Kombinatoryka — permutacje, kombinacje i wariacje

Kombinatoryka to sztuka zliczania możliwości. Poznaj podstawowe reguły mnożenia i dodawania, pojęcie silni oraz różnicę między permutacjami, wariacjami i kombinacjami — czyli kiedy kolejność ma znaczenie, a kiedy nie.

Wzory

Silnia: n! = 1 · 2 · 3 · … · n
Permutacje zbioru n-elementowego: Pₙ = n!
Wariacje bez powtórzeń (k z n): n! / (n − k)!
Kombinacje (k z n): n! / (k! · (n − k)!)
Reguła mnożenia: liczbę niezależnych wyborów mnożymy

Reguła mnożenia i dodawania

Podstawą kombinatoryki są dwie reguły. Reguła mnożenia mówi, że jeśli kolejne wybory są niezależne, liczbę możliwości mnożymy. Reguła dodawania dotyczy sytuacji wykluczających się — wtedy liczby możliwości dodajemy. Rozpoznanie, która reguła obowiązuje, to połowa sukcesu.

Silnia i permutacje

Silnia liczby to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do tej liczby. Permutacja to ustawienie wszystkich elementów w kolejności — liczba permutacji zbioru n-elementowego to właśnie n silnia. Permutacje odpowiadają na pytanie, na ile sposobów można coś ustawić.

Kombinacje kontra wariacje

Gdy wybieramy część elementów, kluczowe jest, czy kolejność ma znaczenie. Jeśli tak — mówimy o wariacjach; jeśli nie — o kombinacjach. Wybór trzech osób do komisji to kombinacja (kolejność nieważna), a ustawienie ich na podium to wariacja (kolejność ważna).

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest silnia?

Silnia liczby n (zapis n!) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Na przykład 4! = 1·2·3·4 = 24. Przyjmuje się też, że 0! = 1.

Czym różnią się kombinacje od wariacji?

W wariacjach kolejność wybranych elementów ma znaczenie, w kombinacjach — nie. Wybór z uwzględnieniem kolejności to wariacja, bez kolejności — kombinacja.

Kiedy używać reguły mnożenia, a kiedy dodawania?

Reguły mnożenia używasz, gdy kolejne wybory następują po sobie i są niezależne. Reguły dodawania — gdy masz wykluczające się przypadki („albo–albo").

Co to jest permutacja?

To ustawienie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności. Liczba permutacji zbioru n-elementowego wynosi n!.

Jak obliczyć liczbę kombinacji?

Ze wzoru n! / (k! · (n − k)!), gdzie n to liczba wszystkich elementów, a k to liczba wybieranych. Kolejność nie ma tu znaczenia.

Zobacz też

Ćwicz na arkuszach ← Wszystkie tematy

Reguła mnożenia i dodawania

Silnia i permutacje

Kombinacje kontra wariacje

Najczęściej zadawane pytania

Zobacz też

Zacznij naukę już dziś— to nic nie kosztuje

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje