Przesunięcie wykresu funkcji y = ax²

Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, czyli $x=p$.

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Uwaga: oś symetrii paraboli jest zawsze pionowa, więc jej równanie ma postać $x=\ldots$, nigdy $y=\ldots$ — to eliminuje odpowiedź D.

Odpowiedź: C. $x=2$.

Punkt należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają równanie. Podstawiamy $x=2$ i $y=12$:

$$12=a\cdot2^2 \quad\Rightarrow\quad 12=4a \quad\Rightarrow\quad a=3$$

Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $3\cdot4=12$. Zgadza się.

Odpowiedź: $a=3$, czyli $y=3x^2$.

Reguła przesunięć wykresu $y=f(x)$:

$$y=f(x-u)+v \quad\Rightarrow\quad \text{przesunięcie o } u \text{ w prawo i o } v \text{ w górę}$$

W prawo o 3: wstawiamy $x-3$ w miejsce $x$, więc $y=(x-3)^2$.

W dół o 2: odejmujemy $2$ na końcu, więc $y=(x-3)^2-2$.

Częsty błąd: przesunięcie w prawo daje minus w nawiasie, choć intuicja podpowiada plus. Wierzchołek nowej paraboli to $(3,\,-2)$ — łatwo sprawdzić, że to zgadza się z opisem.

Odpowiedź: $y=(x-3)^2-2$.

Wyraz $(x+1)^2$ jest kwadratem, więc jest zawsze nieujemny:

$$(x+1)^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)^2-5\ge -5$$

Najmniejszą wartość $-5$ funkcja osiąga dla $x=-1$ (wtedy nawias się zeruje). Ramiona idą w górę ($a=1>0$), więc wartości rosną nieograniczenie.

Wierzchołek to $W=(-1,\,-5)$ i to druga współrzędna wyznacza zbiór wartości — nie pierwsza.

Odpowiedź: D. $ZW=\langle -5,\,+\infty)$.

Na osi OY zawsze $x=0$, więc podstawiamy zero do wzoru:

$$y=3\cdot0^2-2\cdot0+7=7$$

Ogólna reguła: parabola $y=ax^2+bx+c$ przecina oś OY w punkcie $(0,\,c)$ — wystarczy odczytać wyraz wolny.

Uwaga na kolejność współrzędnych — odpowiedź A ma dobrą liczbę, ale w złym miejscu: $(7,\,0)$ leży na osi OX.

Odpowiedź: C. $(0,\,7)$.

Czytamy wzór po kolei, od środka na zewnątrz:

1. $(x-2)^2$ — przesunięcie o $2$ jednostki w prawo.

2. Znak minus z przodu — odbicie symetryczne względem osi OX, ramiona obracają się w dół.

3. $+3$ na końcu — przesunięcie o $3$ jednostki w górę.

Wzór jest w postaci kanonicznej $y=a(x-p)^2+q$ z $a=-1$, $p=2$, $q=3$, więc:

$$W=(2,\,3)$$

Ponieważ $a\lt 0$, w wierzchołku funkcja osiąga wartość największą, równą $3$.

Odpowiedź: przesunięcie o 2 w prawo, odbicie względem osi OX, przesunięcie o 3 w górę; $W=(2,\,3)$.

O szerokości paraboli decyduje $|a|$: im większa wartość bezwzględna, tym parabola węższa.

$$|3|=3,\qquad \left|\tfrac12\right|=\tfrac12,\qquad 3>\tfrac12$$

Sprawdzenie liczbowe — dla $x=2$:

$$y=3\cdot4=12 \qquad \text{oraz} \qquad y=\tfrac12\cdot4=2$$

Pierwsza parabola rośnie znacznie szybciej, więc szybciej „ucieka” w górę i jest węższa.

Odpowiedź: A.