Czworokąty i ich własności

Każdy czworokąt ma sumę kątów $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ$$

Odpowiedź: $75^\circ$.

Kwadrat ma cztery kąty proste ($90^\circ$) i cztery równe boki.

Odpowiedź: B. proste.

Trapez ma jedną parę boków równoległych (podstawy). Pozostałe figury mają dwie pary.

Odpowiedź: A. trapez.

Kąty przeciwległe są równe, sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$:

$$70^\circ,\quad 110^\circ,\quad 70^\circ,\quad 110^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Romb ma cztery równe boki, ale kąty niekoniecznie proste.

Kwadrat to szczególny romb — z kątami prostymi.

Odpowiedź: D. wszystkie boki równe.

Krok 1 — drugi bok. Obwód to $2(a+b)$:

$$2(8+b)=26 \quad\Rightarrow\quad 8+b=13 \quad\Rightarrow\quad b=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: drugi bok $5$ cm, pole $40$ cm².

Krok 1 — kąty przy podstawie dolnej. W trapezie równoramiennym są równe: $65^\circ$ i $65^\circ$.

Krok 2 — kąty przy podstawie górnej. Kąt przy tym samym ramieniu dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Krok 3 — wszystkie kąty: $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa po $65^\circ$ i dwa po $115^\circ$.

W kwadracie przekątne są równe, prostopadłe i przecinają się w połowie.

Odpowiedź: C. równe i prostopadłe.

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

W prostokącie przekątne są równe. W rombie (niekwadratowym) — różne.

Odpowiedź: A. prostokąt.

Pole rombu liczymy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $24$ cm².

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Kwadrat ma wszystkie kąty proste (jak prostokąt) i wszystkie boki równe (jak romb), więc jest jednym i drugim.

Odpowiedź: B. prostokątem i rombem.

Wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Odpowiedź: $32$.

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie (punkt przecięcia jest środkiem obu).

Uwaga: równość i prostopadłość przekątnych to cechy szczególnych równoległoboków (prostokąt, romb).

Odpowiedź: D. dzielą się na połowy.

Krok 1 — kąty sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Oznaczmy je $2x$ i $3x$:

$$2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 5x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$2x=72^\circ,\qquad 3x=108^\circ$$

Krok 3 — wszystkie cztery (przeciwległe równe):

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ$$

Sprawdzenie: $72+108+72+108=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $72^\circ$ i $108^\circ$ (po dwa).

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Krok 1 — ramię ukośne. Tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $11-5=6$:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trapezu:

$$P=\frac{(5+11)\cdot8}{2}=\frac{128}{2}=64$$

Klucz. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe (= wysokość), a ukośne liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: ramię $10$, pole $64$.

Krok 1 — własność boków. W równoległoboku bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$, a bok $AD$ jest poprzeczną przecinającą te równoległe.

Krok 2 — kąty jednostronne. Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ leżą po tej samej stronie poprzecznej między prostymi równoległymi — to kąty jednostronne wewnętrzne.

Krok 3 — twierdzenie o kątach jednostronnych. Kąty jednostronne przy prostych równoległych sumują się do $180^\circ$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ \qquad ∎$$

Wniosek. To dlatego w równoległoboku kąty sąsiednie zawsze się dopełniają, a przeciwległe są równe.

Sprawdzenie: jeśli $\angle A=70^\circ$, to $\angle D=110^\circ$, a $70+110=180^\circ$ ✔

$$P=a\cdot h=12\cdot7=84\ \text{cm}^2$$

Uwaga: w równoległoboku nie dzielimy przez $2$ — to wzór dla trójkąta.

Odpowiedź: C. $84$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(9+15)\cdot6}{2}=\frac{144}{2}=72\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $72$ cm$^2$.

Krok 1 — bok. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$a\sqrt2=10\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=10\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=100\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $10$ cm, pole $100$ cm$^2$.

Romb ma cztery równe boki. Jego kąty są proste tylko w szczególnym przypadku — wtedy jest kwadratem.

Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami.

Odpowiedź: B. romb.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{12\cdot16}{2}=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $96$ cm$^2$.

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o bokach $9$ i $12$:

$$d=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}$$

Rozpoznanie: trójka $9$–$12$–$15$.

Odpowiedź: A. $15$ cm.

Krok 1 — kluczowa własność. Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym, tworząc cztery przystające trójkąty prostokątne.

Krok 2 — połowa znanej przekątnej:

$$16:2=8\ \text{cm}$$

Krok 3 — druga przyprostokątna (bok rombu jest przeciwprostokątną):

$$\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$$

Krok 4 — cała druga przekątna:

$$2\cdot6=12\ \text{cm}$$

Kontrola przez pole: $\frac{16\cdot12}{2}=96$ cm$^2$; to samo pole daje $a\cdot h$, gdzie $h=9{,}6$ cm ✔

Odpowiedź: $12$ cm.

