Równania kwadratowe

$$\Delta=b^2-4ac$$

Odpowiedź: B. $b^2-4ac$.

$a=1$, $b=-6$, $c=5$:

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16$$

Odpowiedź: $\Delta=16$.

Krok 1 — delta (z zad. 2): $\Delta=16$, $\sqrt{\Delta}=4$.

Krok 2 — wzory na pierwiastki:

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5$$

Sprawdzenie: $1\cdot5=5=c$ ✔ (wzór Viète’a).

Odpowiedź: $x_1=1$, $x_2=5$.

Współczynnik $a=3>0$, więc ramiona skierowane w górę.

Odpowiedź: C. w górę.

Krok 1 — pierwsza współrzędna:

$$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$$

Krok 2 — druga współrzędna:

$$q=f(2)=4-8+1=-3$$

Odpowiedź: $W=(2,-3)$.

Dla $\Delta\lt 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych — parabola nie przecina osi $OX$.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — delta:

$$\Delta=49-48=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4$$

Odpowiedź: $x\in\{3,4\}$.

Przecięcie z osią $OY$ dla $x=0$:

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad (0,1)$$

Wskazówka: to zawsze wyraz wolny $c$.

Odpowiedź: D. $(0,1)$.

Krok 1 — $a=-2\lt 0$, więc parabola ma maksimum w wierzchołku.

Krok 2 — argument:

$$p=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=-\frac{8}{-4}=2$$

Krok 3 — wartość największa:

$$f(2)=-8+16-3=5$$

Odpowiedź: dla $x=2$ wartość największa $5$.

Postać iloczynowa: $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$1\cdot(x-2)(x-(-3))=(x-2)(x+3)$$

Odpowiedź: B. $(x-2)(x+3)$.

Krok 1 — równanie niezupełne (brak wyrazu $bx$):

$$2x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x^2=4$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,2\}$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias (brak wyrazu wolnego):

$$x(x+5)=0$$

Krok 2 — iloczyn zerowy:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=-5$$

Odpowiedź: $x\in\{-5,0\}$.

Oś symetrii to $x=p=2$ (pierwsza współrzędna wierzchołka).

Odpowiedź: C. $x=2$.

Krok 1 — miejsca zerowe (z zad. 3): $x_1=1$, $x_2=5$.

Krok 2 — kształt paraboli. $a=1>0$ — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami.

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$$

Uwaga: nierówność ostra „$>$” — końce otwarte.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$.

$$\Delta=36-36=0$$

Dla $\Delta=0$ jest jedno (podwójne) miejsce zerowe: $x=\frac{6}{2}=3$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Delta:

$$\Delta=16-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2$$

$$x_1=\frac{-4-2}{-2}=3,\qquad x_2=\frac{-4+2}{-2}=1$$

Krok 2 — kształt. $a=-1\lt 0$ — ramiona w dół, wartości dodatnie między pierwiastkami.

Krok 3 — nierówność „$\ge$” — końce domknięte:

$$x\in\langle1,\ 3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle1,3\rangle$.

Krok 1 — zmienne. Niech liczby to $x$ i $10-x$. Iloczyn:

$$P(x)=x(10-x)=-x^2+10x$$

Krok 2 — to parabola z $a=-1\lt 0$, ma maksimum w wierzchołku:

$$x=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5$$

Krok 3 — wartość:

$$P(5)=5\cdot5=25$$

Wniosek. Przy ustalonej sumie iloczyn jest największy, gdy liczby są równe ($5$ i $5$).

Odpowiedź: największy iloczyn to $25$.

Krok 1 — postać kanoniczna z wierzchołkiem:

$$f(x)=a(x-1)^2-4$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$ z punktu $(3,0)$:

$$0=a(3-1)^2-4 \quad\Rightarrow\quad 0=4a-4 \quad\Rightarrow\quad a=1$$

Krok 3 — wzór:

$$f(x)=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$$

Sprawdzenie: $f(3)=9-6-3=0$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=x^2-2x-3$.

Sposób 1 — postać kanoniczna. Uzupełniamy do kwadratu:

$$x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+4$$

Ponieważ $(x+1)^2\ge0$, to $(x+1)^2+4\ge4>0$ dla każdego $x$. $\quad∎$

Sposób 2 — delta. $\Delta=4-20=-16\lt 0$ oraz $a=1>0$, więc parabola leży w całości nad osią $OX$ — potwierdza wynik.

