Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

1. Przeciwprostokątna: $\sqrt{9+16}=5$.
2. $\sin\alpha=\dfrac35$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — cosinus tego kąta; C — tangens.

1. $\cos^2\alpha=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$, kąt ostry → $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — odjęto liczniki ($13-5$) zamiast kwadratów.

1. $\sin\alpha=2\cos\alpha$. Z jedynki: $4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\tfrac15$.
2. $\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — to $\sin\alpha$; B — odwrotność tangensa to cotangens, nie cosinus.

1. $\cos\alpha\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos\alpha\cdot1=\cos\alpha$.

Odpowiedź: D

1. $2\cdot\tfrac12+\tfrac12\cdot1=1+\tfrac12=\tfrac32$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — pomylony $\cos60^\circ$ z $\cos30^\circ$.

1. $\cos^2\alpha=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$.
2. Kąt rozwarty → cosinus ujemny: $\cos\alpha=-\tfrac45$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięty znak dla kąta rozwartego; C — to tangens.

1. $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac yx=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac34$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — odwrócony iloraz; B — to $\sin\alpha$; D — to $\cos\alpha$.

1. 1. $\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\tfrac12$ — prawda.
2. 2. $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\tfrac12$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}-1=3 \Rightarrow 2\operatorname{tg}\alpha=4 \Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=2$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=2$

1. $\sin\alpha=-2\cos\alpha$. Jedynka: $4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\tfrac15$.
2. Kąt rozwarty → $\cos\alpha\lt 0$: $\cos\alpha=-\tfrac{1}{\sqrt5}=-\tfrac{\sqrt5}{5}$.
3. $\sin\alpha=-2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt5}{5}\right)=\tfrac{2\sqrt5}{5}$ (dodatni ✓).

Odpowiedź: $\sin\alpha=\tfrac{2\sqrt5}{5}$, $\cos\alpha=-\tfrac{\sqrt5}{5}$

1. $\sin30^\circ=\tfrac12$, $\cos60^\circ=\tfrac12$.
2. $2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac12$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija jeden z czynników $\tfrac12$, B pomija mnożnik $2$, C używa $\cos30^\circ$.

1. $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, więc $\sin^2 60^\circ=\tfrac{3}{4}$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B nie podnosi do kwadratu, C to $\cos^2 60^\circ$, D mnoży przez $2$ zamiast podnosić do kwadratu.

1. $\tan60^\circ=\sqrt3$, $\tan30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$.
2. $\sqrt3\cdot\tfrac{\sqrt3}{3}=\tfrac33=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to tylko $\tan60^\circ$, C to $(\sqrt3)^2$, D to $\tan^2 30^\circ$.

1. $\cos^2 45^\circ=\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\tfrac12$, $\sin^2 30^\circ=\tfrac14$.
2. $\tfrac12-\tfrac14=\tfrac14$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija odjemnik, B zakłada równość obu wartości, D dodaje zamiast odejmować.

1. $\tfrac12+\tfrac12=1$.

Odpowiedź: $1$

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Dla porównania: $\cos\alpha$ to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, a $\tg\alpha$ — stosunek obu przyprostokątnych.

Odpowiedź: B. przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — funkcje kąta $\alpha$ naprzeciw boku $3$:

$$\sin\alpha=\frac35=0{,}6,\qquad \cos\alpha=\frac45=0{,}8$$

Kontrola jedynką trygonometryczną: $0{,}36+0{,}64=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=0{,}6$, $\cos\alpha=0{,}8$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$a=c\sin30^\circ=10\cdot\tfrac12=5$$

Warto zapamiętać: w trójkącie o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ bok naprzeciw kąta $30^\circ$ jest zawsze połową przeciwprostokątnej.

