Funkcja liniowa rosnąca, malejąca i stała — jak rozpoznać od razu

Monotoniczność funkcji liniowej — czyli to, czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała — można odczytać w sekundę, jeśli wiesz, gdzie patrzeć. Cała informacja siedzi w jednym współczynniku, więc nie trzeba liczyć wartości ani rysować wykresu, żeby odpowiedzieć na to pytanie.

W tym krótkim tekście uporządkuję trzy przypadki i pokażę, dlaczego to znak liczby a, a nie b, decyduje o zachowaniu funkcji. Przy okazji zajmiemy się drobnymi pułapkami, przez które łatwo pomylić rosnącą z malejącą.

Decyduje współczynnik a

Dla funkcji y = ax + b o wszystkim decyduje a, nazywane współczynnikiem kierunkowym. Jeśli a > 0, funkcja jest rosnąca — im większy argument, tym większa wartość. Jeśli a < 0, funkcja jest malejąca. Gdy a = 0, wzór upraszcza się do y = b i funkcja jest stała, czyli jej wykresem jest prosta pozioma.

Wyraz wolny b nie ma tu nic do powiedzenia. Zmiana b przesuwa wykres w górę lub w dół, ale nie zmienia jego nachylenia. Dlatego funkcje y = 2x + 5 oraz y = 2x − 100 są obie rosnące i to dokładnie tak samo szybko.

Dlaczego znak a wystarcza

Współczynnik a mówi, o ile zmienia się wartość, gdy argument rośnie o jeden. Dodatnie a oznacza przyrost — wartości pną się w górę. Ujemne a oznacza ubytek — wartości spadają. To bezpośrednio przekłada się na wykres, który odpowiednio wznosi się albo opada od lewej do prawej.

Ta sama logika działa w zadaniach z treścią. Jeśli funkcja opisuje, jak rośnie koszt razem z liczbą sztuk, dodatni współczynnik przy liczbie sztuk to znak, że koszt narasta. Ujemny oznaczałby, że maleje — co w kontekście kosztu byłoby sygnałem, że coś w modelu zadania warto sprawdzić.

Najczęstsza pomyłka ze znakiem

Największy problem sprawia wzór, w którym a jest ukryte. W zapisie y = 5 − 3x współczynnikiem kierunkowym jest −3, a nie 3. Wystarczy uporządkować wzór do postaci y = −3x + 5, żeby znak stał się oczywisty. Funkcja jest więc malejąca, mimo że „na pierwszy rzut oka” zaczyna się od piątki.

Podobnie mylące bywają ułamki. W funkcji y = −x/4 + 1 współczynnik to −1/4, czyli funkcja jest malejąca, tylko bardzo łagodnie. Zawsze najpierw doprowadź wzór do czystej postaci ax + b, a dopiero potem oceniaj znak.

Trzy przypadki w pigułce

Zapamiętaj tę krótką regułę, a rozpoznasz monotoniczność natychmiast:

• a > 0 — funkcja rosnąca, wykres wznosi się w prawo.
• a < 0 — funkcja malejąca, wykres opada w prawo.
• a = 0 — funkcja stała, wykresem jest prosta pozioma y = b.
• Wyraz wolny b nie wpływa na monotoniczność, tylko na wysokość wykresu.
• Przed oceną znaku uporządkuj wzór do postaci y = ax + b.

O tym, czy funkcja liniowa rośnie, czy maleje, decyduje jeden znak — znak współczynnika a.