Styczna do okręgu
Klasa 2 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 43
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Miara kąta \(\sphericalangle BCA\) jest równa:
Wykaż, że trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne.
Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
Zadanie 1.
Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).
Zadanie 2.
Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).
Promień omawianego okręgu jest równy:
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa
Miara kąta \(ACB\) jest równa:
Wtedy:
Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy \(\frac{ab}{a+b}\).
Miara kąta \(ABC\) jest równa:
Długość \(r\) promienia jest równa:
Miara kąta \(ACB\) jest równa:
Wtedy:
Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:
Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.
Miara kąta \(OBA\) jest równa:
• okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r=1\)
• prosta \(k\) przechodząca przez \(S\) i przecinająca okrąg w punktach \(P\) i \(Q\)
• prosta \(l\) styczna do danego okręgu w punkcie \(T\).
Prosta \(k\) przecina prostą \(l\) w punkcie \(R\). Prosta przechodząca przez punkt \(Q\) i równoległa do odcinka \(ST\) przecina styczną \(l\) w punkcie \(U\) (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka \(TU\) wiedząc, że spełniony jest warunek \(\frac{|PQ|}{|QR|}=\frac{2}{3}\).
📘Teoria 1
Kąt środkowy i wpisany
Kąt środkowy oparty na danym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}$$
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Twierdzenie Talesa o okręgu
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty. To narzędzie do rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.
Czworokąt wpisany
Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. To warunek konieczny i wystarczający wpisania czworokąta w okrąg.
Styczna
Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Prosta jest styczna, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi ($d=r$).
Dwa odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe.
Twierdzenie Ptolemeusza
$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$
Dla czworokąta wpisanego w okrąg iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.
Na co uważać
Kąt wpisany to połowa środkowego (nie odwrotnie). Prostopadłość stycznej do promienia tworzy trójkąt prostokątny — klucz do zadań ze styczną.
∑Wzory 0
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 29
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu. Ile ma stopni?
Styczna do okręgu w punkcie styczności jest do promienia:
Z punktu poza okręgiem poprowadzono dwie styczne. Odcinki styczne od tego punktu do punktów styczności są:
Promień okręgu wynosi $5$, a odległość punktu $P$ od środka to $13$. Oblicz długość odcinka stycznej od $P$ do punktu styczności.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Kąt $A$ ma $85^\circ$, kąt $B$ ma $95^\circ$. Oblicz kąty $C$ i $D$.
Ile punktów wspólnych ma styczna z okręgiem?
Prosta jest styczna do okręgu, gdy jej odległość od środka jest:
W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy wierzchołkach $A$ i $C$ wynoszą $3x$ i $x$. Oblicz oba kąty.
Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg, a bok $AB$ jest średnicą. Kąt $A$ ma $35^\circ$. Oblicz pozostałe kąty trójkąta.
Twierdzenie Ptolemeusza dotyczy czworokąta:
Kąt wpisany oparty na łuku stanowiącym $\frac14$ okręgu ma ile stopni?
Z punktu $P$ odległego o $10$ od środka okręgu o promieniu $6$ poprowadzono styczną. Oblicz długość odcinka stycznej oraz pole trójkąta utworzonego przez $P$, środek okręgu i punkt styczności.
Dwa kąty wpisane w okrąg oparte są na łukach, które razem tworzą cały okrąg. Jeden kąt środkowy ma $140^\circ$. Oblicz oba kąty wpisane oparte na tych łukach.
Wykaż, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty (twierdzenie Talesa o okręgu).
Obwód koła o promieniu $5$ jest równy
Pole koła o promieniu $3$ jest równe
Promień okręgu wpisanego w kwadrat o boku $6$ jest równy
Prosta styczna do okręgu ma z nim wspólnych punktów
Kwadrat ma bok $10$. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten kwadrat.
Średnica okręgu o promieniu $7$ jest równa
Odległość środka okręgu o promieniu $4$ od pewnej prostej wynosi $6$. Prosta ta jest
Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną $16$. Promień okręgu opisanego jest równy
Obwód koła jest równy $12\pi$. Promień tego koła jest równy
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $6$ i $8$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Obwód koła o promieniu $4$ jest równy
Pole koła o promieniu $5$ jest równe
Promień okręgu wpisanego w kwadrat o boku $8$ jest równy
Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną $12$. Promień okręgu opisanego jest równy
Oblicz pole koła o promieniu $2$.