Odpowiedź: C. $5$.

$$\tg 60^\circ=\sqrt3,\qquad \tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$$

$$\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{3}{3}=1$$

Ogólna reguła: $\tg\alpha\cdot\tg(90^\circ-\alpha)=1$ — tangensy kątów dopełniających się do prostego są odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

Tangens równa się jeden, gdy obie przyprostokątne są równe — a to zachodzi w trójkącie równoramiennym prostokątnym.

$$\tg 45^\circ=\frac{a}{a}=1$$

Odpowiedź: A. $45^\circ$.

Krok 1 — model. Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$, a drabina jest przeciwprostokątną.

Krok 2 — sinus:

$$h=6\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$$

Krok 3 — przybliżenie:

$$3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość musi być mniejsza od długości drabiny — i jest ✔

Odpowiedź: około $5{,}2$ m.

Krok 1 — druga przyprostokątna. Przy kącie $45^\circ$ tangens wynosi $1$, więc obie przyprostokątne są równe:

$$b=8$$

Krok 2 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{64+64}=8\sqrt2\approx11{,}31$$

Reguła: w trójkącie o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ przeciwprostokątna to bok razy $\sqrt2$.

Odpowiedź: $b=8$, $c=8\sqrt2$.

$$P=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\frac12=15$$

Uwaga: kąt musi leżeć między podanymi bokami — to warunek stosowania tego wzoru.

Odpowiedź: D. $15$.

Krok 1 — z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Krok 2 — tangens:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Rozpoznanie: trójka $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$, $\tg\alpha=\frac{12}{5}$.

To jedynka trygonometryczna, prawdziwa dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Skąd wynika: z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta o przeciwprostokątnej $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — którą funkcję wybrać. Znamy przyprostokątną przyległą ($50$ m), a szukamy przeciwległej — to tangens.

Krok 2 — rachunek:

$$h=50\cdot\tg30^\circ=50\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{50\sqrt3}{3}$$

Krok 3 — przybliżenie:

$$h\approx28{,}9\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $28{,}9$ m.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — obwód:

$$O=5+12+13=30$$

Krok 3 — pole (przyprostokątne są podstawą i wysokością):

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30$$

Ciekawostka: obwód i pole wychodzą liczbowo takie same, choć mają różne jednostki.

Odpowiedź: obwód $30$, pole $30$.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $\frac{a}{2}$ i przeciwprostokątnej $a$:

$$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Przez trygonometrię: $h=a\sin60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: C. $\frac{a\sqrt3}{2}$.

Krok 1 — model. Przebyta droga to przeciwprostokątna, a wzniesienie to bok naprzeciw kąta nachylenia.

Krok 2 — rachunek:

$$h=2000\cdot0{,}087=174\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $174$ m.

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Kąt prosty kwadratu zostaje przepołowiony:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Kontrola: $\tg45^\circ=\frac{a}{a}=1$ ✔

Odpowiedź: A. $45^\circ$.

Krok 1 — bok naprzeciw kąta $60^\circ$:

$$a=20\sin60^\circ=20\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$$

Krok 2 — bok naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$b=20\cos60^\circ=20\cdot\frac12=10$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{10\sqrt3\cdot10}{2}=50\sqrt3\approx86{,}6$$

Kontrola Pitagorasem: $300+100=400=20^2$ ✔

Odpowiedź: $10\sqrt3$ i $10$, pole $50\sqrt3$.

Krok 1 — odcinek odcięty przy dłuższej podstawie:

$$14-8=6$$

Krok 2 — wysokość. Przy kącie $45^\circ$ trójkąt jest równoramienny, więc wysokość równa się temu odcinkowi:

$$h=6$$

Krok 3 — ramię ukośne (przeciwprostokątna):

$$l=6\sqrt2\approx8{,}49$$

Krok 4 — pole:

$$P=\frac{(14+8)\cdot6}{2}=66$$

Odpowiedź: $h=6$, ramię $6\sqrt2$, pole $66$.

Definicja sinusa kąta ostrego:

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Skrót pamięciowy: „sinus = naprzeciw przez przeciwprostokątną”.

Odpowiedź: B.