Wniosek: najmniejsza wartość funkcji to $4$ (w $x=-1$), więc wszystkie wartości są dodatnie.

Iloczyn równy zero, gdy któryś czynnik jest zerem: $x=1$ lub $x=4$.

Odpowiedź: B. $1,4$.

Dla ramion w górę ($a>0$) wartości dodatnie są POZA przedziałem pierwiastków.

Odpowiedź: A. poza pierwiastkami.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=2$, $x=5$.

Krok 2 — parabola ramionami w górę (dodatni współczynnik) — wartości ujemne MIĘDZY pierwiastkami.

Krok 3 — nierówność ostra:

$$x\in(2,5)$$

Odpowiedź: $x\in(2,5)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. $x^2-9=(x-3)(x+3)=0$ dla $x=\pm3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — pierwiastki. $\Delta=25-24=1$, $x=\frac{5\pm1}{2}$, więc $x=2$ i $x=3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości $\le0$ między pierwiastkami (końce domknięte):

$$x\in\langle2,3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle2,3\rangle$.

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc $x^2\ge0$ zawsze.

Odpowiedź: D. wszystkich $x$.

Krok 1 — przenosimy: $x^2-16\le0$, pierwiastki $x=\pm4$.

Krok 2 — wartości $\le0$ między pierwiastkami:

$$x\in\langle-4,4\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle-4,4\rangle$.

Ramiona w dół ($a\lt 0$): wartości ujemne są POZA pierwiastkami (a dodatnie między).

Odpowiedź: C. poza pierwiastkami.

Krok 1 — wyłączamy $x$: $x(x+4)=0$ dla $x=0$ i $x=-4$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości $\ge0$ poza pierwiastkami (końce domknięte):

$$x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle0,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle0,+\infty)$.

Kwadrat nigdy nie jest ujemny, więc $x^2\lt 0$ nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: A. przez żadną liczbę.

Krok 1 — pierwiastki. $-x^2+4=0$ dla $x^2=4$, czyli $x=\pm2$.

Krok 2 — ramiona w DÓŁ ($a=-1\lt 0$), wartości dodatnie MIĘDZY pierwiastkami:

$$x\in(-2,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — to kwadrat. $x^2-6x+9=(x-3)^2$.

Krok 2 — analiza. $(x-3)^2\ge0$ zawsze, a $\le0$ tylko gdy równy $0$:

$$(x-3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$ (jedno rozwiązanie).

Pierwiastki $-2,3$, ramiona w górę → wartości $\ge0$ poza pierwiastkami (z domkniętymi końcami).

Odpowiedź: B. $(-\infty,-2\rangle\cup\langle3,+\infty)$.

Krok 1 — dzielimy przez $2$: $x^2-4\lt 0$.

Krok 2 — pierwiastki $\pm2$, wartości ujemne między:

$$x\in(-2,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — pierwiastki. $\Delta=1+24=25$, $x=\frac{1\pm5}{2}$, więc $x=-2$ i $x=3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$.

Kwadrat jest dodatni zawsze poza miejscem, gdzie się zeruje ($x=1$).

$$x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

Odpowiedź: D. $x\neq1$.

Krok 1 — rozwiązujemy $f(x)\lt 0$. Pierwiastki: $\Delta=16-12=4$, $x=\frac{4\pm2}{2}$, czyli $x=1$ i $x=3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości ujemne między pierwiastkami:

$$x\in(1,3)$$

Interpretacja. W tym przedziale wykres paraboli leży pod osią $OX$.

Odpowiedź: $x\in(1,3)$.

Krok 1 — delta. $\Delta=4-20=-16\lt 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.

Krok 2 — analiza. $a=1>0$ (ramiona w górę) i brak pierwiastków → parabola w całości NAD osią $OX$, więc zawsze dodatnia.

$$x\in\mathbb{R}$$

Odpowiedź: wszystkie liczby rzeczywiste.

Krok 1 — warunek. Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna:

$$x^2-4\ge0$$

Krok 2 — rozwiązujemy nierówność kwadratową. Pierwiastki $\pm2$, ramiona w górę → wartości $\ge0$ poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

Krok 1 — rozpoznajemy kwadrat. Lewa strona to wzór skróconego mnożenia:

$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Krok 2 — kwadrat jest nieujemny. Dla każdego $x$:

$$(x-1)^2\ge0 \qquad ∎$$

Wniosek. Nierówność zachodzi zawsze; równość tylko dla $x=1$ (wtedy wyrażenie równa się $0$).