Krok 1 — z wzoru wyznaczamy sumę podstaw:

$$a+b=\frac{2P}{h}=\frac{120}{8}=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — druga podstawa:

$$15-7=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{(7+8)\cdot8}{2}=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do obu podstaw, co daje dwa kąty proste — przy tym ramieniu.

Pozostałe dwa kąty sumują się do $180^\circ$, ale żaden nie musi być prosty.

Uwaga: gdyby wszystkie cztery kąty były proste, figura byłaby prostokątem.

Odpowiedź: D. dwa.

Krok 1 — wysokość. Dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $4$ i przeciwprostokątnej $8$:

$$h=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt3\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{8\cdot4\sqrt3}{2}=16\sqrt3\ \text{cm}^2$$

Kontrola wzorem: $\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3$ ✔

Odpowiedź: $h=4\sqrt3\approx6{,}93$ cm, $P=16\sqrt3\approx27{,}7$ cm$^2$.

Przekątne trapezu równoramiennego są równe, ale nie muszą być prostopadłe.

Prostopadłe przekątne ma romb i deltoid.

Pozostałe trzy zdania poprawnie opisują trapez równoramienny — jego osią symetrii jest prosta przechodząca przez środki obu podstaw.

Odpowiedź: C. przekątne przecinają się pod kątem prostym.

W deltoidzie przekątne są prostopadłe, więc obowiązuje ten sam wzór co dla rombu:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{14\cdot9}{2}=63\ \text{cm}^2$$

Warto zapamiętać: wzór $\frac{ef}{2}$ działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Odpowiedź: $63$ cm$^2$.

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o dwóch przyprostokątnych $a$:

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$$

Uwaga: $a\sqrt3$ to przekątna sześcianu o krawędzi $a$.

Odpowiedź: A. $a\sqrt2$.

Krok 1 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — druga wysokość. Pole można policzyć na dwa sposoby, więc:

$$6\cdot h=40 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{40}{6}\approx6{,}67\ \text{cm}$$

Obserwacja: wysokość opuszczona na krótszy bok jest dłuższa — to konieczne, żeby iloczyn pozostał stały.

Odpowiedź: pole $40$ cm$^2$, druga wysokość około $6{,}67$ cm.

Krok 1 — odcinek odcięty przy dłuższej podstawie. Różnica podstaw dzieli się równo na obie strony:

$$\frac{12-6}{2}=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — wysokość (ramię jest przeciwprostokątną):

$$h=\sqrt{25-9}=4\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{(12+6)\cdot4}{2}=36\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — obwód:

$$O=12+6+5+5=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $h=4$ cm, $P=36$ cm$^2$, $O=28$ cm.

Krok 1 — droga wzdłuż boków:

$$30+40=70\ \text{m}$$

Krok 2 — przekątna:

$$d=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\ \text{m}$$

Krok 3 — oszczędność:

$$70-50=20\ \text{m}$$

Rozpoznanie: trójka $30$–$40$–$50$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $10$.

Odpowiedź: zaoszczędzi $20$ m.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot6=60\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole łączne:

$$P=60+24=84\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — przeciwprostokątna trójkąta:

$$c=\sqrt{36+64}=10\ \text{cm}$$

Krok 5 — obwód figury. Bok stykowy ($6$ cm) leży wewnątrz, więc go nie liczymy. Obwód tworzą: dwa dłuższe boki prostokąta, jego drugi krótszy bok oraz dwa boki trójkąta:

$$O=10+10+6+8+10=44\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $84$ cm$^2$, obwód $44$ cm.

Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$ (tworzą kąt półpełny):

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Nie mylić z dopełniającymi: te sumują się do $90^\circ$ — stąd błędna odpowiedź A.

Odpowiedź: B. $115^\circ$.

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi $180^\circ$:

$$\gamma=180^\circ-47^\circ-58^\circ=75^\circ$$

Kontrola: $47^\circ+58^\circ+75^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: trzeci kąt ma $75^\circ$.

Każdy czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, więc suma jego kątów to dwukrotność sumy kątów trójkąta:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Wzór ogólny dla wielokąta o $n$ bokach: $(n-2)\cdot180^\circ$. Dla $n=4$ daje $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{10\cdot7}{2}=\frac{70}{2}=35\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $35$ cm$^2$.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Na dwa z nich zostaje:

$$180^\circ-80^\circ=100^\circ$$

Dzielimy na dwa równe kąty:

$$100^\circ:2=50^\circ$$

Kontrola: $80^\circ+50^\circ+50^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: każdy kąt przy podstawie ma $50^\circ$.

Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu dwóch prostych i leżą naprzeciw siebie. Zawsze mają równe miary.

Nie mylić z kątami przyległymi, które leżą obok siebie i sumują się do $180^\circ$ (odpowiedź B).

Odpowiedź: A. są równe.

Pole równoległoboku to iloczyn podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę:

$$P=a\cdot h=12\cdot5=60\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — drugi bok. Z obwodu $2(a+b)=46$ mamy $a+b=23$:

$$b=23-15=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=15\cdot8=120\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(15+8)=2\cdot23=46$ cm ✔

Odpowiedź: pole wynosi $120$ cm$^2$.

W rombie przekątne mają dwie szczególne własności: są prostopadłe i przecinają się w połowie.

Porównanie: w prostokącie przekątne połowią się, ale nie są prostopadłe; w równoległoboku też tylko się połowią. Kwadrat ma obie własności (bo jest szczególnym rombem).

Odpowiedź: D. romb.

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Podstawiamy:

$$P=\frac{(10+6)\cdot4}{2}=\frac{16\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $32$ cm$^2$.

Kąt zewnętrzny i przyległy do niego kąt wewnętrzny są kątami przyległymi — sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Ciekawostka: kąt zewnętrzny równa się też sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych trójkąta.

Odpowiedź: B. $70^\circ$.

Przekształcamy wzór na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2P}{h}$$

Podstawiamy:

$$a=\frac{2\cdot48}{8}=\frac{96}{8}=12\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot8}{2}=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: podstawa ma $12$ cm.

Suma kątów wielokąta o $n$ bokach to $(n-2)\cdot180^\circ$, a w foremnym każdy kąt jest równy, więc kąt pojedynczy to $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

Zamiast rozwiązywać równanie — sprawdźmy pięciokąt ($n=5$):

$$\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$$

Zgadza się. To pięciokąt foremny.

Odpowiedź: C. $5$ boków.

Trapez prostokątny ma dwa kąty proste (przy jednym z ramion).

Krok 1 — dwa kąty proste: $90^\circ$ i $90^\circ$.

Krok 2 — kąt przy drugim ramieniu. Kąty przy tym samym ramieniu trapezu leżą przy prostych równoległych, więc sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Kontrola sumy: $90^\circ+90^\circ+65^\circ+115^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty trapezu to $90^\circ$, $90^\circ$, $65^\circ$ i $115^\circ$.

Pole rombu obliczamy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=\frac{48}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Uwaga: dzielenie przez $2$ jest konieczne — pominięcie go dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $24$ cm$^2$.

Kwadrat łączy własności prostokąta i rombu, więc jego przekątne są równej długości (cecha prostokąta) i jednocześnie prostopadłe (cecha rombu).

Zdanie A twierdzi, że przekątne mają różne długości — to nieprawda.

Pozostałe zdania (B, C, D) są prawdziwe.

Odpowiedź: A. (zdanie fałszywe).

Długość siatki to obwód prostokąta:

$$O=2(30+18)=2\cdot48=96\ \text{m}$$

Pole działki:

$$P=30\cdot18=540\ \text{m}^2$$

Uwaga: obwód i pole to dwie różne wielkości — siatkę liczymy z obwodu (w metrach), a powierzchnię z pola (w metrach kwadratowych).

Odpowiedź: potrzeba $96$ m siatki, pole działki to $540$ m$^2$.

Krok 1 — łączna liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — wartość jednej części. Suma kątów to $180^\circ$:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — poszczególne kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Kontrola: $40^\circ+60^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąty mają $40^\circ$, $60^\circ$ i $80^\circ$.

Pole figury po wycięciu to różnica pól.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=12\cdot8=96$$

Krok 2 — pole wyciętego trójkąta:

$$P_2=\frac{12\cdot5}{2}=30$$

Krok 3 — pole zacienionej figury:

$$P=96-30=66$$

Odpowiedź: pole figury wynosi $66$ jednostek kwadratowych.

Krok 1 — warunki. Kąty dopełniające sumują się do $90^\circ$:

$$\alpha+\beta=90^\circ,\qquad \alpha=\beta+20^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$$(\beta+20^\circ)+\beta=90^\circ \quad\Rightarrow\quad 2\beta=70^\circ \quad\Rightarrow\quad \beta=35^\circ$$

Krok 3 — drugi kąt:

$$\alpha=35^\circ+20^\circ=55^\circ$$

Sprawdzenie: $55^\circ+35^\circ=90^\circ$ ✔, a różnica $55^\circ-35^\circ=20^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=55^\circ$, $\beta=35^\circ$.

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.