)
D\(8\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\) (wiemy, że jest to kwadrat, bo graniastosłup jest prawidłowy czworokątny). Z własności kwadratów wynika, że przekątna ma długość \(d=a\sqrt{2}\), zatem:
$$d=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$
$$d=2\cdot2$$
$$d=4$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, zatem jego przekątne przecinają się w połowie swojej długości. Skoro przecinają się w dodatku pod kątem prostym, to będziemy mieć taką oto sytuację:
Zaznaczony na rysunku trójkąt jest równoramienny, a skoro jest on jeszcze prostokątny, to będzie to na pewno trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty zaznaczone na niebiesko i zielono są tak naprawdę trójkątami przystającymi (obydwa mają jednakowe długości przyprostokątnych i miarę kąta między nimi). Skoro tak, to wysokość graniastosłupa będzie taka sama jak długość przekątnej podstawy, czyli \(H=4\).
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znając wszystkie miary, możemy już bez problemu przystąpić do liczenia objętości:
$$V=2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot4$$
$$V=4\cdot2\cdot4$$
$$V=32$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2022
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Odcinek łączący wierzchołek \(H\) ze środkiem krawędzi \(BC\) ma długość \(HP=4\) (jak na rysunku).
Oblicz objętość tego sześcianu.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, iż trójkąt \(PCH\) jest prostokątny. Skoro tak, to pomoże nam tutaj Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu ma długość \(a\), to \(|PC|=\frac{1}{2}a\) natomiast \(|CH|=a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna kwadratu o boku \(a\)). W treści zadania mamy jeszcze podaną długość \(|HP|=4\) (która jest przeciwprostokątną naszego trójkąta), zatem:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+(a\sqrt{2})^2=4^2$$
$$\frac{1}{4}a^2+2a^2=16$$
$$\frac{9}{4}a^2=16 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$
$$a^2=\frac{64}{9}$$
$$a=\sqrt{\frac{64}{9}} \quad\lor\quad a=-\sqrt{\frac{64}{9}}$$
$$a=\frac{8}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{8}{3}$$
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa \(42\). Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa:
A\(14\)
B\(28\)
C\(15\)
D\(42\)
Krok 1. Wyznaczenie figury, która znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie mieć \(3n\) krawędzi. Skoro nasz graniastosłup ma \(42\) krawędzie, to:
$$3n=42$$
$$n=14$$
To oznacza, że w podstawie graniastosłupa jest czternastokąt.
Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie mieć \(2n\) wierzchołków. Skoro \(n=14\), to liczba wierzchołków będzie równa:
$$2\cdot14=28$$
Zadanie nr 25 · Matura 2022
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7 cm\) i \(10 cm\). Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2 cm\). Wtedy objętość graniastosłupa jest równa:
A\(560cm^3\)
B\(280cm^3\)
C\(\frac{280}{3}cm^3\)
D\(\frac{560}{3}cm^3\)
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
Skoro w podstawie mamy romb o bokach \(e=7cm\) oraz \(f=10cm\), to korzystając ze wzoru na pole rombu możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{1}{2}ef$$
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot10$$
$$P_{p}=35[cm^2]$$
Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłużej przekątnej o \(2cm\), czyli \(H=10cm-2cm=8cm\). Skoro tak, to objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=35\cdot8$$
$$V=280[cm^3]$$
Zadanie nr 24 · Matura 2021
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(2\) (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A\(24+2\sqrt{3}\)
B\(24+6\sqrt{3}\)
C\(24+12\sqrt{3}\)
D\(24+24\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni sześciokąta.
Na początek obliczmy pole powierzchni sześciokąta, który znajduje się w dolnej i górnej podstawie naszej bryły. Z własności sześciokątów wynika, że jego pole będzie równe polu sześciu małych trójkątów równobocznych o boku \(2\), zatem:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=6\cdot\frac{2^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=6\cdot\frac{4\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=6\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwie podstawy (których pole policzyliśmy przed chwilą) oraz sześć kwadratowych ścian o boku \(2\). Skoro tak, to:
$$P_{c}=2P_{p}+6P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot6\sqrt{3}+6\cdot2\cdot2$$
$$P_{c}=12\sqrt{3}+24$$
To oznacza, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(24+12\sqrt{3}\).
Zadanie nr 25 · Matura 2021
Przekątna sześcianu jest równa \(6\). Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa:
A\(24\sqrt{3}\)
B\(72\)
C\(54\sqrt{2}\)
D\(648\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Ze wzorów wynika, że przekątną sześcianu możemy opisać wzorem:
$$d=a\sqrt{3}$$
Skoro przekątna ma długość \(6\), to:
$$a\sqrt{3}=6$$
$$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$
$$a=2\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$
$$V=(2\sqrt{3})^3$$
$$V=8\cdot3\sqrt{3}$$
$$V=24\sqrt{3}$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2021
Przekątna sześcianu ma długość \(5\sqrt{3}\). Wtedy objętość tego sześcianu jest równa:
A\(125\)
B\(75\)
C\(375\sqrt{3}\)
D\(125\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$
$$a=5$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu wyjdzie nam, że:
$$V=a^3$$
$$V=5^3$$
$$V=125$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2021
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna tworzy z podstawą kąt \(45°\), a krawędź podstawy ma długość \(\sqrt{8}\). Objętość tego graniastosłupa jest równa:
A\(64\)
B\(32\)
C\(8\sqrt{8}\)
D\(4\sqrt{8}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację, zaznaczając odpowiednie miary na graniastosłupie:
Kluczową obserwacją jest dostrzeżenie, że tak naprawdę długość przekątnej podstawy jest równa wysokości graniastosłupa. Skąd to wiemy? Zaznaczony na rysunku trójkąt to charakterystyczny trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) a więc trójkąt równoramienny.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
W podstawie mamy kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że ich przekątną można obliczyć ze wzoru \(d=a\sqrt{2}\). Skoro krawędź podstawy ma długość \(a=\sqrt{8}\), to:
$$d=a\sqrt{2}$$
$$d=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}$$
$$d=\sqrt{16}$$
$$d=4$$
Tym samym, zgodnie z informacją omówioną w kroku pierwszym, możemy zapisać, że także \(H=4\).
Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Obliczenie objętości jest już tylko formalnością:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\cdot4$$
$$V=8\cdot4$$
$$V=32$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2021
Pola trzech ścian prostopadłościanu wynoszą \(72\), \(36\) i \(18\). Objętość tego prostopadłościanu jest równa:
A\(72\)
B\(132\)
C\(216\)
D\(288\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie prostopadłościan i zastanówmy się, co tak naprawdę wynika z treści zadania:
Nie jest istotne jakimi symbolami opiszemy te ściany. Ważne jest to, że powstaną nam tak naprawdę trzy różne prostokąty, których pola zapisane są w treści zadania. Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy ułożyć trzy następujące równania, które stworzą nam tym samym układ równań:
\begin{cases} a\cdot b=18 \\ b\cdot c=36 \\ a\cdot c=72 \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie układu równań. Jest wiele dróg na dojście do wyniku, ale najprościej będzie chyba przekształcić pierwsze i drugie równanie w taki sposób:
\begin{cases} a=\frac{18}{b} \\ c=\frac{36}{b} \\ a\cdot c=72 \end{cases}
Podstawmy teraz do trzeciego równania to, co otrzymaliśmy w równaniu pierwszym i drugim:
$$\frac{18}{b}\cdot\frac{36}{b}=72$$
$$\frac{648}{b^2}=72$$
$$72b^2=648$$
$$b^2=9$$
$$b=3 \quad\lor\quad b=-3$$
Oczywiście ujemną długość musimy odrzucić, więc zostaje nam \(b=3\). Teraz korzystając z odpowiednich równań z układu, możemy dojść do brakujących długości \(a\) oraz \(c\):
$$a\cdot b=18$$
$$a\cdot3=18$$
$$a=6$$
$$b\cdot c=36$$
$$3\cdot c=36$$
$$c=12$$
Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając wszystkie długości boków prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=6\cdot3\cdot12$$
$$V=216$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2021
Objętość sześcianu, którego suma długości krawędzi jest równa \(72\), wynosi:
A\(216\)
B\(160\)
C\(36\)
D\(240\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi. Skoro suma ich długości wynosi \(72\), to każda krawędź ma:
$$12a=72$$
$$a=6$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$
$$V=6^3$$
$$V=216$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2021
Objętość prostopadłościanu, którego każda następna krawędź jest dwa razy dłuższa od poprzedniej, wynosi \(216\). Pole powierzchni tego prostopadłościanu jest równe:
A\(126\)
B\(252\)
C\(522\)
D\(110\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli pierwszą krawędź oznaczymy sobie jako \(a\), to druga zgodnie z treścią zadania będzie dwa razy większa, czyli \(b=2a\), a kolejna będzie jeszcze dwa razy większa, czyli \(c=4a\).
