Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczymy korzystając ze wzoru na błąd względny \(δ=\frac{Δx}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość

W naszym przypadku:
\(x=a=\frac{25}{4}=6,25\)
\(δ=4\%=0,04\)

Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{Δx}{x} \           ,\
0,04=\frac{Δx}{6,25} \           ,\
Δx=0,25$$

Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną do liczby \(a\) jest \(\frac{1}{a}\), zatem w naszym przypadku liczbą odwrotną do podanej będzie \(\frac{1}{3-2\sqrt{2}}\).

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Choć poprawnie już wskazaliśmy liczbę odwrotną, to w tym konkretnym przypadku musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Aby tego dokonać musimy pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez wartość \(3+2\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{1\cdot(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})\cdot(3+2\sqrt{2})}= \           ,\
=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}=3+2\sqrt{2}$$

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{x\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}=\frac{x^1\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}=\frac{x^{2,5}}{x^{-2}}=x^{2,5}:x^{-2}=x^{2,5-(-2)}=x^{4,5}$$

Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{3}36=log_{3}(9\cdot4)=log_{3}9+log_{3}4= \           ,\
=2+log_{3}4=2+log_{3}2^2=2+2log_{3}2=2+2p$$

Podatek \(18\%\) z kwoty \(k\) (gdzie \(k\lt85 528 zł\)) to będzie \(0,18k\). Od tego musimy jeszcze odjąć kwotę zmniejszającą \(556,02zł\) dzięki czemu otrzymamy zapis \(0,18k-556,02 [zł]\).

Aby dowiedzieć się jaka liczba spełnia nierówność możemy podstawiać poszczególne odpowiedzi do nierówności albo też możemy po prostu naszą nierówność rozwiązać, korzystając przy okazji ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(2-x)^2-9\lt(x-3)(x+3) \           ,\
4-4x+x^2-9\lt x^2-9 \           ,\
-4x-5\lt-9 \           ,\
-4x\lt-4 \           ,\
x\gt1$$

Pamiętaj o tym, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną musimy zmienić znak na przeciwny (tak jak przy tym ostatnim przekształceniu).

Z zaprezentowanych odpowiedzi jedyną liczbą większą od \(1\) jest \(10\).

Chcąc rozwiązać to równanie musimy przyrównać poszczególne wartości do zera, zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \quad\lor\quad x^3+8=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x^3=-8 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x=-2$$

Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Z tego też względu nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-2\).

Krok 1. Wyznaczenie wzoru funkcji.
Często w takich zadaniach wystarczy dobry rysunek szkicowy. W tym konkretnym przypadku niektóre współrzędne są może zbyt blisko siebie (zwłaszcza z pierwszej i drugiej odpowiedzi), ale na pewno dzięki rysunkowi dałoby się na starcie odrzucić część odpowiedzi. Jednak żeby nie kombinować z rysunkiem, to podejdźmy do tego zadania nieco bardziej matematycznie.

Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wyznaczyć wzór funkcji. Jak już poznamy wzór funkcji to podstawimy do niego \(x=12\) oraz \(x=-12\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy poprawną wartość współrzędnej igrekowej. Sam wzór możemy oczywiście wyznaczyć w tradycyjny sposób (np. budując układ równań), ale tutaj da się poznać ten wzór w nieco sprytniejszy sposób. Widzimy, że funkcja przecina oś igreków dla \(y=2\), bo przechodzi przez punkt \((0;2)\). W związku z tym wiemy już, że funkcja liniowa \(y=ax+b\) ma współczynnik \(b=2\). To oznacza, ze funkcja przybiera postać \(y=ax+2\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), który poznamy podstawiając do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne punktu \((4;0)\):
$$0=4a+2 \           ,\
4a=-2 \           ,\
a=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że wzorem funkcji jest \(y=-\frac{1}{2}x+2\).

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\).
Teraz zgodnie z odpowiedziami musimy sprawdzić wartości tej funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\):
Gdy \(x=12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot12+2 \           ,\
y=-6+2 \           ,\
y=-4$$

Gdy \(x=-12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot(-12)+2 \           ,\
y=6+2 \           ,\
y=8$$

W związku z tym wyszło nam, że ta funkcja przechodzi przez punktu o współrzędnych \((12;-4)\) oraz \((-12;8)\), zatem prawidłowa jest odpowiedź druga.