Sprawdzenie: $x=0$: $1\ge0$ ✔; $x=5$: $16\ge0$ ✔

1. Postać kanoniczna $a(x-p)^2+q$: $p=3$, $q=-5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — z nawiasu $(x-3)$ odczytujemy $p=3$ (wzór ma postać $a(x-p)^2+q$); $-3$ byłoby dla $(x+3)$.

1. $p=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3$, więc oś symetrii: $x=3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? D — oś symetrii paraboli jest pionowa, ma równanie $x=p$.

1. Iloczyn równa się zero, gdy $x+1=0$ lub $x-5=0$: $x=-1$ lub $x=5$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — współczynnik $-2$ nie jest miejscem zerowym.

1. $a=-1\lt 0$ — ramiona w dół, wierzchołek $(2,4)$ jest najwyżej.
2. $ZW=(-\infty,4]$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — ramiona w górę byłyby dla $a\gt 0$; B — pierwsza współrzędna wierzchołka dotyczy argumentów.

1. Miejsca zerowe są symetryczne względem osi: $\dfrac{1+x_2}{2}=4 \Rightarrow x_2=7$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to odległość od osi, a nie drugie miejsce zerowe; B — odbicie względem zera.

1. $f(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3$.
2. $b=-4$, $c=3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — przepisano $q$ jako $c$; wyraz wolny to $p^2+q$.

1. $p=\dfrac{4}{2}=2$, $a=1\gt 0$ — funkcja maleje na lewo od wierzchołka: $(-\infty,2]$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — to zbiór, na którym $f(x)\le0$ (między miejscami zerowymi), a nie przedział monotoniczności.

1. 1. $p=\dfrac{-6}{-2}=3$, $f(3)=-9+18-5=4$, ramiona w dół → największa wartość $4$ — prawda.
2. 2. $f(0)=-5$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,-5)$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $f(x)=a(x-1)^2+3$.
2. $P$: $-5=a\cdot(3-1)^2+3 \Rightarrow 4a=-8 \Rightarrow a=-2$.

Odpowiedź: $f(x)=-2(x-1)^2+3$

1. a) Postać iloczynowa: $f(x)=a(x+1)(x-5)$. Punkt $(2,-9)$: $a\cdot3\cdot(-3)=-9 \Rightarrow a=1$. $f(x)=x^2-4x-5$.
2. b) $p=\dfrac{-1+5}{2}=2$, $q=f(2)=4-8-5=-9$. $W=(2,-9)$.
3. c) $a\gt 0$: $ZW=[-9,\infty)$.
4. d) Rośnie na prawo od wierzchołka: $[2,\infty)$.

Odpowiedź: a) $f(x)=x^2-4x-5$; b) $W=(2,-9)$; c) $[-9,\infty)$; d) $[2,\infty)$

Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$x_1=\frac{4}{2}=2,\qquad x_2=\frac{6}{2}=3$$

Odpowiedź: B. Sprawdzenie wzorami Viète’a: suma $2+3=5=\frac{-b}{a}$ ✔, iloczyn $2\cdot3=6=\frac{c}{a}$ ✔

$$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25$$

Odpowiedź: A.

Uwaga: $b=-7$, ale $b^2=49$ — kwadrat usuwa znak. Odpowiedź B to typowy błąd polegający na pominięciu członu $-4ac$.

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16$$

Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: C.

Interpretacja: parabola $y=x^2+2x+5$ ma ramiona w górę i leży w całości nad osią $OX$ — nigdy jej nie przecina.

To równanie niezupełne (brak wyrazu z $x$) — nie musimy liczyć delty.

$$3x^2=12 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2$$

Odpowiedź: $x=-2$ lub $x=2$.

Uwaga: z $x^2=4$ wynikają dwa rozwiązania. Zapisanie samego $x=2$ to najczęstszy błąd.

Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x-6)=0$$

Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-6=0 \Rightarrow x=6$$

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=6$.

Ostrzeżenie: nigdy nie dziel obu stron przez $x$ — straciłbyś rozwiązanie $x=0$.

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

Delta równa zero oznacza jeden pierwiastek podwójny:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$$

Odpowiedź: D. Można też zauważyć wzór skróconego mnożenia: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$.

