Zadania optymalizacyjne

Rozwiązanie

1. $3x^2+4x-6x-8\ge0\Rightarrow 3x^2-2x-8\ge0$.
2. $\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100,\ \sqrt\Delta=10$.
3. $x_1=\dfrac{2-10}{6}=-\dfrac43,\ x_2=\dfrac{2+10}{6}=2$.
4. Parabola ma ramiona w górę, więc nierówność $\ge0$ zachodzi na zewnątrz pierwiastków.

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,-\tfrac43\right]\cup[2,\infty)$.

Rozwiązanie

$h(t)=0\Rightarrow t(-4{,}9t+14{,}7)=0\Rightarrow t=0$ lub $t=\dfrac{14{,}7}{4{,}9}=3$. Pierwsze uderzenie: $t=3$ s.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Wierzchołek paraboli: $t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=\dfrac{14{,}7}{9{,}8}=1{,}5$ s.

Odpowiedź: A

Miejsca zerowe: $\Delta=40^{2}+4\cdot 16\cdot 11=1600+704=2304$, $\sqrt{\Delta}=48$.

$x_{1}=\dfrac{-40-48}{-32}=\dfrac{11}{4}$, $x_{2}=\dfrac{-40+48}{-32}=-\dfrac{1}{4}$, więc $|AB|=\dfrac{11}{4}+\dfrac{1}{4}=3$.

Druga współrzędna wierzchołka: $y_{C}=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{2304}{4\cdot(-16)}=36$, więc wysokość trójkąta (odległość $C$ od osi $Ox$) wynosi $36$.

Pole: $P=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|y_{C}|=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 36=54$.

Z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie: $AB=x$, $BC=4$ oraz krawędź boczna (wysokość) $h$. Ich suma: $x+4+h=15$, stąd $h=11-x$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $4$, $(11-x)$:

$P(x)=2\big(x\cdot 4+4\cdot(11-x)+x\cdot(11-x)\big)=2\big(4x+44-4x+11x-x^{2}\big)=2\big(44+11x-x^{2}\big)$,

$P(x)=-2x^{2}+22x+88$.

Dziedzina: $x>0$ oraz $h=11-x>0$, czyli $x\in(0,\,11)$.

Funkcja $P$ jest kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$x=\dfrac{-22}{2\cdot(-2)}=\dfrac{22}{4}=\dfrac{11}{2}=5{,}5$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni całkowitej jest największe dla $x=\dfrac{11}{2}$.

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wiemy, że \(|BC|=4\). Dodatkowo przyjmijmy, że druga krawędź podstawy ma długość \(x\), a wysokość oznaczmy jako \(h\). Z treści zadania wynika, że suma trzech długości krawędzi jest równa \(15\), zatem:
$$4+x+h=15$$ $$x+h=11$$ $$h=11-x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(4\cdot x+4\cdot h+x\cdot h)$$ $$P=2\cdot(4x+4h+xh)$$ $$P=8x+8h+2xh$$ $$P=8x+2xh+8h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(h\) z równania \(h=11-x\) do równania \(P=8x+2xh+8h\), zatem:
$$P=8x+2x\cdot(11-x)+8\cdot(11-x)$$ $$P=8x+22x-2x^2+88-8x$$ $$P=-2x^2+22x+88$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-2x^2+22x+88\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-2x^2+22x+88\).

Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 11-x\gt0$$ $$x\gt0 \quad\land\quad 11\gt x$$ $$x\gt0 \quad\land\quad x\lt11$$

Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(11\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,11)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$ $$x_{W}=\frac{-22}{2\cdot(-2)}$$ $$x_{W}=\frac{-22}{-4}$$ $$x_{W}=5,5$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=5,5\).

Krok 1. Miejsca zerowe funkcji \(P\).

Funkcja \(P\) jest funkcją kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej:

\(80-x=0\Rightarrow x=80\)

\(120+5x=0\Rightarrow x=-24\)

Krok 2. Wierzchołek paraboli.

Po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-5\lt 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół i funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku:

\(x_w=\frac{80+(-24)}{2}=\frac{56}{2}=28\)

Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\le x\le 80\).

Krok 3. Cena.

\(120+5x=120+5\cdot 28=120+140=260\)

Sprawdzenie: \(P(28)=52\cdot 260=13\,520\); \(\;P(27)=53\cdot 255=13\,515\lt 13\,520\) ✓

Odpowiedź: cena powinna wynosić \(260\) zł za dobę.

Funkcja \(\mathcal{Z}\) jest funkcją kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Wyznaczamy jej miejsca zerowe:

\(500+50x=0\Rightarrow x=-10\)

\(16-x=0\Rightarrow x=16\)

Po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-50\lt 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół i funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w środku między miejscami zerowymi:

\(x_w=\frac{-10+16}{2}=3\)

Liczba \(3\) spełnia warunki \(x\ge 1\) i \(x\le 14\), zatem zysk jest największy dla \(x=3\).

