Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^2=\sqrt{3}^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{6}^2=3-2\sqrt{18}+6=9-2\sqrt{18}$$

Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, bowiem musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, rozpisując \(\sqrt{18}\) jako \(\sqrt{9\cdot2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$9-2\sqrt{18}=9-2\sqrt{9\cdot2}=9-2\cdot3\sqrt{2}=9-6\sqrt{2}$$

Nierówności z wartością bezwzględną rozwiązujemy w następujący sposób:
$$|x|\le4 \           ,\
x\le4 \quad\land\quad x\ge-4$$

Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem nierówności są liczby, które jednocześnie będą mniejsze lub równe \(4\) i większe lub równe \(-4\). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(\langle-4,4\rangle\).

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$3log2+log5^3=3log2+3log5=3\cdot(log2+log5)= \           ,\
=3\cdot log(2\cdot5)=3\cdot log10=3\cdot1=3$$

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena towaru po drugiej obniżce

Skoro na początku cena towaru wynosiła \(x\), a po dwóch obniżkach wynosi \(0,72x\), to końcowa cena tego towaru jest niższa o \(x-0,72x=0,28x\). Musimy tę wartość wyrazić w procentach, zatem skoro obniżka wyniosła \(0,28x\) z \(x\) to procentowo będzie ona równa:
$$\frac{0,28x}{x}\cdot100\%=28\%$$

Krok 1. Zapisanie liczby \(0,3(7)\) w postaci ułamka zwykłego.
Procedura zamiany ułamków okresowych na zwykłe wygląda następująco:
\(x=0,3(7)=0,37777... \           ,\
10x=3,7777... \           ,\
100x=37,7777... \           ,\
90x=37,7777-3,7777=34\)

Skoro \(90x=34\), to: \(x=\frac{34}{90}\). Jako \(x\) oznaczyliśmy sobie ułamek okresowy \(0,3(7)\), zatem wiemy już, że \(0,3(7)=\frac{34}{90}\)

Krok 2. Zapisanie liczby \(0,(7)\) w postaci ułamka zwykłego.
Analogicznie jak w poprzedniej sytuacji:
\(x=0,(7)=0,7777... \           ,\
10x=7,7777... \           ,\
9x=7,7777-0,7777=7\)

Skoro \(9x=7\), to \(x=\frac{7}{9}\). Jako Jako \(x\) oznaczyliśmy sobie ułamek okresowy \(0,(7)\), zatem wiemy już, że \(0,(7)=\frac{7}{9}\).

Krok 3. Obliczenie sumy liczb.
Na sam koniec musimy dodać do siebie te dwie otrzymane wartości:
$$\frac{34}{90}+\frac{7}{9}=\frac{34}{90}+\frac{70}{90}=\frac{104}{90}=\frac{52}{45}$$

Krok 1. Wypisanie największych dzielników (będących liczbami pierwszymi) liczb, które znalazły się w odpowiedziach.
Patrząc się na odpowiedzi musimy ustalić jakie są największe dzielniki (będące liczbami pierwszymi) liczb \(21,22,25\) oraz \(28\).

Największym dzielnikiem liczby \(21\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(7\).
Największym dzielnikiem liczby \(22\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(11\).
Największym dzielnikiem liczby \(25\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(5\).
Największym dzielnikiem liczby \(28\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(7\).

Możemy więc zapisać, że:
$$f(21)=7 \           ,\
f(22)=11 \           ,\
f(25)=5 \           ,\
f(28)=7$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. To prawda, bo \(f(22)=11\) oraz \(f(28)=7\).
Odp. B. To prawda, bo \(f(21)=7\) oraz \(f(28)=7\).
Odp. C. To prawda, bo \(f(25)=5\).
Odp. D. To nieprawda, bo \(f(28)=7\)

Szukaliśmy fałszywego zapisu, zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji pomoże nam wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), przez którą będzie przechodzić poszukiwana oś symetrii.

Funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci iloczynowej, co bardzo ułatwia nam obliczenia. Szukamy miejsc zerowych, czyli musimy tak naprawdę rozwiązać równanie kwadratowe:
$$\frac{1}{7}(x-5)(x+9)=0$$

Aby wartość równania była równa \(0\), to któraś z wartości znajdujących się w nawiasach musi być równa \(0\), zatem:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+9=0 \           ,\
x=5 \quad\lor\quad x=-9$$

Wyszło nam więc, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x=-9\) oraz \(x=5\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka \(p\) możemy wyliczyć na różne sposoby. Teoretycznie moglibyśmy nawet przekształcić wzór funkcji do postaci ogólnej i wtedy moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). My skorzystamy tutaj z szybszej metody, bowiem współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest zawsze dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{-9+5}{2} \           ,\
p=\frac{-4}{2} \           ,\
p=-2$$

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Oś symetrii to prosta, która przechodzi przechodzi przez współrzędną \(p\) i która wygląda w ten sposób:


To oznacza, że osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-2\).

Krok 1. Zapisanie nierówności.
Aby funkcja liniowa była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od \(0\). W naszym przypadku współczynnik \(a\) jest równy \(m^2-3\), zatem musimy rozwiązać nierówność:
$$m^2-3\gt0$$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej. Tradycyjnie na początku musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(m^2-3\) do zera. Możemy to zrobić metodą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(b=0\)), ale w tym konkretnym przypadku możemy te miejsca zerowe wyznaczyć znacznie szybciej:
$$m^2-3=0 \           ,\
m^2=3 \           ,\
m=\sqrt{3} \quad\lor\quad m=-\sqrt{3}$$

Mając miejsca zerowe możemy przystąpić do rysowania paraboli. Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni).


Interesują nas wartości większe od zera, czyli wszystko to, co znalazło się nad osią iksów. Z rysunku jasno wynika, że rozwiązaniem naszej nierówności (a tym samym całego zadania) jest przedział \(m\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)\).

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(OBC\).
Z treści zadania wynika, że nasz trójkąt jest równoramienny, a skoro tak, to kąty przy jego podstawie będą miały jednakową miarę. To z kolei oznacza, że kąt \(|\sphericalangle ABC|=70°\). Przez ten kąt \(ABC\) poprowadzono dwusieczną kąta, zatem:
$$|\sphericalangle OBC|=70°:2 \           ,\
|\sphericalangle OBC|=35°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(COB\).
Skoro kąty przy podstawie mają po \(70°\), to:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-70°=40°$$

Przez ten kąt poprowadzono dwusieczną kąta, zatem:
$$|\sphericalangle COB|=40°:2 \           ,\
|\sphericalangle COB|=20°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy na trójkąt \(COB\). Znamy już miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem:
$$α=180°-35°-20° \           ,\
α=125°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Wskazany odcinek o długości \(4cm\) łączy środki ramion trapezu. Z własności trapezów wynika, że długość łącząca środki trapezu jest równa połowie długości sumy dolnej i górnej podstawy, czyli że:
$$\frac{a+b}{2}=4 \           ,\
a+b=8$$

Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności (a nie ukrywajmy, jest ona bardzo specyficzna i rzadko wykorzystywana), to wystarczy dorysować sobie obok drugi (odwrócony) trapez i wtedy dostrzeżemy, że \(a+b=2\cdot4=8\).


Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu i wiedząc, że \(P=20cm^2\) oraz że \(a+b=8\) możemy obliczyć wysokość trapezu:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \           ,\
20=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h \           ,\
20=4\cdot h \           ,\
h=5[cm]$$

Nie możemy podzielić obydwu stron równania przez \((3x+2)\), bo nie mamy pewności, że przypadkiem nie podzielimy tego równania przez \(0\). To równanie należy rozwiązać w następujący sposób:
$$(2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5) \           ,\
(2x-5)(3x+2)-(3x+2)(x+5)=0 \           ,\
(3x+2)\cdot[(2x-5)-(x+5)]=0 \           ,\
(3x+2)\cdot[(2x-5)-x-5]=0 \           ,\
(3x+2)\cdot(x-10)=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby to równanie było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$3x+2=0 \quad\lor\quad x-10=0 \           ,\
3x=-2 \quad\lor\quad x=10 \           ,\
x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=10$$

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta.
Do obliczenia sinusa potrzebujemy poznać długość przeciwprostokątnej trójkąta, a poznamy ją korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
2^2+6^2=c^2 \           ,\
4+36=c^2 \           ,\
c^2=40 \           ,\
c=\sqrt{40} \quad\lor\quad c=-\sqrt{40}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość przeciwprostokątnej jest dodatnia. To oznacza, że \(c=\sqrt{40}\), co po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możemy jeszcze zapisać jako:
$$c=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus odpowiada stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$sinα=\frac{2}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=2:2\sqrt{10} \           ,\
sinα=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Nasz wynik jest już poprawny, ale aby dopasować się do odpowiedzi musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{10}\):
$$sinα=\frac{1\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

Na rysunku mamy przedstawioną jedną z form wykresu funkcji typu \(f(x)=\frac{a}{x}\) (tak zwana proporcjonalność odwrotna). Ten wykres nazywamy hiperbolą. Na rysunku widzimy wyraźnie, że funkcja jest rosnąca zarówno w swoim pierwszym fragmencie, jak i drugim. To oznacza, że funkcja jest rosnąca zarówno w przedziale \((-\infty,0)\) jak i \((0,+\infty)\).

Krok 1. Rozpisanie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{1}+5r \           ,\
\text{czyli:} \           ,\
a_{1}=a_{6}-5r$$

Skoro \(a_{6}\) jest równe \(0\), to wychodzi nam, że:
$$a_{1}=0-5r \           ,\
a_{1}=-5r$$

Krok 2. Obliczenie sumy jedenastu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\
S_{11}=\frac{2a_{1}+(11-1)r}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{2\cdot(-5r)+10r}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{-10r+10r}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{0}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=0$$

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że:
$$a_{6}=a_{3}\cdot q^3$$

Podstawiając do powyższego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\cdot q^3 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
q^3=\frac{1}{8} \           ,\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że szukamy wartości drugiego wyrazu. Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q$$

Skoro \(a_{3}=\frac{1}{2}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\), to:
$$\frac{1}{2}=a_{2}\cdot\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
a_{2}=1$$

Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W tym zadaniu mamy do czynienia z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Jak więc to powinniśmy rozwiązać? Wiemy, że \(6\) robotników wykonuje pracę w ciągu \(6\) godzin i \(20\) minut, czyli w ciągu \(380\) minut. To oznacza, że łączny czas pracy wszystkich pracowników jest równy:
$$6\cdot380\text{ minut}=2280\text{ minut}$$

Otrzymaliśmy informację, że gdybyśmy mieli zatrudnionego tylko jednego robotnika, to wykonałby on pracę w \(2280\) minut. Skoro mamy mieć ośmiu robotników (a czas pracy rozłoży się równo na każdą z tych osób), to praca zostanie wykonana osiem razy szybciej czyli w:
$$2280\text{ minut}:8=285\text{ minut}$$

Musimy jeszcze zamienić minuty na godziny. \(285\) minut to \(4\) godziny i \(45\) minut i taka też jest poszukiwana przez nas odpowiedź.

