Ruch jednostajny po okręgu
Fizyka — Klasa 1 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 6
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Informacja do zadania 2. Ciało ℬ o masie m na nici o długości l (drugi koniec w punkcie S) porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Działają na nie: siła grawitacji Fg i siła reakcji nici Fn; pomijamy opory i masę nici.
Zadanie 2.1. Na rysunku dane są wektory prędkości v1 i v2 ciała ℬ. Wyznacz konstrukcyjnie środek S okręgu i podaj długość promienia l (w długościach boku kratki). Środek S leży w punkcie kratowym.
Nieruchoma sztywna platforma w kształcie koła o środku $S$ i promieniu $R=4$ m rozpoczyna obrót ze stałym przyśpieszeniem kątowym $\varepsilon$; do chwili $t_{1}=8$ s wykonuje dokładnie jeden obrót i uzyskuje prędkość kątową $\omega$, po czym obraca się ze stałą $\omega$. Rysunki 1. i 2. przedstawiają platformę w fazie ruchu jednostajnie przyśpieszonego; na rysunku 1. narysowano wektor prędkości $\vec{v}$ punktu $P$ na brzegu.
Na rysunku 2. narysuj składową styczną $\vec{a}_{s}$ oraz składową dośrodkową $\vec{a}_{r}$ przyśpieszenia $\vec{a}$ punktu $P$, a następnie wektor $\vec{a}$. Podpisz wszystkie wektory.
Oblicz, ile obrotów wykona platforma w czasie $\Delta t=60$ s, liczonym od chwili $t_{0}=0$ s. Zapisz obliczenia.
Ciało $\mathcal{B}$ (masa $m$) na nici o długości $l$ porusza się jednostajnie po okręgu w płaszczyźnie poziomej (wahadło stożkowe); nić odchylona od pionu o kąt $\alpha$.
Na diagramie (dana jest $\vec F_g$) narysuj i oznacz wektor siły reakcji nici $\vec F_n$ oraz wektor siły wypadkowej $\vec F_w$ (dośrodkowej). Zachowaj proporcje.
Dokończ zdania: 1) jeżeli wzrośnie prędkość ciała $\mathcal{B}$, to kąt $\alpha$ [A się zwiększy / B się nie zmieni / C się zmniejszy]; 2) wtedy wartość siły napięcia nici [D wzrośnie / E pozostanie taka sama / F zmaleje].
Wyprowadź wzór na okres $T$ obiegu ciała $\mathcal{B}$ po okręgu w zależności od $l$, $g$ i $\alpha$.
📘Teoria 1
Okres i częstotliwość
$T$ to czas obiegu, $f=\frac{1}{T}$.
Prędkość kątowa
$\omega=\frac{2\pi}{T}$, prędkość liniowa $v=\omega r$.
Przyspieszenie dośrodkowe
$a=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r$, skierowane do środka.
∑Wzory 2
Do czego służy: Opisuje ruch ciała po okręgu — prędkość, przyspieszenie dośrodkowe i siłę potrzebną do utrzymania ruchu.
Zmienne
- $r$ — promień okręgu (m)
- $v$ — prędkość liniowa (m/s)
- $T$ — okres obiegu (s)
- $f = 1/T$ — częstotliwość (Hz)
- $\omega = 2\pi f$ — prędkość kątowa (rad/s)
- $a_d$ — przyspieszenie dośrodkowe (m/s²) — skierowane ku środkowi
- $F_d$ — siła dośrodkowa (N) — np. tarcie, napięcie liny, grawitacja
Jak stosować
- Znajdź prędkość: $v = \frac{2\pi r}{T}$ lub podano
- Oblicz przyspieszenie: $a_d = \frac{v^2}{r}$
- Oblicz siłę: $F_d = ma_d = \frac{mv^2}{r}$
- Identyfikuj, co dostarcza siły dośrodkowej (tarcie, lina, grawitacja...)
Przykład
Samochód 1000 kg jedzie po zakręcie $r = 50$ m z $v = 20$ m/s. Minimalne tarcie?
- $F_d = \frac{mv^2}{r} = \frac{1000 \cdot 400}{50} = 8000 \text{ N}$
⚠️ Częsty błąd: „Siła odśrodkowa" to siła pozorna (fikcyjna) w nieinercjalnym układzie odniesienia. W zadaniach używaj siły dośrodkowej.
Co liczy: prędkość kątową, liniową i przyspieszenie dośrodkowe.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 10
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ciało porusza się po okręgu o promieniu $2$ m z prędkością $6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz przyśpieszenie dośrodkowe.
Koło obraca się z częstotliwością $2$ Hz. Oblicz okres obrotu i prędkość kątową.
Samochód pokonuje poziomy zakręt o promieniu $50$ m. Współczynnik tarcia opon o jezdnię wynosi $0{,}8$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Maksymalna bezpieczna prędkość to:
Ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Przyśpieszenie ciała jest równe zero.
- Wartość prędkości ciała jest stała.
- Siła wypadkowa działająca na ciało jest skierowana do środka okręgu.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Kulka o masie $0{,}5$ kg na nici o długości $1$ m zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej z prędkością $4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz siłę napięcia nici (nić traktuj jako poziomą).
Satelita okrąża Ziemię po orbicie kołowej o promieniu $r$ z okresem $T$. Wyprowadź wzór na jego przyśpieszenie dośrodkowe w zależności od $r$ i $T$.
Ciało o masie $0{,}4$ kg porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej o promieniu $0{,}5$ m. W najwyższym punkcie ma prędkość $4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz siłę napięcia nici w tym punkcie.
Oblicz najmniejszą prędkość, z jaką kulka musi przechodzić przez najwyższy punkt pętli o promieniu $0{,}8$ m, aby nie oderwać się od toru ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Podaj, z jakiej minimalnej wysokości musi wystartować (bez tarcia).
Ciało o masie $m$ zawieszone na nici o długości $l$ wychylono o kąt $60^\circ$ od pionu i puszczono. Oblicz siłę napięcia nici w najniższym punkcie toru, wyrażając wynik przez $m$ i $g$.
Ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu $r$ z prędkością o wartości $v$. Wykaż, że wartość zmiany wektora prędkości po przebyciu ćwiartki okręgu jest równa $v\sqrt2$, i wyjaśnij, dlaczego wartość prędkości pozostaje stała.