Klasa 2 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 92
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 12 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie współrzędnych \((0,3)\).
Zadanie 12.1. (2pkt) Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
Zadanie 12.2. (1pkt) Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu:
Zadanie 12.3. (1pkt) Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\).
Liczby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\).
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa \(.......\)
Zadanie 12.1.
W zadaniu skorzystamy z postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$f(x)=a(x-3)^2+6$$
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Poznamy go, gdy podstawimy współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią \(Oy\), czyli punktu o współrzędnych \((0,3)\). W związku z tym:
$$3=a(0-3)^2+6$$
$$3=a(-3)^2+6$$
$$3=9a+6$$
$$-3=9a$$
$$a=-\frac{1}{3}$$
To oznacza, że ta funkcja wyraża się wzorem:
$$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+6$$
Zadanie 12.2.
Oś symetrii paraboli to linia równoległa do osi \(Oy\), która przechodzi przez wierzchołek. W naszym przypadku osią symetrii będzie więc prosta opisana równaniem \(x=3\).
Zadanie 12.3.
Miejscami zerowymi są argumenty \(x\), dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Ze wzoru \(g(x)=f(x)-3\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstaje w wyniku przesunięcia się funkcji \(f(x)\) o trzy jednostki w dół. To sprawi, że pierwszym miejscem zerowym takiej funkcji będzie \(x_{1}=0\), a drugim będzie \(x_{2}=6\).
Tym samym:
$$x_{1}+x_{2}=0+6=6$$
Zadanie nr 14 · Matura 2024
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Zadanie 14.1.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\ge0\) jest przedział:
$$..........$$
Zadanie 14.2.
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem:
\(f(x)=-(x+1)^2-9\)
\(f(x)=-(x-1)^2+9\)
\(f(x)=-(x-1)^2-9\)
\(f(x)=-(x+1)^2+9\)
Zadanie 14.3.
Dla funkcji \(f\) prawdziwa jest równość:
\(f(-4)=f(6)\)
\(f(-4)=f(5)\)
\(f(-4)=f(4)\)
\(f(-4)=f(7)\)
Zadanie 14.4
Funkcje kwadratowe \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) (zobacz rysunek) następująco: \(g(x)=f(x+3)\), \(h(x)=f(-x)\).
Na rysunkach A-F przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji \(g\) oraz fragment wykresu funkcji \(h\).
Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji \(g\) oraz \(h\) przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
Rozwiązanie 1.
Zapis \(f(x)\ge0\) oznacza, że szukamy takich argumentów \(x\), dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Z rysunku wynika, że w takim razie zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-2;4\rangle\).
Rozwiązanie 2.
Z odpowiedzi wynika, że poszukujemy wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Widzimy, że nasza parabola ma wierzchołek w punkcie \(W=(1;9)\), zatem naszą funkcję możemy zapisać jako \(f(x)=a(x-1)^2+9\).
Teoretycznie do policzenia zostałby nam jeszcze współczynnik \(a\) (na pewno będzie ujemny, bo parabola ma ramiona skierowane do dołu), ale zerkając na odpowiedzi widzimy, że nie ma takiej potrzeby, bo wszędzie \(a=-1\). W związku z tym poszukiwanym wzorem jest \(f(x)=-(x-1)^2+9\).
Rozwiązanie 3.
Zadanie polega tak naprawdę na ustaleniu, dla jakiego argumentu nasza funkcja przyjmuje tą samą wartość co dla \(x=-4\). Z rysunku wynika, że stanie się tak dla argumentu \(x=6\), stąd też \(f(-4)=f(6)\).
Rozwiązanie 4.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zapis \(g(x)=f(x+3)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(3\) jednostki w lewo. Taka sytuacja jest na rysunku A.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zapis \(h(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(h(x)\) powstała w wyniku przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\) (takie odbicie lustrzane). Taka sytuacja jest na rysunku E.
Zadanie nr 21 · Matura 2023
Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).
Zadanie 1.
Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji \(f\).
Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) jest określona wzorem:
A. \(y=-(x+5)^2-6\)
B. \(y=-(x+5)^2+6\)
C. \(y=-(x-5)^2-6\)
D. \(y=-(x-5)^2+6\)
Zadanie 2.
Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt o współrzędnych \(P=(2,-6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_{1}=1\).
Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=g(x)\) w postaci iloczynowej.
Zadanie 1.
Musimy podać wzór funkcji w postaci kanonicznej, czyli postaci typu \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(-5;6)\), czyli \(p=-5\) oraz \(q=6\). Skoro tak, to wzorem naszej funkcji będzie:
$$y=a(x-(-5))^2+6$$
$$y=a(x+5)^2+6$$
Teoretycznie powinniśmy jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika \(a\), choć widzimy, że w każdej z proponowanych odpowiedzi jest on równy -1. Ujemna wartość współczynnika \(a\) jest jak najbardziej w porządku, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do dołu. Stąd też odpowiedzią do tego zadania będzie \(y=-(x+5)^2+6\).
Zadanie 2.
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Mówiąc bardzo obrazowo, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
Z rysunku pomocniczego wynika wprost, że miejscami zerowymi są \(x=1\) oraz \(x=5\).
Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znajomość miejsc zerowych pozwala nam zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej, zatem:
$$y=a(x-1)(x-5)$$
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go, podstawiając do wyznaczonej przed chwilą postaci współrzędne punktu \(P=(2;-6)\), zatem:
$$-6=a(2-1)(2-5)$$
$$-6=a\cdot1\cdot(-3)$$
$$-3a=-6$$
$$a=2$$
To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(y=2(x-1)(x-5)\).
Zadanie nr 14 · Matura 2023
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\) jest równa \(3\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:
A\(11\)
B\(1\)
C\((-1)\)
D\((-13)\)
Jedną z własności wierzchołka paraboli jest fakt, że znajduje się od w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Moglibyśmy się tutaj nawet posłużyć wzorem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania, czyli \(p=3\) oraz \(x_{1}=-5\), otrzymamy:
$$3=\frac{-5+x_{2}}{2}$$
$$6=-5+x_{2}$$
$$x_{2}=11$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2023
Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\), a jej wierzchołkiem jest punkt \((1,4)\).
Zadanie 1.
Wyznacz i zapisz równanie osi symetrii wykresu funkcji \(f\).
Zadanie 2.
Wyznacz wzór funkcji \(f\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 3.
Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)+m\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Liczba \(m\) jest równa:
A. \(-2\)
B. \(2\)
C. \(-4\)
D. \(4\)
Zadanie 1.
Oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek paraboli. Współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli jest równa \(1\), stąd też możemy być pewni, że równaniem osi symetrii wykresu funkcji \(f\) jest \(x=1\).
Zadanie 2.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, najprościej będzie skorzystać z postaci kanonicznej, czyli \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Skoro współrzędne wierzchołka są równe \((1;4)\), to \(p=1\) oraz \(q=4\), zatem:
$$f(x)=a(x-1)^2+4$$
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne jednego z punktów, przez który przechodzi wykres. Możemy tutaj skorzystać z punktu podanego w treści zadania, czyli \((0;2)\). W związku z tym:
$$2=a\cdot(0-1)^2+4$$
$$2=a\cdot(-1)^2+4$$
$$2=a\cdot1+4$$
$$2=a+4$$
$$a=-2$$
To oznacza, że wzorem tej funkcji jest \(f(x)=-2(x-1)^2+4\).
Zadanie 3.
Ze wzoru \(g(x)=f(x)+m\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(m\) jednostek w górę lub w dół. Aby funkcja \(g(x)\) miała miejsce zerowe równe \(0\), to funkcja \(f(x)\) musiałaby być przesunięta o \(2\) jednostki w dół, czyli mielibyśmy wtedy wzór \(g(x)=f(x)-2\). To prowadzi nas do wniosku, że \(m=-2\).
Zadanie nr 14 · Matura 2023
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\) jest równa \(3\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:
A\(11\)
B\(1\)
C\((-1)\)
D\((-13)\)
Jedną z własności wierzchołka paraboli jest fakt, że znajduje się od w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Moglibyśmy się tutaj nawet posłużyć wzorem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania, czyli \(p=3\) oraz \(x_{1}=-5\), otrzymamy:
$$3=\frac{-5+x_{2}}{2}$$
$$6=-5+x_{2}$$
$$x_{2}=11$$
Zadanie nr 14 · Matura 2023
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\) jest równa \(3\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:
A\(11\)
B\(1\)
C\((-1)\)
D\((-13)\)
Jedną z własności wierzchołka paraboli jest fakt, że znajduje się od w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Moglibyśmy się tutaj nawet posłużyć wzorem:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania, czyli \(p=3\) oraz \(x_{1}=-5\), otrzymamy:
$$3=\frac{-5+x_{2}}{2}$$
$$6=-5+x_{2}$$
$$x_{2}=11$$
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) osiąga dla \(x=2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy:
A\(b=-4, c=8\)
B\(b=4, c=-8\)
C\(b=-4, c=-8\)
D\(b=4, c=8\)
Krok 1. Zapisanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Z treści zadania wynika, że nasza funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry (przed \(x^2\) nie stoi żadna liczba, więc współczynnik \(a=1\)) i że przyjmuje ona najmniejszą wartość \(y=4\) dla argumentu \(x=2\). W przypadku tej funkcji kwadratowej ta najmniejsza wartość musi być przyjmowana w wierzchołku \(W=(p;q)\), a to oznacza, że \(W=(2;4)\).
Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Skorzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli \(p=\frac{-b}{2a}\). Podstawiając do tego wzoru \(p=2\) oraz \(a=1\), otrzymamy:
$$2=\frac{-b}{2\cdot1}$$
$$2=\frac{-b}{2}$$
$$4=-b$$
$$b=-4$$
Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Znając wartość współczynnika \(b\), możemy wrócić do wzoru naszej funkcji i podstawić do niej wszystkie znane nam dane, otrzymując:
$$4=2^2-4\cdot2+c$$
$$4=4-8+c$$
$$4=-4+c$$
$$c=8$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2022
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-3(x-2)^2-5\). Funkcja \(f\) ma:
Anajmniejszą wartość równą \(-5\)
Bnajwiększą wartość równą \(-5\)
Cnajmniejszą wartość równą \(5\)
Dnajwiększą wartość równą \(5\)
Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Nasza funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Z tej postaci odczytamy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), co pozwoli nam za chwilę udzielić odpowiedzi na pytanie o najmniejszą/największą wartość. Aby dobrze odczytać te współrzędne możemy sobie przekształcić wzór funkcji w taki oto sposób:
$$f(x)=-3(x-2)^2-5$$
$$f(x)=-3(x-2)^2+(-5)$$
Teraz wyraźnie widać, że \(p=2\) oraz \(q=-5\).
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja ma współczynnik \(a\) ujemny (\(a=-3\)), więc ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Możemy zatem szkicowo narysować sobie, że cała sytuacja będzie wyglądać następująco:
To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie informacja, że największa wartość tej funkcji jest równa \(-5\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2022
Jeśli jedynym miejscem zerowym funkcji kwadratowej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) jest liczba \(4\), to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) ma współrzędne:
A\((0,4)\)
B\((4,0)\)
C\((0,2)\)
D\((2,0)\)
Skoro jedynym miejscem zerowym jest \(x=4\), to parabolę tej funkcji możemy narysować na jeden z dwóch sposobów:
Z rysunku wynika wprost, że niezależnie od ułożenia ramion, wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(4;0)\).
Zadanie nr 31 · Próbny 2022
Liczba \(4\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\), a ponadto \(f(0)=f(12)=2\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola. Jedną z własności parabol jest to, że jej wierzchołek znajduje się zawsze w równej odległości od argumentów o jednakowej wartości (zwyczajowo mówimy, że wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, choć ta zależność dotyczy tak naprawdę nie tylko miejsc zerowych).
