Klasa 2 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Suma kątów w czworokącie wynosi:
W trójkącie dwa kąty mają $35^\circ$ i $85^\circ$. Oblicz trzeci kąt i określ rodzaj trójkąta ze względu na kąty.
W czworokącie trzy kąty mają $90^\circ$, $75^\circ$ i $110^\circ$. Oblicz czwarty kąt.
Które zdanie o równoległoboku jest prawdziwe?
Jakim przyrządem konstruuje się okrąg, a jakim odmierza kąty?
Suma kątów w ośmiokącie wynosi:
W trapezie równoramiennym kąt przy dłuższej podstawie ma $65^\circ$. Oblicz pozostałe kąty.
Ile stopni ma każdy kąt sześciokąta foremnego?
Symetralna odcinka to prosta, która:
W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma $40^\circ$. Oblicz kąty przy podstawie.
Który czworokąt ma przekątne przecinające się pod kątem prostym i dzielące się na połowy?
Kąt $\alpha$ i kąt $\beta$ są przyległe. Kąt $\alpha$ jest trzy razy większy od $\beta$. Oblicz oba kąty.
Opisz krok po kroku, jak skonstruować symetralną odcinka $AB$ przy użyciu cyrkla i linijki.
Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy:
W trójkącie kąty mają się jak $2:3:4$. Oblicz ich miary.
Ile przekątnych ma pięciokąt?
W równoległoboku jeden z kątów ma $110^\circ$. Oblicz pozostałe trzy kąty i sprawdź, czy ich suma się zgadza.
Ile stopni ma kąt wewnętrzny dwunastokąta foremnego? Ile ma jego kąt zewnętrzny?
W trójkącie $ABC$ kąt przy $A$ ma $70^\circ$, a kąt przy $B$ jest o $30^\circ$ większy od kąta przy $C$. Oblicz kąty przy $B$ i przy $C$.
$$\text{trójkąt: }180^\circ,\qquad \text{czworokąt: }360^\circ$$
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty — stąd podwojona suma.
Ze względu na boki: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
$$l=2\pi r,\qquad P=\pi r^2$$
Okrąg to linia, koło — okrąg wraz z wnętrzem.
Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości. Odcinek $3$ cm odpowiada więc $300$ cm, czyli $3$ m.
Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem — to nie są rozłączne kategorie. Przy skali zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy planu, czy rzeczywistości, i pilnuj jednostek.
Przyległe dopełniają się do $180^\circ$. Wierzchołkowe są równe.
Przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Powstają wtedy tylko dwie różne miary — np. $58^\circ$ i $122^\circ$.
$$S=(n-2)\cdot180^\circ$$
Bierze się stąd, że $n$-kąt dzielimy przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, pięciokąt $540^\circ$, sześciokąt $720^\circ$.
$$\text{kąt wewnętrzny}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\qquad \text{kąt zewnętrzny}=\frac{360^\circ}{n}$$
Suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — to często szybsza droga do wyniku.
Jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Dla trójkąta $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku to $110^\circ=50^\circ+60^\circ$.
$$\frac{n(n-3)}{2}$$
Z każdego wierzchołka prowadzimy $n-3$ przekątne (pomijamy siebie i dwóch sąsiadów), a dzielimy przez $2$, bo każdą liczylibyśmy dwukrotnie.
Symetralna odcinka: tym samym rozwarciem cyrkla (większym niż połowa odcinka) kreślimy łuki z obu końców i łączymy punkty ich przecięcia. Działa, bo te punkty są jednakowo oddalone od obu końców.
Dwusieczna kąta: z wierzchołka zakreślamy łuk przecinający ramiona, a następnie z obu punktów przecięcia — łuki tej samej długości. Prosta przez wierzchołek i punkt przecięcia łuków dzieli kąt na pół.
Symetralna dotyczy odcinka, dwusieczna — kąta; mylenie tych nazw to najczęstsza pomyłka. Przy zadaniach z kątami zawsze warto sprawdzić na końcu, czy suma się zgadza.
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta.
Przykład: Kąty $50^\circ$ i $70^\circ$: trzeci kąt $60^\circ$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.