Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Sinus zeruje się w punktach, gdzie wykres przecina oś:

$$x=0,\quad x=\pi \quad (\text{w } \langle0,\ 2\pi))$$

Ogólnie: $\sin x=0$ dla $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Odpowiedź: B. $x=0$ i $x=\pi$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko na początku okresu:

$$x=0$$

Dlaczego tylko jeden punkt: $\cos x=1$ zachodzi dla $x=2k\pi$, a w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$ mieści się jedynie $x=0$.

Odpowiedź: $x=0$.

Sinus osiąga maksimum $1$ w:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Interpretacja: to najwyższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{2}$.

Cosinus przyjmuje wartości tylko z przedziału $\langle-1,\ 1\rangle$:

$$-1\le\cos x\le1$$

Ponieważ $2>1$, równanie nie ma rozwiązań.

Zawsze sprawdzaj zakres: zanim rozwiążesz równanie trygonometryczne, upewnij się, że wartość mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Tangens jest zerem tam, gdzie sinus jest zerem (a cosinus różny od zera):

$$x=0,\quad x=\pi$$

Ogólnie: $\operatorname{tg}x=0$ dla $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=0$ oraz $x=\pi$.

Wartość $\frac12$ sinus osiąga dwukrotnie w jednym okresie — raz w pierwszej, raz w drugiej ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{5\pi}{6}$$

Zasada: dla wartości z wnętrza $(-1,\ 1)$ sinus daje zwykle dwa rozwiązania na okres.

Odpowiedź: A. $2$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość $\frac{\sqrt3}{2}$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$ (czyli $60^\circ$).

Krok 2 — druga ćwiartka. Sinus jest dodatni także w drugiej ćwiartce, gdzie kąt to $\pi-\frac{\pi}{3}$:

$$x=\frac{\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{2\pi}{3}$$

Kontrola: $\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{3}$ lub $x=\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość bezwzględna $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$.

Krok 2 — ćwiartki. Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Kontrola: $\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{2\pi}{3}$ lub $x=\frac{4\pi}{3}$.

Sinus zeruje się co pół okresu, w każdej wielokrotności $\pi$:

$$x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Uwaga: odpowiedź B ($2k\pi$) obejmuje tylko $0,\ 2\pi,\ 4\pi,\dots$ — pomija $\pi,\ 3\pi,\dots$, gdzie sinus też jest zerem.

Odpowiedź: D. $x=k\pi$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$2\sin x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac12$$

Krok 2 — rozwiązania. Wartość $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{6}$, a sinus jest dodatni w I i II ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$.

Sinus osiąga minimum $-1$ w:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Interpretacja: to najniższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: B. $x=\frac{3\pi}{2}$.

Krok 1 — pierwiastkujemy obie strony. Uwaga na oba znaki:

$$\cos x=\frac12 \quad\text{lub}\quad \cos x=-\frac12$$

Krok 2 — dla $\cos x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{3}$$

Krok 3 — dla $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3}$$

Częsty błąd: pominięcie ujemnego pierwiastka. Z $\cos^2 x=\frac14$ wynikają cztery rozwiązania, nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy zeruje się czynnik:

$$\sin x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

Krok 2 — dla $\sin x=0$:

$$x=0,\qquad x=\pi$$

Krok 3 — dla $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga: zamiast mnożyć przez... lepiej rozłożyć na czynniki. Można też zauważyć, że $\sin x\cos x=\frac12\sin2x=0$, co daje ten sam zbiór.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Tangens ma okres $\pi$, więc $\operatorname{tg}x=1$ powtarza się co $\pi$:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Uwaga na okres. Tangens ma okres $\pi$ (nie $2\pi$ jak sinus i cosinus), dlatego oba rozwiązania różnią się o $\pi$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.

Krok 1 — izolujemy cosinus:

$$2\cos x=-\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kąt podstawowy $\frac{\pi}{6}$, cosinus ujemny w II i III ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

Kontrola: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{5\pi}{6}$ lub $x=\frac{7\pi}{6}$.