Najpierw upewniamy się, że pierwiastki istnieją:

$$\Delta=49-40=9>0 \quad\checkmark$$

Stosujemy wzory Viète’a ($a=1$, $b=-7$, $c=10$):

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=10$$

Odpowiedź: suma $=7$, iloczyn $=10$.

Weryfikacja: pierwiastkami są $2$ i $5$ — istotnie $2+5=7$ i $2\cdot5=10$. ✔

Korzystamy z tożsamości:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Podstawiamy dane:

$$x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot 6=25-12=13$$

Odpowiedź: $13$.

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $3$, więc $4+9=13$. ✔ Ta tożsamość pozwala policzyć wynik bez wyznaczania pierwiastków.

Krok 1 — odcięta wierzchołka:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — rzędna (najbezpieczniej przez podstawienie):

$$q=f(3)=9-18+5=-4$$

Odpowiedź: A. Wierzchołek $W=(3,-4)$, a postać kanoniczna to $f(x)=(x-3)^2-4$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$.

Krok 2 — szkic. Współczynnik $a=1>0$, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Parabola jest poniżej osi $OX$ między miejscami zerowymi.

Krok 3 — odczyt. Nierówność jest ostra, więc końce wykluczamy:

$$x\in(-2,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $\Delta=25-24=1$, stąd $x_1=2$, $x_2=3$.

Krok 2 — szkic. $a=1>0$, ramiona w górę. Wartości dodatnie parabola przyjmuje na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$.

Zapamiętaj: dla $a>0$ nierówność „$>0$" daje dwa przedziały zewnętrzne, a „$\lt 0$" — jeden przedział wewnętrzny.

Metoda 1 — uzupełnianie do kwadratu:

$$x^2-4x+7=(x^2-4x+4)-4+7=(x-2)^2+3$$

Metoda 2 — ze wzorów: $p=\frac{4}{2}=2$, $q=f(2)=4-8+7=3$.

Odpowiedź: $f(x)=(x-2)^2+3$, wierzchołek $W=(2,3)$.

Wniosek: ponieważ $a>0$ i $q=3>0$, funkcja nie ma miejsc zerowych, a jej najmniejsza wartość wynosi $3$.

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$

Krok 2 — postać iloczynowa $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$f(x)=(x+2)(x-3)$$

Odpowiedź: C.

Uwaga na znaki: pierwiastek $-2$ daje czynnik $(x+2)$, bo $x-(-2)=x+2$.

Ponieważ $a=1>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę — funkcja osiąga minimum w wierzchołku.

$$p=\frac{2}{2}=1$$

$$q=f(1)=1-2+5=4$$

Odpowiedź: najmniejsza wartość wynosi $4$ i jest przyjmowana dla $x=1$.

Sprawdzenie: postać kanoniczna $f(x)=(x-1)^2+4$ — kwadrat jest nieujemny, więc $f(x)\ge 4$. ✔

Dwa różne pierwiastki istnieją dokładnie wtedy, gdy $\Delta>0$.

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot4=m^2-16$$

$$m^2-16>0$$

Rozwiązujemy nierówność kwadratową względem $m$. Miejsca zerowe: $m=\pm 4$; ramiona w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz:

$$m\in(-\infty,\,-4)\cup(4,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $m\lt -4$ lub $m>4$.

Sprawdzenie: dla $m=5$ mamy $\Delta=9>0$ ✔; dla $m=0$ mamy $\Delta=-16\lt 0$ ✘

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge 0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozwiązanie względem $t$:

$$\Delta=25-16=9,\qquad t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

$$t_1=1,\qquad t_2=4$$

Oba spełniają warunek $t\ge 0$. ✔

Krok 3 — powrót do $x$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$ — cztery rozwiązania.

Krok 1 — układ równań. Niech $a$, $b$ będą bokami:

$$2(a+b)=20 \Rightarrow a+b=10$$

$$a\cdot b=21$$

Krok 2 — interpretacja przez wzory Viète’a. Skoro suma wynosi $10$, a iloczyn $21$, to $a$ i $b$ są pierwiastkami równania:

$$x^2-10x+21=0$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$\Delta=100-84=16,\qquad x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}$$

$$x_1=3,\qquad x_2=7$$

Odpowiedź: boki mają $3$ cm i $7$ cm.

Sprawdzenie: obwód $2(3+7)=20$ ✔, pole $3\cdot7=21$ ✔

Wyłączamy wspólny czynnik:

$$-x^2+4x=0 \quad\Rightarrow\quad -x(x-4)=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=4$$

Odpowiedź: B.