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Objętość naszej bryły jest równa \(216\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c$$
$$216=a\cdot2a\cdot4a$$
$$216=8a^3$$
$$a^3=27$$
$$a=3$$
Skoro \(a=3\), to zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami \(b=2\cdot3=6\) oraz \(c=4\cdot3=12\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$
$$P_{c}=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot12+2\cdot6\cdot12$$
$$P_{c}=36+72+144$$
$$P_{c}=252$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2021
Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości \(d\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a takim, że \(sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Objętość tego graniastosłupa wyraża się wzorem:
A\(\frac{\sqrt{2}}{2}d^3\)
B\(\frac{\sqrt{2}}{4}d^3\)
C\(\frac{\sqrt{2}}{8}d^3\)
D\(\frac{\sqrt{2}}{10}d^3\)
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Z tabelki trygonometrycznej musimy odczytać jaką miarę przyjmuje kąt dla sinusa równego \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Spoglądając do tak zwanej małej tabelki widzimy, że będzie to miara \(45°\).
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nasz graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
Zwróć uwagę, że powstał nam trójkąt równoramienny, w którym wysokość \(H\) będzie miała taką samą długość jak przekątna podstawy \(b\). Z własności kwadratów wiemy, że \(b=a\sqrt{2}\), zatem \(H=a\sqrt{2}\). Dodatkowo przekątna graniastosłupa \(d\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większa od przekątnej podstawy \(b\), czyli \(d=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\).
Krok 3. Zapisanie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa to w tym przypadku:
$$V=a^2\cdot H$$
$$V=a^2\cdot a\sqrt{2}$$
$$V=a^3\cdot\sqrt{2}$$
Chcąc dopasować się do odpowiedzi, musimy jeszcze nasz wynik przekształcić. Wiedząc, że \(d=2a\), czyli że \(a=\frac{1}{2}\), otrzymamy:
$$V=\left(\frac{1}{2}d\right)^3\cdot\sqrt{2}$$
$$V=\frac{1}{8}d^3\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}d^3$$
Zadanie nr 34 · Próbny 2021
Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości będące kolejnymi liczbami nieparzystymi. Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi \(60\). Oblicz objętość i pole powierzchni tej bryły.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako:
I krawędź: \(2n+1\)
II krawędź: \(2n+3\)
III krawędź: \(2n+5\)
W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to:
$$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60$$
$$4\cdot(6n+9)=60$$
$$24n+36=60$$
$$24n=24$$
$$n=1$$
Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy:
To oznacza, że:
I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\)
II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\)
III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\)
Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc$$
$$V=3\cdot5\cdot7$$
$$V=105$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc)$$
$$P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7)$$
$$P_{c}=2\cdot(15+21+35)$$
$$P_{c}=2\cdot71$$
$$P_{c}=142$$
Zadanie nr 25 · Matura 2021
Graniastosłup prawidłowy ma \(36\) krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa \(4\). Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe:
A\(176\)
B\(192\)
C\(224\)
D\(288\)
Krok 1. Ustalenie jaka figura jest w podstawie graniastosłupa.
Aby móc obliczyć pole powierzchni bocznej, musimy na wstępie określić z jakim w ogóle graniastosłupem mamy do czynienia (czyli co znajduje się w jego podstawie). Ta informacja jest dla nas kluczowa, bowiem póki co, nie wiemy ile ścian bocznych ma nasza bryła. Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt będzie miał \(3n\) krawędzi. Skoro tych krawędzi mamy mieć \(36\), to:
$$3n=36$$
$$n=12$$
To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się dwunastokąt.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Jeżeli w podstawie mamy dwunastokąt, to wiemy już, że będziemy mieć \(12\) ścian bocznych. Z treści zadania wynika, że każda z tych ścian to tak naprawdę kwadrat o boku \(4\), zatem:
$$P_{b}=12\cdot 4^2$$
$$P_{b}=12\cdot16$$
$$P_{b}=192$$
Zadanie nr 24 · Matura 2020
Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o 9 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest:
Adziewięciokąt
Bośmiokąt
Cosiemnastokąt
Ddziesięciokąt
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków.
Ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+1\) wierzchołków.
Z treści zadania wynika, że liczba wierzchołków graniastosłupa jest o \(9\) większa, zatem:
$$W_{graniastosłupa}=W_{ostrosłupa}+9$$
$$2n=n+1+9$$
$$2n=n+10$$
$$n=10$$
To oznacza, że w podstawie znajduje się dziesięciokąt.
Zadanie nr 25 · Matura 2020
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
A\(6\sqrt{2}\)
B\(3\sqrt{2}\)
C\(12\sqrt{2}\)
D\(8\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian. Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(12\), to pole takiej pojedynczej ściany będzie równe:
$$P=12:6$$
$$P=2$$
Wiemy, że każda taka ściana sześcianu jest kwadratem, zatem korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2$$
$$2=a^2$$
$$a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{2}\).
Krok 2. Obliczenie sumy długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi, zatem suma ich długości będzie równa \(12\sqrt{2}\).
Zadanie nr 19 · Próbny 2020
Graniastosłup ma \(14\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
A\(14\)
B\(21\)
C\(28\)
D\(26\)
Krok 1. Ustalenie jaki wielokąt znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupa wynika, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków. W związku z tym:
$$2n=14$$
$$n=7$$
To oznacza, że w podstawie znajduje się siedmiokąt.
Krok 2. Ustalenie liczby krawędzi ostrosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. My już wiemy, że w przypadku tego graniastosłupa \(n=7\), zatem:
$$3n=3\cdot7=21$$
Zadanie nr 34 · Próbny 2020
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5$$
$$|AB|=10$$
Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2$$
$$(4x)^2+(3x)^2=10^2$$
$$16x^2+9x^2=100$$
$$25x^2=100$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x$$
$$|AC|=4\cdot2$$
$$|AC|=8$$
$$\quad$$
$$|BC|=3x$$
$$|BC|=3\cdot2$$
$$|BC|=6$$
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE|$$
$$48=6\cdot|BE|$$
$$|BE|=8$$
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8$$
$$V=192$$
Zadanie nr 34 · Próbny 2020
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawach \(ABCD\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) (jak na rysunku) krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Z wierzchołka \(B\) poprowadzono odcinek \(BE\), którego koniec \(E\) jest środkiem krawędzi \(A_{1}D_{1}\). Długość \(BE\) jest równa \(4\sqrt{41}\). Oblicz objętość graniastosłupa i wyznacz sinus kąta nachylenia odcinka \(BE\) do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli wysokość graniastosłupa jest \(3\) razy większa od krawędzi podstawy, to całość po zaznaczeniu wszystkich informacji z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(FB\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABF\), który znalazł się w podstawie naszej bryły. Dolna przyprostokątna tego trójkąta ma długość \(a\), boczna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=|FB|^2$$
$$a^2+\frac{1}{4}a^2=|FB|^2$$
$$|FB|^2=\frac{5}{4}a^2$$
$$|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2} \quad\lor\quad |FB|=-\sqrt{\frac{5}{4}a^2}$$
Ujemny wynik odrzucamy, bo długość odcinka \(BF\) jest na pewno dodatnia, zatem zostaje nam \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Teoretycznie moglibyśmy uprościć jeszcze ten zapis (otrzymując ostateczną postać \(|FB|=\frac{a\sqrt{5}}{2})\), ale nie ma takiej potrzeby, bo za chwilę będziemy i tak podnosić tę wartość do kwadratu.
Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(FBE\). Wyliczyliśmy przed chwilą, że \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Wiemy, że \(|FE|=3a\). Dodatkowo znamy też miarę przeciwprostokątnej, bowiem \(|BE|=4\sqrt{41}\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\right)^2+(3a)^2=(4\sqrt{41})^2$$
$$\frac{5}{4}a^2+9a^2=16\cdot41$$
$$\frac{41}{4}a^2=656$$
$$41a^2=2624$$
$$a^2=64$$
$$a=8 \quad\lor\quad a=-8$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=8\).
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wiemy już, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku \(a=8\). Wiemy też, ze wysokość jest równa \(3a\), zatem \(H=3\cdot8=24\). Możemy wiec bez przeszkód obliczyć objętość naszego graniastosłupa:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=8\cdot8\cdot24$$
$$V=1536$$
Krok 5. Obliczenie sinusa kąta \(α\).
Na koniec musimy jeszcze poprawnie obliczyć wartość sinusa naszego kąta \(α\). W tym celu spoglądamy na trójkąt prostokątny \(FBE\). Sinus to długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta (czyli u nas \(FE\), która jest wysokością graniastosłupa) względem przeciwprostokątnej (czyli u nas \(BE\)). Możemy zatem zapisać, że:
$$sinα=\frac{|FE|}{|BE|}$$
$$sinα=\frac{24}{4\sqrt{41}}$$
$$sinα=\frac{6}{\sqrt{41}}$$
$$sinα=\frac{6\cdot\sqrt{41}}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{41}}$$
$$sinα=\frac{6\sqrt{41}}{41}$$
Zadanie nr 24 · Matura 2020
Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:
A\(96\)
B\(24\sqrt{3}\)
C\(192\)
D\(16\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna naszego sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$
$$a=4$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Wiemy już, że nasz sześcian ma krawędź o długości \(a=4\). Pole powierzchni sześcianu to pole sześciu jednakowych kwadratów, zatem:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot4^2$$
$$P_{c}=6\cdot16$$
$$P_{c}=96$$
Zadanie nr 22 · Matura 2020
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60°\) (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa:
A\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B\(4\sqrt{2}\)
C\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
D\(2\sqrt{6}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa oraz przekątna bryły tworzą taki oto trójkąt prostokątny:
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku długości \(2\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) będzie miał przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$d=2\sqrt{2}$$
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spoglądamy na zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{2\sqrt{2}}$$
$$\sqrt{3}=\frac{H}{2\sqrt{2}}$$
$$H=\sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}$$
$$H=2\sqrt{6}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2019
Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30cm\times40cm\times120cm\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a,b,c,d\), o długościach - odpowiednio - \(119cm\), \(121cm\), \(129cm\) i \(131cm\).
Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa:
Atylko od odcinka \(a\)
Btylko od odcinków \(a\) i \(b\)
Ctylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\)
Dod wszystkich czterech danych odcinków
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.
Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$120^2+30^2=c^2$$
$$14400+900=c^2$$
$$c^2=15300$$
$$c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2$$
$$15300+1600=d^2$$
$$d^2=16900$$
$$d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900}$$
$$d=130 \quad\lor\quad d=-130$$
Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).
Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Zadanie nr 23 · Próbny 2019
Jeśli graniastosłup ma \(12\) ścian, to liczba jego krawędzi jest równa:
A\(20\)
B\(27\)
C\(30\)
D\(36\)
Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(n+2\) ścian. Skoro nasza bryła ma \(12\) ścian, to:
$$n+2=12$$
$$n=10$$
To oznacza, że w podstawie znajduje się dziesięciokąt.
Krok 2. Obliczenie liczby krawędzi graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. W podstawie naszej bryły znajduje się dziesięciokąt, zatem liczba krawędzi będzie równa:
$$3n=3\cdot10=30$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2019
Przekątna sześcianu ma długość \(6cm\). Objętość tego sześcianu jest równa:
A\(24\sqrt{3}cm^3\)
B\(24cm^3\)
C\(72\sqrt{3}cm^3\)
D\(72cm^3\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(s=a\sqrt{3}\). Wiemy, że przekątna naszego sześcianu ma długość \(6cm\), zatem:
$$a\sqrt{3}=6$$
$$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$
$$a=2\sqrt{3}[cm]$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Wiedząc, że \(a=2\sqrt{3}cm\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu:
$$V=a^3$$
$$V=(2\sqrt{3})^3$$
$$V=2^3\cdot\sqrt{3}^3$$
$$V=8\cdot3\sqrt{3}$$
$$V=24\sqrt{3}[cm^3]$$
Zadanie nr 19 · Matura 2019
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(96cm\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(48cm^2\)
B\(64cm^2\)
C\(384cm^2\)
D\(512cm^2\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
W sześcianie mamy \(12\) krawędzi, które są jednakowej długości. Skoro suma długości wszystkich krawędzi wynosi \(96cm\), to każda z tych krawędzi ma:
$$96cm:12=8cm$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu składa się z \(6\) ścian, a każda ze ścian jest kwadratem o boku \(8cm\). W związku z tym:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$
$$P_{c}=6\cdot8^2$$
$$P_{c}=6\cdot64$$
$$P_{c}=384[cm^2]$$
Zadanie nr 21 · Matura 2019
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5dm\times3dm\times2dm\) (zobacz rysunek).
Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do \(0,01 dm\) - równa:
A\(5,83dm\)
B\(6,16dm\)
C\(3,61dm\)
D\(5,39dm\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy długość przekątnej \(KL\) to musimy obliczyć długość przekątnej podstawy tego prostopadłościanu. W podstawie mamy prostokąt o bokach \(5dm\) oraz \(3dm\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$5^2+3^2=c^2$$
$$25+9=c^2$$
$$c^2=34$$
$$c=\sqrt{34} \quad\lor\quad c=-\sqrt{34}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem przekątna podstawy ma długość \(\sqrt{34}dm\).
Krok 3. Obliczenie przekątnej \(KL\).
Przekątna podstawy (którą policzyliśmy przed chwilą), wysokość prostopadłościanu (która ma długość \(2dm\)) oraz przekątna \(KL\) (której szukamy) tworzą trójkąt prostokątny. Zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$(\sqrt{34})^2+2^2=|KL|^2$$
$$34+4=|KL|^2$$
$$|KL|^2=38$$
$$|KL|=\sqrt{38} \quad\lor\quad |KL|=-\sqrt{38}$$
Tutaj ponownie ujemną wartość odrzucamy. Otrzymaliśmy więc informację, że odcinek \(KL\) ma długość \(\sqrt{38}dm\), czyli w przybliżeniu będzie to \(6,16dm\).
Zadanie nr 22 · Próbny 2018
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(1\). Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i tworzącą z tą podstawą kąt \(60°\) (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
A\(1\)
B\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji zaznaczmy kluczowy trójkąt prostokątny:
Krok 2. Obliczenie długości drugiego boku prostokąta.
Drugi bok prostokątna jest przeciwprostokątną naszego zaznaczonego powyżej trójkąta prostokątnego. Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{1}{x}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{x}$$
$$x=2$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni otrzymanego przekroju.
Nasz przekrój jest prostokątem o wymiarach \(1\times2\), zatem:
$$P=1\cdot2$$
$$P=2$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2018
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej \(4\). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy i wierzchołek \(C'\). Otrzymany przekrój jest trójkątem, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka \(C'\) jest równa \(12\). Wysokość graniastosłupa jest równa:
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Graniastosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. W tym przypadku będzie to kwadrat. Wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem skoro bok kwadratu ma długość \(4\), to przekątna będzie mieć długość \(d=4\sqrt{2}\).
Krok 3. Obliczenie długości połowy przekątnej podstawy.
Jak spojrzymy na nasz trójkąt prostokątny zaznaczony na rysunku szkicowym, to zauważymy że do obliczenia długości wysokości bryły potrzebujemy połowy przekątnej podstawy. Skoro tak, to piszemy, że:
$$PC=4\sqrt{2}:2$$
$$PC=2\sqrt{2}$$
Krok 4. Obliczenie długości wysokości graniastosłupa.
Patrząc się na zaznaczony niebieski trójkąt prostokątny i korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(2\sqrt{2})^2+H^2=12^2$$
$$4\cdot2+H^2=144$$
$$8+H^2=144$$
$$H^2=136$$
$$H=\sqrt{136} \quad\lor\quad H=-\sqrt{136}$$
Wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{136}\). Aby dopasować się do odpowiedzi, to musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, czyli:
$$H=\sqrt{136}=H=\sqrt{4\cdot34}=2\sqrt{34}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2018
Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
A\(9\)
B\(7\)
C\(6\)
D\(5\)
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. Wiemy, że suma krawędzi i wierzchołków jest równa \(15\), zatem:
$$3n+2n=15$$
$$5n=15$$
$$n=3$$
To oznacza, że w podstawie graniastosłupa znajduje się trójkąt. Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, liczba krawędzi będzie równa \(3n\), czyli \(3\cdot3=9\).
Zadanie nr 21 · Matura 2018
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości \(3\) i \(4\). Kąt \(α\), jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy \(45°\) (zobacz rysunek).
Wysokość graniastosłupa jest równa:
A\(5\)
B\(3\sqrt{2}\)
C\(5\sqrt{2}\)
D\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skąd wiemy, że kąt \(DHB\) ma miarę \(45°\)? Skoro kąt \(α\) ma miarę \(45°\), a trójkąt \(DBH\) jest trójkątem prostokątnym, to znaczy że drugi kąt ostry w zaznaczonym trójkącie musi mieć także \(45°\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(DBH\) jest równoramienny.
Krok 2. Oblicznie wysokości graniastosłupa.
Trójkąt \(DBH\) jest trójkątem równoramiennym, zatem \(|DB|=|DH|\). Długość odcinka \(DB\) (czyli przekątnej podstawy) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+4^2=|DB|^2$$
$$9+16=|DB|^2$$
$$|DB|^2=25$$
$$|DB|=5 \quad\lor\quad |DB|=-5$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. To oznacza, że \(|DB|=5\), czyli wysokość graniastosłupa ma także długość równą \(h=5\).
Zadanie nr 34 · Matura 2018
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli \(P_{p}\)) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako \(P_{śb}\)). Skoro więc \(P_{p}=P_{śb}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{śb}$$
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{p}$$
$$P_{c}=5P_{p}$$
$$45\sqrt{3}=5P_{p}$$
$$P_{p}=9\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4$$
$$36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3}$$
$$a^2=36$$
$$a=6 \quad\lor\quad a=-6$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:
$$P_{śb}=a\cdot H$$
$$9\sqrt{3}=6\cdot H$$
$$H=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}$$
$$V=\frac{27}{2}\cdot3$$
$$V=\frac{81}{2}$$
Zadanie nr 19 · Matura 2017
Graniastosłup ma \(14\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
A\(14\)
B\(21\)
C\(28\)
D\(26\)
Krok 1. Ustalenie jaki wielokąt znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupa wynika, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków. W związku z tym:
$$2n=14$$
$$n=7$$
To oznacza, że w podstawie znajduje się siedmiokąt.