Możemy więc zapisać, że:
$$p=\frac{0+12}{2}$$
$$p=\frac{12}{2}$$
$$p=6$$
Krok 2. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Teraz skorzystamy z dokładnie tej samej własności co przed chwilą, tylko w drugą stronę. Odległość od pierwszego miejsca zerowego do wierzchołka jest taka sama jak od wierzchołka do drugiego miejsca, czyli:
$$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=p$$
$$\frac{4+x_{2}}{2}=6$$
$$4+x_{2}=12$$
$$x_{2}=8$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając wszystkie miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
$$y=a(x-4)(x-8)$$
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Możemy skorzystać z informacji, że np. \(f(0)=2\), czyli że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=2\). Podstawiając zatem te współrzędne do wyznaczonej postaci iloczynowej, otrzymamy:
$$2=a\cdot(0-4)\cdot(0-8)$$
$$2=a\cdot(-4)\cdot(-8)$$
$$2=32a$$
$$a=\frac{1}{16}$$
To oznacza, że pełnym wzorem tej funkcji w postaci iloczynowej jest:
$$y=\frac{1}{16}(x-4)(x-8)$$
Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji.
Funkcja ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni), więc najmniejsza wartość tej funkcji jest przyjmowana w wierzchołku. Nie będziemy tutaj korzystać ze wzoru na współrzędną \(q\), czyli \(q=\frac{-Δ}{4a}\), bo nie mamy postaci ogólnej. Możemy postąpić sprytniej i obliczyć wartość funkcji dla \(x=6\), czyli właśnie wartość przyjmowaną w wierzchołku:
$$y=\frac{1}{16}\cdot(6-4)\cdot(6-8)$$
$$y=\frac{1}{16}\cdot2\cdot(-2)$$
$$y=\frac{1}{16}\cdot(-4)$$
$$y=-\frac{1}{4}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2022
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x-1)^2+2\).
Zadanie 1. Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:
A. \((1, 2)\)
B. \((-1, 2)\)
C. \((1, -2)\)
D. \((-1, -2)\)
Zadanie 2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,2\rangle\)
B. \((-\infty,2)\)
C. \((2;+\infty)\)
D. \(\langle2;+\infty)\)
Odpowiedź 1.
Funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro tak, to interesujące nas współrzędne możemy odczytać wprost ze wzoru (uważając na znaki!) i będzie to \(p=1\) oraz \(q=2\). Wierzchołkiem wykresu tej funkcji będzie więc punkt o współrzędnych \((1,2)\).
Odpowiedź 2.
Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, a w tym przypadku ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-1\), czyli jest ujemny). To oznacza, że zbiorem wartości będą liczby z przedziału od minus nieskończoności, aż do wartości przyjmowanej w wierzchołku, czyli do \(2\) włącznie. Zbiorem wartości będzie więc przedział \((-\infty,2\rangle\).
Zadanie nr 7 · Matura 2022
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=2x^2+5x\).
Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu:
A\(x=-\frac{5}{4}\)
B\(x=\frac{5}{4}\)
C\(y=-\frac{5}{4}\)
D\(y=-\frac{25}{16}\)
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej na pewno przechodzi przez wierzchołek i jest równoległa do osi \(OY\). Trzeba byłoby więc poznać pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli (zwyczajowo zapisywaną jako \(p\)). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Podstawiając współczynniki \(a=2\) oraz \(b=5\), otrzymamy:
$$p=\frac{-5}{2\cdot2}$$
$$p=-\frac{5}{4}$$
Tak na marginesie - współrzędną \(p\) można było też próbować odczytać z rysunku. Widzimy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli przyjmuje wartość około \(p\approx-1\), a patrząc się na proponowane odpowiedzi jesteśmy w stanie wywnioskować, że \(p=-\frac{5}{4}\).
To z kolei prowadzi nas do wniosku, że poszukiwaną osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-\frac{5}{4}\).
Zadanie nr 12 · Matura 2022
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,2)\). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to:
A\(f(x)=3(x-3)^2+2\)
B\(f(x)=3(x+3)^2+2\)
C\(f(x)=(x-3)^2+2\)
D\(f(x)=(x+3)^2+2\)
Postać kanoniczna związana jest z wierzchołkiem paraboli \(W=(p;q)\) i wygląda następująco:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Z zapisanej postaci ogólnej funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) wynika, że współczynnik \(a=3\). Skoro tak, to poszukiwanym przez nas wzorem jest:
$$f(x)=3(x+3)^2+2$$
Zadanie nr 10 · Matura 2021
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędną \(x\) równą:
A\((-3)\)
B\((-1)\)
C\(1\)
D\(5\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Na początek spróbujmy poznać miejsca zerowe naszej funkcji. W tym celu wystarczy sprawdzić, kiedy wzór funkcji będzie równy \(0\), czyli powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$-2(x+3)(x-5)=0$$
Jest to równanie kwadratowe zapisane w postaci iloczynowej. Wiemy, że aby rozwiązać takie równanie, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=5$$
W ten sposób błyskawicznie obliczyliśmy, że miejscami zerowymi tej funkcji są \(x=-3\) oraz \(x=5\).
Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wynika, że współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli (zapisywana często jako \(p\)) jest po prostu średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji. Skoro tak, to:
$$p=\frac{-3+5}{2}$$
$$p=\frac{2}{2}$$
$$p=1$$
To oznacza, że współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli jest równa \(1\).
Zadanie nr 11 · Matura 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\((-\infty,-2\rangle\)
B\(\langle2;+\infty)\)
C\(\langle-4;+\infty)\)
D\((-\infty,4\rangle\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kojarząc jak wygląda wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2\), powinniśmy samodzielnie przekształcić jej wykres do postaci \(f(x)=-x^2+4\) (minus przed \(x^2\) sprawia, że funkcję opisaną wzorem \(x^2\) musimy narysować do góry nogami, a \(+4\) na końcu wzoru oznacza, że dodatkowo całość trzeba podnieść o \(4\) jednostki do góry). Całość będzie wyglądać następująco:
Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji.
Spoglądamy na naszą zieloną funkcję i na oś \(OY\), bo to z niej odczytujemy wartości przyjmowane przez funkcję. Widzimy wyraźnie, że funkcja ta przyjmuje wartości od minus nieskończoności do \(4\), zatem zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,4\rangle\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2021
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-4(x+2021)(x-1)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu:
A\(x=1010\)
B\(x=-1010\)
C\(x=4040\)
D\(x=-4040\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, a to oznacza, że bardzo szybko jesteśmy w stanie wyznaczyć jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+2021=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-2021 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Naszkicujmy parabolę, która jest wykresem naszej funkcji, zaznaczając oczywiście wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny (\(a=-4\)):
Krok 3. Wyznaczenie osi symetrii wykresu funkcji.
Oś symetrii paraboli ma tę własność, że przechodzi dokładnie między miejscami zerowymi funkcji. Naszą prostą wyznaczymy więc wyliczając średnią arytmetyczną dwóch miejsc zerowych:
$$\frac{-2021+1}{2}=\frac{-2020}{2}=-1010$$
To oznacza, że osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta \(x=-1010\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2021
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(1;-8)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\) we wzorze funkcji \(f\).
Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy bez problemu zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Podstawiając \(p=1\) oraz \(q=-8\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
$$f(x)=a\cdot(x-1)^2+(-8)$$
Ze wzoru podanego w treści zadania wynika, że \(a=2\), zatem możemy jeszcze zapisać, że:
$$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8$$
Krok 2. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Celem zadania jest poznanie wzoru w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), bo tylko wtedy będziemy w stanie podać wartość współczynników \(b\) i \(c\). W tym celu wystarczy po prostu wykonać mnożenie i potęgowanie, które znalazło się w postaci kanonicznej. Całość będzie wyglądać następująco:
$$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8$$
$$f(x)=2\cdot(x^2-2x+1)-8$$
$$f(x)=2x^2-4x+2-8$$
$$f(x)=2x^2-4x-6$$
To oznacza, że \(b=-4\) oraz \(c=-6\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2021
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-2(x+3)^2-4\) jest parabola, a osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu:
A\(x=3\)
B\(x=-3\)
C\(x=4\)
D\(x=-4\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oś symetrii przebiega zawsze przez wierzchołek paraboli. W związku z tym kluczem do sukcesu będzie poznanie współrzędnej \(p\) tej paraboli.
Krok 2. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Wzór funkcji zapisany jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) i przyjmuje on wartość \(f(x)=-2(x+3)^2-4\), czyli tak naprawdę \(f(x)=-2(x-(-3))^2-4\). Teraz bez żadnych wątpliwości widzimy, że \(p\) jest równe \(-3\), a co za tym idzie - osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-3\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2021
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji \(f(x)=3x^2-30x+82\) jest punkt:
A\(W=(-5,7)\)
B\(W=(5,-7)\)
C\(W=(5,7)\)
D\(W=(-5,-7)\)
Współrzędne wierzchołka paraboli W=(p;q) możemy obliczyć korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Ze wzoru funkcji odczytujemy współczynniki: \(a=3,\;b=-30,\;c=82\) i przy okazji obliczmy jeszcze deltę:
$$Δ=b^2-4ac=(-30)^2-4\cdot3\cdot82=900-984=-84$$
Teraz możemy już obliczyć poszukiwane współrzędne, zaczynając od \(p\):
$$p=\frac{-(-30)}{2\cdot3}$$
$$p=\frac{30}{6}$$
$$p=5$$
Współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-(-84)}{4\cdot3}$$
$$q=\frac{84}{12}$$
$$q=7$$
Wierzchołkiem paraboli będzie więc punkt \(W=(5;7)\).
Zadanie nr 10 · Matura 2021
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-3(x+4)(x-2)\) jest parabola o wierzchołku \(W=(p,q)\). Współrzędne wierzchołka \(W\) spełniają warunki:
A\(p\gt0\) i \(q\gt0\)
B\(p\lt0\) i \(q\gt0\)
C\(p\lt0\) i \(q\lt0\)
D\(p\gt0\) i \(q\lt0\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Wzór funkcji zapisany jest w postaci iloczynowej, co znacząco ułatwia wyznaczenie miejsc zerowych tej funkcji. Chcąc poznać miejsca zerowe, musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli de facto rozwiązać równanie kwadratowe:
$$-3(x+4)(x-2)=0$$
Skoro jest to postać iloczynowa, to wystarczy przyrównać wartości z nawiasów do zera, zatem:
$$x+4=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$x=-4 \quad\lor\quad x=2$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spoglądając na wzór funkcji widzimy, że współczynnik kierunkowy \(a=-3\). Skoro jest on ujemny, to ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczając na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe, otrzymamy zatem taką oto sytuację:
Krok 3. Ustalenie wartości \(p\) oraz \(q\).
Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że współrzędna \(p\) jest tak naprawdę średnią arytmetyczną miejsc zerowych. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{-4+2}{2}$$
$$p=\frac{-2}{2}$$
$$p=-1$$
Z samego rysunku szkicowego jasno wynika, że funkcja przyjmuje w swoim wierzchołku wartość dodatnią (tak na marginesie, moglibyśmy ją nawet policzyć - w tym celu wystarczyłoby do wzoru funkcji podstawić \(x=-1\)).
To oznacza, że \(p\lt0\) i \(q\gt0\).
Zadanie nr 11 · Matura 2021
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).
Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:
A\(-2\)
B\(-3\)
C\(-4\)
D\(-6\)
Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Znane nam miejsce zerowe \(x=2\) jest oddalone od osi symetrii \(x=-2\) o \(4\) jednostki, wiec analogicznie poszukiwane miejsce zerowe także musi być o te \(4\) jednostki oddalone:
Oczywiście do tego samego wyniku możemy dojść w nieco bardziej matematyczny sposób, przy użyciu średniej arytmetycznej. Wiedząc, że oś symetrii znajduje się dokładnie między dwoma miejscami zerowymi, moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{x+2}{2}=-2$$
$$x+2=-4$$
$$x=-6$$
Zadanie nr 12 · Matura 2021
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).
Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \((-4)\) jest równa:
A\(-2\)
B\(0\)
C\(3\)
D\(4\)
Wbrew pozorom nie musimy niczego tutaj wyliczać, ani też nie musimy wyznaczać wzoru funkcji. Skoro prosta \(x=-2\) jest osią symetrii, to wartość funkcji dla argumentu \(x=-4\) (czyli argumentu oddalonego od osi symetrii o \(2\) jednostki) musi być taka sama, jak wartość funkcji dla argumentu \(x=0\) (czyli także oddalonego od osi symetrii o \(2\) jednostki).
Z wykresu odczytujemy, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\) i taką samą przyjmie więc dla argumentu \(x=-4\).
