Proporcjonalność prosta — funkcja liniowa przechodząca przez początek układu

Proporcjonalność prosta to szczególny, ale bardzo ważny przypadek funkcji liniowej — taki, w którym wyraz wolny jest zerem, a wzór ma postać y równa się a razy x. Jej wykresem jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Ta pozorna drobnostka ma szereg wygodnych konsekwencji.

W tym tekście pokażę, co odróżnia proporcjonalność prostą od ogólnej funkcji liniowej, dlaczego stosunek wartości do argumentu jest w niej stały i jak rozpoznać ją w zadaniach z treścią. To temat, który łączy funkcje z klasycznymi proporcjami.

Wykres przez początek układu

W proporcjonalności prostej brak wyrazu wolnego oznacza, że dla argumentu zero wartość również wynosi zero. Dlatego wykres zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych. To pierwszy i najłatwiejszy sposób rozpoznania takiej funkcji — jej prosta „startuje” dokładnie z punktu zerowego.

Pozostaje tylko nachylenie, za które odpowiada współczynnik przy argumencie, nazywany współczynnikiem proporcjonalności. Dodatni daje prostą rosnącą, ujemny malejącą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym stromszy wykres. Cały kształt funkcji opisuje więc jedna liczba.

Stały stosunek wartości do argumentu

Najważniejsza cecha proporcjonalności prostej to stały stosunek wartości do argumentu. Dla każdego niezerowego argumentu iloraz wartości przez argument daje tę samą liczbę — właśnie współczynnik proporcjonalności. To odróżnia ją od ogólnej funkcji liniowej, w której taki stosunek się zmienia.

Ta własność jest praktycznym testem. Gdy w tabeli wartości iloraz kolejnych wartości przez odpowiadające im argumenty jest wszędzie taki sam, masz do czynienia z proporcjonalnością prostą. Jeśli iloraz się zmienia, funkcja nie jest proporcjonalnością, choćby nawet była liniowa.

Proporcjonalność w zadaniach z życia

Proporcjonalność prosta opisuje sytuacje bez opłaty początkowej, w których wielkość rośnie wprost proporcjonalnie do innej. Cena za tkaninę zależna tylko od liczby metrów, droga przy stałej prędkości zależna od czasu, koszt bez opłaty stałej zależny od liczby sztuk — wszystkie mają tę samą strukturę.

Rozpoznanie proporcjonalności bardzo skraca takie zadania, bo wystarczy jedna para wartości, by wyznaczyć współczynnik, a potem obliczyć dowolną inną wartość. To dokładnie klasyczna proporcja, tylko ubrana w język funkcji — dwa spojrzenia na to samo zjawisko.

Proporcjonalność prosta — cechy

Jak ją rozpoznać i wykorzystać:

• Wzór ma postać y równa się a razy x, bez wyrazu wolnego.
• Wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.
• Stosunek wartości do argumentu jest stały i równy współczynnikowi.
• W tabeli: równy iloraz wartości przez argument świadczy o proporcjonalności.
• Opisuje sytuacje bez opłaty stałej — jedna para wartości wyznacza współczynnik.

Proporcjonalność prosta to funkcja liniowa bez wyrazu wolnego — jej wykres startuje z zera, a stosunek wartości do argumentu jest zawsze taki sam.