Krok 2. Ustalenie liczby krawędzi ostrosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie ma \(3n\) krawędzi. My już wiemy, że w przypadku tego graniastosłupa \(n=7\), zatem:
$$3n=3\cdot7=21$$
Zadanie nr 34 · Matura 2017
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:
$$|AB|=2\cdot5$$
$$|AB|=10$$
Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).
Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):
$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2$$
$$(4x)^2+(3x)^2=10^2$$
$$16x^2+9x^2=100$$
$$25x^2=100$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:
$$|AC|=4x$$
$$|AC|=4\cdot2$$
$$|AC|=8$$
$$\quad$$
$$|BC|=3x$$
$$|BC|=3\cdot2$$
$$|BC|=6$$
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:
$$P=|BC|\cdot|BE|$$
$$48=6\cdot|BE|$$
$$|BE|=8$$
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8$$
$$V=192$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2017
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o dolnej podstawie \(ABC\) i górnej \(A'B'C'\). Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt \(60°\). Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe \(2\sqrt{3}\). Oblicz pole trójkąta \(ABC'\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Zapisanie zależności między wysokością graniastosłupa i długością podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ACC'\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny w którym jak widzimy przyprostokątne mają długość \(a\) oraz \(H\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{a}$$
$$\sqrt{3}=\frac{H}{a}$$
$$H=a\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skorzystamy z informacji, która mówi nam, że ściana boczna będąca prostokątem o bokach \(a\) oraz \(H\) ma pole równe \(2\sqrt{3}\). Wiedząc, że \(H=a\sqrt{3}\) możemy zapisać, że:
$$P=a\cdot H$$
$$2\sqrt{3}=a\cdot a\sqrt{3}$$
$$2\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3}$$
$$a^2=2$$
$$a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{2}\).
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skoro \(a=\sqrt{2}\), a wiemy że \(H=a\sqrt{3}\), to znaczy że:
$$H=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$
$$H=\sqrt{6}$$
Krok 5. Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej.
Skoro znamy długość \(a\) oraz \(H\) to jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej ściany bocznej, czyli długość odcinka \(AC'\). Zrobimy to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2=|AC'|^2$$
$$2+6=|AC'|^2$$
$$|AC'|^2=8$$
$$|AC'|=\sqrt{8} \quad\lor\quad |AC'|=-\sqrt{8}$$
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC'|=\sqrt{8}\).
Krok 6. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC'\).
Dla przejrzystości obliczeń naszkicujmy sobie nasz kluczowy trójkąt \(ABC'\) i nanieśmy na niego dane, które obliczyliśmy w poprzednich krokach:
Teraz naszym zadaniem jest obliczenie pola powierzchni tego trójkąta, a aby to uczynić musimy poznać jeszcze jego wysokość. Widzimy, że to jest trójkąt równoramienny, dlatego mamy pewność że wysokość dzieli nam podstawę na dwie równe części. To pozwoli nam teraz obliczyć wysokość trójkąta korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+h^2=(\sqrt{8})^2$$
$$\frac{2}{4}+h^2=8$$
$$h^2=\frac{15}{2}$$
$$h=\sqrt{\frac{15}{2}} \quad\lor\quad h=-\sqrt{\frac{15}{2}}$$
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(h=\sqrt{\frac{15}{2}}\).
Krok 7. Obliczenie pola trójkąta \(ABC'\).
Mamy już komplet danych, bowiem wiemy że podstawa trójkąta \(ABC'\) ma długość \(a=\sqrt{2}\), wiemy też że \(h=\sqrt{\frac{15}{2}}\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{15}{2}}$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}$$
$$P=\frac{\sqrt{15}}{2}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2017
Długość przekątnej sześcianu jest równa \(6\). Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(72\)
B\(48\)
C\(152\)
D\(108\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krąwędzi \(a\) ma przekątną długości \(d=a\sqrt{3}\), zatem zgodnie z treścią zadania:
$$a\sqrt{3}=6$$
$$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$
Możemy usunąć niewymierność z mianownika, ale jesteśmy w trakcie liczenia, więc nie musimy tego póki co robić (zwłaszcza, że za chwilę będziemy potęgować).
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian, z których każda ma bok długości \(a=\frac{6}{\sqrt{3}}\), zatem:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2$$
$$P_{c}=6\cdot\frac{36}{3}$$
$$P_{c}=6\cdot12$$
$$P_{c}=72$$
Zadanie nr 34 · Matura 2017
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA'B'C'D'\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC'\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), a przekątna \(BD'\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45°\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i wprowadźmy też proste oznaczenia kluczowych długości:
Skoro w podstawie graniastosłupa znajduje się romb to warto pamiętać, że przekątne rombu mają różne długości oraz przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Dzięki tym własnościom rombu będziemy w stanie wyliczać poszczególne długości.
Krok 2. Wyznaczenie długości pierwszej przekątnej podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Odcinek \(AC\) oznaczony na rysunku jako \(c\) jest przekątną podstawy, którą wyliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych.
$$cos30°=\frac{c}{8}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{8}$$
$$c=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$
$$c=4\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Nadal patrzymy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Znamy już dwie długości w tym trójkącie, więc trzecią długość, czyli wysokość \(CC'\) oznaczoną jako \(h\) możemy policzyć zarówno z Twierdzenia Pitagorasa jak i funkcji trygonometrycznych. Korzystając tym razem z sinusa zapiszemy, że:
$$sin30°=\frac{h}{8}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{h}{8}$$
$$h=4$$
Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej przekątnej podstawy.
Teraz spójrzmy na trójkąt \(BDD'\). Zawiera się w nim długość drugiej z przekątnych rombu, czyli bok \(BD\) oznaczony symbolem \(d\). Ten trójkąt jest nie tylko trójkątem prostokątnym, ale także jest to trójkąt równoramienny (bo jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\)). W związku z tym przyprostokątne tego trójkąta mają tą samą długość, a to z kolei oznacza, że:
$$d=h=4$$
Krok 5. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Znając długości przekątnych rombu możemy obliczyć pole podstawy, a będzie ono równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot d$$
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4$$
$$P_{p}=2\sqrt{3}\cdot4$$
$$P_{p}=8\sqrt{3}$$
Krok 6. Wyznaczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Jest to trójkąt prostokątny, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wiemy też, że przekątne przecinają się w połowie swojej długości, zatem:
$$|CE|=\frac{1}{2}\cdot c$$
$$|CE|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}$$
$$|CE|=2\sqrt{3}$$
$$\quad$$
$$|DE|=\frac{1}{2}d$$
$$|DE|=\frac{1}{2}\cdot4$$
$$|DE|=2$$
Skoro tak, to odcinek \(DC\), oznaczony symbolem \(a\), który jest długością boku rombu wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|CE|^2+|DE|^2=a^2$$
$$(2\sqrt{3})^2+2^2=a^2$$
$$4\cdot3+4=a^2$$
$$12+4=a^2$$
$$a^2=16$$
$$a=4 \quad\lor\quad a=-4$$
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).
Krok 7. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. W skład tej powierzchni wejdą dwa pola podstawy (góra i dół) obliczone w piątym kroku (\(P_{p}=8\sqrt{3}\)) oraz cztery ściany boczne o wymiarach \(4\times4\). Zatem:
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot8\sqrt{3}+4\cdot4\cdot4$$
$$P_{c}=16\sqrt{3}+64$$
Zadanie nr 21 · Matura 2017
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe \(140\). Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa:
A\(\sqrt{10}\)
B\(3\sqrt{10}\)
C\(\sqrt{42}\)
D\(3\sqrt{42}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie jako \(a\) krawędź podstawy oraz \(3a\) jako wysokość graniastosłupa. Pamiętaj, że w podstawie graniastosłupa znajdzie się kwadrat, bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny.
Krok 2. Zapisanie wzoru na pole podstawy i pole ściany bocznej.
Korzystając z rysunku i zawartych na nim oznaczeń zapiszmy sobie od razu wzory na pole powierzchni podstawy oraz na pole ściany bocznej:
$$P_{p}=a^2$$
$$P_{b}=a\cdot3a=3a^2$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro mamy dwie podstawy oraz cztery ściany boczne i znamy pole powierzchni całkowitej, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$2P_{p}+4P_{b}=140$$
$$2\cdot a^2+4\cdot3a^2=140$$
$$2a^2+12a^2=140$$
$$14a^2=140$$
$$a^2=10$$
$$a=\sqrt{10}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2016
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(α\).
Wtedy wartość \(sin\frac{α}{2}\) jest równa:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)
C\(\frac{\sqrt{7}}{7}\)
D\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\).
Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(α\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{α}{2}\).
Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\frac{α}{2}\).
Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{α}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc:
$$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa:
$$sin\frac{α}{2}=\frac{|CP|}{|CA|}$$
$$sin\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$
Zadanie nr 33 · Próbny 2016
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek poniżej) punkt \(O\) jest punktem przecięcia przekątnych podstawy dolnej, a odcinek \(OC'\) jest o \(4\) dłuższy od przekątnej podstawy. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy dolnej i wierzchołek \(C'\) podstawy górnej. Pole figury otrzymanej w wyniku przekroju jest równe \(48\). Zaznacz tę figurę na rysunku poniżej i oblicz objętość graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji wykonajmy jeden z celów tego zadania, czyli zaznaczmy poszukiwaną figurę:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą naszego trójkąta, który znalazł się w przekroju. Jeżeli oznaczymy sobie tę długość jako \(d\), to z treści zadania wynika, że wysokość tego trójkąta \(OC'\) ma długość \(d+4\). Skoro pole trójkąta jest równe \(48\), to otrzymamy następujące równanie:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
$$48=\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4)$$
$$48=\frac{1}{2}d^2+2d \quad\bigg/\cdot2$$
$$96=d^2+4d$$
$$d^2+4d-96=0$$
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać obliczając klasyczną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=16+384=400$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$
Otrzymaliśmy dwie możliwości, ale ujemny wynik musimy odrzucić, bo długość przekątnej podstawy musi być liczbą dodatnią. W związku z tym \(d=8\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCC'\). Dolna podstawa będzie miała długość połowy przekątnej (którą przed chwilą wyznaczyliśmy). Możemy nawet zapisać, że:
$$|OC|=\frac{1}{2}d$$
$$|OC|=\frac{1}{2}\cdot8$$
$$|OC|=4$$
Praktycznie znamy też długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bo z treści zadania wynika, że jest ona o \(4\) dłuższa od przekątnej podstawy, zatem:
$$|OC'|=d+4$$
$$|OC'|=8+4$$
$$|OC'|=12$$
Znając miary dwóch boków trójkąta \(OCC'\) możemy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość trzeciego boku, który jest jednocześnie wysokością naszego graniastosłupa:
$$|OC|^2+H^2=|OC'|^2$$
$$4^2+H^2=12^2$$
$$16+H^2=144$$
$$H^2=128$$
$$H=\sqrt{128} \quad\lor\quad H=-\sqrt{128}$$
Wysokość nie może być oczywiście ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\).
Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy już, że w podstawie znajduje się kwadrat o przekątnej długości \(d=8\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8$$
$$a=\frac{8}{\sqrt{2}}$$
$$a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$a=\frac{8\sqrt{2}}{2}$$
$$a=4\sqrt{2}$$
Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=4\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość bryły jest równa \(H=8\sqrt{2}\), zatem:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=a^2\cdot H$$
$$V=(4\sqrt{2})^2\cdot8\sqrt{2}$$
$$V=16\cdot2\cdot8\sqrt{2}$$
$$V=256\sqrt{2}$$
Zadanie nr 24 · Matura 2016
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(α\) o mierze:
A\(30°\)
B\(45°\)
C\(60°\)
D\(75°\)
Jeżeli wysokość graniastosłupa oznaczymy sobie literą \(h\), to z treści zadania wynika, że długość przekątnej podstawy graniastosłupa (podstawy! nie bryły jako takiej) jest równa \(2h\).
Dodatkowo wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (a wiemy to stąd, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że jego przekątne przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a co za tym idzie - odcinek \(BC\) ma długość \(h\) (patrz rysunek). Wygląda to mniej więcej tak:
Z naszej analizy wynika, że powstał nam trójkąt \(ABC\), który jest prostokątny i równoramienny, a to z kolei oznacza że jest to trójkąt o kątach których miara wynosi \(45°, 45°, 90°\). Poszukiwany przez nas kąt \(α\) ma więc \(45°\).
Zadanie nr 22 · Matura 2015
Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(36\), a miara kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa \(30°\). Wysokość tego graniastosłupa jest równa:
A\(3\sqrt{2}\)
B\(6\sqrt{2}\)
C\(2\sqrt{6}\)
D\(3\sqrt{6}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a skoro jego pole jest równe \(36\), to każdy z boków ma długość \(a=6\). Nasz rysunek będzie więc wyglądał w ten oto sposób:
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Do obliczenia wysokości graniastosłupa będziemy za chwilę potrzebować długości przekątnej podstawy. Skoro w podstawie znajduje się kwadrat, to z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). W naszym przypadku \(a=6\), zatem przekątna ma długość \(d=6\sqrt{2}\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{H}{d}$$
$$tg30°=\frac{H}{6\sqrt{2}}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{6\sqrt{2}} \quad\bigg/\cdot6\sqrt{2}$$
$$H=\frac{\sqrt{3}\cdot6\sqrt{2}}{3}$$
$$H=\frac{6\sqrt{6}}{3}$$
$$H=2\sqrt{6}$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2015
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, którego krawędź podstawy ma długość \(a\), pole powierzchni bocznej jest \(8\) razy większe od pola podstawy. Objętość tego graniastosłupa wynosi:
A\(8a^3\)
B\(2a^3\)
C\(\frac{a^3}{32}\)
D\(\frac{2}{3}a^3\)
Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Graniastosłup jest prawidłowy, więc w podstawie musi znaleźć się figura foremna, a skoro jest to graniastosłup czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat. Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(a\), zatem:
$$P_{p}=a^2$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest \(8\) razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=8a^2$$
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W graniastosłupie mamy cztery prostokątne ściany. Wiemy, że pole powierzchni bocznej (czyli pole wszystkich ścian bocznych) jest równe \(8a^2\). To oznacza, że pojedyncza ściana będzie mieć powierzchnię:
$$P_{śb}=8a^2:4$$
$$P_{śb}=2a^2$$
Pojedyncza ściana boczna jest prostokątem w którym jeden bok jest taki jak krawędź podstawy, czyli ma długość \(a\), a drugi bok jest wysokością graniastosłupa.
Skoro pole pojedynczej ściany ściany bocznej ma wynosić \(2a^2\), to:
$$P_{śb}=a\cdot H$$
$$2a^2=a\cdot H$$
$$H=2a$$
Krok 4. Obliczenie objętości.
Podstawiając do wzoru na objętość graniastosłupa znane nam dane otrzymamy:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=a^2\cdot2a$$
$$V=2a^3$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2015
Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez dwie równoległe przekątne dolnej i górnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe \(16\). Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:
A\(8\sqrt{2}\)
B\(32\sqrt{2}\)
C\(48\sqrt{2}\)
D\(56\sqrt{2}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy sporządzić następujący rysunek:
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nasz otrzymany przekrój jest prostokątem o wymiarach \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$P=a\cdot a\sqrt{2}$$
$$16=a\cdot a\sqrt{2}$$
$$16=a^2\sqrt{2}$$
$$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$
Biorąc pod uwagę fakt, że pole całkowite sześcianu jest równe \(P_{c}=6a^2\) to nie ma za bardzo sensu pierwiastkować i obliczać ile jest równe \(a\), skoro za chwilę będziemy znowu potrzebować \(a^2\). Możemy pozostać przy wyliczeniu \(a^2\), ale usuńmy jeszcze niewymierność z mianownika:
$$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$
$$a^2=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$a^2=\frac{16\sqrt{2}}{2}$$
$$a^2=8\sqrt{2}$$
Krok 3. Obliczenie pola całkowitego sześcianu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot8\sqrt{2}$$
$$P_{c}=48\sqrt{2}$$
Zadanie nr 20 · Matura 2015
Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie:
A\(16\) wierzchołków
B\(9\) wierzchołków
C\(16\) krawędzi
D\(8\) krawędzi
Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta znajdującego się w podstawie graniastosłupa, to będzie miał on \(2n\) wierzchołków i \(3n\) krawędzi. W naszym przypadku graniastosłup o podstawie ośmiokąta miałby \(16\) wierzchołków i \(24\) krawędzie, tak więc prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.
Zadanie nr 33 · Matura 2015
Wysokość prostopadłościanu \(ABCDEFGH\) jest równa \(1\), a długość przekątnej \(BH\) jest równa sumie długości krawędzi \(AB\) i \(BC\). Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na rysunek informacje z treści zadania, które ułatwią nam obliczenia.
Krok 2. Zapisanie długości przekątnej podstawy.
Widzimy, że kluczowym z punktu widzenia zadania będzie trójkąt \(BDH\). W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się przekątna podstawy prostopadłościanu, oznaczona symbolem \(d\). Spróbujmy zapisać jej długość za pomocą wyrażeń algebraicznych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=d^2$$
$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$
Krok 3. Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BDH\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+1^2=(a+b)^2$$
$$\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+1^2=(a+b)^2$$
$$a^2+b^2+1=a^2+2ab+b^2$$
$$2ab=1$$
$$ab=\frac{1}{2}$$
Krok 4. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Spójrzmy na wzór na objętość prostopadłościanu:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=ab\cdot H$$
Znamy wysokość prostopadłościanu, bo \(H=1\). Nie wiemy jaką konkretnie miarę mają odcinki \(a\) oraz \(b\), ale wiemy że ich iloczyn jest równy \(\frac{1}{2}\). I ta wiedza nam w zupełności wystarczy do obliczenia objętości. Podstawiając te dane otrzymamy:
$$V=\frac{1}{2}\cdot1$$
$$V=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2015
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E,G,L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A\(\sphericalangle HOL\)
B\(\sphericalangle OGL\)
C\(\sphericalangle HLO\)
D\(\sphericalangle OHL\)
Aby nie popełnić błędu warto jest sobie po prostu dorysować odpowiednie długości i zaznaczyć poszukiwany kąt.