Z rysunku możemy odczytać, że największą wartość funkcja przyjmuje dla \(x=3\) i ta wartość jest równa \(y=4\). Przy okazji warto pamiętać, że niezamalowana kropka oznacza, że dany punkt nie należy do wykresu funkcji, a zamalowana oznacza, że punkt do tej funkcji należy.

Jeżeli liczba \(-2\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji to znaczy, że podstawiając \(x=-2\) musimy otrzymać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$-\frac{1}{2}\cdot(-2)^2+(-2)+c=0 \           ,\
-\frac{1}{2}\cdot4-2+c=0 \           ,\
-2-2+c=0 \           ,\
-4+c=0 \           ,\
c=4$$

Krok 1. Odczytanie kluczowych informacji na temat wierzchołka paraboli.
Wszystkie funkcje zapisane są w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\).

W tym zadaniu musimy pamiętać, że funkcja kwadratowa przyjmuje swoją największą lub najmniejszą wartość właśnie w wierzchołku, zatem interesują nas tylko te wzory funkcji w których \(q=2\). Takie funkcje mamy w pierwszej oraz trzeciej odpowiedzi.

Oczywiście z podanych wzorów moglibyśmy odczytać także współrzędne \(p\) wierzchołków paraboli, ale one nie są istotne z punktu widzenia tego zadania.

Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji.
Do wyboru zostały nam już tylko dwie funkcje. Musimy się teraz zastanowić czym się one między sobą różnią. To co różni funkcję \(f(x)=-(x-2)^2+2\) od \(f(x)=2(x-1)^2+2\) to przede wszystkim wartość współczynnika \(a\). W pierwszej funkcji mamy ten współczynnik ujemny \(a=-1\), natomiast w tej drugiej współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=2\). To oznacza, że pierwsza z nich będzie miała ramiona paraboli skierowane do dołu, a druga będzie miała ramiona skierowane do góry:


Widzimy więc wyraźnie, że funkcja \(f(x)=-(x-2)^2+2\) przyjmuje najmniejszą wartość równą \(-\infty\), a największa wartość jest tutaj równa \(2\). W funkcji \(f(x)=2(x-1)^2+2\) najmniejszą wartością jest \(2\), a największą jest tutaj \(+\infty\). Nas interesuje ten drugi przypadek, zatem poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=2(x-1)^2+2\).

Już po samym zapisie wzoru powinniśmy dostrzec, że ciągiem arytmetycznym jest ciąg \(a_{n}=2n\), a różnica tego ciągu jest równa \(2\) o czym świadczy dwójka znajdująca się przed \(n\).

Gdyby ktoś jednak nie pamiętał o tej własności, to zawsze można obliczyć np. trzy pierwsze wyrazy danego ciągu i sprawdzić, czy różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest taka sama jak między wyrazem drugim i trzecim:

Dla ciągu \(a_{n}=2n\):
$$a_{1}=2\cdot1=2 \           ,\
a_{2}=2\cdot2=4 \           ,\
a_{3}=2\cdot3=6$$

Widzimy wyraźnie, że różnica tego ciągu jest równa \(2\).

Dla ciągu \(a_{n}=n^2\):
$$a_{1}=1^2=1 \           ,\
a_{2}=2^2=4 \           ,\
a_{3}=3^2=9$$

Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(3\), a między drugim i trzecim jest równa \(5\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Dla ciągu \(a_{n}=2^{n}\):
$$a_{1}=2^1=2 \           ,\
a_{2}=2^2=4 \           ,\
a_{3}=2^3=8$$

Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(2\), a między drugim i trzecim jest równa \(4\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Dla ciągu \(a_{n}=\frac{2}{n}\):
$$a_{1}=\frac{2}{1}=2 \           ,\
a_{2}=\frac{2}{2}=1 \           ,\
a_{3}=\frac{2}{3}$$

Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(-1\), a między drugim i trzecim jest równa \(-\frac{1}{3}\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Oznaczmy sobie drugi wyraz jako \(x\) oraz czwarty wyraz jako \(0,64x\), czyli:
$$a_{2}=x \           ,\
a_{4}=0,64x$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Jak pomnożymy drugi wyraz ciągu przez \(q\) to otrzymamy trzeci wyraz, a jak jeszcze raz pomnożymy to przez \(q\) to otrzymamy wartość czwartego wyrazu, czyli zachodzi następująca równość:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q\cdot q \           ,\
a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$

Podstawiając \(a_{2}=x\) oraz \(a_{4}=0,64x\) otrzymamy:
$$0,64x=x\cdot q^2 \           ,\
q^2=0,64 \           ,\
q=0,8 \quad\lor\quad q=-0,8$$

Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to na pewno \(q\) nie może być ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(q=0,8\), czyli \(q=\frac{4}{5}\).

