Wahadło matematyczne
Fizyka — Klasa 3 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 5
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Kulę ($r=40$ cm) zawieszono na linie ($L=6$ m) i puszczono z pewnego wychylenia. Rysunek 2 — chwila przejścia przez najniższy punkt.
Na rysunku 2 dorysuj wektory sił: $\vec F_r$ (reakcja liny) i $\vec F_g$ (grawitacja) wraz z oznaczeniem, zachowując relacje wartości. Zapisz relację ($>,=,\lt $): $F_r$ ___ $F_g$.
Oszacuj czas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru. ($g=9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, wynik z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.)
Zmierzony czas nieco różnił się od przewidywań modelu wahadła matematycznego. Zapisz dwa założenia modelu, które mogły nie być spełnione.
Do demonstracji drgań użyto stożkowego naczynia z piaskiem zawieszonego na niciach ($L=75$ cm); pod nim ze stałą prędkością przesuwała się taśma (szer. $15$ cm), na którą wysypywał się piasek. Odległość $s=30$ cm.
Oblicz okres drgań wahadła i prędkość taśmy oraz oszacuj maksymalną prędkość naczynia.
W trakcie doświadczenia ilość piasku w naczyniu malała. Z tego powodu okres drgań wahadła [A maleje / B się nie zmienia / C rośnie], ponieważ [1 obniża się środek masy / 2 okres nie zależy od masy / 3 maleje amplituda].
📘Teoria 1
Model
Punkt materialny na nieważkiej nici.
Okres
$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Wnioski
Okres zależy od długości i $g$, a dla małych kątów nie zależy od amplitudy.
∑Wzory 2
Co liczy: okres wahadła; zależy od długości i $g$.
Do czego służy: Obliczanie okresu drgań wahadła matematycznego (np. zegar) i oscylatora sprężynowego (np. ciężarek na sprężynie).
Zmienne — wahadło matematyczne
- $T$ — okres (czas jednego pełnego wahnięcia, s)
- $l$ — długość nici (m)
- $g \approx 9{,}81$ m/s² — przyspieszenie grawitacyjne
Zmienne — sprężyna (prawo Hooke'a + drgania)
- $m$ — masa na sprężynie (kg)
- $k$ — stała sprężystości (N/m)
- Siła sprężyny: $F = -kx$ (proporcjonalna do wychylenia, skierowana ku równowadze)
Jak stosować
- Wahadło: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ — okres nie zależy od masy i amplitudy (przy małych wychyleniach)
- Sprężyna: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ — cięższy ciężarek = dłuższy okres; twardsza sprężyna = krótszy
- Częstotliwość: $f = 1/T$
Przykład
Wahadło $l = 1$ m na Ziemi. Okres?
- $T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} = 2\pi \cdot 0{,}319 \approx 2$ s
⚠️ Częsty błąd: Okres wahadła zależy od długości nici, nie od masy! Cięższy i lżejszy wahadło tej samej długości bije tak samo.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 10
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ciężarek o masie $0{,}4$ kg drga na sprężynie o współczynniku sprężystości $k=100\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$. Oblicz okres drgań.
Oblicz długość wahadła matematycznego o okresie $2$ s ($g=9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Amplitudę drgań ciężarka na sprężynie zwiększono dwukrotnie. Wtedy:
Ciężarek drga na sprężynie w pionie. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- W skrajnym położeniu prędkość ciężarka jest największa.
- W położeniu równowagi siła wypadkowa działająca na ciężarek jest równa zero.
- W skrajnym położeniu wartość przyśpieszenia ciężarka jest największa.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Ciało o masie $0{,}2$ kg drga harmonicznie z amplitudą $5$ cm i okresem $0{,}5$ s. Oblicz maksymalną prędkość ciała.
Sprężyna o współczynniku $k=200\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ jest rozciągnięta o $6$ cm i puszczona z ciężarkiem o masie $0{,}5$ kg (na gładkim poziomym stole). Oblicz maksymalną prędkość ciężarka.
Ciężarek zawieszony na sprężynie wydłuża ją w spoczynku o $\Delta l=8$ cm. Oblicz okres drgań tego ciężarka ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Ciężarek o masie $0{,}25$ kg drga na sprężynie o $k=40\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ z amplitudą $6$ cm ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz wartość siły sprężystości w najwyższym i najniższym położeniu ciężarka.
Wahadło matematyczne o długości $1$ m wychylono o kąt $10^\circ$ i puszczono. Oblicz okres drgań oraz maksymalną prędkość ciężarka ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Wykaż, że dla ciężarka drgającego na sprężynie stosunek maksymalnej wartości siły sprężystości do minimalnej (w drganiach pionowych o amplitudzie $A$) jest równy $\dfrac{\Delta l+A}{\Delta l-A}$, i oblicz ten stosunek dla $\Delta l=10$ cm i $A=4$ cm.