Z treści zadania wynika, że skala podobieństwa dwóch figur jest równa \(k=\frac{3}{4}\). Skoro więc bok większego sześciokąta foremnego ma długość \(12cm\), to bok mniejszego sześciokąta (oznaczmy go sobie jako \(a\)) będzie mieć długość:
$$a=k\cdot12cm \           ,\
a=\frac{3}{4}\cdot12cm \           ,\
a=9cm$$

Z działu dotyczącego przekształceń wykresów funkcji wiemy, że zwiększając wartość argumentu \(x\) o jakąś wartość, otrzymamy przesunięcie funkcji w lewo (to jest ten mniej intuicyjny przypadek przesunięć w lewo/prawo). Zapis typu \(f(x+4)\) oznacza więc przesunięcie funkcji \(f(x)\) o \(4\) jednostki w lewo.

Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-3\neq0 \           ,\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x-3\), otrzymując:
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3) \           ,\
x^2-9=0 \           ,\
x^2=9 \           ,\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy nasze rozwiązanie jest zgodne z założeniami. Okazuje się, że jedno z rozwiązań, a konkretnie \(x=3\), musimy odrzucić właśnie ze względu na założenia. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=-3\).

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Trójkąt równoboczny o boku \(8cm\) ma wysokość o długości:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
h=\frac{8\sqrt{3}cm}{2} \           ,\
h=4\sqrt{3}cm$$

Krok 2. Obliczenie odległości środka ciężkości od boku trójkąta.

Środek ciężkości to tak naprawdę miejsce przecięcia się wszystkich wysokości trójkąta równobocznego. Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że odległość od takiego punktu do boku trójkąta jest równa \(\frac{1}{3}h\), zatem:
$$x=\frac{1}{3}h \           ,\
x=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}cm \           ,\
x=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm$$

Wiemy, że nasz zestaw danych jest uporządkowany. Zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami są właśnie \(a\) oraz \(b\). Wiemy, że mediana musi być równa \(7,5\), zatem:
$$\frac{a+b}{2}=7,5 \           ,\
a+b=15$$

To oznacza, że szukamy takich liczb \(a\) oraz \(b\), których suma daje wynik równy \(15\) (biorąc oczywiście pod uwagę fakt, że jedna i druga liczba musi być większa lub równa \(6\) i mniejsza lub równa \(8\)). Pasującą parą liczb będzie w takim razie ta z ostatniej odpowiedzi, czyli \(a=7, b=8\) bo tylko tutaj suma liczb jest równa \(15\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(s=a\sqrt{3}\). Wiemy, że przekątna naszego sześcianu ma długość \(6cm\), zatem:
$$a\sqrt{3}=6 \           ,\
a=\frac{6}{\sqrt{3}} \           ,\
a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\
a=\frac{6\sqrt{3}}{3} \           ,\
a=2\sqrt{3}[cm]$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Wiedząc, że \(a=2\sqrt{3}cm\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu:
$$V=a^3 \           ,\
V=(2\sqrt{3})^3 \           ,\
V=2^3\cdot\sqrt{3}^3 \           ,\
V=8\cdot3\sqrt{3} \           ,\
V=24\sqrt{3}[cm^3]$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie pola przekroju osiowego.
Na rysunku widzimy, że w przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny w którym ramiona mają długość \(8\). Kąt między tymi ramionami ma miarę \(30°\). Chcąc więc obliczyć pole tego trójkąta możemy skorzystać ze sprytnego wzoru na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot sin30° \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\frac{1}{2} \           ,\
P=16[cm^2]$$

Ustalmy na ile różnych sposobów możemy uzupełnić każdą z cyfr kodu aktywacyjnego.
• Na pierwszym miejscu może znaleźć się jedna z \(24\) liter. Mamy więc \(24\) możliwości uzupełnienia pierwszej cyfry kodu.
• Na drugim miejscu może znaleźć się jedna z \(10\) cyfr (od \(0\) do \(9\)). Mamy więc \(10\) możliwości uzupełnienia drugiej cyfry kodu.
• Na trzecim miejscu może znaleźć się jedna z \(24\) liter. Mamy więc \(24\) możliwości uzupełnienia trzeciej cyfry kodu.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych kodów będziemy mieć:
$$|A|=24\cdot10\cdot24=5760$$