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych np. ze wzoru:
$$cos(90°+α)=-sinα$$

Za pomocą tego wzoru możemy zapisać, że:
$$cos120°=cos(90°+30°)=-sin30°$$

Wyszło nam, że \(cos120°\) ma wartość dokładnie taką samą jak \(-sin30°\). Wartość \(sin30°\) możemy odczytać z tablic i jest to \(\frac{1}{2}\), zatem dodając do tego znak ujemny otrzymamy informację, że \(cos120°=-\frac{1}{2}\).

Krok 1. Przekształcenie równania.
Przekształcając równanie z treści zadania otrzymamy:
$$4cosα=1 \           ,\
cosα=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic trygonometrycznych.
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(0,25\) dla kata o mierze około \(76°\), bowiem \(cos76°\approx0,2493\). To oznacza, że miara kąta \(α\) jest większa od \(60°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie układ współrzędnych, zaznaczmy znane nam punkty oraz poszukiwany kąt ostry:


Z rysunku jasno wynika, że do obliczenia sinusa kąta α będziemy potrzebować znać wysokość rombu oraz długość jego boku.

Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Znając współrzędne obydwu punktów możemy obliczyć długość odcinka \(AB\) (czyli długość boku rombu):
$$|AB|=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-4)^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{2^2+(-6)^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{4+36} \           ,\
|AB|=\sqrt{40} \           ,\
|AB|=\sqrt{4\cdot10} \           ,\
|AB|=2\sqrt{10}$$

Możemy więc powiedzieć, że romb ma bok o długości \(a=2\sqrt{10}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości rombu.
Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru \(P=ah\). Skoro \(P=30\) oraz \(a=2\sqrt{10}\), to:
$$30=2\sqrt{10}\cdot h \           ,\
h=\frac{30}{2\sqrt{10}} \           ,\
h=\frac{15}{\sqrt{10}} \           ,\
h=\frac{15\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}} \           ,\
h=\frac{15\sqrt{10}}{10} \           ,\
h=\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
Znając długość boku rombu oraz jego wysokość możemy teraz zapisać, że:
$$sinα=\frac{h}{a} \           ,\
sinα=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{3\sqrt{10}}{2}:2\sqrt{10} \           ,\
sinα=\frac{3\sqrt{10}}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{3}{4}$$

Krok 1. Dostrzeżenie trójkąta prostokątnego.
Jeżeli odcinek \(AC\) jest średnicą okręgu, to z własności trójkątów wpisanych w okręg możemy wywnioskować, że trójkąt \(ABC\) jest trójkątem prostokątnym.

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BAC\).
Kąt \(BAC\) jest kątem wpisanym, który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt \(BDC\). Skoro tak, to z własności takich trójkątów wynika, że będą miały one równą miarę, stąd też:
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle BDC|=36°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(BCA\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, czyli \(|\sphericalangle CBA|=90°\) oraz \(|\sphericalangle BAC|=36°\). W związku z tym miara kąta \(BCA\) będzie równa:
$$|\sphericalangle BCA|=180°-90°-36°=54°$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PA\).
Styczna do okręgu tworzy z promieniem zawsze kąt prosty, a to oznacza, że trójkąt \(PSA\) jest prostokątny. Znamy dwie długości w tym trójkącie, a mianowicie \(|AS|=5\) oraz \(|PS|=13\). Możemy więc wyznaczyć długość odcinka \(PA\) za pomocą Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+|PA|^2=13^2 \           ,\
25+|PA|^2=169 \           ,\
|PA|^2=144 \           ,\
|PA|=12 \quad\lor\quad |PA|=-12$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|PA|=12\).