Cosinus osiąga $1$ raz na okres $2\pi$. W przedziale o długości $4\pi$ mieszczą się dwa okresy:

$$x=0 \quad\text{oraz}\quad x=2\pi$$

Uwaga na przedział: $4\pi$ jest wyłączone (nawias otwarty), więc go nie liczymy.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$:

$$2t^2+t-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=1+8=9,\qquad t=\frac{-1\pm3}{4}$$

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1$$

Krok 3 — wracamy do $x$ dla $\sin x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Krok 4 — dla $\sin x=-1$:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga. Oba pierwiastki $t$ mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$, więc żadnego nie odrzucamy. Gdyby któryś wypadł poza ten zakres, nie dałby rozwiązań.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$.

Krok 2 — rozwiązujemy $\cos u=\frac12$. Kąt podstawowy $\frac{\pi}{3}$, cosinus dodatni w I i IV ćwiartce, i powtarzamy co $2\pi$:

$$u=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{11\pi}{3}$$

Krok 3 — wracamy do $x=\frac{u}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$

Klucz do zadania. Skoro argumentem jest $2x$, trzeba rozpatrzyć przedział dwukrotnie dłuższy — stąd cztery rozwiązania, a nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$.

Krok 1 — dzielimy przez $\cos x$. Najpierw sprawdzamy, czy $\cos x=0$ może dać rozwiązanie: wtedy $\sin x=0$, ale sinus i cosinus nie zerują się jednocześnie, więc bezpiecznie dzielimy:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}x=1$$

Krok 2 — rozwiązania $\operatorname{tg}x=1$ (okres $\pi$):

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{5\pi}{4}$$

Kontrola. W $\frac{\pi}{4}$: $\sin=\cos=\frac{\sqrt2}{2}$ ✔ W $\frac{5\pi}{4}$: oba równe $-\frac{\sqrt2}{2}$ ✔

Interpretacja geometryczna. Sinus równa się cosinusowi tam, gdzie wykresy się przecinają — na przekątnych, pod kątem $45^\circ$ do osi.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{5\pi}{4}$.

Sposób 1 — szacowanie grube. Sinus i cosinus nie przekraczają $1$, więc ich suma nie przekracza $2$:

$$\sin x+\cos x\le1+1=2\lt 3$$

Lewa strona nigdy nie osiąga $3$, więc równanie jest sprzeczne. $\qquad ∎$

Sposób 2 — dokładne oszacowanie. Korzystając z tożsamości:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Ponieważ sinus mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$, cała suma należy do $\langle-\sqrt2,\ \sqrt2\rangle$. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41\lt 3$, wartość $3$ jest nieosiągalna.

Wniosek dodatkowy. Drugi sposób daje więcej: pokazuje, że największa możliwa wartość wyrażenia to $\sqrt2$, a nie $2$ — pierwsze oszacowanie było poprawne, ale zawyżone.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Skąd: to twierdzenie Pitagorasa w kole jednostkowym.

Odpowiedź: B.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt ostry → cosinus dodatni:

$$\cos x=\frac45$$

Odpowiedź: $\cos x=\frac45$.

Z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Założenie: $\cos x\neq0$.

Odpowiedź: C. $\operatorname{tg}x$.

Z jedynki trygonometrycznej, dla dowolnego kąta:

$$\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ=1$$

Sprawdzenie: $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Przekształcamy jedynkę trygonometryczną:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2 x=1-\cos^2 x$$

Odpowiedź: A. $\sin^2 x$.

$$\sin^2 x=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

$$\sin x=\frac{5}{13}$$

Odpowiedź: $\sin x=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — zamieniamy tangens na $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x=\frac{\sin^2 x}{\cos x}+\cos x$$

Krok 2 — wspólny mianownik:

$$\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x}$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\frac{1}{\cos x}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{\cos x}$.

