Obwód (długość) okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r$$

Uwaga: $\pi r^2$ to wzór na pole koła, a nie długość okręgu. Łatwo je pomylić — długość zależy od $r$ liniowo, pole od $r^2$.

Odpowiedź: B. $2\pi r$.

Podstawiamy do wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $31{,}4$ cm.

Wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: podnosimy do kwadratu sam promień, a nie iloczyn $\pi r$. Zatem $9\pi$, a nie $(3\pi)^2$.

Odpowiedź: $9\pi$ cm² $\approx28{,}3$ cm².

Gdy dana jest średnica, wygodnie użyć wzoru $L=\pi d$:

$$L=3{,}14\cdot10=31{,}4\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: promień to $5$ cm, więc $L=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4$ cm ✔

Odpowiedź: C. $31{,}4$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot10^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $314$ cm².

Z równania $2\pi r=12\pi$ wyznaczamy promień:

$$r=\frac{12\pi}{2\pi}=6$$

Sprawdzenie: $2\pi\cdot6=12\pi$ ✔

Odpowiedź: A. $r=6$.

Krok 1 — promień z pola:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi r=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Krok 1 — droga na jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d=\frac{22}{7}\cdot70=220\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na metry:

$$220\ \text{cm}=2{,}2\ \text{m}$$

Dlaczego $\frac{22}{7}$: to wygodne przybliżenie $\pi$, które przy średnicy podzielnej przez $7$ daje okrągły wynik.

Odpowiedź: $2{,}2$ m.

Pole zależy od kwadratu promienia. Dla promienia $2r$:

$$P=\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

To cztery razy więcej niż $\pi r^2$.

Uwaga: długość okręgu podwoiłaby się (zależy od $r$ liniowo), ale pole rośnie z kwadratem — dlatego cztery razy.

Odpowiedź: D. wzrośnie czterokrotnie.

Krok 1 — pole większego koła:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole mniejszego koła:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — pole pierścienia to różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Półkole to połowa koła, więc bierzemy połowę pola:

$$P=\frac{\pi r^2}{2}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi r^2}{2}$.

Krok 1 — promień koła wpisanego. Koło dotyka wszystkich boków kwadratu, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Krok 1 — układamy równanie:

$$2\cdot3{,}14\cdot r=18{,}84$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$6{,}28\cdot r=18{,}84$$

Krok 3 — dzielimy:

$$r=\frac{18{,}84}{6{,}28}=3\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $2\cdot3{,}14\cdot3=18{,}84$ ✔

Odpowiedź: $r=3$ cm.

$$\pi\approx3{,}14159\ldots$$

To liczba niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. W szkole używamy przybliżeń $3{,}14$ lub $\frac{22}{7}$.

Odpowiedź: C. $3{,}14$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień półkola. Średnica półkola to bok kwadratu:

$$2r=6 \quad\Rightarrow\quad r=3\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole półkola:

$$P_2=\frac{\pi\cdot3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}=4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole całej figury:

$$P=36+4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $(36+4{,}5\pi)$ cm² $\approx50{,}1$ cm².

Ćwiartka to $\frac14$ pola całego koła:

$$P=\frac14\cdot\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Odpowiedź: A. $4\pi$.

Krok 1 — proste odcinki. Dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot80=160\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $40$ m składają się na jeden pełny okrąg:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot40=125{,}6\ \text{m}$$

Krok 3 — obwód całości:

$$160+125{,}6=285{,}6\ \text{m}$$

Uwaga. Krótsze boki prostokąta ($40$ m) nie należą do bieżni — w tych miejscach są półkola. Wliczamy tylko boki dłuższe.

Odpowiedź: $285{,}6$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_k=10^2=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_{ko}=3{,}14\cdot5^2=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole poza kołem (cztery „narożniki”):

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Interpretacja. Koło zajmuje około $78{,}5\%$ kwadratu — ten stosunek $\frac{\pi}{4}$ jest taki sam dla każdego kwadratu z wpisanym kołem.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm².

Krok 1 — suma pól:

$$\pi\cdot6^2+\pi\cdot8^2=36\pi+64\pi=100\pi$$

Krok 2 — szukany promień. Pole nowego koła ma wynosić $100\pi$:

$$\pi R^2=100\pi \quad\Rightarrow\quad R^2=100 \quad\Rightarrow\quad R=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka. Promienie $6$, $8$, $10$ tworzą trójkę pitagorejską: $6^2+8^2=10^2$. Dlatego pole koła o promieniu $10$ jest sumą pól kół o promieniach $6$ i $8$ — pola dodają się jak kwadraty przyprostokątnych.

Odpowiedź: $R=10$ cm.

Krok 1 — oznaczenia. Niech koło ma promień $r$. Kwadrat opisany dotyka koła wszystkimi bokami, więc jego bok równa się średnicy:

$$a=2r$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_{ko}=\pi r^2$$

Krok 3 — pole kwadratu:

$$P_{kw}=a^2=(2r)^2=4r^2$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{P_{ko}}{P_{kw}}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi}{4} \qquad ∎$$

Promień $r$ skrócił się — stosunek zależy tylko od $\pi$, więc jest stały i wynosi około $0{,}785$.

Sprawdzenie dla $r=5$: pole koła $25\pi\approx78{,}5$, pole kwadratu $100$, stosunek $0{,}785$ ✔