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(PSA\).
Trójkąt \(PSA\) jest połową naszego deltoidu. Jeżeli więc poznamy pole tego trójkąta, to za chwilę bez problemu obliczymy pole deltoidu. Znamy długości dwóch przyprostokątnych w tym trójkącie, zatem znamy miary podstawy i wysokości, czyli:
$$P_{PSA}=\frac{1}{2}ah \           ,\
P_{PSA}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12 \           ,\
P_{PSA}=30$$

Krok 3. Obliczenie pola deltoidu \(PBSA\).
Pole deltoidu będzie dwukrotnie większe od wyznaczonego przed chwilą pola trójkąta \(PSA\), zatem:
$$P=2\cdot P_{PSA} \           ,\
P=2\cdot30 \           ,\
P=60$$

Wartość \(a\) wyznaczymy podstawiając współrzędne punktu \(P\) do równania prostej. Podstawiając zatem \(x=-1\) oraz \(y=-2\) otrzymamy:
$$-1+\frac{1}{2}\cdot(-2)+a=0 \           ,\
-1+(-1)+a=0 \           ,\
-1-1+a=0 \           ,\
-2+a=0 \           ,\
a=2$$

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Aby móc wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, to najpierw musimy naszą pierwszą prostą zapisać w postaci kierunkowej, a nie ogólnej, jak to ma miejsce w treści zadania. Aby otrzymać postać kierunkową \(y=ax+b\) wystarczy doprowadzić do sytuacji w której po lewej stronie równania mamy samego igreka, a po prawej mamy całą resztą wyrazów, zatem:
$$2x+3y-5=0 \           ,\
3y=-2x+5 \           ,\
y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{2}{3}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć \(a=\frac{3}{2}\), bo \(-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=-1\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Omawiana w treści zadania sytuacja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie pól powierzchni kuli i walca.
Pola powierzchni kuli i walca obliczymy z następujących wzorów:
$$P_{k}=4\pi r^2 \           ,\
P_{w}=2\pi r(r+h)$$

Z rysunku wynika, że \(r=\frac{1}{2}a\) oraz że \(h=a\). Podstawiając zatem te dane do powyższych wzorów otrzymamy:
$$P_{k}=4\pi\cdot\left(\frac{1}{2}a\right)^2 \           ,\
P_{k}=4\pi\cdot\frac{1}{4}a^2 \           ,\
P_{k}=a^2\pi \           ,\
\text{oraz} \           ,\
P_{w}=2\pi\cdot\frac{1}{2}a\cdot\left(\frac{1}{2}a+a\right) \           ,\
P_{w}=2\pi\cdot\frac{1}{4}a^2+2\pi\frac{1}{2}a^2 \           ,\
P_{w}=\frac{1}{2}a^2\pi+a^2\pi \           ,\
P_{w}=\frac{3}{2}a^2\pi$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni kuli i walca.
Naszym zadaniem jest obliczyć stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni całkowitej walca, zatem:
$$\frac{P_{k}}{P_{w}}=\frac{a^2\pi}{\frac{3}{2}a^2\pi} \           ,\
\frac{P_{k}}{P_{w}}=\frac{1}{\frac{3}{2}} \           ,\
\frac{P_{k}}{P_{w}}=1:\frac{3}{2} \           ,\
\frac{P_{k}}{P_{w}}=1\cdot\frac{2}{3} \           ,\
\frac{P_{k}}{P_{w}}=\frac{2}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji zaznaczmy kluczowy trójkąt prostokątny:


Krok 2. Obliczenie długości drugiego boku prostokąta.
Drugi bok prostokątna jest przeciwprostokątną naszego zaznaczonego powyżej trójkąta prostokątnego. Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$cos60°=\frac{1}{x} \           ,\
\frac{1}{2}=\frac{1}{x} \           ,\
x=2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni otrzymanego przekroju.
Nasz przekrój jest prostokątem o wymiarach \(1\times2\), zatem:
$$P=1\cdot2 \           ,\
P=2$$