Skracamy $\sin x$ i $\cos x$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1$$

Interpretacja: to iloczyn $\operatorname{tg}x$ i $\operatorname{ctg}x$, które są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

Wzór na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Uwaga: odpowiedź C to wzór na $\cos(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — przekształcamy licznik jedynką trygonometryczną:

$$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \qquad ∎$$

Wniosek: tożsamość zachodzi dla każdego $x$, dla którego $\sin x\neq0$.

Wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

Odpowiedź: B. $2\sin x\cos x$.

Sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$$

Cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x=0{,}64-0{,}36=0{,}28$$

Kontrola jedynką: $0{,}96^2+0{,}28^2=0{,}9216+0{,}0784=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin2x=0{,}96$, $\cos2x=0{,}28$.

Krok 1 — redukujemy wyrazy z $\sin^2 x$:

$$\cos^2 x+\sin^2 x$$

Krok 2 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Odpowiedź: $1$.

Rozpisujemy tangens:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$$

Odpowiedź: A. $\sin x$.

Wzór na cosinus sumy:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Podstawiamy:

$$\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$.

Jedna z postaci wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=2\cos^2 x-1$$

Wyprowadzenie: z $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ i $\sin^2 x=1-\cos^2 x$.

Odpowiedź: C. $2\cos^2 x-1$.

Krok 1 — wspólny mianownik $\sin x(1+\cos x)$:

$$\frac{\sin^2 x+(1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$$

Krok 2 — rozwijamy licznik:

$$\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x$$

Krok 3 — grupujemy jedynkę trygonometryczną:

$$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+1+2\cos x=1+1+2\cos x=2+2\cos x$$

Krok 4 — wyłączamy $2$ i skracamy:

$$\frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{2}{\sin x} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. Czynnik $(1+\cos x)$ skrócił się — to dlatego licznik trzeba było rozwinąć i zwinąć jedynką trygonometryczną.

Wniosek: obie strony są równe $\frac{2}{\sin x}$, więc tożsamość zachodzi dla wszystkich dopuszczalnych $x$.

Krok 1 — związek tangensa z sinusem i cosinusem:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=2 \quad\Rightarrow\quad \sin x=2\cos x$$

Krok 2 — podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

$$(2\cos x)^2+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad 5\cos^2 x=1$$

Krok 3 — wyznaczamy cosinus (ostry → dodatni):

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Krok 4 — sinus:

$$\sin x=2\cos x=\frac{2\sqrt5}{5}$$

Kontrola: $\frac{4\cdot5}{25}+\frac{5}{25}=\frac{25}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin x=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos x=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — zauważamy dopełnienie do $90^\circ$. Kąty $10^\circ$ i $80^\circ$ dopełniają się, a ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin80^\circ=\cos10^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ=\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ=1$$

Sprytny trik. Nie trzeba znać wartości $\sin10^\circ$ — wystarczyło rozpoznać dopełnienie kątów i zastosować jedynkę.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — zapisujemy $2x$ jako sumę:

$$\sin2x=\sin(x+x)$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x$$

Krok 3 — redukujemy identyczne składniki:

$$\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x \qquad ∎$$

Uwaga. Analogicznie ze wzoru na cosinus sumy dostajemy $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ — wszystkie wzory na kąt podwojony pochodzą ze wzorów na sumę kątów.

Sprawdzenie dla $x=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, a $2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Odpowiedź: A.

Wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\sin30^\circ=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Sinus — bok naprzeciw do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — bok przy kącie do przeciwprostokątnej:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to sinus przez cosinus (lub bok naprzeciw przez bok przy):

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

Dla $45^\circ$ przyprostokątne są równe, więc:

$$\operatorname{tg}45^\circ=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Sposób 1 — jedynka trygonometryczna. Dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Więc wynik od razu wynosi $1$.