Krok 1. Obliczenie sumy oczek w pierwszych sześciu rzutach.
Skoro średnia arytmetyczna pierwszych sześciu rzutów jest równa \(3,5\), to suma wszystkich oczek jakie wypadły w tych rzutach będzie równa:
$$6\cdot3,5=21$$

Krok 2. Obliczenie sumy oczek w ostatnich czterech rzutach.
Skoro średnia arytmetyczna ostatnich czterech rzutów jest równa \(4,5\), to suma wszystkich oczek jakie wypadły w tych rzutach będzie równa:
$$4\cdot4,5=18$$

Krok 3. Obliczenie średniej arytmetycznej wszystkich rzutów.
Z informacji obliczonych w pierwszym i drugim kroku wynika, że w dziesięciu rzutach wyrzuciliśmy \(21+18=39\) oczek. To oznacza, że średnia arytmetyczna liczby oczek jest równa:
$$śr=\frac{39}{10} \           ,\
śr=3,9$$

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$2^{13}\cdot x-3\cdot4^6\lt 8^4(3x-5) \           ,\
2^{13}\cdot x-3\cdot\left(2^{2}\right)^6\lt \left(2^3\right)^4\cdot(3x-5) \           ,\
2^{13}\cdot x-3\cdot2^{12}\lt 2^{12}\cdot(3x-5) \quad\bigg/:2^{12} \           ,\
\frac{2^{13}\cdot x}{2^{12}}-3\lt 3x-5 \           ,\
2x-3\lt 3x-5 \           ,\
-x\lt-2 \           ,\
x\gt2$$

Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny, tak jak przy tym ostatnim przekształceniu.

To oznacza, że rozwiązaniem nierówności jest \(x\gt2\), co możemy jeszcze zapisać jako \(x\in(2;+\infty)\).

Krok 1. Dostrzeżenie tego, iż jest to trójkąt prostokątny.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt o wskazanych bokach jest trójkątem prostokątnym. Przeciwprostokątną takiego trójkąta jest najdłuższy bok, czyli w tym przypadku \(\sqrt{15}\). To, że jest to trójkąt prostokątny możemy udowodnić z Twierdzenia Pitagorasa.
$$\sqrt{5}^2+\sqrt{10}^2=\sqrt{15}^2 \           ,\
5+10=15 \           ,\
15=15 \           ,\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa prawej, to możemy być pewni, że ten trójkąt jest jak najbardziej prostokątny.

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma pewną specyficzną własność. Długość średnicy takiego okręgu jest zawsze równa długości przeciwprostokątnej trójkąta. My wiemy, że nasza przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{15}\), zatem średnica okręgu będzie równa \(d=\sqrt{15}\). Nas interesuje poznanie długości promienia, a skoro promień jest zawsze dwa razy krótszy od średnicy, to:
$$r=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemów wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. Możemy w tym celu skorzystać z długiego wzoru dostępnego w tablicach maturalnych lub też możemy zbudować odpowiedni układ równań. Podstawiając do postaci \(y=ax+b\) współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
\begin{cases}
3=-2a+b \           ,\
5=2a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-2=-4a \           ,\
a=\frac{1}{2}$$

Znamy już wartość współczynnika \(a\). Wartość współczynnika \(b\) obliczymy podstawiając do dowolnego równania (np. drugiego) wyznaczoną przed chwilą wartość \(a=\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$5=2a+b \           ,\
5=2\cdot\frac{1}{2}+b \           ,\
5=1+b \           ,\
b=4$$

Mamy już obliczone wartości obydwu współczynników, zatem możemy zapisać, że równaniem prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\) będzie \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Krok 2. Sprawdzenie, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\).
Musimy teraz sprawdzić, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Jeżeli tak, to rzeczywiście wszystkie wskazane punkty są współliniowe. Podstawmy zatem do równania prostej \(AB\) współrzędne punktu \(C\), czyli \(x=2\sqrt{2}\) oraz \(y=4+\sqrt{2}\):
$$y=\frac{1}{2}x+4 \           ,\
4+\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}+4 \           ,\
4+\sqrt{2}=\sqrt{2}+4 \           ,\
L=P$$

Lewa strona jest równa stronie prawej, a to oznacza, że punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Wniosek z tego płynie taki, że wszystkie trzy punkty są współliniowe i leżą na prostej \(y=\frac{1}{2}x+4\).