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Obliczmy skalę podobieństwa tych dwóch stożków. Jeżeli duży stożek (czyli cały wazon) potraktujemy jako bryłę podstawową, a mały stożek (czyli napełnioną wodę) jako bryłę podobną, to widzimy wyraźnie że skala podobieństwa tych brył będzie równa \(k=\frac{1}{2}\), bo wysokość małego stożka jest dwukrotnie mniejsza od stożka dużego. Możemy nawet zapisać, że:
$$k=\frac{\frac{1}{2}H}{H} \           ,\
k=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie stosunku objętości dwóch stożków.
Z własności brył podobnych wynika, że jeżeli jakaś bryła jest narysowana w skali podobieństwa równej \(k\), to jej objętość będzie \(k^3\) razy większa. W naszym przypadku \(k=\frac{1}{2}\), zatem jeżeli założymy sobie, że duży stożek ma objętość równą \(V_{1}\), to bryła podobna (czyli mały stożek) ma tę objętość równą:
$$V_{m}=V_{d}\cdot k^3 \           ,\
V_{m}=V_{d}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 \           ,\
V_{m}=\frac{1}{8}V_{d}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszło nam, że objętość małego stożka stanowi \(\frac{1}{8}\) objętości dużego stożka. To oznacza, że woda zapełniła zaledwie \(\frac{1}{8}\) wazonu. Nas pytają się o to jaka część objętości wazonu nie jest napełniona, a będzie to oczywiście \(1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Przyjmijmy sobie, żę \(x\) to liczba kul czarnych. Z treści zadania wynika, że kul białych będziemy mieć cztery razy więcej, zatem będziemy ich mieć \(4x\).
Łącznie kul czarnych i białych mamy zatem \(x+4x=5x\).

Z treści zadania wynika, że wylosowanie kuli czerwonej jest równe \(\frac{1}{2}\), a to prowadzi nas do wniosku, że kul czerwonych musi być tyle samo ile jest łącznie kul białych i czarnych. Możemy więc zapisać, że kul czerwonych mamy \(5x\).

To oznacza, że łącznie wszystkich kul (czyli tym samym zdarzeń elementarnych) będziemy mieć:
$$|Ω|=x+4x+5x=10x$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuli białej. Białych kul mamy \(4x\), stąd też możemy napisać, że \(|A|=4x\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4x}{10x}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Korzystając z informacji zawartych na diagramie możemy zapisać, że średnia liczba godzin będzie równa:
$$0,1\cdot3h+0,3\cdot4h+0,3\cdot5h+0,25\cdot6h+0,05\cdot8h= \           ,\
=0,3h+1,2h+1,5h+1,5h+0,4h=4,9h$$

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej (lub iloczynowej).
Aby przystąpić do rozwiązywania nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie było tylko \(0\). W związku z tym:
$$x(x-4)\le(2x+1)(x-4) \           ,\
x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0$$

Tutaj się na chwilę zatrzymamy. Mamy tak naprawdę teraz dwie możliwości. Pierwszą z nich jest osiągnięcie postaci ogólnej, a więc mnożąc przez siebie te wszystkie nawiasy otrzymamy:
$$x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0 \           ,\
x^2-4x-(2x^2-8x+x-4)\le0 \           ,\
x^2-4x-2x^2+8x-x+4\le0 \           ,\
-x^2+3x+4\le0$$

Jednak tutaj da się postąpić nieco sprytniej i możemy tę nierówność zapisać w postaci iloczynowej, dzięki czemu później szybciej wyznaczymy miejsca zerowe (uwaga na znaki!):
$$x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0 \           ,\
(x-2x-1)(x-4)\le0 \           ,\
(-x-1)(x-4)\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Jeżeli mamy postać ogólną to miejsca zerowe obliczymy z użyciem klasycznej delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot4=9-(-16)=9+16=25 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-5}{2\cdot(-1)}=\frac{-8}{-2}=4 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+5}{2\cdot(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$$

Jeżeli mieliśmy postać iloczynową, to wartość każdego z nawiasów musimy teraz przyrównać do zera:
$$-x-1=0 \quad\lor\quad x-4=0 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, bo \(a=-1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\le\)) i nasza parabola będzie wyglądać w ten sposób:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle4;+\infty)\).