Sposób 2 — sprawdzenie liczbowe:

$$\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac34+\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $1$.

$$\cos60^\circ=\frac12$$

Uwaga: $\cos60^\circ=\sin30^\circ$ — kąty dopełniające się do $90^\circ$.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Krok 1 — definicja sinusa:

$$\sin\alpha=\frac{a}{10}=0{,}6$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$:

$$a=0{,}6\cdot10=6$$

Odpowiedź: $6$.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

Krok 2 — pierwiastkujemy (kąt ostry, więc $\sin\alpha>0$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$.

$$\sin90^\circ=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — podstawiamy wartości:

$$\frac12\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac14+\frac34=1$$

Ciekawostka. To wzór na $\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — sinus kąta:

$$\sin30^\circ=\frac{a}{12}$$

Krok 2 — podstawiamy $\sin30^\circ=\frac12$:

$$\frac12=\frac{a}{12} \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Odpowiedź: $6$.

$\operatorname{tg}45^\circ=1$, więc $\alpha=45^\circ$.

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Krok 1 — model. Drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to bok naprzeciw kąta $60^\circ$.

Krok 2 — sinus:

$$\sin60^\circ=\frac{h}{5}$$

Krok 3 — obliczamy ($\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$):

$$h=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\ \text{m}$$

Odpowiedź: $\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33$ m.

$$\cos90^\circ=0$$

Odpowiedź: D. $0$.

Krok 1 — model trójkąta. $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy}}=\frac34$, więc bierzemy przyprostokątne $3$ i $4$.

Krok 2 — przeciwprostokątna (Pitagoras):

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — funkcje:

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin}{\cos}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\operatorname{tg}\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Krok 1 — model. Kąt wzniesienia $45^\circ$, odległość pozioma $20$ m to bok przy kącie, wysokość masztu to bok naprzeciw.

Krok 2 — tangens:

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{h}{20}$$

Krok 3 — obliczamy ($\operatorname{tg}45^\circ=1$):

$$1=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\ \text{m}$$

Wniosek. Przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości poziomej.

Odpowiedź: $20$ m.

Krok 1 — tożsamość na tangens:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha=0$$

Wniosek. Wyrażenie jest równe $0$ dla każdego kąta ostrego — to ta sama wielkość zapisana dwoma sposobami.

Odpowiedź: $0$.

Krok 1 — rozwijamy kwadrat sumy:

$$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$$

Krok 2 — grupujemy $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$:

$$=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$=1+2\sin\alpha\cos\alpha \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: lewa $\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=(\sqrt2)^2=2$; prawa $1+2\cdot\frac12=2$ ✔

To podstawowy wzór redukcyjny — kąty $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ dopełniają się do kąta prostego:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Skąd to wynika: w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre dopełniają się do $90^\circ$, a sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Sprawdzenie: $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: B. $\cos\alpha$.

Krok 1 — zapisujemy kąt w dogodnej postaci:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$$

Kontrola ćwiartką: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny ✔

Odpowiedź: $-\frac12$.

Kąt $180^\circ-\alpha$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, a jego wartość bezwzględna nie zmienia się:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Porównaj z sinusem: $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$ — bez minusa, bo sinus w drugiej ćwiartce pozostaje dodatni.

Odpowiedź: B. $-\cos\alpha$.

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Jak je zapamiętać. W sinusie funkcje się „mieszają” ($\sin\cos+\cos\sin$), a znak zgadza się ze znakiem w nawiasie. W cosinusie funkcje występują parami ($\cos\cos-\sin\sin$), a znak jest przeciwny do tego w nawiasie.

Odpowiedź: jak wyżej.

Wystarczy podstawić $\beta=\alpha$ we wzorze na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

Częsty błąd: $\sin2\alpha\neq2\sin\alpha$. Sprawdź dla $\alpha=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$, a $2\sin30^\circ=1$.

Odpowiedź: C. $2\sin\alpha\cos\alpha$.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}$$

Krok 4 — zapisujemy jednym ułamkiem:

$$\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Kontrola sensu: $75^\circ$ jest blisko $90^\circ$, więc sinus powinien być bliski $1$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — rozkładamy kąt:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus różnicy:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Warto zauważyć: $\cos15^\circ=\sin75^\circ$ — bo kąty $15^\circ$ i $75^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\operatorname{tg}\left(180^\circ-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny, bo sinus jest dodatni, a cosinus ujemny ✔

Odpowiedź: B. $-1$.