Sinus — naprzeciw ($3$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — przy kącie ($4$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Interpretacja: tangens to również stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie: $\frac34$.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$\sin 30^\circ=\frac{a}{c} \quad\Rightarrow\quad a=c\cdot\sin 30^\circ$$

Podstawiamy:

$$a=10\cdot\frac12=5$$

Odpowiedź: przyprostokątna ma długość $5$.

Przyprostokątna przy kącie łączy się z przeciwprostokątną przez cosinus:

$$\cos 60^\circ=\frac{b}{c} \quad\Rightarrow\quad c=\frac{b}{\cos 60^\circ}$$

Podstawiamy $b=4$, $\cos 60^\circ=\frac12$:

$$c=\frac{4}{\frac12}=8$$

Odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość $8$.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc sinus dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Rozpoznanie: to trójkąt $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$.

Dla $45^\circ$ obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Model: drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to przyprostokątna naprzeciw kąta $60^\circ$.

$$\sin 60^\circ=\frac{h}{6} \quad\Rightarrow\quad h=6\cdot\sin 60^\circ$$

Podstawiamy:

$$h=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość jest mniejsza od długości drabiny ($5{,}2\lt 6$) ✔

Odpowiedź: drabina sięga na $3\sqrt3\approx5{,}2$ m.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — sinus kąta naprzeciw krótszej przyprostokątnej ($6$):

$$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac35$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35=0{,}6$.

Korzystamy ze wzoru na pole z sinusem kąta:

$$P=\frac12 ab\sin\gamma$$

Podstawiamy $a=8$, $b=6$, $\gamma=30^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin 30^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac12=12$$

Odpowiedź: $P=12$.

Sinus i cosinus są równe tylko dla kąta, przy którym obie przyprostokątne są równe — to $45^\circ$.

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Model: wysokość wieży to przyprostokątna naprzeciw kąta, odległość to przyprostokątna przy kącie. Wiąże je tangens:

$$\tg 45^\circ=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\cdot\tg 45^\circ$$

Podstawiamy $\tg 45^\circ=1$:

$$h=20\cdot1=20\ \text{m}$$

Wniosek: przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości — to szczególny, łatwy do zapamiętania przypadek.

Odpowiedź: wieża ma $20$ m wysokości.

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątna jest zawsze krótsza od przeciwprostokątnej, więc iloraz mieści się między $0$ a $1$.

$$0\lt \sin\alpha\lt 1$$

To samo dotyczy cosinusa kąta ostrego.

Odpowiedź: A.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$ (przez sinus):

$$a=12\cdot\sin 30^\circ=12\cdot\frac12=6$$

Przyprostokątna przy kącie $30^\circ$ (przez cosinus):

$$b=12\cdot\cos 30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\approx10{,}39$$

Sprawdzenie Pitagorasem: $6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2$ ✔

Odpowiedź: przyprostokątne mają $6$ i $6\sqrt3\approx10{,}39$.

Model trójkąta. Tangens $\frac34$ oznacza przyprostokątną naprzeciw $=3$, przy kącie $=4$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\tg\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Model: przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, a bok — przyprostokątna przy kącie $45^\circ$.

$$\cos 45^\circ=\frac{\text{bok}}{\text{przekątna}} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{5}{\cos 45^\circ}=\frac{5}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2$$

Sprawdzenie: to zgadza się ze wzorem na przekątną kwadratu $d=a\sqrt2=5\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $d=5\sqrt2\approx7{,}07$ cm.

Model. Powstaje trójkąt prostokątny: odcinek na północ ($300$ m) to przyprostokątna przy kącie $30^\circ$, a droga statku na wschód to przyprostokątna naprzeciw tego kąta.

Wiąże je tangens:

$$\tg 30^\circ=\frac{\text{droga}}{300} \quad\Rightarrow\quad \text{droga}=300\cdot\tg 30^\circ$$

Podstawiamy $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$:

$$\text{droga}=300\cdot\frac{\sqrt3}{3}=100\sqrt3\approx173{,}2\ \text{m}$$

Odpowiedź: statek przebył $100\sqrt3\approx173$ m.