Z racji tego iż w poprawnym nazewnictwie wierzchołek kąta powinien być środkową literą zapisu, to poszukiwanym kątem jest \(\sphericalangle HOL\).
Zadanie nr 23 · Matura 2015
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$
W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\).
Krok 2. Obliczenie pola ściany bocznej.
Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe:
$$P_{b}=a^2$$
$$P_{b}=8^2$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2$$
$$P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2$$
$$P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$
Zadanie nr 32 · Matura 2015
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|}$$
$$\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|$$
$$\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3}$$
$$|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2$$
$$|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2$$
$$(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2$$
$$2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9$$
$$18a^2+2304=50a^2$$
$$-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32)$$
$$a^2-72=0$$
Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0$$
$$a^2=72$$
$$a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$
Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H$$
$$P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16$$
$$P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2}$$
$$P_{c}=144+384\sqrt{2}$$
Zadanie nr 22 · Matura 2015
Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(24\)
B\(12\sqrt{2}\)
C\(12\)
D\(16\sqrt{2}\)
Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu (\(a\)).
Trzeba dobrze wczytać się w treść zadania. Podaną mamy długość przekątnej ściany sześcianu, a nie przekątnej całego sześcianu jako takiego. Wiemy więc, że ścianami sześcianu są kwadraty o przekątnej \(d=2\). Nam do obliczenia pola całkowitego potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu. Z własności kwadratu wynika, że:
$$d=a\sqrt{2}$$
$$2=a\sqrt{2}$$
$$a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu ścian, każda z nich jest kwadratem o boku \(a=\sqrt{2}\), zatem:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$
$$P_{c}=6\cdot (\sqrt{2})^2$$
$$P_{c}=6\cdot2$$
$$P_{c}=12$$
Zadanie nr 32 · Matura 2015
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|}$$
$$\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|$$
$$\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3}$$
$$|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2$$
$$|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2$$
$$(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2$$
$$2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9$$
$$18a^2+2304=50a^2$$
$$-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32)$$
$$a^2-72=0$$
Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0$$
$$a^2=72$$
$$a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$
Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H$$
$$P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16$$
$$P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2}$$
$$P_{c}=144+384\sqrt{2}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2014
Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \(81\sqrt{3}\). Objętość graniastosłupa jest równa:
A\(27\)
B\(27\sqrt{3}\)
C\(243\)
D\(243\sqrt{3}\)
Wzór na objętość graniastosłupa:
$$V_{g}=P_{p}\cdot H$$
Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
Podstawmy teraz do wzoru na objętość ostrosłupa objętość z treści zadania:
$$81\sqrt{3}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \quad\bigg/\cdot3$$
$$243\sqrt{3}=P_{p}\cdot H$$
Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wzór na pole graniastosłupa. W związku z tym \(V_{g}=243\sqrt{3}\).
Zadanie nr 32 · Matura 2014
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Krok 2. Obliczenie długości \(x\).
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x$$
$$198=4x^2+6x^2+12x^2$$
$$198=22x^2$$
$$x^2=9$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).
Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2$$
$$|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2$$
$$3^2+6^2=|BD|^2$$
$$9+36=|BD|^2$$
$$|BD|^2=45$$
$$|BD|=\sqrt{45}$$
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2$$
$$(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2$$
$$45+81=|BH|^2$$
$$|BH|^2=126$$
$$|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$
Zadanie nr 19 · Matura 2013
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa \(24\). Wtedy liczba jego wierzchołków jest równa:
A\(6\)
B\(8\)
C\(12\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie liczby kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(3n\) krawędzi. Zatem w podstawie graniastosłupa znajduje się:
$$3n=24$$
$$n=8$$
$$\text{(czyli ośmiokąt)}$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(2n\) wierzchołków, zatem łącznie wszystkich wierzchołków będziemy mieć:
$$2\cdot8=16$$
Zadanie nr 31 · Matura 2013
Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną sześcianu (\(s\)) oraz przekątną podstawy (\(d\)), która przyda nam się do dalszych obliczeń. I tu od razu możemy zauważyć, że nasza przekątna podstawy jest tak naprawdę przekątną kwadratu, który znalazł się w podstawie sześcianu. Zatem jeśli długość krawędzi oznaczymy jako \(a\) to \(d=a\sqrt{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie wzoru ogólnego na długość przekątnej sześcianu.
Ten krok możemy pominąć, jeśli po prostu pamiętamy że przekątna sześcianu jest opisana wzorem \(s=a\sqrt{3}\). Niestety tego wzoru nie ma w tablicach maturalnych, dlatego zobaczmy jak go łatwo możemy sobie wyprowadzić.
Spójrzmy na trójkąt \(BDH\). Jest on prostokątny, a jego przyprostokątne mają długośc odpowiednio \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+(a\sqrt{2})^2=s^2$$
$$a^2+2a^2=s^2$$
$$s^2=3a^2$$
$$s=\sqrt{3\cdot a^2}$$
$$s=a\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Z treści zadania wynika, że \(a=s-2\). Możemy teraz podstawić tą zależność do wyznaczonego wzoru z kroku drugiego i otrzymamy wtedy:
$$s=(s-2)\sqrt{3}$$
$$s=s\sqrt{3}-2\sqrt{3}$$
$$s-s\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$s\sqrt{3}-s=2\sqrt{3}$$
$$s(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$$
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$
(Mnożenie przez \(-1\) nie było koniecznie, ale sprawiało że pozbyliśmy się minusów, więc warto było ten krok wykonać). Teoretycznie otrzymany wynik można byłoby uznać za prawidłowy, ale warto tutaj jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez (\(\sqrt{3}+1\)).
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$
$$s=\frac{2\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1\cdot(\sqrt{3}+1)}$$
$$s=\frac{6+2\sqrt{3}}{3-1}$$
$$s=\frac{6+2\sqrt{3}}{2}$$
$$s=3+\sqrt{3}$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2013
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten graniastosłup, oznaczając na nim dane z treści zadania.
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z kluczowych odcinków powstał nam trójkąt prostokątny, dzięki czemu będziemy w stanie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Możemy zatem zapisać, że:
$$(H+4)^2+H^2=(H+8)^2$$
$$H^2+8H+16+H^2=H^2+16H+64$$
$$2H^2+8H+16=H^2+16H+64$$
$$H^2-8H-48=0$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=12\).
Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Zgodnie z naszym rysunkiem oraz zgodnie możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{H}{H+8}$$
$$sinα=\frac{12}{12+8}$$
$$sinα=\frac{12}{20}$$
$$sinα=\frac{3}{5}$$
Zadanie nr 15 · Matura 2013
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
A\(12\sqrt{2}\)
B\(8\sqrt{2}\)
C\(6\sqrt{2}\)
D\(3\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Skoro w sześcianie mamy sześć ścian, a pole każdej z nich możemy zapisać jako \(a^2\), to znając pole powierzchni całkowitej możemy wyznaczyć długość krawędzi sześcianu:
$$6a^2=12$$
$$a^2=2$$
$$a=\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
W sześcianie znajduje się \(12\) krawędzi, zatem:
$$12\cdot a=12\sqrt{2}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2013
Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30°\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60°\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:
Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).
Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.
Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:
$$tg30°=\frac{3}{a}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$\sqrt{3}a=9$$
$$a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:
$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2$$
$$9+9\cdot3=|DB|^2$$
$$9+27=|DB|^2$$
$$|DB|^2=36$$
$$|DB|=6$$
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):
$$tg60°=\frac{H}{6}$$
$$\sqrt{3}=\frac{H}{6}$$
$$H=6\sqrt{3}$$
Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}$$
$$V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}$$
$$V=54\cdot3$$
$$V=162$$
Zadanie nr 20 · Matura 2013
Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest:
Aczworokąt
Bpięciokąt
Csześciokąt
Ddziesięciokąt
Krok 1. Ustalenie liczby krawędzi i ścian bocznych graniastosłupa.
Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa, to:
Liczba krawędzi: \(3n\)
Liczba ścian bocznych: \(n\)
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając z zależności wypisanych w pierwszym kroku. możemy zapisać treść zadania w formie prostego równania:
$$3n-n=10$$
$$2n=10$$
$$n=5$$
To oznacza, że w podstawie graniastosłupa mamy pięciokąt.
Zadanie nr 25 · Matura 2013
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(7\) jest równa \(28\sqrt{3}\). Długość podstawy tego graniastosłupa jest równa:
A\(2\)
B\(4\)
C\(8\)
D\(16\)
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego możemy obliczyć za pomocą wzoru: \(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h\). Znamy objętość, mamy też podaną wysokość bryły, więc z tego wzoru możemy wyznaczyć długość podstawy.
$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h$$
$$28\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 7$$
$$4\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$16\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}$$
$$a^2=16$$
$$a=4 \quad\lor\quad a=-4$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość podstawy nie może być ujemna.
Zadanie nr 22 · Matura 2012
Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(512\)
B\(384\)
C\(96\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znać długość krawędzi tego sześcianu. Wyznaczymy ją ze wzoru na objętość, bowiem to właśnie objętość jest podana w treści zadania:
$$V=a^3$$
$$64=a^3$$
$$a=\sqrt[3]{64}$$
$$a=4$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Znając długość krawędzi sześcianu możemy przystąpić do obliczenia jego pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$
$$P_{c}=6\cdot4^2$$
$$P_{c}=6\cdot16$$
$$P_{c}=96$$
Zadanie nr 34 · Matura 2012
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy do głównego rysunku dwie wysokości - pierwszą niech będzie wysokość trójkąta \(ABC\) oraz drugą, tym razem trójkąta \(ABF\). Dodatkowo podpiszmy długości poszczególnych boków, a skoro jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie mamy trójkąt równoboczny, czyli więc wszystkie krawędzie podstawy mają długość \(8\).
Krok 2. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABF\), czyli odcinka \(FG\).
Możemy dostrzec, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym (obydwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych). Korzystając więc z pola trójkąta podanego w treści zadania (\(P=52\)) oraz długości podstawy trójkąta (\(a=8\)) możemy obliczyć wysokość trójkąta \(ABF\):
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1}$$
$$52=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h_{1}$$
$$52=4h_{1}$$
$$h_{1}=13$$
Wysokość \(|FG|\) jest więc równa \(13\).
Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\), czyli odcinka \(CG\).
Jak już sobie ustaliliśmy - w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku długości \(a=8\). Jego wysokość możemy więc obliczyć korzystając z następującego wzoru:
$$h_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$h_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$
$$h_{2}=4\sqrt{3}$$
Wysokość \(|CG|\) jest więc równa \(4\sqrt{3}\).
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa, czyli odcinka \(FC\).
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest oczywiście wysokość graniastosłupa. Wyznaczymy ją przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa z trójkąta \(FCG\):
$$|FC|^2+|CG|^2=|FG|^2$$
$$|FC|^2+(4\sqrt{3})^2=13^2$$
$$|FC|^2+16\cdot3=169$$
$$|FC|^2+48=169$$
$$|FC|^2=121$$
$$|FC|=11$$
Wysokość całego graniastosłupa jest więc równa \(H=11\).
Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, to jego pole jest równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{64\sqrt{3}}{4}$$
$$P=16\sqrt{3}$$
Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie dane, tak więc możemy przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=16\sqrt{3}\cdot11$$
$$V=176\sqrt{3}$$
Zadanie nr 19 · Matura 2012
Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \(4\). Objętość tego sześcianu jest równa:
A\(6\)
B\(8\)
C\(24\)
D\(64\)
Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Ściany sześcianu są kwadratami. Skoro pole jednej ściany jest równe \(4\), to krawędź sześcianu ma oczywiście długość \(2\) (bo \(P=a^2\)).
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60°\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.
Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|}$$
$$\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4}$$
$$|AE|=4\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2}$$
$$a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$
Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.
Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$
Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3}$$
$$V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$
Zadanie nr 17 · Matura 2011
Krawędź sześcianu ma długość \(9\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
A\(\sqrt[3]{9}\)
B\(9\sqrt{2}\)
C\(9\sqrt{3}\)
D\(9+9\sqrt{2}\)
To zadanie jest bardzo proste jeśli pamiętamy że istnieje wzór na przekątną sześcianu. Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). W związku z tym skoro w naszym zadaniu \(a=9\), to przekątna ma długość \(9\sqrt{3}\).
Tego wzoru niestety nie ma w tablicach maturalnych, dlatego też jeśli byśmy o nim nie pamiętali, to musimy obliczyć to zadanie na piechotę. Zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:
Przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie ma długość \(a\sqrt{2}\), czyli w tym przypadku \(9\sqrt{2}\). Tworzy ona wraz z krawędzią boczną przyprostokątne trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest nasza poszukiwana przekątna sześcianu. Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie nam, że:
$$9^2+(9\sqrt{2})^2=s^2$$
$$81+81\cdot2=s^2$$
$$81+162=s^2$$
$$s^2=243$$
$$s=\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot3}=9\sqrt{3}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2011
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A\(300\)
B\(300\sqrt{3}\)
C\(300+50\sqrt{3}\)
D\(300+25\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\).
Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość:
$$a=90:9$$
$$a=10$$
Krok 2. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.
W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=25\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.
W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem:
$$P_{b}=a^2$$
$$P_{b}=10^2$$
$$P_{b}=100$$
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100$$
$$P_{c}=300+50\sqrt{3}$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2011
Graniastosłup ma \(2n+6\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
A\(n+3\)
B\(4n+8\)
C\(6n+18\)
D\(3n+9\)
Graniastosłup, który ma \(n\)-kąt w podstawie ma \(2n\) wierzchołków oraz \(3n\) krawędzi. To oznacza, że w każdym graniastosłupie krawędzi jest \(\frac{3n}{2n}=1,5\) raza więcej niż wierzchołków. Po tej obserwacji możemy zapisać, że krawędzi w naszym graniastosłupie będzie:
$$1,5\cdot(2n+6)=3n+9$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2011
Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a,b,c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu.
Do wyznaczenia długości przekątnej bryły potrzebna nam będzie długość przekątnej podstawy, którą wyznaczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Prostopadłościan ma krawędzie długości \(a\) oraz \(b\), zatem:
$$a^2+b^2=d^2$$
$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Znamy wyrażenie opisujące długość przekątnej podstawy, wiemy że wysokość prostopadłościanu jest równa \(c\), zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+c^2=s^2$$
$$(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2=s^2$$
$$s^2=a^2+b^2+c^2$$
$$s=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
Otrzymany wynik jest dokładnie tym co znalazło się w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 15 · Matura 2011
W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \(|AB|=5\), \(|AD|=4\), \(|AE|=3\). Który z odcinków \(AB\), \(BG\), \(GE\), \(EB\) jest najdłuższy?
A\(AB\)
B\(BG\)
C\(GE\)
D\(EB\)
Wiemy, że \(|AB|=5\). Pozostałe długości boków musimy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\) oraz z długości odcinków podanych w zadaniu.
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BG\).
$$|BG|^2=|FB|^2+|FG|^2$$
$$|BG|^2=3^2+4^2$$
$$|BG|^2=9+16$$
$$|BG|^2=25$$
$$|BG|=5$$
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(GE\).
$$|GE|^2=|FE|^2+|FG|^2$$
$$|GE|^2=5^2+4^2$$
$$|GE|^2=25+16$$
$$|GE|^2=41$$
$$|GE|=\sqrt{41}$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
$$|EB|^2=|AB|^2+|AE|^2$$
$$|EB|^2=5^2+3^2$$
$$|EB|^2=25+9$$
$$|EB|^2=34$$
$$|EB|=\sqrt{34}$$
Krok 4. Wskazanie najdłuższego odcinka.
Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jakiejś wspólnej postaci, np. pierwiastka:
$$|AB|=5=\sqrt{25}$$
$$|BG|=5=\sqrt{25}$$
$$|GE|=\sqrt{41}$$
$$|EB|=\sqrt{34}$$
W związku z tym widzimy, że najdłuższy jest odcinek \(GE\).
Zadanie nr 20 · Matura 2011
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
A\(\sqrt{6}\)
B\(3\)
C\(9\)
D\(3\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
$$54:6=9$$
Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
$$a^2=9$$
$$a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).
Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2$$
$$9+9\cdot2=s^2$$
$$9+18=s^2$$
$$s^2=27$$
$$s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
Zadanie nr 24 · Matura 2010
Graniastosłup ma \(15\) krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?
A\(10\)
B\(5\)
C\(15\)
D\(30\)
Krok 1. Wyznaczenie liczby kątów podstawy graniastosłupa.
Graniastosłup, który ma w swojej podstawie \(n\)-kąt posiada \(3n\) krawędzi. W związku z tym figurą znajdującą się w podstawie będzie pięciokąt, bo:
$$3n=15$$
$$n=5$$
Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt posiada \(2n\) wierzchołków. Skoro w podstawie jest pięciokąt to wierzchołków będziemy mieć \(5\cdot2=10\).
Zadanie nr 33 · Matura 2010
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|=11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten graniastosłup i oznaczmy na nim od razu długości, które są podane w treści zadania. Pamiętaj, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, dlatego w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny.
Dodatkowo musimy zauważyć, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym, bowiem jego dwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości boków \(AF\) oraz \(BF\).