Dodatkowo: $a=-1\lt 0$, więc ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek $(2,4)$ to maksimum funkcji.

Dokładnie jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny) występuje, gdy $\Delta=0$.

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot m=36-4m$$

$$36-4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=9$$

Odpowiedź: $m=9$.

Sprawdzenie: dla $m=9$ równanie ma postać $x^2-6x+9=(x-3)^2=0$, czyli $x=3$ — jeden pierwiastek podwójny. ✔

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy czynnik:

$$2x(x-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{lub}\ x=4$$

Krok 2 — szkic. $a=2>0$, ramiona w górę, więc wartości niedodatnie parabola przyjmuje między miejscami zerowymi.

Krok 3 — odczyt. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc końce należą do rozwiązania:

$$x\in\langle 0,\,4\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle 0,4\rangle$.

Uwaga: przy nierówności nieostrej używamy nawiasów domkniętych — pominięcie tego to częsty błąd punktowany na maturze.

Wzory Viète'a dla równania $x^2+bx+c=0$ (współczynnik przy $x^2$ równy $1$):

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1\cdot x_2=c$$

Uwaga na znak: suma to $-b$ (z minusem), a iloczyn to $c$ (bez zmiany znaku).

Odpowiedź: B. $-b$.

Odczytujemy współczynniki: $b=-7$, $c=10$.

$$x_1+x_2=-b=7,\qquad x_1\cdot x_2=c=10$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $5$, a $2+5=7$ oraz $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Uwaga: gdy współczynnik $a\neq1$, dzielimy przez $a$. Dla $a=1$ wzory upraszczają się do $-b$ i $c$.

Odpowiedź: jak wyżej.

Współczynniki: $a=2$, $b=-8$, $c=6$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $1$ i $3$, a $1+3=4$ ✔

Odpowiedź: C. $4$.

Współczynniki: $a=3$, $c=-12$:

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-12}{3}=-4$$

Uwaga na znak: ujemny iloczyn oznacza, że pierwiastki mają przeciwne znaki.

Odpowiedź: $-4$.

Iloczyn dwóch liczb jest ujemny tylko wtedy, gdy jedna jest dodatnia, a druga ujemna:

$$x_1\cdot x_2\lt 0 \quad\Rightarrow\quad \text{różne znaki}$$

Zastosowanie: wzory Viète'a pozwalają określić znaki pierwiastków bez ich liczenia — wystarczą znaki sumy i iloczynu.

Odpowiedź: A. mają różne znaki.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=8$$

Krok 2 — kluczowa tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$x_1^2+x_2^2=6^2-2\cdot8=36-16=20$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Idea. Wzory Viète'a pozwalają liczyć wyrażenia symetryczne w pierwiastkach bez wyznaczania samych pierwiastków.

Odpowiedź: $x_1^2+x_2^2=20$.

Krok 1 — suma i iloczyn:

$$x_1+x_2=3+(-5)=-2,\qquad x_1 x_2=3\cdot(-5)=-15$$

Krok 2 — budujemy równanie. Dla postaci $x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$:

$$x^2-(-2)x+(-15)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-15=0$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x+5)=x^2+2x-15$ ✔

Odpowiedź: $x^2+2x-15=0$.

Suma pierwiastków to $-p$:

$$x_1+x_2=2+3=5=-p \quad\Rightarrow\quad p=-5$$

Sprawdzenie: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ✔

Odpowiedź: D. $p=-5$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=10,\qquad x_1 x_2=21$$

Krok 2 — sprowadzamy sumę odwrotności do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\frac{10}{21}$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $7$, a $\frac13+\frac17=\frac{7+3}{21}=\frac{10}{21}$ ✔

Odpowiedź: $\frac{10}{21}$.

Dodatni iloczyn oznacza jednakowe znaki pierwiastków. Dodatnia suma przy jednakowych znakach wymusza, by oba były dodatnie.

Rozumowanie: gdyby oba były ujemne, ich suma byłaby ujemna — sprzeczność.

Odpowiedź: B. dodatnie.

Krok 1 — warunek równych pierwiastków: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot9=m^2-36$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m=6 \ \text{lub}\ m=-6$$

Kontrola przez Viète'a. Dla równych pierwiastków $x_1=x_2=t$ mamy $t^2=9$, więc $t=\pm3$, a suma $2t=\pm6=m$ ✔

Odpowiedź: $m=6$ lub $m=-6$.