Sprawdzenie: \(\mathcal{Z}(3)=650\cdot 13=8450\), \(\mathcal{Z}(4)=700\cdot 12=8400\lt 8450\) ✓

Odpowiedź: A.

Rozwiązanie

Parabola $\cap$ w dół, miejsca zerowe $-2$ i $4$; $f(x)\ge0$ między nimi: $[-2,4]$.

Odpowiedź: $[-2,4]$.

Rozwiązanie

1. Siatka: obwód $2\cdot3y+2x$ plus $2$ ściany wewnętrzne $2x$, czyli $6y+4x=36\Rightarrow 3y+2x=18$, stąd $x=\dfrac{18-3y}{2}$.
2. Suma pól $P=3xy=3y\cdot\dfrac{18-3y}{2}=\dfrac{54y-9y^2}{2}$. Wierzchołek: $y=\dfrac{54}{18}=3$.
3. $y=3$, $x=\dfrac{18-9}{2}=4{,}5$.

Odpowiedź: $x=4{,}5$ m, $y=3$ m.

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że możemy zużyć \(36m\) siatki i z niej musimy zrobić wybieg, na który składają się cztery długości \(x\) (wliczając te wewnętrzne ściany) oraz sześć długości \(y\). Pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie zatem \(4x+6y=36\).

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=a\cdot b\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot3y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(4x+6y=36\).
$$4x+6y=36$$ $$6y=-4x+36$$ $$y=-\frac{2}{3}x+6$$

Podstawiając teraz \(y=-\frac{2}{3}x+6\) do równania \(P=x\cdot3y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot3\cdot\left(-\frac{2}{3}x+6\right)$$ $$P=x\cdot(-2x+18)$$ $$P=-2x^2+18x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-2x^2+18x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Od razu możemy też zapisać, że \(x\gt0\) oraz \(y\gt0\). Tym samym skoro \(y=-\frac{2}{3}x+6\), to otrzymamy założenie, że \(-\frac{2}{3}x+6\gt0\), co po rozwiązaniu tej nierówności da \(x\lt9\). Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$ $$x_{W}=\frac{-18}{2\cdot(-2)}$$ $$x_{W}=\frac{-18}{-4}$$ $$x_{W}=4,5$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=4,5\), a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(4x+6y=36\) i podstawiając teraz \(x=4,5\), otrzymamy:
$$4\cdot4,5+6y=36$$ $$18+6y=36$$ $$6y=18$$ $$y=3$$

Tym samym powierzchnia naszych wybiegów będzie największa, gdy \(x=4,5\) metra oraz \(y=3\) metry.

Krok 1. Sprowadzenie do jednej zmiennej.

Z warunku \(x+y=12\) wyznaczamy \(y=12-x\), przy czym \(x\in[0,12]\) (obie liczby są nieujemne).

Podstawiamy do wyrażenia:

\(W(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144\)

Krok 2. Najmniejsza wartość.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=3\gt 0\), więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-24}{2\cdot 3}=4\)

Wartość \(4\) należy do przedziału \([0,12]\), więc jest dopuszczalna. Wtedy:

\(y=12-4=8\)

Krok 3. Obliczenie wartości.

\(W(4)=3\cdot 16-24\cdot 4+144=48-96+144=96\)

Sprawdzenie: \(2\cdot 4^2+8^2=32+64=96\) ✓

Odpowiedź: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(96\).

Krawędzie z wierzchołka $A$: $AB=x$, $AE=3x$ oraz $AD=y$. Suma $12$ krawędzi: $4(x+3x+y)=48$, stąd $4x+y=12$, czyli $y=12-4x$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $3x$, $(12-4x)$:

$P(x)=2\big(x\cdot 3x+x(12-4x)+3x(12-4x)\big)=2\big(3x^{2}+12x-4x^{2}+36x-12x^{2}\big)=2\big(-13x^{2}+48x\big)=-26x^{2}+96x$.

Dziedzina: $x>0$ oraz $y=12-4x>0\Rightarrow x\lt 3$, czyli $x\in(0,\,3)$.

Funkcja kwadratowa o ramionach w dół osiąga największą wartość w wierzchołku: $x=\dfrac{-96}{2\cdot(-26)}=\dfrac{96}{52}=\dfrac{24}{13}$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni całkowitej jest największe dla $x=\dfrac{24}{13}$.

Część 32.1 — największy przychód.

Funkcja \(P(x)=(70-x)(20+x)\) jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół (po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\)).

Jej miejsca zerowe to \(x=70\) oraz \(x=-20\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka:

\(x_w=\frac{70+(-20)}{2}=25\)

Wartość \(25\) spełnia warunki \(0\le x\le 60\) — odpowiedź A.

Część 32.2 — przychód równy 800 zł.