Zadanie nr 8 · Matura 2020
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-(x+9)^2+m\) jest przedział \((-\infty;-5\rangle\). Wtedy:
A\(m=5\)
B\(m=-5\)
C\(m=-9\)
D\(m=9\)
Funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Możemy więc zauważyć, że parametr \(m\) jest równy współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.
Z własności funkcji kwadratowych wynika, że funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w swoim wierzchołku. Nasza funkcja ma ramiona paraboli skierowane do dołu (bowiem współczynnik \(a\) jest ujemny), czyli w wierzchołku będzie przyjmowana największa wartość tej funkcji. Ze zbioru wartości wynika, że największą wartością funkcji jest \(-5\), czyli że \(q=-5\). To oznacza, że tym samym \(m=-5\).
Zadanie nr 9 · Matura 2020
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\) jest prosta o równaniu:
A\(x=-6\)
B\(y=-6\)
C\(x=-2\)
D\(y=-2\)
Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli:
Widzimy więc, że musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka naszej paraboli, a w tym celu możemy posłużyć się następującym wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Współczynniki \(b\) oraz \(a\) odczytamy wprost ze wzoru funkcji \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\). Funkcja ta jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), zatem widzimy, że w naszym przypadku \(a=\frac{1}{3}\) oraz \(b=4\). Podstawiając te współczynniki do wzoru na współrzędną \(p\), otrzymamy:
$$p=\frac{-4}{2\cdot\frac{1}{3}}$$
$$p=\frac{-4}{\frac{2}{3}}$$
$$p=(-4)\cdot\frac{3}{2}$$
$$p=-6$$
To oznacza, że osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-6\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2020
Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,-2\rangle\).
A\(f(x)=3(x-2)^2-2\)
B\(f(x)=-3(x-2)^2-2\)
C\(f(x)=-3(x-2)^2+2\)
D\(f(x)=3(x+2)^2-2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Najlepiej będzie jak omawianie zaczniemy od narysowania przykładowej paraboli, której zbiór wartości jest taki jak podany w treści zadania:
Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji kwadratowej.
Zastanówmy się teraz (bazując na rysunku), co się musi stać, aby funkcja przyjmowała wartości w przedziale \((-\infty,-2\rangle\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu i to jest pierwsza kluczowa informacja. To z kolei oznacza, że współczynnik \(a\) musi być ujemny, zatem z podanych w odpowiedziach funkcjach interesują nas już tylko funkcje B oraz C.
Widzimy też, że funkcja musi przyjmować w wierzchołku wartość równą \(-2\), czyli \(q=-2\). Wszystkie nasze funkcje zapisane są w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\), zatem szukamy funkcji, która na samym końcu ma wartość \(-2\). Z racji tego, iż ograniczamy się już jedynie do wzoru z odpowiedzi B oraz C, to możemy być już pewni, że interesującą nas funkcją będzie ta z odpowiedzi B, czyli \(f(x)=-3(x-2)^2-2\), bo to ona jako jedyna ma ujemną wartość współczynnika \(a\) oraz \(q=-2\).
Zadanie nr 31 · Próbny 2020
Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2-8x+c\). Punkt \(P=(2,2)\) należy do wykresu tej funkcji. Wyznacz współczynniki \(a\) i \(c\).
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wiemy, że oś symetrii przechodzi dokładnie przez wierzchołek paraboli.
To z kolei oznacza, że skoro prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii, to współrzędna \(p\) wierzchołka naszej paraboli będzie równa \(p=-2\).
Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(a\).
Skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, czyli ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ze wzoru funkcji \(f(x)=ax^2-8x+c\) możemy odczytać, że \(b=8\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$-2=\frac{-(-8)}{2a}$$
$$-2=\frac{8}{2a}$$
$$-4a=8$$
$$a=-2$$
To oznacza, że nasza funkcja przyjmie postać \(f(x)=-2x^2-8x+c\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(c\).
Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Do poznania wartości współczynnika \(c\) posłuży nam informacja o tym, że punkt \(P=(2,2)\) należy do wykresu tej funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonej już w poprzednim kroku postaci wzoru ze współczynnikiem \(a\) otrzymamy:
$$f(x)=-2x^2-8x+c$$
$$2=-2\cdot2^2-8\cdot2+c$$
$$2=-2\cdot4-8\cdot2+c$$
$$2=-8-16+c$$
$$2=-24+c$$
$$c=26$$
W treści zadania prosili nas o wyznaczenie współczynnika \(a\) oraz \(c\), zatem możemy zapisać, że \(a=-2\) oraz \(c=26\).
Zadanie nr 7 · Matura 2020
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2;1)\).
Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy:
A\(1\)
B\(2\)
C\(-2\)
D\(-1\)
Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że współczynnik \(a\) jest na pewno ujemny. Dokładną wartość tego współczynnika możemy poznać na różne sposoby, ale najprościej będzie podstawić do wzoru funkcji \(f(x)=a(x-1)(x-3)\) współrzędne wierzchołka \(W=(2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$1=a(2-1)(2-3)$$
$$1=a\cdot1\cdot(-1)$$
$$1=-a$$
$$a=-1$$
Zadanie nr 8 · Matura 2020
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2;1)\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle1,4\rangle\) jest równa:
A\(-3\)
B\(0\)
C\(1\)
D\(2\)
Kiedy funkcja ma ramiona skierowane do dołu, to swoją największą wartość będzie przyjmować w wierzchołku (co zresztą widać na rysunku). Z rysunku wynika, że wierzchołek paraboli mieści się w naszym przedziale \(\langle1,4\rangle\), zatem to tam będzie przyjmowana największa wartość. Z osi \(OY\) odczytujemy zatem, że największą wartością tej funkcji w określonym przedziale jest wartość równa \(1\).
Zadanie nr 9 · Matura 2020
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2;1)\).
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu:
A\(x=1\)
B\(x=2\)
C\(y=1\)
D\(y=2\)
Oś symetrii paraboli to prosta równoległa do osi \(OY\), która przechodzi przez wierzchołek. Z tego też względu poszukiwaną osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=2\).
Zadanie nr 9 · Matura 2020
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-x^2+6x+4\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((3,q)\). Liczba \(q\) jest równa:
A\(4\)
B\(7\)
C\(9\)
D\(13\)
Z tablicy wzorów wynika, że współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli, możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Obliczmy zatem deltę, którą za chwilę podstawimy do tego wzoru:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=6,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-1)\cdot4=36-(-16)=52$$
Teraz możemy już przejść do obliczenia współrzędnej \(q\). Podstawiając \(Δ=52\) oraz \(a=-1\), otrzymamy:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-52}{4\cdot(-1)}$$
$$q=\frac{-52}{-4}$$
$$q=13$$
Zadanie nr 8 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1;1)\).
Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział:
A\((-\infty;0\rangle\)
B\(\langle0;2\rangle\)
C\(\langle1;+\infty)\)
D\((-\infty;1\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja ta przyjmuje wartości od minus nieskończoności aż do jedynki, zatem zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((-\infty;1\rangle\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2019
Osią symetrii wykresu pewnej funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu \(x=-3\), a wartość największa tej funkcji jest równa \(4\). Który ze wzorów może opisywać tę funkcję kwadratową?
A\(y=2\cdot(x+3)^2+4\)
B\(y=-2\cdot(x-3)^2+4\)
C\(y=-2\cdot(x+3)^2+4\)
D\(y=-2\cdot(x+3)^2-4\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=-3\), to znaczy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest równa \(p=-3\).
Wiemy też, że największa wartość tej funkcji jest równa \(4\). Z własności funkcji kwadratowych wynika, że przyjmują one swoje największe lub najmniejsze wartości właśnie w wierzchołku. Z tego też względu wiemy już, że \(q=4\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z zapisaniem funkcji w postaci kanonicznej. Podstawiając do tej postaci wyznaczone współrzędne \(p\) oraz \(q\) otrzymamy:
$$y=a(x-p)^2+q$$
$$y=a(x-(-3))^2+4$$
$$y=a(x+3)^2+4$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Jeśli spojrzymy się na proponowane odpowiedzi, zauważymy, że pasują nam już tylko dwie możliwości - odpowiedź A oraz C. Musimy teraz ustalić jaki jest współczynnik \(a\) i dopiero wtedy, będziemy mogli wybrać prawidłową odpowiedź. Niestety nie jesteśmy w stanie obliczyć konkretnej wartości współczynnika \(a\). Możemy jednak określić, czy jest on dodatni, czy ujemny.
W treści zadania jest informacja, że funkcja posiada swoją największą wartość i jest ona równa \(4\). To prowadzi nas do wniosku, że parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu (gdyby ramiona były skierowane do góry, to największą wartością byłoby zawsze \(+\infty\)). Skoro tak, to współczynnik \(a\) musi być ujemny, zatem pasuje nam jedynie odpowiedź C.
Zadanie nr 31 · Próbny 2019
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeżeli wierzchołek paraboli, która jest jej wykresem, znajduje się w punkcie \(W=(-1,5)\), a ta funkcja w przedziale \(\langle-2,2\rangle\) osiąga najmniejszą wartość równą \(-4\).
Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, czyli postacią \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Skoro więc \(W=(-1,5)\), to możemy zapisać, że:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+5$$
$$f(x)=a(x+1)^2+5$$
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(a\) i właśnie teraz spróbujemy ją wyznaczyć.
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na podstawie informacji o tym, że w przedziale \(\langle-2,2\rangle\) funkcja osiąga najmniejszą wartość równą \(-4\) musimy wyciągnąć bardzo ważny, choć nieoczywisty wniosek. Wnioskiem do którego powinniśmy dojść jest to, że parabola tej funkcji ma ramiona skierowane do dołu. Skąd to wiemy? W przedziale \(\langle-2,2\rangle\) mieści się nasz wierzchołek, bo przecież \(p=-1\). Gdyby więc ta funkcja miała ramiona skierowane do góry, to ta najmniejsza wartość na pewno byłaby przyjmowana właśnie w wierzchołku, a wiemy że tak nie jest, bo w wierzchołku wartość funkcji jest równa \(5\). Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:
Ale to nie koniec ważnych wniosków. Wartość funkcji w danym przedziale jest najmniejsza (lub największa) na krańcach przedziału lub w wierzchołku. Wierzchołek z tych rozważań już odrzuciliśmy, bo tutaj funkcja przyjmuje największą wartość. To oznacza, że funkcja przyjmuje wartość równą \(-4\) dla jednego z dwóch argumentów: albo dla \(x=-2\), albo dla \(x=2\). Właśnie z rysunku powinniśmy odczytać i wywnioskować, że ta wartość będzie przyjmowana dla argumentu \(x=2\), bo jest to miejsce bardziej oddalone od wierzchołka. To z kolei prowadzi nas do kluczowej informacji, dzięki której będziemy mogli policzyć brakujący współczynnik \(a\) - nasza funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \(A=(2;-4)\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Wiemy już, że wzór funkcji w postaci kanonicznej przybiera postać \(f(x)=a(x+1)^2+5\). Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktu \(A=(2;-4)\) obliczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$f(x)=a(x+1)^2+5$$
$$-4=a\cdot(2+1)^2+5$$
$$-4=a\cdot3^2+5$$
$$-4=9a+5$$
$$9a=-9$$
$$a=-1$$
To oznacza, że nasza funkcja w postaci kanonicznej wygląda następująco: \(f(x)=-1(x+1)^2+5\), czyli po prostu \(f(x)=-(x+1)^2+5\)
Krok 4. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Na sam koniec musimy przekształcić wzór z postaci kierunkowej do postaci ogólnej, a osiągniemy to wykonując potęgowanie, które znalazło się we wzorze:
$$f(x)=-(x+1)^2+5$$
$$f(x)=-(x^2+2x+1)+5$$
$$f(x)=-x^2-2x-1+5$$
$$f(x)=-x^2-2x+4$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2019
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=\frac{1}{7}(x-5)(x+9)\) jest prosta o równaniu:
A\(x=5\)
B\(x=-9\)
C\(x=-2\)
D\(y=-7\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji pomoże nam wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), przez którą będzie przechodzić poszukiwana oś symetrii.
Funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci iloczynowej, co bardzo ułatwia nam obliczenia. Szukamy miejsc zerowych, czyli musimy tak naprawdę rozwiązać równanie kwadratowe:
$$\frac{1}{7}(x-5)(x+9)=0$$
Aby wartość równania była równa \(0\), to któraś z wartości znajdujących się w nawiasach musi być równa \(0\), zatem:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+9=0$$
$$x=5 \quad\lor\quad x=-9$$
Wyszło nam więc, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x=-9\) oraz \(x=5\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka \(p\) możemy wyliczyć na różne sposoby. Teoretycznie moglibyśmy nawet przekształcić wzór funkcji do postaci ogólnej i wtedy moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). My skorzystamy tutaj z szybszej metody, bowiem współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest zawsze dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{-9+5}{2}$$
$$p=\frac{-4}{2}$$
$$p=-2$$
Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Oś symetrii to prosta, która przechodzi przechodzi przez współrzędną \(p\) i która wygląda w ten sposób:
To oznacza, że osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-2\).
Zadanie nr 8 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\((-\infty,0\rangle\)
B\(\langle0,4\rangle\)
C\(\langle-4,+\infty)\)
D\(\langle4,+\infty)\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Najmniejszą wartością jest \(-4\) (wierzchołek paraboli), a największą wartością jest \(+\infty\). Zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział: \(\langle-4,+\infty)\).
Zadanie nr 9 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle1, 4\rangle\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(0\)
Z rysunku wynika, że we wskazanym przedziale największą wartość funkcja osiąga dla argumentu \(x=4\) i jest to wartość równa \(0\) (jest to punkt na osi iksów).
Zadanie nr 10 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu:
A\(y=-4\)
B\(x=-4\)
C\(y=2\)
D\(x=2\)
Osią symetrii będzie prosta, która będzie przechodzić przez wierzchołek paraboli (między ramionami paraboli) i będzie to prosta o równaniu \(x=2\).
Zadanie nr 10 · Matura 2018
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych:
A\((-2, -3)\)
B\((-2, -12)\)
C\((1, -8)\)
D\((1, -12)\)
Współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy wyznaczyć korzystając ze wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\).
Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że współczynnik \(a=1\), natomiast \(b=-2\). W związku z tym:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-(-2)}{2\cdot1}$$
$$p=\frac{2}{2}$$
$$p=1$$
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Chcąc skorzystać ze wzoru na współrzędną \(q\) musimy najpierw policzyć deltę:
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$
W związku z tym:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-48}{4\cdot1}$$
$$q=-12$$
Mogliśmy też wyznaczyć współrzędną \(q\) nieco szybciej. Skoro znamy już współrzędną \(p=1\), to wystarczy podstawić do wzoru funkcji pod iksa jedynkę i zobaczyć jaką wartość przyjmuje ta funkcja właśnie dla jedynki. Otrzymamy wtedy:
$$q=1^2-2\cdot1-11$$
$$q=1-2-11$$
$$q=-12$$
To oznacza, że wierzchołek na współrzędne \(W=(1;-12)\).
Zadanie nr 12 · Matura 2018
Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest:
A\(0\)
B\(5\)
C\(4\)
D\(3\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.
Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.
Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3$$
$$f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$
To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2018
Wskaż wzór funkcji kwadratowej \(f\), której najmniejsza wartość jest równa \(2\).
A\(f(x)=-(x-2)^2+2\)
B\(f(x)=(x+2)^2-2\)
C\(f(x)=2(x-1)^2+2\)
D\(f(x)=-2(x-2)^2-2\)
Krok 1. Odczytanie kluczowych informacji na temat wierzchołka paraboli.
Wszystkie funkcje zapisane są w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\).
W tym zadaniu musimy pamiętać, że funkcja kwadratowa przyjmuje swoją największą lub najmniejszą wartość właśnie w wierzchołku, zatem interesują nas tylko te wzory funkcji w których \(q=2\). Takie funkcje mamy w pierwszej oraz trzeciej odpowiedzi.
Oczywiście z podanych wzorów moglibyśmy odczytać także współrzędne \(p\) wierzchołków paraboli, ale one nie są istotne z punktu widzenia tego zadania.
Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji.
Do wyboru zostały nam już tylko dwie funkcje. Musimy się teraz zastanowić czym się one między sobą różnią. To co różni funkcję \(f(x)=-(x-2)^2+2\) od \(f(x)=2(x-1)^2+2\) to przede wszystkim wartość współczynnika \(a\). W pierwszej funkcji mamy ten współczynnik ujemny \(a=-1\), natomiast w tej drugiej współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=2\). To oznacza, że pierwsza z nich będzie miała ramiona paraboli skierowane do dołu, a druga będzie miała ramiona skierowane do góry:
Widzimy więc wyraźnie, że funkcja \(f(x)=-(x-2)^2+2\) przyjmuje najmniejszą wartość równą \(-\infty\), a największa wartość jest tutaj równa \(2\). W funkcji \(f(x)=2(x-1)^2+2\) najmniejszą wartością jest \(2\), a największą jest tutaj \(+\infty\). Nas interesuje ten drugi przypadek, zatem poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=2(x-1)^2+2\).
Zadanie nr 30 · Próbny 2018
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+3\), gdzie \(a\neq0\), jest prosta o równaniu \(x=-2\). Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu \(y=-x+2\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej lub kanonicznej.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Na początek wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Jedną z własności paraboli jest to, że jej oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek. To oznacza, że skoro osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-2\), to pierwszą współrzędną wierzchołka będzie \(p=-2\).
Wiemy też, że wierzchołek leży na prostej o równaniu \(y=-x+2\). Skoro tak, to obliczmy wartość dla \(x=-2\), czyli wartość przyjmowaną w wierzchołku:
$$y=-(-2)+2$$
$$y=2+2$$
$$y=4$$
To oznacza, że współrzędne wierzchołka to \(W=(-2;4)\).
Krok 2. Wyznaczenie wzoru w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy skorzystać z postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\). Podstawiając zatem \(p=-2\) oraz \(q=4\) otrzymamy:
$$y=a(x-(-2))^2+4$$
$$y=a(x+2)^2+4$$
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze tylko poznania współczynnika \(a\). Aby poznać pełny wzór tej funkcji musimy podstawić do powyższej postaci współrzędne jakiegoś punktu (innego niż wierzchołek) przez który ta parabola przechodzi.
Tu z pomocą przyjdzie nam ciekawa informacja, która jest zaszyta w postaci ogólnej, która pojawiła się w treści zadania. Wiemy, że funkcja ta w postaci ogólnej przybiera postać \(f(x)=ax^2+bx+3\). Niezależnie od tego jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\), to podstawiając \(x=0\) otrzymamy informację, że:
$$f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+3$$
$$f(0)=0+0+3$$
$$f(0)=3$$
To oznacza, że parabola na pewno przechodzi przez punkt \(A\), o współrzędnych \(A=(0;3)\). Podstawiając teraz te współrzędne do postaci \(y=a(x+2)^2+4\) wyznaczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$3=a\cdot(0+2)^2+4$$
$$3=a\cdot2^2+4$$
$$3=a\cdot4+4$$
$$4a=-1$$
$$a=-\frac{1}{4}$$
Możemy więc już zapisać, że wzór funkcji w postaci kanonicznej to \(y=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2018
Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-(x+7)(x-3)\) jest:
A\((-\infty ;25\rangle\)
B\((-\infty ;-2\rangle\)
C\(\langle 25;+\infty)\)
D\((-\infty ;2\frac{1}{2}\rangle\)
Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny (mamy minus przed postacią iloczynową). To oznacza, że nasza funkcja będzie mieć mniej więcej taki oto wygląd:
Możemy więc już wywnioskować, że zbiorem wartości będzie przedział od \(-\infty\) aż do wartości w wierzchołku paraboli.
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy wartości przyjmowanej w tym wierzchołku, czyli szukamy współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). I teraz możemy dojść do tej współrzędnej \(q\) na dwa sposoby:
I sposób - wyznaczając wartość współrzędnej \(p\) i podstawiając ją do wzoru funkcji:
Z postaci iloczynowej możemy odczytać, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(-7\) oraz \(3\). Współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie dokładnie pomiędzy tymi dwoma miejscami zerowymi (to wynika z własności wierzchołka), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$p=\frac{-7+3}{2}$$
$$p=\frac{-4}{2}$$
$$p=-2$$
Teraz znając wartość \(p=-2\) możemy podstawić \(x=-2\) do wzoru funkcji, dzięki czemu otrzymamy wartość funkcji przyjmowaną w wierzchołku. Zatem:
$$f(-2)=-(-2+7)(-2-3)$$
$$f(-2)=-(5)(-5)$$
$$f(-2)=25$$
To oznacza, że wartość przyjmowana w wierzchołku paraboli jest równa \(25\), czyli zbiorem wartości funkcji będzie \((-\infty ;25\rangle\).
II sposób - obliczając wartość \(q\) ze wzoru z tablic:
W tej metodzie skorzystamy ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Aby jednak móc skorzystać z tego wzoru musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, a następnie musimy policzyć tak zwaną deltę.
Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Aby móc obliczyć wartość \(q\) musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, zatem:
$$-(x+7)(x-3)=-(x^2-3x+7x-21)=$$
$$=-(x^2+4x-21)=-x^2-4x+21$$
Krok 2. Obliczenie delty.
Mając postać ogólną możemy już policzyć deltę, która znalazła się w liczniku wzoru na \(q\), zatem:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\).
Znając deltę możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-100}{4\cdot(-1)}$$
$$q=\frac{-100}{-4}$$
$$q=25$$
To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział \((-\infty ;25\rangle\).
Zadanie nr 29 · Próbny 2018
Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in\mathbb{R}\). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle\). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).
Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Choć nie jest to zapisane wprost, to z treści zadania możemy wyczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oś symetrii paraboli wskazuje nam pierwszą współrzędną, czyli współrzędną \(p\), bowiem oś symetrii przechodzi właśnie przez wierzchołek. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=2\), to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będzie równa właśnie \(p=2\).
Drugą współrzędną wskazuje nam zbiór wartości funkcji. Funkcja zawsze ma najmniejszą lub największą wartość w swoim wierzchołku. Skoro maksymalną wartością przyjmowaną przez naszą funkcję jest \(21\), to taka też będzie druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(q=21\).
Możemy więc stwierdzić, że \(W=(2;21)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Wiemy, że \(a=-3\), bo wynika to z zapisu funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=-3x^2+bx+c\). Wiemy też jakie są współrzędne wierzchołka, czyli \(p=2\) oraz \(q=21\), zatem:
$$f(x)=-3(x-2)^2+21$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i odczytanie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Teraz znając już wzór funkcji w postaci kanonicznej możemy przekształcić go do postaci ogólnej z której to potem odczytamy potrzebne współczynniki.
$$f(x)=-3(x-2)^2+21$$
$$f(x)=-3(x^2-4x+4)+21$$
$$f(x)=-3x^2+12x-12+21$$
$$f(x)=-3x^2+12x+9$$
To oznacza, że współczynnik \(b=12\) oraz \(c=9\).
Zadanie nr 10 · Matura 2018
Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest:
A\(4\)
B\(3\)
C\(0\)
D\(5\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.
Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.
Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3$$
$$f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$
To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).
Zadanie nr 27 · Matura 2018
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować parabolę, której osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=7\):
Z rysunku wynika, że skoro osią symetrii jest prosta \(x=7\), to musi ona przechodzić przez wierzchołek. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=7\).
Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Współrzędną iksową wierzchołka obliczamy ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Wartość współczynnika \(a\) jest znana i wynosi \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie ma żadnej liczby). W związku z tym jesteśmy w stanie obliczyć wartość współczynnika \(b\):
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$7=\frac{-b}{2\cdot1}$$
$$7=\frac{-b}{2}$$
$$14=-b$$
$$b=-14$$
Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków w wartości \(y=4\), to współczynnik \(c=4\). Tak się składa, że punkt \(A\) jest właśnie miejscem przecięcia się paraboli z osią igreków (bo ma współrzędną iksową równą \(0\)). W związku z tym możemy zapisać, że \(c=-5\).
