Kąty środkowe i wpisane

Rozwiązanie

1. Kąt wpisany $CDA=50^\circ$ oparty na łuku $AC$, więc kąt środkowy $AOC=2\cdot50^\circ=100^\circ$ (łuk $AC$).
2. $B$ leży na łuku $AC$, a $\angle COB=30^\circ$ (łuk $BC$).
3. $\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ$.

Odpowiedź: C

Krok 1. Wykorzystanie zależności między kątem wpisanym a środkowym.
Kąt wpisany \(CDA\) jest oparty na łuku \(AC\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku to kąt \(COA\). Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$|\sphericalangle COA|=2\cdot50^{\circ}=100^{\circ}$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BOA\).
Z rysunku wynika, że kąt \(COA\) jest sumą kątów \(COB\) oraz \(BOA\), zatem:
$$|\sphericalangle BOA|=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}$$

Kąt wpisany $\beta=\angle DBC$ jest oparty na łuku $DC$, a kąt wpisany $\gamma=\angle ACD$ — na łuku $AD$.

Suma tych kątów wpisanych jest połową sumy łuków, na których są oparte: $\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}(\smile DC+\smile AD)=\dfrac{1}{2}\smile ADC$.

Ponieważ $AC$ jest średnicą, łuk $ADC$ (od $A$ do $C$ przez $D$) ma miarę $180^{\circ}$.

Zatem $\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}$.

Odpowiedź: B.

Kąt $COB$ jest środkowy i prosty, więc łuk $BC=90^{\circ}$.

Kąt $AKD$ jest kątem między cięciwami $AC$ i $BD$: $\angle AKD=\dfrac{1}{2}(\smile AD+\smile BC)$, stąd $78^{\circ}=\dfrac{1}{2}(\smile AD+90^{\circ})$, więc $\smile AD=66^{\circ}$.

Ponieważ $BD$ jest średnicą, łuk $BAD$ (od $B$ przez $A$ do $D$) ma $180^{\circ}$, więc $\smile AB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}$.

Kąt wpisany $BDA$ oparty na łuku $AB$: $\angle BDA=\dfrac{1}{2}\cdot 114^{\circ}=57^{\circ}$.

Odpowiedź: C.

Kąt środkowy $AOB$ i kąt wpisany $ACB$ oparte są na tym samym łuku $AB$, więc $\angle AOB=2\cdot 50^{\circ}=100^{\circ}$.

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($OA=OB=r$), zatem kąty przy podstawie są równe:

$\angle ABO=\dfrac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Kąt \(AOB\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt wpisany \(ACB\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że miara tego kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle AOB|=2\cdot50°=100°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOB\). Jest to trójkąt równoramienny. Skąd to wiemy? Ramiona \(AO\) oraz \(BO\) mają długość taką jak promień okręgu, stąd też mamy pewność, że są one równej długości. Zwłasności kątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami na \(100°\), to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-100°=80°\).

Tym samym kąt \(ABO\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ABO|=80°:2=40°$$

Sposób I — kąt środkowy i wpisany.

Kąt \(BDA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AB\), a kąt \(BSA\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku. Kąt środkowy jest dwa razy większy:

\(|\angle BSA|=2\cdot 40^\circ=80^\circ\)

Sposób II — trójkąt równoramienny.

Odcinek \(BD\) jest średnicą, więc kąt \(BAD\) jest prosty (kąt wpisany oparty na półokręgu). W trójkącie \(ABD\):

\(|\angle ABD|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ\)

Trójkąt \(ASB\) jest równoramienny (\(|SA|=|SB|=36\)), więc \(|\angle SAB|=|\angle SBA|=50^\circ\) i

\(|\angle BSA|=180^\circ-2\cdot 50^\circ=80^\circ\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Miara kąta wpisanego \(CDB\).

Odcinek \(BD\) jest średnicą okręgu, więc kąt \(BCD\) jest prosty. W trójkącie \(BCD\):

\(|\angle CDB|=180^\circ-90^\circ-65^\circ=25^\circ\)

Krok 2. Kąt środkowy oparty na łuku \(BC\).

\(|\angle BSC|=2\cdot 25^\circ=50^\circ\)

Krok 3. Długość łuku.

Długość okręgu: \(2\pi r=2\pi\cdot 36=72\pi\). Łuk stanowi \(\frac{50^\circ}{360^\circ}\) obwodu:

\(l=72\pi\cdot\frac{50}{360}=72\pi\cdot\frac{5}{36}=10\pi\)

Odpowiedź: B.

