Fale dźwiękowe

Punkt $A$ jest jednakowo oddalony od obu głośników, a fale są zgodne w fazie — nakładają się konstruktywnie, więc amplitudy się dodają: $A_{wyp}=2A_{1}$.

Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy: $I_{12A}=(2A_{1})^{2}\propto 4A_{1}^{2}=4I_{1A}$.

Odpowiedź: D.

Rozwiązanie

1. Krok 1 – Przypomnienie zależności między długością fali, prędkością i częstotliwością

   Długość fali, prędkość rozchodzenia się fali oraz jej częstotliwość są związane wzorem:

   $$\lambda = \frac{v}{f}$$

   gdzie $\lambda$ to długość fali, $v$ to prędkość fali w danym ośrodku, $f$ to częstotliwość fali.

2. Krok 2 – Co dzieje się z częstotliwością przy przejściu fali do innego ośrodka?

   Częstotliwość fali jest cechą źródła dźwięku i nie zmienia się podczas przejścia fali z jednego ośrodka do drugiego. Wynika to z zasady ciągłości – na granicy ośrodków drgania muszą być zgodne, a liczba drgań na sekundę pozostaje niezmieniona niezależnie od ośrodka rozchodzenia.

   Zatem: $f_{\text{woda}} = f_{\text{powietrze}} = f = \text{const}$

3. Krok 3 – Obliczenie stosunku długości fali w wodzie do długości fali w powietrzu

   Ponieważ częstotliwość się nie zmienia, możemy porównać długości fali w obu ośrodkach:

   $$\frac{\lambda_w}{\lambda_p} = \frac{v_w / f}{v_p / f} = \frac{v_w}{v_p} = \frac{1450 \text{ m/s}}{340 \text{ m/s}} \approx 4{,}26$$

   Długość fali w wodzie jest ponad czterokrotnie większa niż w powietrzu.

4. Krok 4 – Analiza odpowiedzi

   Skoro $v_w > v_p$ oraz $f = \text{const}$, to $\lambda_w > \lambda_p$, czyli długość fali się zwiększyła.

   • Odpowiedź A – POPRAWNA: Długość fali zwiększyła się, ponieważ prędkość dźwięku w wodzie ($1450$ m/s) jest znacznie większa niż w powietrzu ($340$ m/s), a przy stałej częstotliwości większa prędkość oznacza większą długość fali ($\lambda = v/f$).
   • Odpowiedź B – BŁĘDNA: Długość fali nie zmniejszyła się. Zmniejszenie nastąpiłoby, gdyby fala przechodziła do ośrodka o mniejszej prędkości rozchodzenia, co tu nie ma miejsca.
   • Odpowiedź C – BŁĘDNA: Długość fali nie jest niezmiennicza przy zmianie ośrodka (w przeciwieństwie do częstotliwości). Zmienia się wraz z prędkością.

   Uzasadnienie 3. – POPRAWNE: Częstotliwość fali po przejściu z powietrza do wody się nie zmieniła, gdyż zależy wyłącznie od źródła dźwięku, a nie od właściwości ośrodka.

   • Uzasadnienie 1. – BŁĘDNE: Częstotliwość nie mogła się zwiększyć – żaden ośrodek nie jest w stanie zmienić częstotliwości fali narzuconej przez źródło.
   • Uzasadnienie 2. – BŁĘDNE: Analogicznie, częstotliwość nie mogła się zmniejszyć z tego samego powodu.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to A3 — długość fali dźwiękowej po przejściu z powietrza do wody się zwiększyła, ponieważ częstotliwość tej fali po przejściu z powietrza do wody się nie zmieniła (wzrosła natomiast prędkość fali, co przy stałej częstotliwości bezpośrednio powoduje wzrost długości fali: $\lambda_w = \dfrac{v_w}{f} \approx 4{,}26\,\lambda_p$).

1. Krok 1: Zrozumienie pojęcia natężenia dźwięku

   Natężenie dźwięku $I$ w danym punkcie definiuje się jako moc fali akustycznej przypadającą na jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali:

   $$I = \frac{P}{S}$$

   gdzie $P$ to moc źródła (energia emitowana w ciągu jednej sekundy), a $S$ to pole powierzchni, przez którą przepływa energia.