Spójrzmy na trójkąc \(ACF\). Jest to trójkąt prostokątny, którego długości przyprostokątnych są nam znane. W związku z tym bez problemu obliczymy długość przeciwprostokątnej \(AF\):
$$|AC|^2+|CF|^2=|AF|^2$$
$$10^2+11^2=|AF|^2$$
$$100+121=|AF|^2$$
$$|AF|^2=221$$
$$|AF|=\sqrt{221}$$
Powiedzieliśmy sobie, że trójkąt ABF jest równoramienny, zatem także \(|BF|=\sqrt{221}\).
Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\).
Spójrzmy może na rysunek samego trójkąta \(ABF\):
Znamy długość podstawy \(|AB|=10\). Brakuje nam jeszcze wysokości tego trójkąta. Wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem otrzymamy mały trójkąt prostokątny \(SBF\), z którego za pomocą Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość trójkąta.
$$|SB|^2+|SF|^2=|BF|^2$$
$$5^2+|SF|^2=(\sqrt{221})^2$$
$$25+|SF|^2=221$$
$$|SF|^2=196$$
$$|SF|=14$$
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABF\).
Wystarczy już podstawić do wzoru na pole trójkąta wszystkie dane, które uzyskaliśmy przed chwilą:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot |AB| \cdot |SF|$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot14$$
$$P=70$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2010
Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu jest równy \(1:2:3\). Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe \(88\). Suma długości tych trzech krawędzi prostopadłościanu jest zatem równa:
A\(12\)
B\(5\)
C\(6\)
D\(8\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro stosunek krawędzi prostopadłościanu jest równy \(1:2:3\), to możemy zapisać że:
\(x\) - pierwsza długość
\(2x\) - druga długość
\(3x\) - trzecia długość
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(P=2ab+2ac+2bc\) możemy zapisać, że:
$$2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x=88$$
$$4x^2+6x^2+12x^2=88$$
$$22x^2=88$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. To oznacza, że \(x=2\).
Krok 3. Obliczenie sumy długości trzech krawędzi prostopadłościanu.
Korzystając z naszych oznaczeń i z obliczonej wartości \(x=2\) możemy teraz zapisać, że:
\(2\) - pierwsza długość
\(2\cdot2=4\) - druga długość
\(3\cdot2=6\) - trzecia długość
Suma tych trzech długości jest równa \(2+4+6=12\).
Zadanie nr 23 · Matura 2010
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach \(5\times3\times4\) jest równe:
A\(94\)
B\(60\)
C\(47\)
D\(20\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Widzimy, że na pole powierzchni całkowitej będą się składać dwie ściany o wymiarach \(3\times4\), dwie o wymiarach \(3\times5\) oraz dwie o wymiarach \(4\times5\).
$$P_{c}=2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot5+2\cdot4\cdot5$$
$$P_{c}=24+30+40$$
$$P_{c}=94$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2009
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(150cm^2\). Długość krawędzi tego sześcianu jest równa:
A\(3,5cm\)
B\(4cm\)
C\(4,5cm\)
D\(5cm\)
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, więc pole powierzchni każdej z nich będzie równe:
$$P=150cm^2:6=25cm^2$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Każda ze ścian jest kwadratem, więc krawędź sześcianu ma długość:
$$P=a^2$$
$$25cm^2=a^2$$
$$a=5cm$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2009
Objętość sześcianu jest równa \(125\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(25\)
B\(100\)
C\(250\)
D\(150\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Długość krawędzi sześcianu obliczymy korzystając z informacji o objętości tej bryły:
$$V=a^3$$
$$125=a^3$$
$$a=5$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, które są kwadratami. W naszym przypadku są to kwadraty o boku długości \(5\), zatem:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot5^2$$
$$P_{c}=6\cdot25$$
$$P_{c}=150$$
Zadanie nr 33 · Matura
Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi \(2cm\). Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi \(8cm\) i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę – graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Krok 1. Wyznaczenie liczby klocków, którymi bawi się Jacek.
Najpierw obliczmy objętość pojedynczego klocka, będzie to:
$$V=(2cm)^3=8cm^3$$
Teraz obliczmy objętość pierwszej bryły jaką ułożył Jacek, czyli sześciokąta o boku długości \(8cm\):
$$V=(8cm)^3=512cm^3$$
Skoro do ułożenia tego sześciokąta Jacek wykorzystał wszystkie swoje klocki, to znaczy że tych klocków ma:
$$512cm^3:8cm^3=64$$
Krok 2. Wyznaczenie wymiarów graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.
Z treści zadania wynika, że Jacek do budowy graniastosłupa użył \(63\) klocków (bo jeden klocek został mu wolny).
Skoro Jacek ułożył graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że ułożył bryłę która ma w podstawie kwadrat. Krótko mówiąc, podstawa (czyli tak jakby pierwsza warstwy bryły) musi wyglądać w taki sposób, że mamy np. \(2\) na \(2\) klocki, albo \(5\) na \(5\) klocków itd. W związku z tym do ułożenia samej podstawy Jacek musiał użyć np. \(1, 4, 9, 16, 25, 36\) lub \(49\) klocków. Innych możliwości nie ma, bo musi to być kwadrat liczby naturalnej.
W zasadzie możemy odrzucić wariant, w którym w podstawie jest jeden klocek (czyli byłaby to wieża wysoka na \(63\) klocki), bo gdyby tak wyglądała ta bryła, to przecież nie byłoby problemu dostawić także \(64\)-ty klocek na samą górę.
Musimy więc teraz sprawdzić, która z liczb \(4, 9, 16, 25, 36\) czy \(49\) jest dzielnikiem liczby \(63\). Taką liczbą jest jedynie \(9\), a więc wiemy już, że graniastosłup ma w podstawie \(3\times3\) klocki i jest wysoki na \(7\) klocków.
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu i graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że sześcian ma długość \(8cm\), zatem skoro każda ściana sześcianu ma powierzchnię \(P=8cm\cdot8cm\) i takich ścian mamy \(6\), to pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:
$$P_{S}=6\cdot8^2$$
$$P_{S}=6\cdot64$$
$$P_{S}=384[cm^2]$$
Teraz musimy ustalić wymiary graniastosłupa. Skoro wymiary w klockach możemy wyrazić jako \(3\times3\times7\) klocków, a każdy klocek ma \(2cm\), to wymiary graniastosłupa w centymetrach będą następujące: \(6cm\times6cm\times14cm\). Czyli mamy dwie podstawy o powierzchni \(P_{p}=6cm\cdot6cm\) oraz cztery ściany boczne o powierzchni \(P_{b}=6cm\cdot14cm\). To oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe:
$$P_{G}=2P_{p}+4P_{b}$$
$$P_{G}=2\cdot6^2+4\cdot(6\cdot14)$$
$$P_{G}=2\cdot36+4\cdot84$$
$$P_{G}=72+336$$
$$P_{G}=408[cm^2]$$
Krok 4. Wyznaczenie stosunku pola powierzchni całkowitej pierwszej bryły względem drugiej.
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć stosunek tych pól powierzchni:
$$\frac{P_{S}}{P_{G}}=\frac{384cm^2}{408cm^2}=\frac{16}{17}$$
Zadanie nr 25 · Matura
Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt \(ABCD\), w którym bok \(BC\) odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna AC tego prostokąta ma długość \(16\) i tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(30°\) (zobacz rysunek).
Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa:
A\(8\)
B\(8\sqrt{3}\)
C\(2\sqrt{3}\)
D\(2\)
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że długość krótszej przyprostokątnej (czyli właśnie boku \(AB\)) będzie dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej \(AC\). Skoro tak, to:
$$|AB|=16:2$$
$$|AB|=8$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Musimy zrozumieć, co tak naprawdę policzyliśmy przed chwilą. Prostokąt z treści zadania to rozłożona siatka powierzchni bocznej graniastosłupa (czyli ten prostokąt zawiera w sobie cztery ściany boczne). Bok \(AB\) jest więc tak naprawdę obwodem naszej bryły, a celem zadania jest obliczenie długości krawędzi graniastosłupa. Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, więc ta krawędź będzie cztery razy krótsza od tego boku, czyli:
$$a=8:4$$
$$a=2$$
Zadanie nr 27 · Matura
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) (zobacz rysunek obok). Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy ścianą boczną \(ACFD\) i przekątną \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tego graniastosłupa?
A
B
C
D
Krok 1. Kąt między prostą a płaszczyzną. Kąt między prostą \(AE\) a płaszczyzną ściany \(ACFD\) to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.
Krok 2. Rzut punktu \(E\). Podstawa \(DEF\) jest trójkątem równobocznym, więc wysokość \(EG\) tego trójkąta (\(G\) — środek krawędzi \(DF\)) jest prostopadła do \(DF\). Jest też prostopadła do krawędzi bocznej \(AD\) (krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy). Zatem \(EG\) jest prostopadła do całej ściany \(ACFD\), a \(G\) jest rzutem punktu \(E\) na tę ścianę.
Krok 3. Szukany kąt. Rzutem odcinka \(AE\) na ścianę \(ACFD\) jest odcinek \(AG\), więc \(\alpha=\angle EAG\) — tak jak na rysunku A (z zaznaczonym kątem prostym przy \(G\)).
Odpowiedź: A.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