Jeżeli o tej własności nie pamiętamy, to do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-14x+c\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=0\) oraz \(y=-5\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=x^2-14x+c$$
$$-5=0^2-14\cdot0+c$$
$$-5=0+0+c$$
$$c=-5$$
Zadanie nr 9 · Matura 2018
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x-3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych:
A\((-6,-3)\)
B\((-6, 69)\)
C\((3,-12)\)
D\((6,-3)\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej iksowej (czyli \(p\)) wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli oznaczamy symbolem \(p\) i możemy ją obliczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Współczynniki \(a\) oraz \(b\) odczytamy bezpośrednio ze wzoru funkcji, bo jest ona zapisana w postaci ogólnej, zatem: \(a=1\) oraz \(b=-6\). Podstawiając to do wzoru na współrzędną \(p\) otrzymamy:
$$p=\frac{-(-6)}{2\cdot1}$$
$$p=\frac{6}{2}$$
$$p=3$$
I tutaj tak naprawdę moglibyśmy zakończyć już rozwiązywanie tego zadania, bowiem tylko w trzeciej odpowiedzi mamy współrzędną iksową równą \(3\). Gdyby jednak okazało się, że pasowałaby nam jeszcze jakaś inna odpowiedź, to trzeba byłoby obliczyć współrzędną igrekową.
Nie mniej jednak możemy tę współrzędną obliczyć nieco szybciej, bez liczenia delty. Wystarczy, że do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-6x-3\) podstawimy obliczoną w pierwszym kroku współrzędną iksową wierzchołka. Podstawiając \(x=3\) do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=3^2-6\cdot3-3$$
$$f(3)=9-18-3$$
$$f(3)=-12$$
To oznacza, że współrzędne wierzchołka są równe \(W=(3;-12)\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2017
Funkcja \(f(x)=(m+3)x^2+16x+5\) osiąga wartość największą dla \(x=2\). Oznacza to, że największa wartość tej funkcji jest równa:
A\(-7\)
B\(-14\)
C\(14\)
D\(21\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres naszej funkcji. Skoro funkcja kwadratowa przyjmuje jakąś największą konkretną wartość, to całość musi wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Skąd wiadomo, że ramiona tej paraboli będą skierowane do dołu? Gdyby skierowane były do góry, to ramiona sięgałyby nieskończoności, czyli funkcja miałaby wtedy nieskończenie wielką największą wartość dla nieskończenie wielkiego argumentu \(x\). Taka sytuacja nam nie odpowiada, bo wiemy że największa wartość osiągana jest dla \(x=2\). Nie ma więc innego wyjścia, funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu, wtedy swoją największą wartość osiągnie w wierzchołku paraboli.
Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(m\).
Wiemy, że funkcja przyjmuje największą wartość dla \(x=2\), a to zgodnie z rysunkiem oznacza, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli (zapisywana jako \(p\)) jest równa \(2\). Czyli \(p=2\).
Ze wzorów z tablic możemy odczytać, że współrzędną \(p\) da się obliczyć korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i to pozwoli nam wyznaczyć wartość parametru \(m\), który ukrył się we współczynniku \(a\). Zatem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$2=\frac{-16}{2\cdot(m+3)}$$
$$2=\frac{-16}{2m+6} \quad\bigg/\cdot(2m+6)$$
$$4m+12=-16$$
$$4m=-28$$
$$m=-7$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji.
Skoro \(m=-7\), to wzór naszej funkcji będzie następujący:
$$f(x)=(m+3)x^2+16x+5$$
$$f(x)=(-7+3)x^2+16x+5$$
$$f(x)=-4x^2+16x+5$$
Krok 4. Obliczenie największej wartości tej funkcji.
Wiemy, że największą wartość ta funkcja osiąga dla \(x=2\), zatem:
$$f(2)=-4\cdot2^2+16\cdot2+5$$
$$f(2)=-4\cdot4+32+5$$
$$f(2)=-16+32+5$$
$$f(2)=16+5$$
$$f(2)=21$$
Zadanie nr 11 · Matura 2017
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(x-3)(7-x)\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu:
A\(y=-5\)
B\(y=5\)
C\(y=-4\)
D\(y=4\)
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja podana jest w postaci iloczynowej, zatem przyrównując wartości w nawiasach do zera bardzo szybko określimy miejsca zerowe:
$$x-3=0 \quad\lor\quad 7-x=0$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=7$$
Krok 2. Określenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli określamy symbolem \(p\). Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że współrzędna iksowa wierzchołka paraboli znajduje się dokładnie pośrodku pomiędzy dwoma miejscami zerowymi. W związku z tym:
$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$
$$p=\frac{3+7}{2}$$
$$p=\frac{10}{2}$$
$$p=5$$
Krok 3. Określenie współrzędnej igrekowej wierzchołka paraboli.
Wiemy już, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=5\). To oznacza, że podstawiając do wzoru funkcji pod iksa tę piątkę obliczymy współrzędną igrekową wierzchołka paraboli (oznaczaną symbolem \(q\)). Zatem:
$$q=(5-3)(7-5)$$
$$q=2\cdot2$$
$$q=4$$
W związku z tym, że współrzędna igrekowa wierzchołka jest równa \(q=4\), to nasz wierzchołek paraboli należy do prostej \(y=4\).
Zadanie nr 29 · Matura 2017
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na podstawie danych z treści zadania możemy naszkicować parabolę i spróbujmy zrobić to dość dokładnie, czyli tak aby przecięła nam oś igreków w punkcie \(y=\frac{3}{2}\) (bo \(f(0)=\frac{3}{2}\)) no i tak, żeby miała najwyższą wartość równą \(6\). I tu też ważna uwaga - skąd mamy wiedzieć, czy ramiona tej paraboli są skierowane do dołu czy do góry? Skoro funkcja kwadratowa przyjmuje jakąś największą wartość, no to jej wierzchołek musi być na samej górze paraboli, więc ramiona będą skierowane do dołu.
Dodatkowo zaznaczyłem na rysunku punkt \(S\). Jest to środek odcinka \(AB\). Przyda nam się on do zrozumienia tego jak obliczyć brakującą współrzędną wierzchołka.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Wiemy, że nasz wierzchołek ma współrzędne \(W=(p;6)\). Brakuje nam pierwszej współrzędnej, ale wiemy że będzie ona jednakowa jak współrzędna iksowa punktu \(S\), bo wierzchołek leży dokładnie nad punktem \(S\). Zatem współrzędna iksowa wierzchołka może zostać wyliczona ze wzoru na środek odcinka \(AB\):
$$p=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$$
$$p=\frac{-6+0}{2}$$
$$p=-3$$
To oznacza, że znamy już pełne współrzędne wierzchołka paraboli \(P=(-3;6)\).
Krok 3. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
$$f(x)=a(x-(-3))^2+6$$
$$f(x)=a(x+3)^2+6$$
Krok 4. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Do powyższego wzoru funkcji wystarczy już tylko podstawić współrzędne jednego ze znanych nam punktów (musi to być inny punkt niż wierzchołek). Podstawmy więc współrzędne punktu przecięcia się paraboli z osią igreków, czyli \((0;\frac{3}{2})\) i tym samym wyznaczymy poszukiwaną wartość współczynnika \(a\):
$$f(x)=a(x+3)^2+6$$
$$\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6$$
$$\frac{3}{2}=9a+6$$
$$\frac{3}{2}=9a+\frac{12}{2}$$
$$9a=-\frac{9}{2}$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2016
Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba \(-3\). Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie \((-1,-8)\). Wyznacz wzór tej funkcji.
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
W naszym przypadku \(W=(-1,-8)\) zatem:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+(-8)$$
$$f(x)=a(x+1)^2-8$$
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika \(a\) wykorzystamy informację o miejscu zerowym tej funkcji. Skoro dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) (bo \(x=-3\) jest miejscem zerowym), to znaczy że:
$$a\cdot(-3+1)^2-8=0$$
$$a\cdot(-2)^2-8=0$$
$$4a-8=0$$
$$4a=8$$
$$a=2$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji.
W treści zadania nie mamy podanej informacji w jakiej postaci ma to być wzór. Niemalże od ręki jesteśmy w stanie podać ten wzór w postaci kanonicznej, bo przed chwilą obliczyliśmy że \(a=2\), zatem:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$
Gdybyśmy chcieli podać ten wzór w postaci ogólnej (czyli tej najpopularniejszej), to należałoby wykonać potęgowanie:
$$f(x)=2\cdot(x+1)^2-8$$
$$f(x)=2\cdot(x^2+2x+1)-8$$
$$f(x)=2x^2+4x+2-8$$
$$f(x)=2x^2+4x-6$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2016
Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma jeden punkt wspólny z parabolą \(y=(x-1)^2+1\). Znajdź równanie tej prostej.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Każdą prostą w układzie współrzędnych możemy opisać wzorem w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Z własności postaci kierunkowej wiemy, że współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. W naszym przypadku prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem \(b=0\). To oznacza, że naszą prostą możemy opisać wzorem \(y=ax\).
Szukamy miejsca przecięcia się prostej z parabolą. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się ze wzorów dwóch funkcji otrzymamy właśnie miejsce/miejsca przecięcia się wykresów. W związku z tym musimy ułożyć i rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=ax \\ y=(x-1)^2+1 \end{cases}$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie kwadratowe rozwiążemy dokładnie tak jak każde inne. Musimy tylko uważać na symbole, bo współczynnik \(a\) będzie nam się trochę "dublował" z niewiadomą \(a\):
Współczynniki: \(a=-1,\;b=a+2,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(a+2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=a^2+4a+4-8=a^2+4a-4$$
Teraz musimy skorzystać z bardzo ważnej informacji zaszytej w treści zadania, a mianowicie faktu, iż prosta z parabolą przecinają się tylko w jednym miejscu. Ta informacja mówi nam, że istnieje w takim razie tylko jedno rozwiązanie tego równania kwadratowego, a to z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie delta musi być równa \(0\) (bo tylko wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie). W związku z tym otrzymujemy równanie:
$$a^2+4a-4=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika \(a\)
Powstało nam więc tak naprawdę drugie równanie kwadratowe \(a^2+4a-4=0\), które tym razem da nam odpowiedź na pytanie - dla jakiego \(a\) delta jest równa \(0\), czyli dla jakiego \(a\) funkcja \(y=ax\) ma jedno miejsce przecięcia się z parabolą \(y=(x-1)^2+1\). Zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-4)=16-(-16)=32$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
Krok 5. Zapisanie równania prostej.
Żadnego z rozwiązań z poprzedniego kroku wykluczyć nie możemy, a to oznacza że warunki tego zadania będą spełniać dwie proste:
$$y=(-2-2\sqrt{2})x \quad\lor\quad y=(-2+2\sqrt{2})x$$
Zadanie nr 10 · Matura 2016
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\((-\infty;-2\rangle\)
B\(\langle-2;4\rangle\)
C\(\langle4;+\infty)\)
D\((-\infty;9\rangle\)
Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że wartości funkcji dążą do \(-\infty\). Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty;9\rangle\).
Zadanie nr 11 · Matura 2016
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,2\rangle\) jest równa:
A\(2\)
B\(5\)
C\(8\)
D\(9\)
Analizując wykres widzimy, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(5\) dla \(x=-1\).
Zadanie nr 11 · Matura 2015
Parabola o wierzchołku \(W=(-3,5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem:
A\(y=2\cdot(x+3)^2+5\)
B\(y=-2\cdot(x-3)^2+5\)
C\(y=-2\cdot(x+3)^2+5\)
D\(y=-2\cdot(x-3)^2-5\)
Równanie paraboli o wierzchołku \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$
W naszym przypadku \(p=-3\) oraz \(q=5\), zatem:
$$y=a(x-(-3))^2+5$$
$$y=a(x+3)^2+5$$
Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik \(a\) musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$
Zadanie nr 13 · Matura 2015
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y=f(x)\) ma współrzędne \((2,2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x)=f(x+2)\) ma współrzędne:
A\((4,2)\)
B\((0,2)\)
C\((2,0)\)
D\((2,4)\)
Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2;2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0;2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Zadanie nr 8 · Matura 2015
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y=f(x)\) ma współrzędne \((2,2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x)=f(x+2)\) ma współrzędne:
A\((0,2)\)
B\((4,2)\)
C\((2,0)\)
D\((2,4)\)
Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2;2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0;2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.
