Funkcja liniowa w zadaniach z życia — taryfy, abonamenty i koszty

Funkcja liniowa jest ulubionym modelem twórców zadań z treścią, bo świetnie opisuje sytuacje z opłatą stałą i częścią rosnącą proporcjonalnie do zużycia. Abonament plus koszt za minutę, opłata za dojazd plus stawka za kilometr, prenumerata plus cena za dodatek — wszystkie mają tę samą strukturę.

Gdy nauczysz się rozpoznawać, co w treści jest wyrazem wolnym, a co współczynnikiem kierunkowym, takie zadania stają się mechaniczne. W tym tekście rozłożę ten schemat i pokażę, jak używać go do porównywania ofert.

Opłata stała to wyraz wolny b

W modelu y = ax + b liczba b to koszt, który ponosisz niezależnie od zużycia — abonament, opłata początkowa, prenumerata. Nawet przy zerowym zużyciu (x = 0) zapłacisz dokładnie b. To dlatego wyraz wolny nazywa się czasem „kosztem wejścia”.

Rozpoznanie b w treści polega na znalezieniu kwoty, która pada „na start”, bez względu na liczbę sztuk, minut czy kilometrów. Zwykle jest zapisana słowami „opłata stała”, „abonament” albo „koszt przyłączenia”.

Koszt jednostkowy to współczynnik a

Współczynnik a mówi, o ile rośnie koszt przy każdej kolejnej jednostce — za minutę, kilometr, sztukę. To część zmienna, zależna od zużycia. Jeśli minuta kosztuje 20 groszy, a wynosi 0,20 i mnoży się przez liczbę minut x.

Cały koszt to suma części stałej i zmiennej: y = a·x + b. Podstawiając konkretne x, dostajesz koszt dla danego zużycia. Podstawiając konkretne y, możesz odwrotnie policzyć, na ile jednostek wystarczy Twój budżet.

Porównywanie dwóch ofert

Najciekawsze zadania proszą o porównanie dwóch taryf i wskazanie, która jest tańsza. Zapisujesz wtedy dwie funkcje, po jednej na ofertę, i szukasz punktu, w którym dają ten sam koszt. To znaczy: przyrównujesz oba wzory i rozwiązujesz równanie a₁x + b₁ = a₂x + b₂.

Rozwiązanie x₀ to „punkt równowagi” — przy tym zużyciu obie oferty kosztują tyle samo. Poniżej niego tańsza jest ta z niższą opłatą stałą, powyżej — ta z niższym kosztem jednostkowym. Dzięki temu jedno równanie odpowiada na pytanie, którą ofertę wybrać.

Kiedy model przestaje działać

Model liniowy zakłada, że koszt jednostkowy jest stały. W realnych taryfach bywa inaczej: pierwsze 100 minut gratis, potem opłata, albo rabat po przekroczeniu progu. Wtedy funkcja przestaje być jedną prostą i staje się „łamana” — złożona z kilku odcinków.

W zadaniach szkolnych takie progi są zwykle wyraźnie opisane, więc wystarczy rozbić problem na przedziały i w każdym zastosować inny wzór liniowy. Warto o tym pamiętać, bo bezmyślne użycie jednego wzoru na całym zakresie prowadzi do błędnej odpowiedzi.

Model kosztu — jak czytać treść

Zestaw pytań, które szybko przekładają treść na wzór y = ax + b:

• Ile zapłacę przy zerowym zużyciu? To wyraz wolny b.
• O ile rośnie koszt przy każdej kolejnej jednostce? To współczynnik a.
• Jaki jest pełny koszt? Suma części stałej i zmiennej: y = a·x + b.
• Która oferta tańsza? Przyrównaj dwa wzory i znajdź punkt równowagi.
• Czy są progi lub rabaty? Jeśli tak, rozbij zadanie na przedziały.

W zadaniach z życia wyraz wolny to opłata stała, a współczynnik kierunkowy to cena każdej kolejnej jednostki.