\((70-x)(20+x)=800\)

\(1400+70x-20x-x^2=800\)

\(-x^2+50x+600=0\)

\(x^2-50x-600=0\)

\(\Delta=2500+2400=4900\), \(\sqrt{\Delta}=70\)

\(x=\frac{50-70}{2}=-10\) lub \(x=\frac{50+70}{2}=60\)

Warunek \(0\le x\le 60\) spełnia tylko \(x=60\) — odpowiedź E.

Odpowiedź: 32.1. A, 32.2. E.

Rozwiązanie

1. $L(30)$ to liczba klientów tylko $30.$ dnia, a nie suma ze wszystkich dni → F.
2. $L(3)=-9+66+279=336$ → P.

Odpowiedź: FP

Rozwiązanie

1. Wierzchołek paraboli: $n=\dfrac{-22}{2\cdot(-1)}=11$ (w zakresie $1\le n\le30$).
2. $L(11)=-121+242+279=400$.

Odpowiedź: $11.$ dnia, obsłużono $400$ klientów.

Krok 1. Funkcja zysku.

\(Z(x)=P(x)-K(x)=196x-\left(4x^2+4x+240\right)\)

\(Z(x)=-4x^2+192x-240\) dla \(x\in\{1,2,\ldots,30\}\)

Krok 2. Największa wartość.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-4\lt 0\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{192}{2\cdot(-4)}=\frac{192}{8}=24\)

Liczba \(24\) spełnia ograniczenie \(x\le 30\) i jest liczbą całkowitą, więc jest dopuszczalna.

Krok 3. Największy zysk.

\(Z(24)=-4\cdot 24^2+192\cdot 24-240\)

\(Z(24)=-4\cdot 576+4608-240\)

\(Z(24)=-2304+4608-240=2064\)

Odpowiedź: zakład powinien sprzedawać \(24\) krzesła dziennie, a największy zysk wynosi \(2064\) zł.

Niech $b$ — krótsza podstawa, $h$ — wysokość. Z warunku $b+h=18$, więc $h=18-b$.

Pole trapezu: $P(b)=\dfrac{(12+b)}{2}\cdot h=\dfrac{(12+b)(18-b)}{2}=\dfrac{-b^{2}+6b+216}{2}$.

To funkcja kwadratowa zmiennej $b$ o ramionach w dół; największą wartość przyjmuje w wierzchołku: $b=\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=3$.

Warunek trapezu (nie równoległobok, $0\lt b\lt 12$) jest spełniony. Wtedy $h=18-3=15$, a pole $P=\dfrac{(12+3)}{2}\cdot 15=\dfrac{15}{2}\cdot 15=\dfrac{225}{2}=112,5$ dm$^{2}$.

Krótsza podstawa powinna mieć $3$ dm, a największe pole okna to $112,5$ dm$^{2}$.

Oznaczmy przez \(y\) wysokość prostokąta (odległość boku \(EF\) od podstawy \(AB\)), a przez \(x\) jego długość, czyli \(x=|EF|\).

Krok 1. Związek między \(x\) a \(y\).

Pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) i \(EFCD\):

\(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\)

\(\frac{400+100}{2}\cdot 75=\frac{400+x}{2}\cdot y+\frac{x+100}{2}\cdot(75-y)\)

\(18\,750=\frac{400y+xy+75x-xy+7500-100y}{2}\)

\(37\,500=300y+75x+7500\)

\(75x=30\,000-300y\)

\(x=400-4y\)

Krok 2. Pole prostokąta jako funkcja jednej zmiennej.

\(P(y)=x\cdot y=(400-4y)\cdot y=-4y^2+400y\) dla \(y\in(0,75)\)

Krok 3. Wartość największa.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-4\lt 0\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku. Miejsca zerowe to \(y=0\) i \(y=100\), zatem:

\(y_w=\frac{0+100}{2}=50\)

Wartość \(50\) należy do przedziału \((0,75)\), więc jest dopuszczalna.

Wtedy:

\(x=400-4\cdot 50=200\)

\(P_{max}=200\cdot 50=10\,000\)

Odpowiedź: boki prostokąta mają długości \(200\) m i \(50\) m, a największa powierzchnia placu wynosi \(10\,000\) m\(^2\).

Oznaczmy przez \(x\) liczbę złotych, o którą obniżono cenę (\(x\ge0\)).

Wtedy:

• cena sprzedaży: \(160-x\) zł, zysk z jednej kurtki: \(160-x-100=60-x\) zł,

• liczba sprzedanych kurtek: \(40+x\).

Miesięczny zysk:

\(f(x)=(60-x)(40+x)=-x^2+20x+2400\).

Jest to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10\).

Cena sprzedaży wynosi wtedy \(160-10=150\) zł, a zysk \(f(10)=50\cdot50=2500\) zł.

Odpowiedź: sprzedawca powinien ustalić cenę 150 zł.