Zadanie nr 11 · Matura 2015
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=-2x^2-8x+6\) jest prosta o równaniu:
A\(y=2\)
B\(y=-2\)
C\(x=2\)
D\(x=-2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oś symetrii każdej paraboli przechodzi przez wierzchołek. To oznacza, że musimy znaleźć najpierw współrzędne wierzchołka paraboli (wystarczy nam tak naprawdę współrzędna iksowa wierzchołka, oznaczana zazwyczaj jako \(p\)):
Współczynnik \(b\) oraz \(a\) odczytamy ze wzoru funkcji: \(b=-8\) oraz \(a=-2\), zatem:
$$p=\frac{-(-8)}{2\cdot(-2)}$$
$$p=\frac{8}{-4}$$
$$p=-2$$
Krok 3. Zapisanie równania prostej będącej osią symetrii.
Aby prosta była osią symetrii paraboli to musi przyjąć postać \(x=p\), czyli w naszym przypadku \(x=-2\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2015
Wykres funkcji \(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\) ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu \(y=m\), jeżeli:
A\(m\lt2\)
B\(m=2\)
C\(m=3\)
D\(m\gt3\)
Krok 1. Szkicowanie wykresu paraboli.
W treści zadania mamy podaną funkcję w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) z której wprost możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Przyrównując wzór \(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\) do postaci kanonicznej widzimy wyraźnie, że \(p=3\) oraz \(q=2\). Dodatkowo też możemy odczytać, że współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\), co z kolei będzie oznaczać, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Nasz wykres będzie więc wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Odczytanie rozwiązania zadania.
Musimy ustalić dla jakiego parametru \(m\) prosta \(y=m\) będzie przecinać naszą parabolę w dwóch miejscach. Po wykresie widzimy wyraźnie, że aby tak się stało, to \(m\) musi być mniejsze od \(2\):
To oznacza, że interesującym nas rozwiązaniem będzie \(m\lt2\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2015
Funkcja \(f(x)=(x+6)^2\) ma:
Ajedno miejsce zerowe: \(6\)
Bjedno miejsce zerowe: \(-6\)
Cdwa miejsca zerowe: \(6,-6\)
Dzero miejsc zerowych
Naszym zadaniem (patrząc po odpowiedziach) jest sprawdzenie jakie miejsca zerowe ma nasza funkcja. W tym konkretnym przypadku funkcja przyjmie wartość równą zero wtedy, kiedy wartość w nawiasie będzie równa zero. Możemy zatem zapisać, że:
$$x+6=0$$
$$x=-6$$
Funkcja ta ma jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=-6\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2015
Liczba miejsc zerowych funkcji \(f(x)=(x-4)^2+9\) to:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Do zadania możemy podejść na wiele sposobów. Nasza funkcja przedstawiona jest w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), czyli takiej z której łatwo odczytamy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Moglibyśmy więc odczytać, że wierzchołek ma współrzędne \(W=(4;9)\). Co nam ta wiedza daje? Same współrzędne wierzchołka wiele nam nie powiedzą, ale wiemy jeszcze dodatkowo, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (konkretnie to \(a=1\), bo po znaku równa się nie stoi żadna liczba), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Wykres będzie więc wyglądał mniej więcej w ten sposób:
I z takiego rysunku możemy wywnioskować, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, bo parabola nigdy nie przetnie się z osią iksów.
Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tych własności, to całkiem niezłym pomysłem byłoby też przyrównanie wzoru funkcji do zera (przyrównujemy do zera, bo szukamy miejsc zerowych, czyli miejsc dla których funkcja przyjmuje wartość równą zero) i wtedy otrzymalibyśmy:
$$(x-4)^2+9=0$$
$$(x-4)^2=-9$$
Z racji tego iż nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje ujemny wynik, to znaczy że ta funkcja nigdy nie przybiera wartości równej \(0\), czyli nie ma miejsc zerowych.
Zadanie nr 15 · Próbny 2015
Dana jest funkcja \(f(x)=x^2+4x+10\). Prosta \(y=m\) nie ma z wykresem funkcji \(f\) punktów wspólnych. Maksymalny zbiór do którego należy liczba \(m\) to:
A\((-\infty,-6)\)
B\((-\infty,6)\)
C\((-2,+\infty)\)
D\((2,+\infty)\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację. Wykresem funkcji będzie parabola (bo jest to funkcja kwadratowa), której ramiona są skierowane do góry (bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni).
Prosta \(y=m\) jest prostą która przyjmuje jednakową wartość dla wszystkich argumentów (np. dla \(m=3\) mielibyśmy prostą \(y=3\)). Skoro prosta \(y=m\) ma nie mieć z naszą parabolą punktów wspólnych, to znaczy że musi znaleźć się pod parabolą (czyli w tej zielonej części na rysunku). Jaki z tego płynie wniosek? Wystarczy, że poznamy współrzędną igrekową wierzchołka naszej paraboli i będziemy wiedzieć od jakiej wartości musi być mniejszy nasz parametr \(m\).
Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.
Szukamy współrzędnej \(q\) wierzchołka (czyli współrzędnej igrekowej). Możemy to zrobić za pomocą wzoru:
$$q=-\frac{Δ}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$
Krok 3. Ustalenie zbioru do którego należy liczba \(m\).
Nasza liczba \(m\) musi być mniejsza od \(6\) (bo dla \(m=6\) prosta \(y=m\) przecięłaby parabolę dokładnie w wierzchołku), zatem interesuje nas zbiór \((-\infty,6)\).
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Funkcja kwadratowa \(f\), dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).
Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.
Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4$$
$$f(x)=a(x+3)^2+4$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).
Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).
Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4$$
$$3=a(-1+3)^2+4$$
$$-1=a\cdot2^2$$
$$-1=4a$$
$$a=-\frac{1}{4}$$
Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).
Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4$$
$$f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4$$
$$f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2+4x\) jest:
A\(-4\)
B\(-2\)
C\(0\)
D\(4\)
Krok 1. Określenie miejsca w którym funkcja przyjmuje najmniejszą wartość.
Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. To oznacza, że najmniejszą swoją wartość funkcja będzie osiągać w wierzchołku.
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy najmniejszej wartości, czyli współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Krok 2. Obliczenie delty.
Musimy policzyć deltę, która znalazła się w liczniku, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot0=16-0=16$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\).
Znając deltę możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-16}{4\cdot1}$$
$$q=\frac{-16}{4}$$
$$q=-4$$
Zadanie nr 28 · Matura 2015
Funkcja kwadratowa, \(f\) dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).
Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.
Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4$$
$$f(x)=a(x+3)^2+4$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).
Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).
Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4$$
$$3=a(-1+3)^2+4$$
$$-1=a\cdot2^2$$
$$-1=4a$$
$$a=-\frac{1}{4}$$
Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).
Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4$$
$$f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4$$
$$f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$
Zadanie nr 11 · Matura 2015
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to:
A\(f(1)=-6\)
B\(f(1)=0\)
C\(f(1)=6\)
D\(f(1)=18\)
Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\).
$$3^2+3+c=4$$
$$9+3+c=4$$
$$12+c=4$$
$$c=-8$$
To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(f(1)\).
Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\).
$$1^2+1-8=1+1-8=-6$$
Czyli \(f(1)=-6\).
Zadanie nr 11 · Matura 2014
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,-3\rangle\), może być określona wzorem:
A\(y=(x+2)^2-3\)
B\(y=-(x+3)^2\)
C\(y=-(x-2)^2-3\)
D\(y=-x^2+3\)
Krok 1. Określenie kiedy funkcja ma pożądany zbiór wartości.
Musimy się zastanowić kiedy nasza funkcja będzie miała przedział wartości \((-\infty,-3\rangle\).
a) Czy parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, czy do góry?
Jeśli parabola ma ramiona skierowane do góry, to funkcja zawsze dąży do plus nieskończoności. Nasza parabola musi kończyć się na wartości \(-3\), a więc na pewno ma ramiona skierowane do dołu. To oznacza, że współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być mniejszy od zera (czyli przed \(x^2\) musi znaleźć się minus).
b) Czym jest liczba \(-3\), która znalazła się w przedziale?
Jest to tak naprawdę współrzędna \(y\) wierzchołka naszej paraboli.
Krok 2. Wskazanie wzoru poszukiwanej funkcji.
Funkcję kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$
Zgodnie z tym co zapisaliśmy w kroku pierwszym, szukamy funkcji która przed \(x^2\) będzie mieć wartość ujemną oraz taką, której \(q=-3\). Taka funkcja znalazła się jedynie w trzeciej odpowiedzi, czyli będzie to \(y=-(x-2)^2-3\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2014
W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \(A=(2,4)\), która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\).
Funkcja \(f\) może być opisana wzorem:
A\(f(x)=(x-2)^2+4\)
B\(f(x)=(x+2)^2+4\)
C\(f(x)=-(x-2)^2+4\)
D\(f(x)=-(x+2)^2+4\)
Krok 1. Odczytanie informacji z wykresu.
Z wykresu funkcji kwadratowej musimy odczytać dwie kluczowe informacje:
- współrzędne wierzchołka \(W=(2;4)\).
- współczynnik kierunkowy \(a\) - ramiona są skierowane do dołu, więc na pewno \(a\lt0\).
Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji kwadratowej.
Funkcja kwadratowa o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) przyjmuje wzór:
$$y=a(x-p)^2+q$$
W naszym przypadku będzie to w takim razie:
$$y=a(x-2)^2+4$$
Pasują nam w tym momencie dwie odpowiedzi: \(A\) oraz \(C\). Z racji tego, że ramiona paraboli są skierowane do dołu i współczynnik kierunkowy \(a\lt0\), to prawidłową odpowiedzią będzie \(C\), gdyż to właśnie tam na początku znalazł się minus.
Zadanie nr 13 · Próbny 2014
Dana jest funkcja określona wzorem \(f(x)=-x^2-4x+5\). Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A\((-9,+\infty\rangle\)
B\(\langle9,+\infty)\)
C\((-\infty,-9\rangle\)
D\((-\infty,9\rangle\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co trzeba policzyć dobrze jest narysować sobie szkic wykresu tej funkcji. Jest to funkcja kwadratowa, czyli rysujemy parabolę. Jej ramiona będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy jest ujemny, zatem całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)).
Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a zrobimy to w następujący sposób:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot5=16-(-20)=16+20=36$$
W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-36}{4\cdot(-1)}$$
$$q=\frac{-36}{-4}$$
$$q=9$$
Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział:
$$y\in(-\infty,q\rangle$$
$$y\in(-\infty,9\rangle$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2014
Trójmian kwadratowy \(y=ax^2+bx+c\) osiąga najmniejszą wartość równą \(-1\) dla argumentu \(\frac{3}{2}\). Do wykresu trójmianu należy punkt \(A=(3,8)\). Wyznacz współczynniki \(a, b, c\).
Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Ustalmy czym jest ta najmniejsza wartość, która jest wspomniana w treści zadania. Jest to tak naprawdę wierzchołek naszej paraboli. Skoro więc dla argumentu \(\frac{3}{2}\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\), to parabola ma swój wierzchołek w punkcie \(W=\left(\frac{3}{2};1\right)\).
Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy zapisać to równanie w postaci kanonicznej:
$$y=a\cdot(x-p)^2+q$$
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+(-1)$$
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
Krok 3. Podstawienie współrzędnych punktu \(A\) i wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do postaci kanonicznej z kroku drugiego możemy teraz podstawić współrzędne punktu \(A\), co pozwoli nam wyznaczyć współczynnik \(a\).
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
$$8=a\cdot\left(3-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
$$9=a\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2$$
$$9=a\cdot\frac{9}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$
$$a=4$$
Krok 4. Przekształcenie równania do postaci ogólnej i wyznaczenie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Po obliczeniu współczynnika \(a=4\) wiemy już, że postać kanoniczna tego trójmianu wygląda następująco:
$$y=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
Przekształćmy to teraz do postaci ogólnej:
$$y=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
$$y=4\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)-1$$
$$y=4\cdot\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-1$$
$$y=4x^2-12x+9-1$$
$$y=4x^2-12x+8$$
Z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(b=-12\) oraz \(c=8\).
Zadanie nr 10 · Matura 2014
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu \(y=(x+2)(x-4)\) jest równa:
A\(-8\)
B\(-4\)
C\(1\)
D\(2\)
Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Zanim przejdziemy do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka musimy przekształcić to równanie z postaci iloczynowej do ogólnej, zatem:
$$y=(x+2)(x-4)$$
$$y=x^2-4x+2x-8$$
$$y=x^2-2x-8$$
Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej.
