Zasada zachowania pędu

Przed rozpadem jądro plutonu spoczywało, więc jego pęd wynosił zero. Na mocy zasady zachowania pędu suma pędów produktów rozpadu jest również równa zero.

1. Krok 1 – Zasada zachowania pędu

   Ponieważ jądro ${}^{238}_{94}\text{Pu}$ było nieruchome, łączny pęd układu przed rozpadem wynosi zero:

   $$\vec{p}_X + \vec{p}_\alpha = 0$$

   Stąd pędy obu produktów są równe co do wartości i przeciwnie skierowane:

   $$p_X = p_\alpha = p$$
2. Krok 2 – Energia kinetyczna wyrażona przez pęd

   Energię kinetyczną ciała można wyrazić poprzez jego pęd i masę:

   $$E_{kin} = \frac{p^2}{2m}$$

   Zatem dla jądra X oraz cząstki $\alpha$:

   $$E_{kin\,X} = \frac{p^2}{2m_X}, \qquad E_{kin\,\alpha} = \frac{p^2}{2m_\alpha}$$
3. Krok 3 – Obliczenie ilorazu energii kinetycznych

   Dzieląc obie energie przez siebie (pamiętając, że pęd $p$ jest taki sam dla obu produktów):

   $$\frac{E_{kin\,X}}{E_{kin\,\alpha}} = \frac{\dfrac{p^2}{2m_X}}{\dfrac{p^2}{2m_\alpha}} = \frac{m_\alpha}{m_X}$$
4. Krok 4 – Podstawienie danych

   Korzystając z podanego stosunku mas $\dfrac{m_X}{m_\alpha} \approx 58{,}5$:

   $$\frac{E_{kin\,X}}{E_{kin\,\alpha}} = \frac{m_\alpha}{m_X} = \frac{1}{\dfrac{m_X}{m_\alpha}} = \frac{1}{58{,}5} \approx 0{,}0171$$

Wynik końcowy:

Jądro produktu X (jądro uranu ${}^{234}_{92}\text{U}$) jest około 58,5 razy cięższe od cząstki $\alpha$, dlatego po rozpadzie porusza się znacznie wolniej i niesie około 58,5 razy mniej energii kinetycznej niż cząstka $\alpha$.

Jak to rozwiązać — III zasada dynamiki

Siły wzajemnego oddziaływania (reakcji) są równe co do wartości i przeciwnie skierowane, wzdłuż linii łączącej środki krążków (poziomo). Siła $\vec F_{12}$ (na K1) skierowana w lewo, $\vec F_{21}$ (na K2) w prawo, o równych długościach.

$\vec F_{12}=-\vec F_{21},\qquad |\vec F_{12}|=|\vec F_{21}|$

✔ Zgodne z kluczem: wektory równe, przeciwne, wzdłuż linii środków.

Jak to rozwiązać — rozkład prędkości w zderzeniu sprężystym równych mas

W zderzeniu sprężystym równych mas składowa prędkości wzdłuż linii środków (tu pozioma v_x) zostaje w całości przekazana krążkowi K2, a składowa prostopadła (pionowa v_y) pozostaje przy K1. Zatem po zderzeniu: $\vec v_1=\vec v_y$, $\vec v_2=\vec v_x$.

Odpowiedź: C.

✔ Zgodne z kluczem: C.

Rozwiązanie

1. Brak sił zewnętrznych (poza tarciem statycznym) → pęd całkowity zachowany (równy $0$) → P.
2. Z zasady zachowania pędu pędy są równe co do wartości i przeciwne → F.
3. W dośw. 2 praca dzieli się na energię A i B, więc A uzyskał mniej energii niż od ściany (gdzie cała praca przypadła A) → F.

Odpowiedź: P, F, F.

Rozwiązanie

1. Dośw. 1: $W=\tfrac12 m v_1^2=\tfrac12 m\cdot4^2=8m$.
2. Dośw. 2: z zachowania pędu (masy równe) $v_A=v_B=v$. Energia: $W=\tfrac12 m v^2+\tfrac12 m v^2=m v^2$.
3. $m v^2=8m\Rightarrow v^2=8\Rightarrow v=2\sqrt2\approx2{,}83\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Odpowiedź: $v_A=2\sqrt2\approx2{,}8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.