Aby sprawdzić, czy w danym ciągu istnieje wyraz równy \(2\frac{1}{2}\) wystarczy rozwiązać następujące równanie:
$$\frac{4n+5}{2n+1}=2\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot(2n+1) \           ,\
4n+5=2\frac{1}{2}\cdot(2n+1) \           ,\
4n+5=5n+2\frac{1}{2} \           ,\
-n=-2\frac{1}{2} \           ,\
n=2\frac{1}{2}$$

Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, a to sprawia, że liczba \(2\frac{1}{2}\) nie może być jednym z wyrazów tego ciągu.

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2} \           ,\
(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \           ,\
x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \           ,\
2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
4x^4-12x^2+9\ge0 \           ,\
(2x^2-3)^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejno następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wartości podane w treści zadania otrzymamy:
$$2-3x=\frac{(1-x)+(10+2x)}{2} \           ,\
2-3x=\frac{11+x}{2} \           ,\
4-6x=11+x \           ,\
-7x=7 \           ,\
x=-1$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu.
Skoro \(x=-1\), to podstawiając tę wartość do wyrażeń podanych w treści zadania otrzymamy:
$$a_{1}=1-(-1)=1+1=2 \           ,\
a_{2}=2-3\cdot(-1)=2-(-3)=5 \           ,\
a_{3}=10+2\cdot(-1)=10-2=8$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=5-2 \           ,\
r=3$$

Krok 4. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znamy wartość \(a_{1}=2\), wiemy też że \(r=3\), zatem możemy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\
S_{10}=\frac{2\cdot2+(10-1)\cdot3}{2}\cdot10 \           ,\
S_{10}=\frac{4+9\cdot3}{2}\cdot10 \           ,\
S_{10}=\frac{4+27}{2}\cdot10 \           ,\
S_{10}=\frac{31}{2}\cdot10 \           ,\
S_{10}=15,5\cdot10 \           ,\
S_{10}=155$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Na początek wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Jedną z własności paraboli jest to, że jej oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek. To oznacza, że skoro osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-2\), to pierwszą współrzędną wierzchołka będzie \(p=-2\).


Wiemy też, że wierzchołek leży na prostej o równaniu \(y=-x+2\). Skoro tak, to obliczmy wartość dla \(x=-2\), czyli wartość przyjmowaną w wierzchołku:
$$y=-(-2)+2 \           ,\
y=2+2 \           ,\
y=4$$

To oznacza, że współrzędne wierzchołka to \(W=(-2;4)\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy skorzystać z postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\). Podstawiając zatem \(p=-2\) oraz \(q=4\) otrzymamy:
$$y=a(x-(-2))^2+4 \           ,\
y=a(x+2)^2+4$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze tylko poznania współczynnika \(a\). Aby poznać pełny wzór tej funkcji musimy podstawić do powyższej postaci współrzędne jakiegoś punktu (innego niż wierzchołek) przez który ta parabola przechodzi.

Tu z pomocą przyjdzie nam ciekawa informacja, która jest zaszyta w postaci ogólnej, która pojawiła się w treści zadania. Wiemy, że funkcja ta w postaci ogólnej przybiera postać \(f(x)=ax^2+bx+3\). Niezależnie od tego jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\), to podstawiając \(x=0\) otrzymamy informację, że:
$$f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+3 \           ,\
f(0)=0+0+3 \           ,\
f(0)=3$$

To oznacza, że parabola na pewno przechodzi przez punkt \(A\), o współrzędnych \(A=(0;3)\). Podstawiając teraz te współrzędne do postaci \(y=a(x+2)^2+4\) wyznaczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$3=a\cdot(0+2)^2+4 \           ,\
3=a\cdot2^2+4 \           ,\
3=a\cdot4+4 \           ,\
4a=-1 \           ,\
a=-\frac{1}{4}$$

Możemy więc już zapisać, że wzór funkcji w postaci kanonicznej to \(y=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy trzykrotnie dwunastościenną kostką. W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z dwunastu wyników, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=12\cdot12\cdot12=1728$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby utworzą ciąg geometryczny, czyli przykładowo takimi zdarzeniami mogą być \(2,4,8\) lub też \(1,3,9\). Musimy wypisać wszystkie możliwe warianty. Warto tutaj zwrócić uwagę, że iloraz \(q\) w takich ciągach musi być liczbą naturalną. Jakbyśmy mieli \(q\) w postaci liczby niecałkowitej (np. w postaci ułamka typu \(\frac{1}{2}\)) to w ciągu będą pojawiać nam się liczby niecałkowite, a takich na kości nie mamy. Najprościej będzie wypisać wszystkie warianty w następujący sposób:
Gdy \(q=1\):
\((1,1,1), (2,2,2), (3,3,3),..., (12,12,12)\)
Mamy więc tutaj \(12\) takich zdarzeń.

