Pole magnetyczne przewodników z prądem

Rozwiązanie – Zadanie 8

1. Krok 1: Wyznaczenie kierunku prądu w przewodniku $\mathcal{P}$

   Linie pola magnetycznego długiego prostoliniowego przewodnika z prądem są okręgami współśrodkowymi otaczającymi przewodnik. Kierunek wektora $\vec{B}_1$ w punkcie $P_1$ jest styczny do linii pola (okręgu o promieniu $r_1$) i wyznacza orientację obiegu tych okręgów.

   Z rysunku wektor $\vec{B}_1$ wskazuje kierunek cyrkulacji linii pola. Stosując regułę prawej dłoni (lub regułę śruby prawoskrętnej): jeśli linie pola obiegają przewodnik zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrząc od strony obserwatora), prąd płynie od obserwatora (w głąb strony).

   Na podstawie kierunku wektora $\vec{B}_1$ zaznaczonego na rysunku (wskazuje on na konkretny zwrot obiegu) – linie pola krążą zgodnie z ruchem wskazówek zegara – prąd płynie w głąb strony.

   Przy literze $\mathcal{P}$ należy wpisać symbol: $\otimes$

2. Krok 2: Wyznaczenie wartości indukcji magnetycznej $B_2$ w punkcie $P_2$

   Indukcja magnetyczna długiego prostoliniowego przewodnika z prądem wyraża się wzorem: $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

   Zależność $B$ od odległości $r$ od przewodnika jest odwrotnie proporcjonalna: $$B \sim \frac{1}{r}$$

   Punkty $P_1$ i $P_2$ leżą na liniach pola o promieniach odpowiednio $r_1$ i $r_2$, przy czym: $$r_2 = 4r_1$$

   Zatem stosunek wartości indukcji: $$\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r_1}{4r_1} = \frac{1}{4}$$

   Stąd: $$B_2 = \frac{B_1}{4}$$

   Skoro $B_1$ odpowiada 2 jednostkom na kratce (długość wektora $\vec{B}_1$ = 2 boki kratki – odczytane z rysunku), to: $$B_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ jednostki}$$

   Wektor $\vec{B}_2$ ma długość równą połowie boku kratki.

3. Krok 3: Wyznaczenie kierunku i zwrotu wektora $\vec{B}_2$ w punkcie $P_2$

   Wektor indukcji magnetycznej jest zawsze styczny do linii pola i prostopadły do promienia $r_2$ w punkcie $P_2$. Zwrot wektora wynika z ustalonego w Kroku 1 kierunku cyrkulacji linii pola (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

   W punkcie $P_2$ (leżącym na okręgu o promieniu $r_2 = 4r_1$) wektor $\vec{B}_2$ jest więc skierowany stycznie do tego okręgu, zgodnie z ruchem wskazówek zegara – analogicznie jak wektor $\vec{B}_1$, lecz odpowiednio do położenia punktu $P_2$ na swoim okręgu.

4. Krok 4: Narysowanie wektora $\vec{B}_2$

   W punkcie $P_2$ należy narysować wektor spełniający łącznie trzy warunki:

   • Kierunek: styczny do okręgu o promieniu $r_2$ w punkcie $P_2$ (prostopadle do odcinka łączącego przewodnik z punktem $P_2$),
   • Zwrot: zgodny z ruchem wskazówek zegara (wynikający z prądu $\otimes$),
   • Długość: równa $\dfrac{1}{2}$ boku kratki (czterokrotnie krótsza niż $\vec{B}_1$).

Wynik końcowy:

• Kierunek prądu w przewodniku: $\boldsymbol{\otimes}$ (prąd płynie w głąb strony)
• Wektor $\vec{B}_2$: styczny do linii pola w $P_2$, zwrócony zgodnie z ruchem wskazówek zegara, o długości $B_2 = \dfrac{B_1}{4}$ (tj. $\tfrac{1}{2}$ jednostki kratki – cztery razy krótszy niż $\vec{B}_1$)

Rozwiązanie

Kierunek prądu wyznaczamy regułą prawej dłoni tak, by lewy koniec zwojnicy był biegunem N (a prawy S). Wewnątrz zwojnicy pole jest skierowane od S do N (czyli w lewo, ku biegunowi N), więc północny biegun igiełki wewnętrznej wskazuje w lewo (ku N zwojnicy). Igiełka zewnętrzna ustawia się zgodnie z polem zewnętrznym (od N do S na zewnątrz), więc jej biegun N wskazuje przeciwnie — zgodnie z liniami pola wychodzącymi z N zwojnicy.

Rozwiązanie

Pole zwojnicy równoważy ziemskie: $B_z=\mu_0\dfrac{N}{L}I=4\pi\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{100}{0{,}05}\cdot0{,}013\approx3{,}3\cdot10^{-5}$ T.

Odpowiedź: $B_z\approx3{,}3\cdot10^{-5}$ T ($\approx33\,\mu$T).

Rozwiązanie

Wzór $B=\mu_0\tfrac{N}{L}I$ obowiązuje dla zwojnicy bardzo długiej. Tu długość ($5$ cm) jest mniejsza od średnicy ($10$ cm), więc zwojnica jest krótka — pole wewnątrz nie jest jednorodne i wzór daje tylko wartość przybliżoną.

Rozwiązanie

$B\propto I$, więc niepewność względna: $\dfrac{\Delta B}{B}=\dfrac{\Delta I}{I}=\dfrac{1}{13}\approx0{,}077=7{,}7\%$.

Rozwiązanie

$B=\mu_0\dfrac{N}{L}I$. Po wydłużeniu $L'=\tfrac43 L$ przy stałym $N$: $B'=\tfrac34 B$ — pole słabsze, bo gęstość nawinięcia zwojów zmalała.

Odpowiedź: A oraz 3.