2. Krok 2: Wyznaczenie mocy głośnika

   Ponieważ głośnik emituje energię $E = 40 \text{ mJ}$ w ciągu każdej sekundy ($t = 1\text{ s}$), jego moc akustyczna wynosi:

   $$P = \frac{E}{t} = \frac{40 \text{ mJ}}{1 \text{ s}} = 40 \text{ mW} = 0{,}04 \text{ W}$$

3. Krok 3: Obliczenie pola powierzchni sfery o promieniu $r_X$

   Fala kulista rozchodzi się równomiernie we wszystkich kierunkach. W odległości $r_X = 10$ m od źródła energia przepływa przez powierzchnię kuli o promieniu $r_X$:

   $$S = 4\pi r_X^2 = 4\pi \cdot (10)^2 = 400\pi \approx 1256{,}6 \text{ m}^2$$

4. Krok 4: Obliczenie natężenia dźwięku w punkcie $X$

   Podstawiając wyznaczone wartości do wzoru na natężenie:

   $$I_X = \frac{P}{S} = \frac{P}{4\pi r_X^2}$$ $$I_X = \frac{0{,}04 \text{ W}}{4\pi \cdot (10 \text{ m})^2} = \frac{0{,}04}{400\pi} \text{ W/m}^2$$ $$I_X = \frac{0{,}04}{1256{,}6} \text{ W/m}^2 \approx 3{,}18 \times 10^{-5} \text{ W/m}^2$$

Wynik końcowy:

Aby ustalić, czy w punkcie A zajdzie wzmocnienie czy osłabienie interferencyjne, należy zbadać różnicę dróg fal docierających z obu głośników.

1. Krok 1: Wyznaczenie długości fali dźwiękowej

   Korzystamy ze związku między prędkością fali, jej częstotliwością a długością fali:

   $$\lambda = \frac{v_p}{f}$$

   Podstawiamy dane:

   $$\lambda = \frac{340 \text{ m/s}}{850 \text{ Hz}} = 0{,}4 \text{ m}$$
2. Krok 2: Obliczenie różnicy dróg

   Różnica dróg, jakie pokonują fale dźwiękowe od każdego z głośników do punktu A, wynosi:

   $$\Delta r = r_2 - r_1 = 11{,}5 \text{ m} - 10{,}5 \text{ m} = 1{,}0 \text{ m}$$
3. Krok 3: Wyrażenie różnicy dróg w jednostkach długości fali

   Sprawdzamy, ile razy długość fali $\lambda$ mieści się w różnicy dróg $\Delta r$:

   $$\frac{\Delta r}{\lambda} = \frac{1{,}0 \text{ m}}{0{,}4 \text{ m}} = 2{,}5$$

   Różnica dróg wynosi $2{,}5\,\lambda$, czyli $\frac{5}{2}\,\lambda$.

4. Krok 4: Zastosowanie warunków interferencji

   Ponieważ głośniki emitują fale zgodnie w fazie, obowiązują następujące warunki:

   • Wzmocnienie interferencyjne (konstruktywna) zachodzi, gdy różnica dróg jest całkowitą wielokrotnością długości fali: $$\Delta r = k\,\lambda, \quad k \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
   • Osłabienie interferencyjne (destruktywna) zachodzi, gdy różnica dróg jest nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali: $$\Delta r = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad k \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

   Otrzymana wartość $\frac{\Delta r}{\lambda} = 2{,}5$ jest liczbą półcałkowitą (postaci $k + \frac{1}{2}$ dla $k = 2$), a zatem spełnia warunek osłabienia interferencyjnego.

   Fizyczne uzasadnienie: fala z głośnika G2 przebywa o $2{,}5\,\lambda$ dłuższą drogę niż fala z G1, co oznacza, że dociera do punktu A z przesunięciem fazowym $\varphi = 2\pi \cdot 2{,}5 = 5\pi$. Przesunięcie o nieparzystą wielokrotność $\pi$ odpowiada układowi „w przeciwfazie" – fale znoszą się wzajemnie.

Odpowiedź:
W punkcie $A$ zajdzie osłabienie interferencyjne (destruktywna interferencyjna). Różnica dróg fal wynosi $\Delta r = 1{,}0 \text{ m} = 2{,}5\,\lambda$, co jest nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali $\left(\Delta r = \left(2+\frac{1}{2}\right)\lambda\right)$. Dla głośników emitujących zgodnie w fazie oznacza to, że fale docierają do punktu $A$ w przeciwnych fazach i wzajemnie się wygaszają.

Jak to rozwiązać — efekt Dopplera dla ruchomego źródła

Zdanie 1 — PRAWDA. Źródło oddala się od ℬ, więc fale są „rozciągane" — ℬ słyszy częstotliwość mniejszą od f₀.

Zdanie 2 — PRAWDA. Przy oddalaniu i hamowaniu prędkość źródła maleje, więc obniżenie częstotliwości słabnie — częstotliwość rośnie (zbliża się do f₀).

Zdanie 3 — PRAWDA. Przy oddalaniu i przyśpieszaniu prędkość źródła rośnie, więc obniżenie częstotliwości się pogłębia — częstotliwość maleje.

✔ Zgodne z kluczem: P, P, P.

Dla fali kulistej natężenie maleje z kwadratem odległości: $I\propto\dfrac{1}{r^{2}}$. Ponieważ $|DA|=3\cdot|CD|$, a $|DB|=2\cdot|CD|$:

$\dfrac{I_{A}}{I_{B}}=\left(\dfrac{|DB|}{|DA|}\right)^{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$.

Odpowiedź: D.