Gdy \(q=2\):
\((1,2,4), (2,4,8), (3,6,12)\)
Mamy więc tutaj \(3\) takie zdarzenia.

Gdy \(q=3\):
\((1,3,9)\)
Mamy więc tutaj \(1\) takie zdarzenie.

Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy zatem:
$$|A|=12+3+1=16$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{1728}=\frac{1}{108}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiemy, że ostrosłup jest prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie będzie miał trójkąt równoboczny. Zróbmy więc prosty rysunek szkicowy i nanieśmy na niego dane z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(PC\).
Patrząc się na nasz szkicowy rysunek powinniśmy dostrzec, że trójkąt prostokątny \(PCS\) jest jednocześnie trójkątem równoramiennym. Wynika to wprost z własności trójkątów prostokątnych - kiedy jeden kąt ostry ma miarę \(45°\), to i drugi kąt ostry w tym trójkącie ma taką miarę. Z tego też względu długości przyprostokątnych w tym trójkącie są jednakowe, a skoro wysokość \(SP\) ma miarę \(2\sqrt{3}\), to i odcinek \(PC\) będzie miał miarę \(|PC|=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Odcinek \(PC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. W związku z tym:
$$\frac{2}{3}h_{p}=2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot3 \           ,\
2h_{p}=6\sqrt{3} \           ,\
h_{p}=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy bez problemu obliczyć długość boku trójkąta. Dokonamy tego korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h_{p}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
3\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
6\sqrt{3}=a\sqrt{3} \           ,\
a=6$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=6\) możemy przejść do obliczenia pola podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=\frac{36\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole podstawy, znamy też wysokość ostrosłupa, zatem:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \           ,\
V=3\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} \           ,\
V=6\cdot3 \           ,\
V=18$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe. Korzystając zatem z własności kątów naprzemianległych możemy stwierdzić, że jeżeli kąt \(CAB\) oznaczymy jako \(α\), to także kąt \(ACD\) będzie miał miarę równą \(α\). Możemy więc powiedzieć, że w trójkątach \(ABC\) oraz \(ACD\) dwie znane nam miary kątów są jednakowe (kąt prosty oraz \(α\)), zatem i trzecia miara tego kąta musi być jednakowa (możemy ją oznaczyć jako \(β\)). To oznacza, że powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Z treści zadania wynika, że sinus kąta \(CAD\) (czyli naszego kąta β) jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Nie za bardzo wykorzystamy tę informację w trójkącie \(ACD\) (bo nie znamy choćby jednej długości boku tego trójkąta), ale możemy tę informację wykorzystać w trójkącie \(ABC\), wszak tutaj też jest kąt \(β\). Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta \(a=9\), zatem:
$$sinβ=\frac{|AC|}{|AB|} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|AC|}{9} \           ,\
|AC|=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(CD\).
Wracamy do naszego trójkąta \(ACD\). Znamy już długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bowiem \(|AC|=3\sqrt{3}\). Korzystając zatem z początkowej informacji o tym, że sinus kąta \(CAD\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) możemy zapisać, że:
$$sinβ=\frac{|CD|}{|AC|} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|CD|}{3\sqrt{3}} \           ,\
|CD|=\frac{\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}}{3} \           ,\
|CD|=\frac{9}{3} \           ,\
|CD|=3$$

To oznacza, że górna podstawa ma długość \(b=3\).

Krok 4. Obliczenie wysokości \(AD\) (czyli wysokości trapezu).
Ponownie spoglądamy na mały trójkąt prostokątny \(ACD\). Znamy dwie długości w tym trójkącie, zatem i trzecią (będącą wysokością trapezu) bez problemu możemy policzyć, korzystając oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa:
$$3^2+h^2=(3\sqrt{3})^2 \           ,\
9+h^2=9\cdot3 \           ,\
9+h^2=27 \           ,\
h^2=18 \           ,\
h=\sqrt{18} \quad\lor\quad h=-\sqrt{18}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{18}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(h=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\).

