Twierdzenie Talesa

1. Pola podobnych figur: $P_2=k^2P_1=9\cdot5=45$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone przez $k$ zamiast $k^2$; C — przez $k^3$ (to dla objętości).

1. Skala: $k=\frac{12}{18}=\frac23$.
2. Stosunek pól: $k^2=\frac49$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — to stosunek obwodów; D — odwrócona kolejność.

1. Tales: $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OA^\prime|}{|A^\prime B^\prime|} \Rightarrow \dfrac46=\dfrac{6}{|A^\prime B^\prime|}$.
2. $|A^\prime B^\prime|=9$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — to długość $|OB^\prime|$, a pytanie dotyczy odcinka $A^\prime B^\prime$.

1. $\triangle AOD\sim\triangle COB$ (kąty wierzchołkowe i naprzemianległe).
2. $\dfrac{|OA|}{|OC|}=\dfrac{|OD|}{|OB|} \Rightarrow \dfrac96=\dfrac{12}{|OB|} \Rightarrow |OB|=8$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — odwrócona proporcja ($\frac{9}{6}=\frac{|OB|}{12}$).

1. $\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{6}{9}=\dfrac23$, więc $|AD|=\dfrac{2}{5}\cdot10=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to $|DB|$; C — dwusieczna potraktowana jak środkowa.

1. Trójkąty, na które dzieli wysokość, są podobne: $h^2=4\cdot9=36$, $h=6$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — to przeciwprostokątna; D — średnia arytmetyczna odcinków.

1. $\triangle KLC\sim\triangle ABC$ w skali $k=\frac{|CK|}{|CA|}=\frac25$.
2. $P_{KLC}=\left(\frac25\right)^2\cdot50=\frac{4}{25}\cdot50=8$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — pomnożone przez $k$, a nie $k^2$; D — skala $\frac23$ zamiast $\frac25$.

1. 1. $\frac63=\frac84=\frac{10}5=2$ — cecha bbb, trójkąty są podobne — prawda.
2. 2. Stosunek pól to $k^2=4$, nie $2$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. Przeciwprostokątna $T_1$: $\sqrt{36+64}=10$. Skala: $k=\frac{25}{10}=\frac52$.
2. $P_1=\tfrac12\cdot6\cdot8=24$, $P_2=k^2P_1=\tfrac{25}4\cdot24=150$.

Odpowiedź: $150$

1. Kąty $AOB$ i $COD$ są wierzchołkowe, więc równe.
2. $AB\parallel CD$, więc $|\angle OAB|=|\angle OCD|$ (kąty naprzemianległe przy prostej $AC$).
3. Zatem $\triangle AOB\sim\triangle COD$ (cecha kkk) i $\dfrac{|AO|}{|OC|}=\dfrac{|BO|}{|OD|}$.
4. Mnożąc „na krzyż”: $|AO|\cdot|OD|=|BO|\cdot|OC|$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $3\cdot2=6$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B dzieli.

1. $6x=24\Rightarrow x=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.

1. $k^2=4$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A myli pole ze skala.

1. $2x=12\Rightarrow x=6$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $5\cdot3=15$.

Odpowiedź: $15$

Z twierdzenia Talesa odcinki wyznaczone na obu ramionach są proporcjonalne:

$$\frac{3}{6}=\frac{4}{x}$$

Mnożymy na krzyż:

$$3x=24 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Kontrola sensu: na pierwszym ramieniu drugi odcinek jest dwa razy dłuższy od pierwszego, więc na drugim ramieniu też musi być dwa razy dłuższy: $2\cdot4=8$ ✔

Odpowiedź: C. $x=8$ cm.

Odcinek $DE$ jest równoległy do $BC$, więc zachodzi twierdzenie Talesa — odcinki na obu bokach są proporcjonalne:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

Podstawiamy dane:

$$\frac{4}{6}=\frac{6}{EC}$$

Mnożymy na krzyż:

$$4\cdot EC=36 \quad\Rightarrow\quad EC=9$$

Uwaga na dobór odcinków: w proporcji trzeba konsekwentnie zestawiać części górne z górnymi i dolne z dolnymi, albo część z całością — ale po obu stronach tak samo.

Odpowiedź: $EC=9$.

Krok 1 — rzeczywiste wymiary. Mnożymy każdy wymiar przez skalę:

$$2\cdot50\,000=100\,000\ \text{cm}=1\ \text{km}$$

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Krok 2 — pole:

$$P=1\cdot1{,}5=1{,}5\ \text{km}^2$$

Sposób alternatywny — przez kwadrat skali. Pole na mapie to $2\cdot3=6$ cm$^2$, a pole rzeczywiste jest $50\,000^2$ razy większe:

$$6\cdot50\,000^2=6\cdot2{,}5\cdot10^9=1{,}5\cdot10^{10}\ \text{cm}^2=1{,}5\ \text{km}^2$$

Oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: rzeczywiste pole to $1{,}5$ km$^2$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trójkąta na dwa sposoby. Raz jako połowa iloczynu przyprostokątnych, raz jako połowa iloczynu przeciwprostokątnej i wysokości na nią opuszczonej:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24 \qquad \text{oraz} \qquad P=\frac{10\cdot h}{2}=5h$$

Krok 3 — przyrównujemy:

$$5h=24 \quad\Rightarrow\quad h=4{,}8$$

Kontrola sensu: wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych — $4{,}8\lt 6$ ✔

Odpowiedź: wysokość ma $4{,}8$.

Pole zmienia się w skali podniesionej do kwadratu:

$$k^2=100^2=10\,000$$

Model ma więc pole powierzchni $10\,000$ razy mniejsze.

Dla porównania: objętość zmieniłaby się w skali $k^3=1\,000\,000$ razy — stąd odpowiedź C jako pułapka.

Zestawienie warte zapamiętania: długości w skali $k$, pola w $k^2$, objętości w $k^3$.

Odpowiedź: D. $10\,000$ razy.

Z twierdzenia Talesa odcinki odcięte na obu ramionach są proporcjonalne. Zestawiamy część bliższą wierzchołka z częścią dalszą:

$$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$$

Podstawiamy dane:

$$\frac{5}{10}=\frac{7}{CD}$$

Mnożymy na krzyż:

$$5\cdot CD=70 \quad\Rightarrow\quad CD=14$$

Kontrola sensu: na pierwszym ramieniu odcinek dalszy jest dwa razy dłuższy od bliższego, więc na drugim też: $2\cdot7=14$ ✔

Odpowiedź: $CD=14$.

Krok 1 — pole wyjściowe:

$$P_1=4\cdot6=24\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — stosunek pól:

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{150}{24}=\frac{25}{4}$$

Krok 3 — skala to pierwiastek ze stosunku pól:

$$k=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac52=2{,}5$$

Krok 4 — nowe wymiary:

$$4\cdot2{,}5=10\ \text{cm},\qquad 6\cdot2{,}5=15\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10\cdot15=150$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: skala $k=2{,}5$, nowe wymiary $10$ cm na $15$ cm.