Krok 1 — pierwszy składnik:

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — sumujemy:

$$\cos\alpha+\left(-\cos\alpha\right)=0$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $\sin120^\circ+\cos150^\circ=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0$ ✔

Odpowiedź: $0$ dla każdego $\alpha$.

Krok 1 — punkt wyjścia:

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

Krok 2 — korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$:

$$\cos2\alpha=\left(1-\sin^2\alpha\right)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $1-2\cdot\frac14=\frac12=\cos60^\circ$ ✔

Uwaga: odpowiedź B to $-\cos2\alpha$ — łatwo pomylić kolejność odejmowania.

Odpowiedź: A. $1-2\sin^2\alpha$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Krok 2 — wybieramy znak. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac45$$

Krok 3 — wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}=0{,}96$$

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$210^\circ=180^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — wzory redukcyjne dla trzeciej ćwiartki:

$$\sin\left(180^\circ+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\sin210^\circ=-\frac12,\qquad \cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Kontrola ćwiartką: w trzeciej ćwiartce obie funkcje są ujemne ✔

Odpowiedź: $-\frac12$ oraz $-\frac{\sqrt3}{2}$.

Sinus jest funkcją nieparzystą, więc zmiana znaku argumentu zmienia znak wartości:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

Cosinus zachowuje się inaczej — jest funkcją parzystą, więc $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$.

Na wykresie: sinus jest symetryczny względem początku układu, a cosinus względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. $-\sin\alpha$.

Krok 1 — redukujemy licznik:

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

Krok 2 — redukujemy mianownik:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 3 — składamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, czyli $\alpha\neq90^\circ+k\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$.

We wzorze na cosinus znak jest przeciwny do tego w nawiasie:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Sprawdzenie skrajnym przypadkiem: dla $\beta=\alpha$ dostajemy $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, a przecież $\cos0^\circ=1$ ✔

Uwaga: odpowiedź D to wzór na $\sin(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$105^\circ=60^\circ+45^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus sumy:

$$\cos105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt6}{4}$$

Krok 4 — jeden ułamek:

$$\cos105^\circ=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\approx-0{,}259$$

Kontrola znaku: $105^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, więc cosinus musi być ujemny — i jest, bo $\sqrt6>\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

Krok 1 — cosinus podwojonego kąta. Wybieramy postać zależną tylko od cosinusa:

$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$

Krok 2 — wyznaczamy sinus. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac35$$

Krok 3 — sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$$

Kontrola jedynką: $\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=\frac{625}{625}=1$ ✔

Uwaga na ćwiartkę. Znak sinusa musieliśmy odczytać z położenia kąta — sama jedynka trygonometryczna daje dwie możliwości.

Odpowiedź: $\cos2\alpha=\frac{7}{25}$, $\sin2\alpha=-\frac{24}{25}$.

Krok 1 — redukujemy każdy czynnik osobno:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin\alpha\cdot\sin\alpha+\left(-\cos\alpha\right)\cdot\cos\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$

Krok 3 — rozpoznajemy wzór:

$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=-\cos2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=0$, a $-\cos90^\circ=0$ ✔

Odpowiedź: $-\cos2\alpha$.

Krok 1 — rozpisujemy lewą stronę. Pierwszy składnik:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — dodajemy. Składniki z $\cos\alpha\sin\beta$ mają przeciwne znaki i się redukują:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta \qquad ∎$$

Do czego to służy. Wzór czytany od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę — a sumy łatwiej się całkuje i rozwiązuje w równaniach trygonometrycznych. Analogicznie odejmowanie tych wzorów daje $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$.

Sprawdzenie dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$: lewa strona to $\sin90^\circ+\sin30^\circ=1+\frac12=\frac32$, prawa $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ ✔