Sprawdzamy, że trójkąt jest prostokątny:

\(10^2+24^2=100+576=676=26^2\) ✓

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego (kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na półokręgu), zatem:

\(R=\frac{c}{2}=\frac{26}{2}=13\)

Odpowiedź: D.

Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg opisany na \(10\) równych łuków. Każdy z nich odpowiada kątowi środkowemu o mierze:

\(\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\)

Kąt wpisany \(AGD\) jest oparty na łuku \(AD\) niezawierającym punktu \(G\). Łuk ten składa się z trzech łuków: \(AB\), \(BC\), \(CD\), więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę:

\(3\cdot 36^\circ=108^\circ\)

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

\(|\angle AGD|=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\)

Odpowiedź: C.

Rozwiązanie

1. Kąt środkowy $ASB=2\cdot42^\circ=84^\circ$ (oparty na tym samym łuku $AB$).
2. Trójkąt $ASB$ jest równoramienny ($SA=SB=r$), więc $\angle BAS=\dfrac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ$.

Odpowiedź: C

Kąt wpisany \(KLM\) ma wierzchołek w punkcie \(L\) i jest oparty na tym łuku \(KM\), który nie zawiera punktu \(L\).

Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(KSM=160^\circ\) odpowiada łukowi \(KM\) przechodzącemu przez punkt \(L\), zatem łuk, na którym oparty jest kąt wpisany, ma miarę:

\(360^\circ-160^\circ=200^\circ\)

Kąt wpisany jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego:

\(|\sphericalangle KLM|=\frac{200^\circ}{2}=100^\circ\)

Odpowiedź: C.

Kąt środkowy oparty na łuku $AB$ jest dwa razy większy od wpisanego: $2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}$.

Długość łuku: $\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\cdot 6=\dfrac{1}{3}\cdot 12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: B.

Kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym \(\frac{1}{5}\) okręgu ma miarę:

\(\frac{1}{5}\cdot 360^\circ=72^\circ\)

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego:

\(|\sphericalangle ACB|=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ\)

Odpowiedź: C.

Rozwiązanie

1. Trójkąt $ACO$ jest równoramienny ($OA=OC$), więc $\angle AOC=180^\circ-2\cdot70^\circ=40^\circ$.
2. $\angle ABC$ (wpisany) opiera się na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $AOC$: $\angle ABC=\tfrac12\cdot40^\circ=20^\circ$.

Odpowiedź: B

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\) oraz \(AOC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona mają długość promienia). Z własności takich trójkątów wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, co prowadzi nas do wniosku, że:
$$|\sphericalangle OAC|=70°$$

Suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-70°-70°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt wpisany \(ABC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że miara kąta wpisanego będzie w takiej sytuacji dwukrotnie mniejsza, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=40°:2=20°$$

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

\(\beta=2\alpha\)

Z warunku zadania \(\beta=\alpha+40^\circ\). Podstawiamy:

\(2\alpha=\alpha+40^\circ\)

\(\alpha=40^\circ\)

Zatem:

\(\beta=2\cdot 40^\circ=80^\circ\)

Odpowiedź: B.

Kąt między styczną a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku $AB$, więc łuk $AB$ ma miarę $2\cdot 32^{\circ}=64^{\circ}$, a kąt środkowy $\angle AOB=64^{\circ}$.

Punkty $A,O,C$ leżą na jednej prostej (bo $AC$ to średnica), zatem $\angle BOC=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$.

Odpowiedź: B.

Rozważamy trójkąt \(BKC\).

Kąt \(\sphericalangle KBC\) to kąt \(\sphericalangle DBC\), czyli \(40^\circ\).

Kąt \(\sphericalangle BCK\) to kąt wpisany \(\sphericalangle BCA\), oparty na tym samym łuku \(AB\) co kąt \(\sphericalangle ADB\), więc ma taką samą miarę \(20^\circ\).

Z sumy kątów w trójkącie \(BKC\):

\(|\sphericalangle BKC|=180^\circ-40^\circ-20^\circ=120^\circ\)

Punkty \(D\), \(K\), \(B\) leżą na jednej prostej (cięciwa \(BD\)), więc kąty \(DKC\) i \(BKC\) są przyległe:

\(|\sphericalangle DKC|=180^\circ-120^\circ=60^\circ\)

Uwaga: ten sam wynik daje wzór na kąt między przecinającymi się cięciwami: \(|\sphericalangle DKC|=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{AB}\right)=\frac{1}{2}(80^\circ+40^\circ)=60^\circ\).

Odpowiedź: B.