Dla paraboli określonej wzorem ogolnym \(y=ax^2+bx+c\) współrzędna \(p\) jej wierzchołka \(W=(p;q)\) wyraża się wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-(-2)}{2\cdot1}$$
$$p=\frac{2}{2}$$
$$p=1$$
Zadanie nr 26 · Matura 2014
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
I sposób - z wykorzystaniem postaci kanonicznej.
Krok 1. Odczytanie i podstawienie danych z treści zadania do postaci kanonicznej.
Funkcja przyjmuje postać \(f(x)=a(x-x_{W})^2+y_{W}\) dla współrzędnych wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\). Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika \(a\), bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(a=2\). Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy:
$$f(x)=2\cdot(x-4)^2+0$$
$$f(x)=2\cdot(x^2-8x+16)$$
$$f(x)=2x^2-16x+32$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do \(f(x)=2x^2+bx+c\). Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to \(b=-16\) oraz \(c=32\).
II sposób - z wykorzystaniem wzoru na współrzędne wierzchołka.
Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako:
$$(x_{W};y_{W})=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-Δ}{4a}\right)$$
Znając wartość \(x_{W}\) oraz \(a\) bardzo szybko wyliczymy współczynnik \(b\), korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej.
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$
$$4=\frac{-b}{2\cdot2}$$
$$4=\frac{-b}{4}$$
$$16=-b$$
$$b=-16$$
Krok 2. Obliczenie wartości delty oraz współczynnika \(c\).
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(c\). Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa \(0\) (wynika to z tego, że współrzędna \(y=0\)). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa \(0\), to oto dowód:
$$y_{W}=\frac{-Δ}{4a}$$
$$0=\frac{-Δ}{4\cdot2}$$
$$0=\frac{-Δ}{8} \quad\bigg/\cdot8$$
$$0=-Δ \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$Δ=0$$
W związku z tym:
$$Δ=b^2-4ac$$
$$0=(-16)^2-4\cdot2\cdot c$$
$$0=256-8c$$
$$8c=256$$
$$c=32$$
W ten sposób obliczyliśmy, że \(b=-16\) oraz \(c=32\).
Zadanie nr 9 · Matura 2013
Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=(x-1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu \(y=6\). Wtedy:
A\(c=-6\)
B\(c=-3\)
C\(c=3\)
D\(c=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współrzędnej \(q\).
Skoro wierzchołek określony współrzędnymi \(W=(p;q)\) leży na prostej o równaniu \(y=6\), to znaczy że współrzędna "igrekowa" tego wierzchołka jest równa \(6\), zatem \(q=6\).
Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(c\).
Równanie paraboli w postaci kanonicznej możemy zapisać jako \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Przyrównując postać kanoniczną do równania z treści zadania widzimy wyraźnie, że wyraz \(2c\) pokrywa się ze współrzędną \(q\) zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2c=q$$
$$2c=6$$
$$c=3$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2013
Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-2(x+3)(x-4)\) jest przedział:
A\(\left(-\infty,24\frac{1}{2}\right\rangle\)
B\(\left\langle-24\frac{1}{2},+\infty\right)\)
C\(\left\langle24\frac{1}{2},+\infty\right)\)
D\(\left\langle-25\frac{1}{2},+\infty\right)\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować to zadanie. Narysujmy parabolę (jej ramiona będą skierowane do dołu, bo po wymnożeniu wszystkich wyrazów współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie ujemny) i zobaczmy jak będzie wyglądać zbiór wartości funkcji. Z postaci iloczynowej możemy też szybko wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji, bo wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-4=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=4$$
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)).
Krok 2. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a żeby obliczyć deltę to najpierw całe równanie musimy zapisać w postaci ogólnej, zatem wymnażając wszystkie wyrazy otrzymamy:
$$f(x)=-2(x+3)(x-4)$$
$$f(x)=-2(x^2-4x+3x-12)$$
$$f(x)=-2(x^2-x-12)$$
$$f(x)=-2x^2+2x+24$$
W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-196}{4\cdot(-2)}$$
$$q=\frac{-196}{-8}$$
$$q=24\frac{1}{2}$$
Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział:
$$y\in(-\infty,q\rangle$$
$$y\in(-\infty,24\frac{1}{2}\rangle$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2013
Na wykresie przedstawiony jest trójmian \(y=ax^2+bx+c\).
Wynika z tego, że:
A\(b\lt0\)
B\(b\gt0\)
C\(b\le0\)
D\(b\ge0\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
To co możemy określić praktycznie od ręki to jest wartość (a w zasadzie znak) współczynnika kierunkowego \(a\). Parabola ma ramiona skierowane do dołu, a to oznacza że \(a\lt0\).
Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Spójrzmy na wierzchołek naszej paraboli. Współrzędna iksowa wierzchołka (oznaczana zazwyczaj jako \(p\)) jest na pewno dodatnia. Z własności wierzchołka paraboli wiemy, że \(p=\frac{-b}{2a}\). Ustaliliśmy już, że \(p\) musi być dodatnie i wiemy też, że mianownik \(2a\) jest ujemny, bo \(a\lt0\). To oznacza, że licznik \(-b\) musi być także ujemny, a skoro tak to \(b\) musi być większe od zera (bo przed \(b\) stoi już minus).
Zadanie nr 6 · Matura 2013
Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych:
A\((-2;-4)\)
B\((-2;4)\)
C\((2;-4)\)
D\((2;4)\)
Funkcja przyjmuje postać kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy, to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(2;4)\).
Uwaga: Niektórzy błędnie podają pierwszą współrzędną, twierdząc że jest to \(-2\), a nie \(2\). To najczęściej pojawiający się błąd w tym zadaniu. Bądź ostrożny, bo we wzorze przed wartością \(p\) jest już znak "minus".
Zadanie nr 7 · Matura 2012
Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:
A\(x=-8\)
B\(x=-4\)
C\(x=4\)
D\(x=8\)
Wzór paraboli jest podany w postaci ogólnej \(y=ax^2+bx+c\), co pozwala nam wypisać wartości poszczególnych współczynników:
$$a=1,\;b=8,\;c=-14$$
Wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) posłużą nam do wyliczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\), bowiem zgodnie ze wzorem z tablic:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$
$$x_{W}=\frac{-8}{2\cdot1}$$
$$x_{W}=\frac{-8}{2}$$
$$x_{W}=-4$$
Zadanie nr 8 · Matura 2012
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle-2,+\infty)\).
A
B
C
D
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Sprawdźmy więc po kolei jaki zbiór wartości ma każda z narysowanych funkcji:
Funkcja A. \(\langle2;+\infty)\)
Funkcja B. \(\langle-2;+\infty)\)
Funkcja C. \(\langle-2;-\infty)\)
Funkcja D. \(\langle2;-\infty)\)
Poszukiwany przez nas zbiór wartości \(\langle-2;+\infty)\) znalazł się na drugim rysunku.
Zadanie nr 6 · Matura 2012
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych:
A\((0,2)\)
B\((0,-2)\)
C\((-2,0)\)
D\((2,0)\)
Krok 1. Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka (\(p\)).
Do obliczeń współrzędnych wierzchołka \(W=(p;q)\) przydadzą nam się współczynniki funkcji kwadratowej:
$$a=1,\;b=-4,\;c=4$$
Zgodnie ze wzorami z tablic matematycznych:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-(-4)}{2\cdot1}$$
$$p=\frac{4}{2}$$
$$p=2$$
Tak naprawdę moglibyśmy już na tym skończyć obliczenia, bo już wiemy, że współrzędne naszego wierzchołka to \(W=(2;q)\), a taka sytuacja jest jedynie w czwartej odpowiedzi. W ramach ćwiczenia możemy obliczyć jeszcze drugą współrzędną.
Krok 2. Obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka.
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$
Współrzędne wierzchołka to w takim razie \(W=(2;0)\).
Zadanie nr 10 · Matura 2011
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-4\) jest:
A\(\langle-4;+\infty)\)
B\(\langle-2;+\infty)\)
C\(\langle2;+\infty)\)
D\(\langle4;+\infty)\)
To zadanie najprościej jest rozwiązać metodą graficzną. Narysujmy sobie wykres funkcji \(g(x)=x^2\) (funkcja niebieska), a następnie przekształcamy ją przesuwając parabolę o cztery jednostki do dołu, tak aby nowa parabola reprezentowała funkcję \(f(x)=x^2-4\) (funkcja zielona).
Teraz z wykresu bardzo łatwo możemy odczytać, że zbiorem wartości tej funkcji kwadratowej jest \(\langle-4;+\infty)\).
Zadanie nr 9 · Matura 2010
Wierzchołek paraboli \(y=x^2+4x-13\) leży na prostej o równaniu:
A\(x=-2\)
B\(x=2\)
C\(x=4\)
D\(x=-4\)
Kiedy parabola jest określona wzorem ogólnym typu \(ax^2+bx+c\) (a tak jest w naszym przypadku) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\) tej paraboli możemy określić za pomocą wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to zauważymy, że musimy wyznaczyć tylko współrzędną \(p\), bo tylko taka się pojawia w tych odpowiedziach, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-13\)
$$p=\frac{-4}{2\cdot1}$$
$$p=\frac{-4}{2}$$
$$p=-2$$
Otrzymany wynik oznacza, że nasz wierzchołek leży na prostej o równaniu \(x=-2\).
Zadanie nr 11 · Matura 2010
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) jest przedział \((-\infty;3\rangle\). Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\)?
A
B
C
D
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Nasza funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\), a taka sytuacja jest zawarta jedynie na wykresie z drugiej odpowiedzi.
Zadanie nr 22 · Próbny 2010
Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu \(y=x^2-4x+2010\).
A\(x=4\)
B\(x=-4\)
C\(x=2\)
D\(x=-2\)
Oś symetrii paraboli będzie pionową linią, która przebiega przez wierzchołek, stąd też aby wyznaczyć prostą symetralną musimy znaleźć położenie wierzchołka paraboli. Współrzędne wierzchołka \(W\) oznaczamy symbolami \(p\) oraz \(q\), gdzie \(W=(p;q)\). Wzory na poszczególne współrzędne są następujące: \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\).
Tak naprawdę interesować nas będzie tylko współrzędna \(p\), bo nie ma dla nas znaczenia jak nisko/wysoko jest ten wierzchołek, a to tak naprawdę określiłaby nam współrzędna \(q\). W związku z tym:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-(-4)}{2\cdot1}$$
$$p=\frac{4}{2}$$
$$p=2$$
To oznacza, że oś symetrii będzie wyrażona prostą o równaniu \(x=2\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2010
Wykaż, że jeżeli \(k\gt0\), to równanie \(x^2+k(x-1)=0\) ma dwa pierwiastki.
Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Spróbujmy zapisać to równanie w postaci ogólnej, tak aby móc z niego wyliczyć deltę. W tym celu musimy tak naprawdę wymnożyć tylko wartość \(k\) przez to co jest w nawiasie, zatem:
$$x^2+k(x-1)=0$$
$$x^2+kx-k=0$$
Krok 2. Obliczenie delty.
Mając równanie w postaci ogólnej możemy przejść do obliczenia delty. To, że mamy tutaj parametr \(k\) zamiast liczb zupełnie nam nie przeszkadza i całość wyglądać będzie następująco:
Współczynniki: \(a=1,\;b=k,\;c=-k\)
$$Δ=b^2-4ac=k^2-4\cdot1\cdot(-k)=k^2+4k$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanej delty i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że parametr \(k\) ma być większy od zera. Skoro tak, to otrzymana delta będzie zawsze dodatnia, bo \(k^2\) jest wtedy dodatnie oraz \(4k\) będzie dodatnie. Skoro delta jest dodatnia dla \(k\gt0\), to znaczy że równanie ma wtedy dwa rozwiązania (czyli właśnie dwa pierwiastki) i to należało udowodnić.
Zadanie nr 8 · Matura 2010
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie:
A\((3,0)\)
B\((0,3)\)
C\((-3,0)\)
D\((0,-3)\)
Krok 1. Wypisanie współczynników oraz obliczenie delty.
Współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\) wyznaczymy korzystając ze wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Znamy już współczynniki: \(a=-3\), \(b=0\), \(c=3\). Brakuje nam jeszcze delty, która znajduje się we wzorze na współrzędną \(q\), zatem:
$$Δ=b^2-4ac=0-4\cdot(-3)\cdot3=0+36=36$$
Wierzchołkiem tej paraboli jest więc punkt o współrzędnych \(W=(0;3)\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2009
Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=-3(x+1)^2\) ma współrzędne:
A\((-1,0)\)
B\((0,-1)\)
C\((-1,-1)\)
D\((0,1)\)
Parabola określona wzorem \(y=a(x-p)^2+q\) ma swój wierzchołek w punkcie \(W=(p;q)\). Spróbujmy więc dopasować równanie z treści zadania do tego wzoru i tym samym określić współrzędne wierzchołka. Krótko mówiąc - musimy doprowadzić do sytuacji, by w nawiasie zamiast sumy znalazła się różnica dwóch liczb (bo tak jest we wzorze):
$$y=-3(x+1)^2$$
$$y=-3(x-(-1))^2+0$$
Z takiego zapisu jasno wynika, że \(p=-1\) oraz \(q=0\). W związku z tym współrzędne paraboli to \(W=(-1;0)\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2009
Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=3(x-4)^2+5\) to:
A\(-4\)
B\(3\)
C\(1\)
D\(5\)
Krok 1. Określenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja kwadratowa przedstawiona jest w postaci kanonicznej, czyli takiej z której w prosty sposób możemy odczytać wierzchołek paraboli. Postać kanoniczną opisujemy jako \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy (nawet znaki plus i minus się zgadzają), to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(4;5)\).
Krok 2. Ustalenie najmniejszej wartości funkcji kwadratowej.
Nasza funkcja kwadratowa jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (wiemy to, bo gdybyśmy przekształcili ją do postaci ogólnej, czyli wymnożyli to wszystko przez siebie, to przed \(x^2\) stałaby dodatnia wartość). Skoro tak, to najmniejszą wartość funkcja ta przyjmuje w swoim wierzchołku i my współrzędne tego wierzchołka już znamy. W związku z tym możemy stwierdzić, że nasza funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu \(x=-4\), a tą wartością będzie \(y=5\).
Zadanie nr 13 · Matura
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku \(W=(5,7)\). Wówczas prawdziwa jest równość:
A\(f(1)=f(9)\)
B\(f(1)=f(11)\)
C\(f(1)=f(13)\)
D\(f(1)=f(15)\)
Nie mamy informacji na temat wzoru tej funkcji, ani na temat tego czy ta funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry, czy do dołu, ale to akurat nie jest w tym zadaniu dla nas istotne. Załóżmy sobie, że ma ramiona skierowane do dołu, wtedy wykres będzie wyglądał następująco:
Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej przechodzącej dokładnie przez wierzchołek paraboli (patrz rysunek). To oznacza, że wartość równą \(f(1)\) osiągniemy także dla argumentu, którego współrzędna iksowa jest oddalona od wierzchołka o tyle samo jednostek co jest oddalona jedynka. Skoro między jedynką i piątką są \(4\) jednostki, to poszukiwanym argumentem jest \(x=5+4=9\). Zatem \(f(1)=f(9)\).
Podobnie by było, gdyby ramiona były skierowane do góry, dlatego informacja o tym jak dokładnie wygląda ta funkcja nie była nam potrzebna.
Zadanie nr 10 · Matura
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zadanie 1.
Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-2)\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku:
A.
B.
C.
D.
Zadanie 2.
Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\le0\).
$$.....................$$
Zadanie 3.
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1.
Zapis \(g(x)=f(x-2)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w prawo. Patrząc na miejsca zerowe i na wierzchołek paraboli, widzimy, że takie przesunięcie znalazło się na czwartym rysunku.
Zadanie 2.
Skoro wartości funkcji \(f(x)\) mają być mniejsze lub równe \(0\), to musimy spojrzeć na te fragmenty wykresu, które znalazły się pod osią \(OX\). Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem tego zadania będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle3;+\infty)\)
Zadanie 3.
Do wyznaczenia wzoru w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) potrzebujemy współrzędnej wierzchołka \(W=(p;q)\). Z wykresu odczytujemy, że \(W=(1;8)\), zatem:
$$y=a(x-1)^2+8$$
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać tę wartość, musimy podstawić współrzędne jednego ze znanych punktów, który należy do wykresu tej funkcji. Najprościej będzie wziąć jedno z miejsc zerowych, czyli np. \(A=(-1;0)\). Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru, otrzymamy:
$$0=a\cdot(-1-1)^2+8$$
$$0=a\cdot(-2)^2+8$$
$$0=4a+8$$
$$a=-2$$
Przy okazji warto zauważyć, że współczynnik \(a\) wyszedł ujemny, co sugerowałoby, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu, tak jak na wykresie. Dzięki takiej obserwacji możemy w prosty sposób zweryfikować poprawność rozwiązania.
Otrzymany wynik oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest:
$$y=-2(x-1)^2+8$$
Zadanie nr 24 · Matura
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(y=f(x)=x^2+5x+6\), gdzie \(x\in R\).
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.
1. Postać kanoniczna funkcji \(f\) wyraża się wzorem:
A. \(y=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
B. \(y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
C. \(y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{2}\)
D. \(y=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{5}{2}\)
2. Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem:
E. \(y=(x-2)(x-3)\)
F. \(y=(x-2)(x+3)\)
G. \(y=(x+2)(x-3)\)
H. \(y=(x+2)(x+3)\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Chcąc zapisać postać kanoniczną, musimy najpierw poznać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). W tym celu musimy skorzystać ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\), do których będziemy podstawiać współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w treści zadania, czyli: \(a=1\), \(b=5\) oraz \(c=6\).
Zacznijmy od współrzędnej \(p\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$$
Teraz obliczmy współrzędną \(q\). Tutaj we wzorze pojawia nam się delta, więc może wyliczmy ją osobno dla lepszej przejrzystości zapisu:
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
I teraz znając deltę, możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
$$q=\frac{-1}{4\cdot1}$$
$$q=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$$
To oznacza, że \(W=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)\).
Teraz możemy przejść do zapisania postaci kanonicznej. Postać kanoniczną zapisujemy jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$
Wiemy już, że \(p=-\frac{5}{2}\) oraz \(q=-\frac{1}{4}\). Z postaci ogólnej odczytaliśmy też, że \(a=1\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do powyższego wzoru, otrzymamy:
$$y=1\cdot\left(x-(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\right)$$
$$y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Do zapisania postaci iloczynowej będziemy potrzebować miejsc zerowych. Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+5x+6=0\), a skoro deltę liczyliśmy już w poprzednim kroku i wyszło nam, że \(Δ=1\), to możemy przejść do zapisania rozwiązań:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-1}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2$$
Teraz możemy przystąpić do zapisania postaci iloczynowej. Postać iloczynową zapisujemy jako:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
Podstawiając wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=-2\), a także współczynnik \(a=1\), otrzymamy:
$$y=1\cdot(x-(-3))(x-(-2))$$
$$y=(x+3)(x+2)$$
Zadanie nr 27 · Matura
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2x^2+bx+c\) i przyjmuje wartości dodatnie tylko dla \(x\in(-4,2)\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta \(x=1\). Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem \(f(x)=-2(x+4)(x-2)\).
Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta \(x=1\).
Postać iloczynowa funkcji \(f\) wyraża się wzorem \(f(x)=-2(x+4)(x-2)\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W tym przypadku będzie miała ona ramiona skierowane w dół, ponieważ współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać w ten oto sposób:
Widzimy, że skrajne argumenty, czyli \(x=-4\) oraz \(x=2\) to miejsca zerowe naszej funkcji i to będzie nasz punkt wyjścia do dalszym obliczeń.
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jedną z własności osi symetrii jest fakt, iż znajduje się ona dokładnie po środku między miejscami zerowymi. Do jej wyznaczenia możemy więc skorzystać ze średniej arytmetycznej:
$$x=\frac{-4+2}{2}$$
$$x=\frac{-2}{2}$$
$$x=-1$$
Zdanie jest więc fałszem.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Ustaliliśmy już, że miejscami zerowymi są \(x_{1}=-4\) oraz \(x_{2}=2\). Wiemy też, że współczynnik \(a=-2\). Skoro tak, to:
$$f(x)=-2(x-(-4))(x-2)$$
$$f(x)=-2(x+4)(x-2)$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 28 · Matura
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\). Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych \((0, 8)\), a osią symetrii jej wykresu jest prosta o równaniu \(x=4\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest \(x_{1}=2\). Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=f(x)\) w postaci iloczynowej.
Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Z własności osi symetrii wynika, że jest ona oddalona od miejsc zerowych o jednakową odległość. Można więc powiedzieć, że skoro od pierwszego miejsca zerowego do osi symetrii mamy dwie jednostki, tak od osi symetrii do drugiego miejsca zerowego też będziemy mieć dwie jednostki, co prowadzi nas do wniosku, że \(x_{2}=6\).
Do tego samego wyniku możemy dojść oczywiście korzystając ze średniej arytmetycznej, z której to często wyznaczamy oś symetrii:
$$4=\frac{2+x_{2}}{2}$$
$$8=2+x_{2}$$
$$x_{2}=6$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i zapisanie postaci iloczynowej.
Postać iloczynową zapisujemy jako \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Znamy już miejsca zerowe, więc moglibyśmy zapisać, że:
$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy podstawić do powyższego wzoru współrzędne znanego punktu, przez który przechodzi wykres funkcji, czyli punktu o współrzędnych \((0, 8)\). Skoro tak, to:
$$8=a(0-2)(0-6)$$
$$8=a\cdot(-2)\cdot(-6)$$
$$8=12a$$
$$a=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$
To oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci iloczynowej będzie \(f(x)=\frac{2}{3}(x-2)(x-6)\).
📘Teoria 2
Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej (klasa 1 LO)
Postać ogólna
$y=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq0$.
Postać kanoniczna
$y=a(x-p)^2+q$; wierzchołek $(p,q)$.
Współrzędne wierzchołka
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Ramiona
Skierowane w górę dla $a>0$, w dół dla $a\lt 0$.
Przeliczanie postaci funkcji kwadratowej (klasa 1 LO)
Ogólna na kanoniczną
Wyznaczamy $p=-\frac{b}{2a}$ i $q$ z podstawienia.
Kanoniczna na ogólną
Rozwijamy kwadrat $a(x-p)^2+q$.
Postać iloczynowa
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
Wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie miejsc zerowych.
∑Wzory 1
Postać kanoniczna
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Od razu widać wierzchołek $(p,q)$ i przesunięcie wykresu $y=ax^2$.
Krok 2 — kierunek ramion. $a=-1\lt 0$, więc ramiona idą w dół: funkcja najpierw rośnie, a po przejściu przez wierzchołek maleje.
Krok 3 — przedziały:
$$\text{rośnie na } (-\infty,\,2\rangle,\qquad \text{maleje na } \langle 2,\,+\infty)$$
Sprawdzenie: $f(0)=0$, $f(2)=4$, $f(4)=-16+16=0$ — wartości rosną do wierzchołka i potem opadają. Zgadza się.
Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,\,2\rangle$, maleje na $\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 20
Piłkę wyrzucono pionowo w górę. Jej wysokość (w metrach) po $t$ sekundach opisuje wzór $h(t)=-5t^2+20t$. Oblicz maksymalną wysokość, jaką osiągnie piłka, oraz czas, po którym spadnie na ziemię.
Część 1 — maksymalna wysokość. Współczynnik $a=-5\lt 0$, więc parabola ma maksimum w wierzchołku:
$$t_{max}=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{-10}=2$$
Podstawiamy $t=2$ do wzoru:
$$h(2)=-5\cdot2^2+20\cdot2=-20+40=20$$
Piłka osiąga 20 metrów po 2 sekundach.
Część 2 — moment upadku. Na ziemi wysokość wynosi zero, więc rozwiązujemy $h(t)=0$:
Wynik $t=0$ to moment wyrzucenia, więc interesuje nas $t=4$.
Kontrola sensu: wznoszenie trwa 2 s i opadanie 2 s — ruch jest symetryczny względem wierzchołka, co się zgadza.
Odpowiedź: maksymalna wysokość $20$ m, upadek po $4$ sekundach.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
