Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale

a) Z różnicy wyrazów:

\(a_{11}-a_7=4r=9-1=8\), skąd \(r=2\).

Z \(a_7=a_1+6r\):

\(1=a_1+12\), czyli \(a_1=-11\).

Wzór ogólny: \(a_n=-11+2(n-1)=2n-13\).

b) Obliczamy \(a_8=2\cdot8-13=3\). Sprawdzamy warunek na ciąg geometryczny:

\(a_8^2=3^2=9\), \(\ a_7\cdot a_{11}=1\cdot9=9\).

Warunek jest spełniony, a żaden z wyrazów nie jest zerem, więc ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(q=3\).

c) Ciąg jest rosnący (\(r=2>0\)). Suma \(S_n\) maleje dopóki dodajemy wyrazy ujemne:

\(a_n=2n-13\lt 0\ \Longleftrightarrow\ n\lt 6{,}5\),

czyli ujemne są wyrazy \(a_1,\ldots,a_6\) (przy czym \(a_6=-1\)), a \(a_7=1>0\).

Suma jest więc najmniejsza dla \(n=6\):

\(S_6=\dfrac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\dfrac{-11-1}{2}\cdot6=-36\).

Sprawdzenie: \(S_5=-35\), \(S_7=-35\) — obie wartości większe od \(-36\). ✅

Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołków łamanej:

\(A=(-3,-4)\), \(B=(-2,-4)\), \(C=(2,3)\), \(D=(4,3)\).

a) Najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), największa \(3\), a funkcja jest ciągła, więc

\(ZW=\langle-4,3\rangle\).

b) Szacujemy argument: \(3\lt \sqrt{10}\lt 4\), więc \(1-\sqrt{10}\in(-3,-2)\). Na tym przedziale wykres jest poziomym odcinkiem \(AB\) o wartości \(-4\), zatem

\(f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4\).

c) Współczynnik kierunkowy prostej \(BC\):

\(a=\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)}=\dfrac74\).

Prosta przechodzi przez \(B=(-2,-4)\):

\(y+4=\tfrac74(x+2)\), czyli \(y=\dfrac74x-\dfrac12\).

d)

\(|BC|=\sqrt{(2+2)^2+(3+4)^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx8{,}06\).

Zapisujemy funkcję w postaci ogólnej:

\(f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2\).

Wierzchołek. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę, a wierzchołek leży w

\(x_w=\dfrac{3}{4}\in\langle-2,2\rangle\).

\(f\!\left(\tfrac34\right)=2\cdot\dfrac{9}{16}-3\cdot\dfrac34-2=\dfrac98-\dfrac94-2=-\dfrac{25}{8}\).

Wartości na krańcach przedziału.

\(f(-2)=2\cdot4+6-2=12\), \(\ f(2)=8-6-2=0\).

Odpowiedź: wartość najmniejsza wynosi \(-\dfrac{25}{8}=-3{,}125\) (dla \(x=\tfrac34\)), a największa \(12\) (dla \(x=-2\)).

Z wykresu odczytujemy: miejsca zerowe \(x_1=-1\), \(x_2=3\), wierzchołek \(W=(1,4)\), a wykres przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,3)\). Ramiona paraboli są skierowane w dół.

c) Wzór funkcji. Z postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) oraz warunku \(f(0)=3\):

\(a\cdot1\cdot(-3)=3\), czyli \(-3a=3\), skąd \(a=-1\).

Zatem \(f(x)=-(x+1)(x-3)\) (równoważnie \(f(x)=-x^2+2x+3\)).

a) Nierówność \(f(x)\le3\).

\(-x^2+2x+3\le3\),

\(-x^2+2x\le0\), czyli \(x^2-2x\ge0\), a więc \(x(x-2)\ge0\).

Stąd \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). (Można to też odczytać wprost z wykresu: wartości nie większe niż 3 są poza przedziałem \((0,2)\).)

b) Wartości ekstremalne na \(\langle0,3\rangle\).

Wierzchołek \(x=1\) należy do przedziału, więc

wartość największa: \(f(1)=4\),

wartość najmniejsza: na krańcach \(f(0)=3\), \(f(3)=0\), czyli \(0\).

Oznaczmy przez \(x\) liczbę złotych, o którą obniżono cenę (\(x\ge0\)).

Wtedy:

• cena sprzedaży: \(160-x\) zł, zysk z jednej kurtki: \(160-x-100=60-x\) zł,

• liczba sprzedanych kurtek: \(40+x\).

Miesięczny zysk:

\(f(x)=(60-x)(40+x)=-x^2+20x+2400\).

Jest to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10\).

Cena sprzedaży wynosi wtedy \(160-10=150\) zł, a zysk \(f(10)=50\cdot50=2500\) zł.

Odpowiedź: sprzedawca powinien ustalić cenę 150 zł.