Nierówności kwadratowe
Klasa 2 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 28
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Rozwiąż nierówność $x(3x-2)\lt 1$.
Rozwiąż nierówność $(x-3)(x+5)>9$. Zapisz obliczenia.
Rozwiąż nierówność $3\left(2x^{2}+1\right)\lt 11x$.
Rozwiąż nierówność
\(-3x^2\gt 6x-9\)
Zapisz obliczenia.
Rozwiąż nierówność $x(x-6)\le 7$. Zapisz obliczenia.
Rozwiąż nierówność
\(x(2x-1)\lt 2x\)
Zapisz obliczenia.
Wykres funkcji \(f\) danej wzorem \(f(x)=-2x^2\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi \(Oy\) o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji \(g\).
a) Rozwiąż nierówność \(f(x)+5\lt 3x\).
b) Podaj zbiór wartości funkcji \(g\).
c) Funkcja \(g\) określona jest wzorem \(g(x)=-2x^2+bx+c\). Oblicz \(b\) i \(c\).
Dana jest funkcja \(f(x)=-x^2+6x-5\).
a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\) i podaj jej zbiór wartości.
b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f(x)\ge0\).
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej \(f\). Na podstawie tego wykresu:
a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)\le3\),
b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle0,3\rangle\),
c) zapisz wzór funkcji \(f\) w postaci iloczynowej.
📘Teoria 1
Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej
- przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero
- znajdź miejsca zerowe trójmianu
- ustal kierunek ramion paraboli ze znaku $a$
- naszkicuj parabolę i odczytaj przedziały
- dobierz nawiasy: ostre przy nierówności nieostrej, okrągłe przy ostrej
Klucz — kierunek ramion
Dla $a>0$ (ramiona w górę):
- wartości ujemne — między miejscami zerowymi
- wartości dodatnie — na zewnątrz, w dwóch przedziałach
Dla $a\lt 0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.
Przykład
Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:
$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$
Przypadki bez miejsc zerowych
Gdy $\Delta\lt 0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a\lt 0$ — pod osią.
Wzory Viete
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.
Typowe zastosowania Viete
- oba pierwiastki dodatnie: $\Delta>0$ oraz suma $>0$ i iloczyn $>0$
- oba ujemne: $\Delta>0$ oraz suma $\lt 0$ i iloczyn $>0$
- różnych znaków: wystarczy iloczyn $\lt 0$
- $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ — pozwala policzyć sumę kwadratów
Równania sprowadzalne do kwadratowych
Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.
Na co uważać
Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.
∑Wzory 2
Szkicujemy parabolę: dla $a>0$ wartości dodatnie są „na zewnątrz” pierwiastków.
Przykład: $x^2-4>0\iff x<-2\ \lor\ x>2$.
Dwa rozwiązania dla $\Delta>0$, jedno ($x=-\frac{b}{2a}$) dla $\Delta=0$, brak dla $\Delta<0$.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x_1=2$, $x_2=3$.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 35
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-1)(x-4)$ to:
Dla $a>0$ nierówność $ax^2+bx+c>0$ jest spełniona:
Rozwiąż nierówność $(x-2)(x-5)\lt 0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-9>0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\le0$.
Nierówność $x^2\ge0$ jest spełniona dla:
Rozwiąż nierówność $x^2\le16$.
Dla $a\lt 0$ nierówność $ax^2+bx+c\lt 0$ jest spełniona:
Rozwiąż nierówność $x^2+4x\ge0$.
Nierówność $x^2\lt 0$ jest spełniona:
Rozwiąż nierówność $-x^2+4>0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-6x+9\le0$.
Zbiorem rozwiązań $(x+2)(x-3)\ge0$ jest:
Rozwiąż nierówność $2x^2-8\lt 0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-x-6>0$.
Nierówność $(x-1)^2>0$ jest spełniona dla:
Dla jakich $x$ funkcja $f(x)=x^2-4x+3$ przyjmuje wartości ujemne?
Rozwiąż nierówność $x^2+2x+5>0$.
Dla jakich $x$ wyrażenie $\sqrt{x^2-4}$ jest określone (w liczbach rzeczywistych)?
Wykaż, że nierówność $x^2-2x+1\ge0$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $2x-3\gt 5$ jest przedział
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-3x\le12$ jest przedział
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+1)\le\dfrac{3-x}{2}$ jest przedział
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2\lt 9$ jest
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2-4x\ge0$ jest
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2+2x+5\gt 0$ jest
Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $0$ i $4$, a jej wykres jest parabolą o wierzchołku $(2,-4)$. Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\le0$.
Rozwiąż nierówność $2(x^2-1)\lt 3x$.
Rozwiąż nierówność $3x^2+5x\ge x+4$.
Rozwiąż nierówność $(x-2)(x+1)\le2(x+1)$.
Rozwiązaniem nierówności $2x-4>0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $x^2-16\ge0$ jest
Rozwiązaniem nierówności $x^2>4$ jest
Rozwiązaniem nierówności $3x\le6$ jest
Rozwiąż nierówność $x^2+2x-8\le0$.