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Mamy już komplet informacji, znamy długości dwóch podstaw \(a=9\) oraz \(b=3\), znamy też wysokość trapezu \(h=3\sqrt{2}\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot(9+3)\cdot3\sqrt{2} \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3\sqrt{2} \           ,\
P=6\cdot3\sqrt{2} \           ,\
P=18\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Warto zwrócić uwagę na to, że kąt \(ANM\) będzie także miał miarę \(90°\), bo proste \(BC\) oraz \(MN\) są względem siebie równoległe, zatem miary kątów \(ACB\) oraz \(ANM\) są sobie równe.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AN\) (oraz \(AC\)).
Prosta \(AN\) (lub \(AC\)) to prosta prostopadła do prostej \(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(AN\) będzie mieć ten współczynnik \(a=-2\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\). To oznacza, że prosta \(AN\) wyrażać się będzie równaniem \(y=-2x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

Współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając do zapisanego przed chwilą równania wartości współrzędnych jakiegoś punktu, który przez tą prostą przechodzi. W naszym przypadku znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), zatem podstawiając \(x=1\) oraz \(y=6\) do postaci \(y=-2x+b\) otrzymamy:
$$6=-2\cdot1+b \           ,\
6=-2+b \           ,\
b=8$$

To oznacza, że równanie prostej \(AN\) przyjmuje postać \(y=-2x+8\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(N\).
Punkt \(N\) jest miejscem przecięcia się prostych \(MN\) oraz \(AN\). Znamy równania jednej i drugiej prostej, zatem tworząc z nich układ równań będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(N\):
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \           ,\
y=-2x+8
\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-2x+8 \           ,\
2\frac{1}{2}x=7\frac{1}{2} \           ,\
x=3$$

Znamy już wartość współrzędnej iksowej, musimy jeszcze poznać wartość współrzędnej igrekowej, a dokonamy tego podstawiając \(x=3\) do wybranego równania (np. drugiego):
$$y=-2x+8 \           ,\
y=-2\cdot3+8 \           ,\
y=-6+8 \           ,\
y=2$$

To oznacza, że \(N=(3;2)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znamy współrzędne punktu \(A=(1,6)\), znamy też już współrzędne punktu \(N=(3;2)\), zatem możemy ze wzoru na środek odcinka wyznaczyć współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń najlepiej jest oddzielnie policzyć współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową:
$$x_{N}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \           ,\
3=\frac{1+x_{C}}{2} \           ,\
6=1+x_{C} \           ,\
x_{C}=5 \           ,\
\quad \           ,\
y_{N}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \           ,\
2=\frac{6+y_{C}}{2} \           ,\
4=6+y_{C} \           ,\
y_{C}=-2$$

Wyszło nam zatem, że \(C=(5;-2)\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prosta \(BC\) jest równoległa do prostej \(MN\), zatem te dwie proste będą mieć jednakowy współczynnik \(a\). Skoro więc prosta \(MN\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to i prosta \(BC\) będzie mieć \(a=\frac{1}{2}\). To z kolei oznacza, że prosta \(BC\) będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(C\).
$$-2=\frac{1}{2}\cdot5+b \           ,\
-2=2\frac{1}{2}+b \           ,\
b=-4\frac{1}{2}$$

To oznacza, że równaniem prostej \(BC\) będzie \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\).

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
O punkcie \(B\) wiemy tyle, że leży on na osi igreków, czyli na pewno współrzędna iksowa tego punktu jest równa \(x=0\). Możemy więc do równania prostej \(BC\), czyli \(y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}\) podstawić \(x=0\) i otrzymamy współrzędną igrekową naszego punktu. Tak prawdę mówiąc, to współrzędną igrekową punktu \(B\) możemy wprost odczytać ze wzoru funkcji - wystarczy spojrzeć na współczynnik \(b\) tej prostej, bo to on pokazuje nam jaka jest współrzędna igrekowa naszego punktu \(B\). Skoro współczynnik \(b=-4\frac{1}{2}\), to współrzędna \(y=-4\frac{1}{2}\). To oznacza, że \(B=\left(0;-4\frac{1}{2}\right)\).