Zderzenia sprężyste

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwnie skierowane.

Na K1 działa siła skierowana w lewo (od K2), a na K2 — równa co do wartości siła skierowana w prawo (od K1). Oba wektory rysujemy o jednakowej długości, wzdłuż linii łączącej środki kul.

Niech po zderzeniu $v_{1po}=-v_{2}$ (K1 w tył) i $v_{2po}=+v_{2}$ (K2 w przód), $|v_{1po}|=|v_{2po}|=v_{2}$.

Zasada zachowania pędu: $m_{1}v_{1}=-m_{1}v_{2}+m_{2}v_{2}$, stąd $m_{1}v_{1}=v_{2}(m_{2}-m_{1})$.

Zasada zachowania energii (zderzenie sprężyste): $\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$, czyli $m_{1}v_{1}^{2}=v_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})$.

Podstawiając $v_{1}=\dfrac{v_{2}(m_{2}-m_{1})}{m_{1}}$ do drugiego równania i oznaczając $r=\dfrac{m_{2}}{m_{1}}$: $(r-1)^{2}=1+r$, czyli $r^{2}-3r=0$, stąd $r=3$.

$\dfrac{m_{2}}{m_{1}}=3$.

Jak to rozwiązać — III zasada dynamiki

Siły wzajemnego oddziaływania (reakcji) są równe co do wartości i przeciwnie skierowane, wzdłuż linii łączącej środki krążków (poziomo). Siła $\vec F_{12}$ (na K1) skierowana w lewo, $\vec F_{21}$ (na K2) w prawo, o równych długościach.

$\vec F_{12}=-\vec F_{21},\qquad |\vec F_{12}|=|\vec F_{21}|$

✔ Zgodne z kluczem: wektory równe, przeciwne, wzdłuż linii środków.

Jak to rozwiązać — rozkład prędkości w zderzeniu sprężystym równych mas

W zderzeniu sprężystym równych mas składowa prędkości wzdłuż linii środków (tu pozioma v_x) zostaje w całości przekazana krążkowi K2, a składowa prostopadła (pionowa v_y) pozostaje przy K1. Zatem po zderzeniu: $\vec v_1=\vec v_y$, $\vec v_2=\vec v_x$.

Odpowiedź: C.

✔ Zgodne z kluczem: C.

Przyjmijmy zwrot w prawo za dodatni: $v_{1przed}=+2$, $v_{2przed}=-4$, $v_{1po}=-1$, $v_{2po}=+5$.

Zasada zachowania pędu: $m_{1}\cdot 2+m_{2}\cdot(-4)=m_{1}\cdot(-1)+m_{2}\cdot 5$, stąd $3m_{1}=9m_{2}$, czyli $m_{1}=3m_{2}$.

Sprawdzenie energii kinetycznej: przed: $\dfrac{1}{2}m_{1}\cdot 2^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\cdot 4^{2}=2m_{1}+8m_{2}=6m_{2}+8m_{2}=14m_{2}$; po: $\dfrac{1}{2}m_{1}\cdot 1^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\cdot 5^{2}=0,5m_{1}+12,5m_{2}=1,5m_{2}+12,5m_{2}=14m_{2}$.

Energia kinetyczna jest zachowana ($E_{k\,przed}=E_{k\,po}$), więc zderzenie było doskonale sprężyste.

Rozwiązanie

Prędkość $\vec v$ rozkładamy na składową wzdłuż osi I (linia środków) i wzdłuż osi II. W zderzeniu centralnym (wzdłuż I) identycznych kul kula uderzająca oddaje całą składową I kuli K2, a swoją składową II zachowuje. Po zderzeniu: K2 porusza się wzdłuż osi I (z przejętą składową I), a K1 porusza się wzdłuż osi II (z zachowaną składową II). Tory kul są wzajemnie prostopadłe.

Rozwiązanie

Kule są gładkie, więc siła oddziaływania działa wzdłuż linii środków (oś I). Nie ma składowej siły wzdłuż osi II, więc składowe pędu (i prędkości) wzdłuż II nie zmieniają się.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Nie. Wartość prędkości po odbiciu ($200\ \tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$) jest mniejsza niż przed odbiciem ($275\ \tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$), więc energia kinetyczna zmalała — odbicie nie było doskonale sprężyste.