Zadania o wspólnej pracy — dwa krany napełniające jeden zbiornik

Zadania o wspólnej pracy — dwa krany napełniające zbiornik, dwie osoby malujące płot, dwie pompy — mają jedną wspólną pułapkę: kusi, żeby dodać czasy. Tymczasem czasów dodawać nie wolno. To wydajności się sumują, a wydajność to część pracy wykonana w jednostce czasu.

W tym tekście pokażę, jak myśleć o takich zadaniach przez „część pracy na godzinę”, jak dodać tempa działania i jak z tej sumy odczytać czas wspólnej pracy. Ten sposób działa niezależnie od tego, czy chodzi o krany, ludzi, czy maszyny.

Dlaczego czasów się nie dodaje

Gdyby jeden kran napełniał zbiornik w 6 godzin, a drugi w 3, dodanie czasów dałoby 9 godzin — a przecież dwa krany razem napełnią zbiornik szybciej niż każdy z osobna, a nie wolniej. To pokazuje, że sumowanie czasów jest bez sensu. Wspólna praca musi trwać krócej niż praca szybszego z uczestników.

Poprawna intuicja jest taka: im więcej „pracujących”, tym większe łączne tempo, więc krótszy czas. Dodawać trzeba więc wielkość, która rośnie wraz z liczbą pracujących — a tą wielkością jest wydajność, czyli tempo wykonywania pracy.

Wydajność jako część pracy na godzinę

Kluczowy trik to potraktować całą pracę jako jedność, na przykład „jeden pełny zbiornik”. Jeśli kran napełnia go w 6 godzin, to w ciągu jednej godziny robi jedną szóstą pracy. Jego wydajność to jedna szósta zbiornika na godzinę. Analogicznie kran napełniający w 3 godziny ma wydajność jednej trzeciej na godzinę.

Zamiana czasu na „część na godzinę” jest sercem całej metody. Od tego momentu nie operujesz już czasami, tylko ułamkami pracy wykonanej w jednostce czasu. Te ułamki wolno już dodawać, bo opisują, ile pracy przybywa co godzinę.

Dodawanie tempa i czas wspólny

Wspólna wydajność to suma wydajności pojedynczych. Jedna szósta plus jedna trzecia daje jedną drugą zbiornika na godzinę — razem krany wypełniają połowę zbiornika w każdej godzinie. Skoro w godzinę powstaje połowa pracy, cała praca zajmie odwrotność tej wydajności, czyli dwie godziny.

Ogólna zasada brzmi: czas wspólnej pracy to jeden podzielony przez sumę wydajności. Gdy dodasz części pracy na godzinę i weźmiesz odwrotność, otrzymasz czas, w którym wspólnym wysiłkiem wykonana zostanie cała praca. Odwracanie na końcu to krok, o którym łatwo zapomnieć.

Warianty tego samego schematu

Ten sam sposób działa, gdy jeden kran napełnia, a drugi opróżnia zbiornik — wtedy jedną wydajność odejmujesz, bo działa przeciwnie. Jeśli wynik sumy jest dodatni, zbiornik się napełnia; jeśli ujemny, opróżnia. Znak wydajności koduje kierunek działania.

Metoda obejmuje też zadania, w których praca rusza z opóźnieniem albo jeden pracujący odpada w trakcie. Rozbijasz wtedy zadanie na etapy i w każdym stosujesz sumę wydajności obecnych uczestników. Fundament pozostaje ten sam: myśl częścią pracy na jednostkę czasu.

Wspólna praca — jak liczyć

Powtarzalny schemat, który uodparnia na pułapkę sumowania czasów:

• Potraktuj całą pracę jako jedność (jeden zbiornik, jeden płot).
• Zamień każdy czas na wydajność: część pracy na jednostkę czasu.
• Dodaj wydajności uczestników (odejmij te działające przeciwnie).
• Czas wspólny to odwrotność sumy wydajności.
• Przy etapach rozbij zadanie i sumuj wydajności obecnych w każdym etapie.

W zadaniach o wspólnej pracy nie dodaje się czasów, tylko wydajności — a czas wspólny to odwrotność ich sumy.