Siła Lorentza

Jak to rozwiązać — siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej

Krok 1. Siła Lorentza zakrzywia tor elektronu — jest siłą dośrodkową:

$m_e\dfrac{v^2}{r}=qvB\;\Rightarrow\;m_e\dfrac{v}{r}=qB$

Krok 2. Wstawiamy $v=\dfrac{2\pi r}{T}$:

$m_e\dfrac{2\pi}{T}=qB\;\Rightarrow\;T=\dfrac{2\pi m_e}{qB}$

Krok 3. Podstawiamy dane ($m_e=9{,}11\cdot10^{-31}$ kg, $q=1{,}602\cdot10^{-19}$ C):

$T=\dfrac{2\pi\cdot9{,}11\cdot10^{-31}}{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1{,}70\cdot10^{-3}}\approx \mathbf{2{,}10\cdot10^{-8}\ \text{s}}$

✔ Zgodne z kluczem: T ≈ 2,10·10⁻⁸ s. Uwaga: okres nie zależy od prędkości elektronu.

Jak to rozwiązać — zależność siły i czasu od indukcji B

Zdanie 1 — PRAWDA. Aby dodatni proton zakręcał konsekwentnie tak, by tworzyć kolejne półokręgi po tej samej stronie osi, wektor B musi mieć jednakowy zwrot (ku patrzącemu) na całym torze.

Zdanie 2 — FAŁSZ. Siła Lorentza $F=qvB$; v jest stała, ale B różne na różnych półokręgach, więc F się zmienia.

Zdanie 3 — FAŁSZ. Czas przejścia półokręgu $t=\dfrac{\pi m}{qB}$ zależy od B, więc dla różnych B jest różny.

✔ Zgodne z kluczem: P, F, F.

Jak to rozwiązać — praca siły prostopadłej do prędkości

Krok 1. Siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną w polu magnetycznym jest zawsze prostopadła do prędkości.

Krok 2. Praca siły prostopadłej do przemieszczenia (prędkości) jest równa zero. Z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej: $W=\Delta E_{kin}$, więc $\Delta E_{kin}=0$, czyli energia kinetyczna — a zatem i wartość prędkości — jest stała.

✔ Zgodne z kluczem: F_L ⊥ v ⇒ praca = 0 ⇒ E_kin = const ⇒ v = const.

Jak to rozwiązać — z warunku dośrodkowego i stałej prędkości

Krok 1. Siła Lorentza pełni rolę dośrodkowej: $\dfrac{mv^2}{r}=qvB\Rightarrow v=\dfrac{qBr}{m}$. Skoro v jest stała, to $B\,r=\text{const}$, więc $B_{AF}\,r_{AF}=B_{CD}\,r_{CD}$.

Krok 2. Promienie półokręgów (odstęp = ¼|AD| = 0,25 m): $r_{AF}=\tfrac{3}{4}|AD|=0{,}75$ m (od A do F to 6 odstępów, średnica 1,5 m), $r_{CD}=\tfrac{1}{4}|AD|=0{,}25$ m (od C do D, średnica 0,5 m).

Krok 3. Wyznaczamy B_CD:

$B_{CD}=B_{AF}\cdot\dfrac{r_{AF}}{r_{CD}}=0{,}2\cdot\dfrac{0{,}75}{0{,}25}=\mathbf{0{,}6\ T}$

✔ Zgodne z kluczem: B_CD = 0,6 T.

Rozwiązanie

a) W punkcie A jon porusza się w prawo, a siła dośrodkowa (Lorentza) jest skierowana w dół, ku środkowi półokręgu.

b) Z $\vec F=q\vec v\times\vec B$ wynika, że $\vec B$ jest skierowany przed płaszczyznę rysunku (symbol $\odot$).

Rozwiązanie

1. Przyspieszanie: $eU=\tfrac12 mv^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}$.
2. Ruch po okręgu: $r=\dfrac{mv}{eB}$, a $d=2r\Rightarrow r=\dfrac{d}{2}$, więc $v=\dfrac{eBd}{2m}$.
3. Przyrównując: $\dfrac{eBd}{2m}=\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}$, po podniesieniu do kwadratu $m=\dfrac{eB^2d^2}{8U}$.

Odpowiedź: $m=\dfrac{eB^2d^2}{8U}$.

Rozwiązanie

a) Linie pola biegną od bieguna N do S. W punkcie X (przy N) $\vec B$ jest skierowany od N, w punkcie Y (przy S) — ku S, a w punkcie A (na osi symetrii $l$, między biegunami) $\vec B$ jest skierowany od N do S (pionowo, wzdłuż osi między biegunami).

b) Siła Lorentza $\vec F=q\vec v\times\vec B$ leży w płaszczyźnie rysunku i jest prostopadła do $\vec B$ (czyli pozioma, wzdłuż osi $l$); jej zwrot zależy od tego, czy $\vec v$ jest skierowana „za" czy „przed" płaszczyznę rysunku.