Klasa 4 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ przy jednakowo prawdopodobnych wynikach.
$0\le P(A)\le1$; $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$.
$P(A')=1-P(A)$.
Rzut kostką: $P(\text{parzysta})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zdarzenia $A$ i $B$ spełniają: $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Oblicz $P(A\cup B)$.
Dla zdarzeń z zadania PR09.1 oblicz $P(A|B)$.
Rzucamy $5$ razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie trzech orłów.
Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem $0{,}7$ w każdym strzale (niezależnie). Oddaje $4$ strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej $3$ razy.
Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jedną szóstkę, pod warunkiem że suma wyrzuconych oczek jest równa $10$.
W urnie I są $3$ kule białe i $2$ czarne, a w urnie II — $1$ biała i $4$ czarne. Rzucamy monetą: orzeł — losujemy kulę z urny I, reszka — z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy bez zwracania sześć razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania, tworząc ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby $1$ i $2$ stoją w tym ciągu obok siebie.
W sytuacji z zadania PR09.6 wylosowano kulę białą. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodziła z urny I.
Ile co najmniej razy trzeba rzucić symetryczną kostką, aby prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej szóstki było większe od $0{,}9$?
Z urny, w której jest $5$ kul białych i $3$ czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są białe, pod warunkiem że co najmniej jedna jest biała.
Rzucamy kostką. $P(6)$ jest równe
Jeśli $P(A\cap B)=0{,}12$ i $P(A)=0{,}4$, to $P(B|A)$ jest równe
Z urny, w której są $3$ kule białe i $2$ czarne, losujemy dwie kule bez zwracania. Prawdopodobieństwo, że obie są białe, jest równe
Dane są $P(A|B)=0{,}6$ i $P(B)=0{,}5$. Oblicz $P(A\cap B)$.
Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od $4$?
Wiadomo, że $P(A)=0{,}3$. Oblicz $P(A')$.
W urnie jest $5$ kul białych i $3$ czarne. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej?
Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$ definiujemy jako:
Dane są $P(A\cap B)=0{,}2$ oraz $P(B)=0{,}5$. Oblicz $P(A|B)$.
Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy:
Rzucamy dwa razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadną dwa orły, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł.
Z talii $52$ kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że to as, jeśli wiadomo, że wylosowana karta jest czerwona.
Dla dowolnych zdarzeń $A$ i $B$ zachodzi:
Dane są $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ i $P(A\cap B)=0{,}3$. Oblicz $P(A\cup B)$ i sprawdź, czy zdarzenia są niezależne.
Rzucamy dwiema kostkami. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $7$?
W urnie jest $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą białe.
Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł.
Zdarzenia rozłączne $A$ i $B$ o dodatnich prawdopodobieństwach:
Prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi $0{,}8$ przy każdym strzale. Strzelec oddaje dwa niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej raz.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym dla rozbicia $\Omega$ na $B_1$ i $B_2$ mówi, że:
W pierwszej urnie są $3$ kule białe i $2$ czarne, w drugiej $1$ biała i $4$ czarne. Rzucamy monetą: orzeł — losujemy z pierwszej urny, reszka — z drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Fabryka ma dwie linie produkcyjne. Pierwsza wytwarza $70\%$ produkcji i daje $2\%$ braków, druga $30\%$ produkcji i $5\%$ braków. Jaki procent całej produkcji stanowią braki?
Korzystając z danych z poprzedniego zadania: wylosowany produkt okazał się wadliwy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej linii?
Test wykrywa chorobę u $99\%$ chorych, ale u zdrowych daje wynik dodatni w $2\%$ przypadków. Choroba występuje u $1\%$ populacji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba z wynikiem dodatnim jest naprawdę chora?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe \(0{,}02\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że spośród \(10\) pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.
Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.
Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe \(0{,}1\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Wśród \(390\) pracowników pewnej firmy jest \(150\) kobiet i \(240\) mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest \(21\) kobiet i \(43\) mężczyzn.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest mężczyzną.
Podaj kolejno pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe \(\frac{1}{15}\).
Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.
W urnie znajduje się \(16\) kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest \(10\) kul białych i \(6\) kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych. Podaj kolejno trzy cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru \(\{0,1,3,5,7,9\}\), losujemy jedną.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa \(3\).
Dane są zdarzenia losowe \(A,B\subset\Omega\) takie, że \(P(A)=\frac{2}{7}\) i \(P(A\cup B)=\frac{3}{5}\).
Oblicz \(P(B\setminus A)\), gdzie zdarzenie \(B\setminus A\) oznacza różnicę zdarzeń \(B\) i \(A\). Podaj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru \(\{1,2,3\}\) losujemy jedną.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa \(7\).
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.