Jak narysować wykres funkcji liniowej — od tabelki wartości do prostej

Wykres funkcji liniowej to jedna z tych rzeczy, które wyglądają trudno tylko do momentu, gdy zobaczysz, że każda prosta jest wyznaczona już przez dwa punkty. Jeśli umiesz podstawić liczbę do wzoru y = ax + b, umiesz narysować wykres — reszta to porządek na kartce i staranność przy zaznaczaniu punktów.

W tym tekście pokażę spokojny schemat: jak z wzoru wybrać wygodne argumenty, jak zbudować krótką tabelkę wartości i jak z niej odczytać prostą. Ten sam sposób działa na sprawdzianie, na egzaminie i przy zadaniach, w których wykres jest tylko narzędziem do dalszej części rozwiązania.

Dlaczego wystarczą dwa punkty

Prosta jest jednoznacznie wyznaczona przez dwa różne punkty — to fakt, na którym opiera się cała technika. W praktyce oznacza to, że nie musisz liczyć dziesięciu wartości. Wybierasz dwa argumenty, obliczasz dla nich y i łączysz otrzymane punkty linią. Trzeci punkt warto policzyć tylko jako kontrolę: jeśli leży na tej samej prostej, rachunki są zgodne.

Najwygodniej wybrać argumenty, które dają „okrągłe” wartości. Bardzo często najlepszy jest x = 0, bo wtedy y = b, czyli od razu widzisz punkt przecięcia z osią OY. Drugi punkt dobierz tak, aby a·x było liczbą całkowitą — przy współczynniku a = 3/2 wygodne jest na przykład x = 2.

Budowa tabelki wartości

Tabelka to po prostu dwie kolumny: argument x i wartość y. Weź wzór, podstaw pierwszy argument, zapisz wynik, potem drugi. Trzymaj się kolejności działań: najpierw mnożenie a·x, potem dodanie b. Ten drobiazg ratuje przed najczęstszym błędem, czyli dodaniem b przed pomnożeniem.

Dla przykładu weźmy y = 2x − 1. Dla x = 0 mamy y = −1, dla x = 3 mamy y = 5. Dwa punkty (0, −1) oraz (3, 5) w zupełności wystarczą. Gdy zaznaczysz je w układzie współrzędnych i połączysz, otrzymasz dokładnie wykres tej funkcji.

Zaznaczanie punktów i rysowanie prostej

Przy zaznaczaniu punktów pilnuj skali na obu osiach — musi być równomierna, inaczej prosta „skłamie” o swoim nachyleniu. Zaznacz oba punkty wyraźnymi kropkami, a linię poprowadź przez nie linijką, przedłużając ją poza punkty w obie strony. Wykres funkcji liniowej to cała prosta, a nie odcinek między dwiema kropkami.

Jeżeli prosta wychodzi bardzo stroma albo prawie pozioma, to nie błąd — to informacja o współczynniku kierunkowym. Duże co do wartości a daje strome nachylenie, a wartości bliskie zeru dają wykres łagodny, niemal równoległy do osi OX.

Szybka kontrola poprawności

Zanim uznasz wykres za gotowy, sprawdź znak nachylenia. Jeśli a jest dodatnie, prosta powinna „iść w górę” od lewej do prawej. Jeśli a jest ujemne, powinna opadać. Gdy Twój rysunek pokazuje coś innego, wróć do tabelki — najpewniej pomyliłeś znak przy jednym z iloczynów.

Druga kontrola to punkt przecięcia z osią OY. Powinien wypaść na wysokości b. Jeśli we wzorze b = −1, prosta musi przecinać oś pionową poniżej zera. Te dwie proste kontrole wyłapują większość pomyłek, zanim wpłyną na dalsze części zadania.

Wykres funkcji liniowej — kolejność kroków

Zbierzmy całość w krótką listę, którą można trzymać w głowie na klasówce:

• Zapisz wzór w postaci y = ax + b i odczytaj współczynniki a oraz b.
• Wybierz x = 0 — otrzymasz punkt (0, b) na osi OY.
• Dobierz drugi argument tak, aby a·x było liczbą całkowitą.
• Policz oba y, zapisz punkty i zaznacz je w równej skali.
• Poprowadź prostą przez punkty linijką i przedłuż w obie strony.

Wykresu funkcji liniowej nie „zgaduje się” — wyznaczają go dwa dobrze policzone punkty i równa skala na osiach.