Krok 1. Obliczenie delty.
Liczba rozwiązań równania kwadratowego jest zależna od wartości delty. Spróbujmy zatem ją policzyć, tak jak robimy to przy rozwiązywaniu standardowego równania kwadratowego:
Współczynniki: \(a=1,\;b=a-1,\;c=-a\)
$$Δ=b^2-4ac=(a-1)^2-4\cdot1\cdot(-a)=a^2-2a+1+4a=a^2+2a+1$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Delta wyszła nam równa \(a^2+2a+1\). Powinniśmy dostrzec, że tę postać da się "zwinąć" przy użyciu wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a+1)^2\).

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to możemy być pewni, że \((a+1)^2\) jest na pewno większe lub równe zero. Z naszej analizy wynika więc, że delta jest zawsze większa lub równa zero, a skoro tak, to równanie kwadratowe zawsze będzie mieć dwa lub jedno rozwiązanie. W ten sposób udowodniliśmy, że to równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie.

Krok 1. Ułożenie równania.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$a+a\sqrt{2}=1$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
$$a+a\sqrt{2}=1 \           ,\
a\cdot(1+\sqrt{2})=1 \           ,\
a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$

Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})} \           ,\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2} \           ,\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2} \           ,\
a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1} \           ,\
a=-1+\sqrt{2} \           ,\
a=\sqrt{2}-1$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość:
$$d=a\sqrt{2} \           ,\
d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2} \           ,\
d=2-\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Każdy rzut kością to możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy dwa. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są sytuacje w których liczba oczek w drugim rzucie jest o dwa większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. Wypiszmy zatem te możliwości, bo nie jest ich wiele:
$$(1;3), (2;4), (3;5), (4;6)$$

Widzimy, że są tylko cztery interesujące nas przypadki. W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=-4\). Skoro tak, to możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-4\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-2\cdot4=a_{1}-8\)

Krok 2. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(a_{1}+3\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-4+3=a_{1}-1\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-8+4=a_{1}-4\)

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
W ciągu geometrycznym dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając zapisane przed chwilą wyrazy ciągu geometrycznego otrzymamy:
$$(a_{1}-1)^2=(a_{1}+3)\cdot(a_{1}-4) \           ,\
{a_{1}}^2-2a_{1}+1^2={a_{1}}^2-4a_{1}+3a_{1}-12 \           ,\
-2a_{1}+1=-a_{1}-12 \           ,\
-a_{1}=-13 \           ,\
a_{1}=13$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.
Korzystając z oznaczeń, które zapisaliśmy sobie w pierwszym i drugim kroku otrzymamy:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(13\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(13-4=9\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(13-8=5\)

Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(13+3=16\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(13-1=12\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(13-4=9\)

Możemy więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny tworzą liczby \(13,9,5\), a ciąg geometryczny tworzą liczby \(16,12,9\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Tutaj kluczowy staje się trójkąt \(EFB\), który jest trójkątem prostokątnym, a dokładniej rzecz ujmując jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(FB\) oraz \(EF\).
Spójrzmy na nasz trójkąt \(EFB\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(12\sqrt{5}\). Za pomocą funkcji trygonometrycznych lub też własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) jesteśmy w stanie wyznaczyć pozostałe boki tego trójkąta. Spróbujmy może skorzystać z własności takich trójkątów i zacznijmy od wyznaczenia długości odcinka \(FB\).


Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\), odcinek \(FB\) jest dwukrotnie krótszy od przeciwprostokątnej, zatem:
$$FB=12\sqrt{5}:2 \           ,\
FB=6\sqrt{5}$$

Teraz wyznaczmy długość odcinka \(EF\) (która jest jednocześnie wysokością naszego ostrosłupa). Ją moglibyśmy wyznaczyć nawet z Twierdzenia Pitagorasa, ale trzymając się własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że ten odcinek będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od przyprostokątnej \(FB\). W związku z tym:
$$EF=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} \           ,\
EF=6\sqrt{15}$$

Skoro odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa, to możemy od razu zapisać, że \(H=6\sqrt{15}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ABF\). Na pewno jest to trójkąt prostokątny, bo kąt \(FAB\) jest kątem kwadratu znajdującego się w podstawie.
Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli \(FB=6\sqrt{5}\). Jeżeli odcinek \(AB\) oznaczymy jako \(a\), to odcinek \(AF\) będziemy mogli zapisać jako \(\frac{1}{2}a\). W związku z tym zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=(6\sqrt{5})^2 \           ,\
a^2+\frac{1}{4}a^2=36\cdot5 \           ,\
\frac{5}{4}a^2=180 \           ,\
a^2=144 \           ,\
a=12 \quad\lor\quad a=-12$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=12\).

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku \(a=12\), a wysokość ostrosłupa to \(H=6\sqrt{15}\). Znając te dane możemy przystąpić do liczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot6\sqrt{15} \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot144\cdot6\sqrt{15} \           ,\
V=48\cdot6\sqrt{15} \           ,\
V=288\sqrt{15}[cm^3]$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba róż w pojedynczym kartonie
\(y\) - liczba kartonów

Wiemy, że zapakowano \(480\) róż, zatem możemy zapisać, że:
$$x\cdot y=480$$

Dodatkowo wiemy, że gdyby do kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to trzeba byłoby użyć \(8\) kartonów więcej, czyli:
$$(x-3)(y+8)=480$$

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań
Z dwóch zapisanych równań w poprzednim kroku możemy zbudować następujący układ równań.
\begin{cases}
x\cdot y=480 \           ,\
(x-3)(y+8)=480
\end{cases}

Ten układ równań najszybciej rozwiążemy metodą podstawiania, wyznaczając np. wartość \(x\) z pierwszego równania:
\begin{cases}
x=\frac{480}{y} \           ,\
(x-3)(y+8)=480
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
\left(\frac{480}{y}-3\right)(y+8)=480 \           ,\
\cancel{480}+\frac{3840}{y}-3y-24=\cancel{480} \           ,\
-3y-24+\frac{3840}{y}=0 \quad\bigg/\cdot y \           ,\
-3y^2-24y+3840=0 \quad\bigg/:(-3) \           ,\
y^2+8y-1280=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(-3\) nie było konieczne, ale dzięki temu za chwilę będziemy działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=-1280\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot(-1280)=64-(-5120)=5184 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{5184}=72$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-72}{2\cdot1}=\frac{-80}{2}=-40 \           ,\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+72}{2\cdot1}=\frac{64}{2}=32$$


Krok 4. Określenie liczby kartonów oraz róż w pojedynczym kartonie.
Zacznijmy od liczby kartonów. Z równania kwadratowego wyszło nam, że \(y=-40\) oraz \(y=32\). Oczywiście ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo liczba kartonów nie może być ujemna. W związku z tym już wiemy, że \(y=32\), czyli że pierwotnie były \(32\) kartony. Musimy jeszcze obliczyć ilość róż, zatem korzystając z dowolnego równania z układu równań (np. z pierwszego) wyjdzie nam, że:
$$x\cdot y=480 \           ,\
x\cdot32=480 \           ,\
x=15$$

To oznacza, że w pojedynczym kartonie znalazło się \(15\) róż, a samych kartonów było pierwotnie \(32\).