Krok 1 — dane wyjściowe. Dla $x^2-5x+6=0$: $x_1+x_2=5$, $x_1 x_2=6$.

Krok 2 — suma nowych pierwiastków $\frac{1}{x_1}$ i $\frac{1}{x_2}$:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{5}{6}$$

Krok 3 — iloczyn nowych pierwiastków:

$$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac16$$

Krok 4 — budujemy równanie:

$$x^2-\frac56 x+\frac16=0 \quad\Big|\cdot6 \quad\Rightarrow\quad 6x^2-5x+1=0$$

Sprawdzenie: pierwiastki wyjściowe to $2$ i $3$, ich odwrotności $\frac12$ i $\frac13$, a $6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)$ ✔

Odpowiedź: $6x^2-5x+1=0$.

Z sumy Viète'a $x_1+x_2=-4$:

$$1+x_2=-4 \quad\Rightarrow\quad x_2=-5$$

Sprawdzenie: iloczyn to $1\cdot(-5)=-5=c$, a $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$ ✔

Odpowiedź: C. $-5$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1 x_2=15$$

Krok 2 — tożsamość:

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x_1-x_2)^2=64-60=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $5$, a $(3-5)^2=4$ ✔

Uwaga. $(x_1-x_2)^2$ zawsze wychodzi nieujemnie — to kontrola poprawności rachunku.

Odpowiedź: $4$.

Pierwiastki przeciwne to $x_1$ i $-x_1$. Ich suma:

$$x_1+(-x_1)=0=-b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Przykład: $x^2-9=0$ ma pierwiastki $3$ i $-3$ — współczynnik przy $x$ wynosi zero.

Odpowiedź: A. $b=0$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki. Potrzeba: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2\ge0$$

To zachodzi zawsze — wyróżnik jest kwadratem.

Krok 3 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Krok 4 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=m>0 \quad\Rightarrow\quad m>0$$

Krok 5 — część wspólna warunków:

$$m>0$$

Wniosek. Warunek $m>0$ jest najostrzejszy i pochłania $m>-1$. Wyróżnik nie nakłada ograniczeń.

Sprawdzenie dla $m=4$: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ — pierwiastki $1$ i $4$, oba dodatnie ✔

Odpowiedź: $m>0$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=m$$

Krok 2 — tożsamość na sumę kwadratów:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=36-2m$$

Krok 3 — podstawiamy warunek zadania:

$$36-2m=20 \quad\Rightarrow\quad 2m=16 \quad\Rightarrow\quad m=8$$

Krok 4 — kontrola istnienia pierwiastków. Dla $m=8$: $\Delta=36-32=4>0$ ✔ — pierwiastki istnieją i są rzeczywiste.

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $m=8$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1 x_2=12$$

Krok 2 — tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=p^2-24$$

Krok 3 — warunek zadania:

$$p^2-24=25 \quad\Rightarrow\quad p^2=49 \quad\Rightarrow\quad p=7 \ \text{lub}\ p=-7$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. $\Delta=p^2-48=49-48=1>0$ dla obu wartości ✔

Dlaczego dwie odpowiedzi. Suma kwadratów zależy od $p^2$, więc znak $p$ nie ma znaczenia — dostajemy parę wartości przeciwnych.

Odpowiedź: $p=7$ lub $p=-7$.

Krok 1 — założenie. Niech $x_1>0$ i $x_2>0$ będą pierwiastkami równania.

Krok 2 — iloczyn. Ze wzoru Viète'a $x_1 x_2=c$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:

$$c=x_1 x_2>0 \qquad ✔$$

Krok 3 — suma. Ze wzoru $x_1+x_2=-b$. Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia:

$$-b=x_1+x_2>0 \quad\Rightarrow\quad b\lt 0 \qquad ✔$$

Krok 4 — wniosek. Otrzymaliśmy $c>0$ oraz $b\lt 0$. $\qquad ∎$

Uwaga. To warunek konieczny, ale nie wystarczający — sam znak współczynników nie gwarantuje istnienia pierwiastków. Trzeba jeszcze $\Delta\ge0$. Przykład: $x^2-2x+5=0$ ma $b\lt 0$, $c>0$, ale $\Delta\lt 0$ i nie ma pierwiastków rzeczywistych.