\(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3=27\). W związku z tym:
$$\frac{6}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6}{3}=2$$

Wynikiem pierwiastka parzystego stopnia jest zawsze liczba dodatnia. Z tego też względu np. \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\), choć przecież \((-5)^2\) jest także równe \(25\). To zadanie ma więc ukrytą w sobie bardzo dużą pułapkę, bo wbrew pozorom potęga znajdująca pod pierwiastkiem nie skróci nam się bezpośrednio z pierwiastkiem, dając ostatecznie wynik \(1-2\sqrt{2}\). Całość zadania należy rozwiązać w następujący sposób:
$$\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}=|1-2\sqrt{2}|$$

Wartość w nawiasie bezwzględności jest ujemna (jest równa około \(-1,8\)). W związku z tym opuszczając nawiasy bezwzględności musimy zmienić znak na przeciwny, zatem:
$$|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=-1+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$$

Jeżeli wartość samochodu byłaby równa \(x\) to po roku wartość auta wyniosłaby \(x-0,15x=0,85x\). Możemy więc sobie rozpisać to w następujący sposób:
Początkowa wartość samochodu: \(80000\)
Wartość po pierwszym roku \(0,85\cdot80000\)
Wartość po drugim roku \(0,85\cdot0,85\cdot80000\)
Wartość po trzecim roku \(0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot80000\)

Możemy więc powiedzieć, że po trzech latach od zakupu wartość samochodu jest równa:
$$0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot80000=49130[zł]$$

Jeżeli Pan Adam zarabia \(x\) złotych, to na początku wpłaty na rzecz stowarzyszenia wynosiły \(2\%\) z \(x\) czyli \(0,02x\) złotych.
W momencie kiedy Pan Adam zaczął przeznaczać na stowarzyszenie \(3\%\) swoich dochodów, to na stowarzyszenie wpłacał \(0,03x\) złotych.

To oznacza, że wysokość wpłat wzrosła o:
$$\frac{0,03x-0,02x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{0,01x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{1}{2}\cdot100\%=50\%$$

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi iksów. Po kratkach możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=-6\) aż do \(x=5\), zatem dziedziną funkcji będzie przedział \(\langle-6,5)\). Warto jeszcze w tym miejscu zwrócić uwagę na nawiasy. Nawias po lewej stronie jest domknięty, bo dla argumentu \(x=-6\) mamy zamalowaną kropkę, natomiast nawias po prawej stronie jest otwarty, bo dla argumentu \(x=5\) kropka jest niezamalowana.

Reszta z dzielenia przez \(3\) może być równa \(0\), \(1\) lub też \(2\). Przykładowo:
$$6:3=2\;r.0 \           ,\
7:3=2\;r.1 \           ,\
8:3=2\;r.2 \           ,\
9:3=3\;r.0$$

To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji są liczby \(\{0,1,2\}\).

Przesuwając wykres o \(4\) jednostki do góry wartość funkcji dla każdego z argumentów jest o \(4\) większa. Stąd też tworząc wzór funkcji \(g(x)\) musimy na samym końcu wzoru dopisać \(+4\), dzięki czemu otrzymamy postać \(g(x)=\frac{4}{x}+4\).

Krok 1. Zapisanie równania.
Aby dowiedzieć się kiedy jakaś funkcja przyjmie konkretną wartość wystarczy przyrównać wzór funkcji do tej wartości. W naszym przypadku musimy rozwiązać następujące równanie:
$$3^x=4$$

Krok 2. Przekształcenie równania na postać logarytmu.
Z definicji logarytmów wiemy, że \(log_{a}b=c\) wtedy, gdy \(a^c=b\). Jeżeli więc porównamy sobie zapis \(3^x=4\) do zapisu \(a^c=b\), to będziemy mogli przyjąć, że w tym zapisie \(a=3\), \(c=x\) oraz \(b=4\). Podstawiając te liczby do postaci logarytmu \(log_{a}b=c\) wyszłoby nam, że:
$$log_{3}4=x \           ,\
\text{czyli: } x=log_{3}4$$

Co prawda nie mamy takiej odpowiedzi jak \(log_{3}4\), ale korzystając z działań na logarytmach możemy dopasować się do naszych odpowiedzi w następujący sposób:
$$x=log_{3}4 \           ,\
x=log_{3}2^2 \           ,\
x=2log_{3}2$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie omawianą sytuację:


Krok 2. Odczytanie wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)
Funkcja jest malejąca, zatem współczynnik \(a\) jest liczbą ujemną, czyli \(a\lt0\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja przecina oś igreków w ujemnej wartości, czyli \(b\lt0\).

Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Wiemy już, że zarówno \(a\) jak i \(b\) są liczbami ujemnymi. Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(a+b\gt0\) - to nie może być prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. B. \(a+b\lt0\) - to prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. C. \(ab=0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.
Odp. D. \(ab\lt0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. Stąd też wiemy, że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(c\).
W przypadku funkcji kwadratowych zapisanych w postaci ogólnej, współczynnik \(c\) mówi nam o miejscu przecięcia się paraboli z osią igreków. Widzimy, że parabola przecina oś igreków dla \(y=5\), w związku z tym współczynnik \(c=5\). Stąd też \(c\gt0\).

To oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie brakującej wartości \(x\).
Wartości odwrotnie proporcjonalne charakteryzują się tym, że wraz z np. dwukrotnym wzrostem jednej liczby, spada dwukrotnie wartość drugiej liczby.
Spójrzmy teraz na naszą tabelkę. Widzimy, że \(y_{1}=16\) oraz \(y_{2}=24\). Możemy więc dostrzec, że wartość igreka wzrosła półtorakrotnie, bo \(\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{24}{16}=1,5\). To oznacza, że \(x_{2}\) powinno być \(1,5\) razy mniejsze od \(x_{1}\) lub też jak kto woli, \(x_{1}\) powinno być \(1,5\) razy większe od \(x_{2}\). Skoro \(x_{2}=2\), to \(x_{1}=1,5\cdot2=3\).

Krok 2. Wyznaczenie brakującej wartości \(y\).
Spójrzmy teraz na wartości \(x_{2}\) oraz \(x_{3}\). Widzimy, że \(x_{3}\) jest czterokrotnie mniejsze od \(x_{2}\), zatem \(y_{3}\) musi być czterokrotnie większe od \(y_{2}\). W związku z tym \(y_{3}=4\cdot24=96\).

Tak na marginesie, to warto zauważyć, że iloczyn liczb w każdej kolumnie daje tą samą wartość:
$$3\cdot16=48 \           ,\
2\cdot24=48 \           ,\
0,5\cdot96=48$$

To też może być dla nas wskazówka do rozwiązywania takich zadań lub chociażby weryfikowania poprawności obliczeń.

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=(-1)^1\cdot\frac{1}{1+1}=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \           ,\
a_{2}=(-1)^2\cdot\frac{2}{2+1}=1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \           ,\
a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3}{3+1}=-1\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu trzech pierwszych wyrazów.
Zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć iloczyn trzech pierwszych wyrazów, których wartości przed chwilą wyznaczyliśmy, zatem:
$$-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$

Aby dowiedzieć się ile wyrazów ujemnych ma wskazany ciąg musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$4(n+1)(n-10)\lt0 \quad\bigg/:4 \           ,\
(n+1)(n-10)\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \((n+1)(n-10)=0\). Zgodnie z własnościami postaci iloczynowej możemy zapisać, że:
$$n+1=0 \quad\lor\quad n-10=0 \           ,\
n=-1 \quad\lor\quad n=10$$

Zaznaczamy na osi nasze wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\lt\)) i szkicujemy parabolę. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem:


Teraz musimy odczytać rozwiązania naszej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli wszystko to, co znalazło się pod osią. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(n\in(-1;10)\).

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ze wszystkich dotychczasowych obliczeń wyszło nam, że \(4(n+1)(n-10)\) jest mniejsze od zera dla każdego \(n\), które jest większe od \(-1\) i mniejsze od \(10\). W przypadku ciągów \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną. Musimy więc sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w wyznaczonym przez nas przedziale. Takimi liczbami będą: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Pasuje nam \(9\) liczb, zatem ten ciąg ma \(9\) wyrazów ujemnych.

Krok 1. Rozpisanie wyrazów pierwszego i drugiego ciągu.
Bazując na informacjach z treści zadania możemy zapisać, że:
$$a=x \           ,\
b=x+2 \           ,\
c=x+2+2=x+4$$

$$d=y \           ,\
e=y+4 \           ,\
f=y+4+4=y+8$$

Z tego wynika, że w naszym docelowym trzecim ciągu będziemy mieć następującą sytuację:
$$a+d=x+y \           ,\
b+e=x+2+y+4=x+y+6 \           ,\
c+f=x+4+y+8=x+y+12$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(x+y\), a drugi wyraz jest równy \(x+y+6\), to różnica tego ciągu będzie równa:
$$x+y+6-(x+y)=x+y+6-x-y=6$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:
$$cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\
cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2} \           ,\
cos60°=\frac{1}{2}$$

W związku z tym wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}= \           ,\
=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1:\frac{\sqrt{2}}{2}=1\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}= \           ,\
=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Tak na marginesie, to moglibyśmy zauważyć, że \(cos^{2}30°+cos^{2}60°=1\), ponieważ \(cos^{2}30°=sin^{2}60°\), zatem w liczniku możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej: \(sin^{2}60°+cos^{2}60°=1\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy punkty \(C\), \(D\) i \(E\) w taki sposób, aby otrzymać odpowiedni stosunek długości łuków.


Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Na rysunku powstały nam trzy trójkąty, które są oparte na średnicy okręgu. Z własności takich trójkątów wynika, że będą to trójkąty prostokątne, a kąty \(α, β, γ\) są właśnie kątami prostymi. Możemy więc powiedzieć, że każdy z wymienionych w zadaniu kątów ma jednakową miarę i będzie to \(90°\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).
W tablicach trygonometrycznych nie znajdziemy wartości sinusa dla kątów rozwartych. Musimy więc skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych:
$$sin(180-α)=sinα \           ,\
sin(180°-30°)=sin30° \           ,\
sin150°=sin30°$$

To oznacza, że \(sin150°\) będzie równy tyle samo co \(sin30°\), czyli \(\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.
W tym zadaniu możemy skorzystać z następującego wzoru na pole rombu:
$$P=a^2\cdot sinα$$

Podstawiając znane dane wyjdzie nam, że:
$$P=(6\sqrt{3})^2\cdot sin30° \           ,\
P=(6\sqrt{3})^2\cdot\frac{1}{2} \           ,\
P=36\cdot3\cdot\frac{1}{2} \           ,\
P=108\cdot\frac{1}{2} \           ,\
P=54$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby mieć pełen obraz tej sytuacji, to warto zrobić sobie nawet prosty rysunek szkicowy.


Jedną z własności trójkąta równoramiennego jest to, że jego wysokość \(CD\) dzieli nam podstawę na dwie równe części. Można więc powiedzieć, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\).
Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(D\), zatem jedyną niewiadomą zostają poszukiwane współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń możemy je wyznaczyć oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \           ,\
5=\frac{-1+x_{B}}{2} \           ,\
10=-1+x_{B} \           ,\
x_{B}=11 \           ,\
\quad \           ,\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \           ,\
-4=\frac{3+y_{B}}{2} \           ,\
-8=3+y_{B} \           ,\
y_{B}=-11$$

To oznacza, że \(B=(11;-11)\).

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie bryły znajduje się kwadrat. O tym kwadracie wiemy, że jego pole jest równe \(4\), zatem bok kwadratu (a tym samym długość krawędzi podstawy) będzie równa:
$$P=a^2 \           ,\
a^2=4 \           ,\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=2\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w ścianie bocznej.
Wiemy już, że krawędź podstawy jest równa \(2\), zatem trójkąty znajdujące się w ścianie bocznej mają także podstawę równą \(2\). Wiemy też, że pole każdego takiego trójkąta jest równe \(4\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}ah \           ,\
4=\frac{1}{2}\cdot2\cdot h \           ,\
4=1\cdot h \           ,\
h=4$$

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Ostrosłup jest prawidłowy, zatem ściany boczne będą w tym przypadku trójkątami równoramiennymi. Wiedząc, że wysokość w takich trójkątach dzieli podstawę na dwie równe części, to powstała nam następująca sytuacja:


Krok 4. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$1^2+4^2=x^2 \           ,\
1+16=x^2 \           ,\
x^2=17 \           ,\
x=\sqrt{17} \quad\lor\quad x=-\sqrt{17}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość krawędzi nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{17}\).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie danych do wskazanego wzoru. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$V=\frac{1}{3}πH(r^2+rR+R^2) \           ,\
52π=\frac{1}{3}πH\cdot(2^2+2\cdot6+6^2) \           ,\
52=\frac{1}{3}H\cdot(4+12+36) \           ,\
52=\frac{1}{3}H\cdot52 \           ,\
\frac{1}{3}H=1 \           ,\
H=3$$

Rozpatrzmy jak mogą ułożyć nam się dwie cyfry \(0\) i zobaczmy na ile różnych kombinacji (zgodnie z regułą mnożenia) możemy uzupełnić pozostałe miejsca:
I możliwość - \(00■■\)
Trzecią cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów. Czwartą cyfrę możemy uzupełnić na \(4\) sposoby (bo cyfry mają być różne, więc nie mogą się powtarzać). To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.

II możliwość - \(0■0■\)
Drugą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów. Czwartą cyfrę możemy uzupełnić na \(4\) sposoby (z tego samego powodu co powyżej). To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.

III możliwość - \(0■■0\)
Drugą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, trzecią na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.

IV możliwość - \(■00■\)
Pierwszą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, czwartą na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.

V możliwość - \(■0■0\)
Pierwszą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, trzecią na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.

VI możliwość - \(■■00\)
Pierwszą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, drugą na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.

Widzimy więc, że mamy \(6\) różnych wariantów, a w każdym jest \(20\) różnych możliwości. To oznacza, że wszystkich kodów spełniających warunki zadania mamy:
$$|A|=6\cdot20=120$$

Aby obliczyć średnią ważoną musimy w liczniku dodawać do siebie iloczyny wag i ocen, a w mianowniku musimy dać sumę wszystkich wag. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$śr=\frac{1\cdot5+1\cdot1+2\cdot4+2\cdot2+3\cdot4+3\cdot3+1\cdot5}{1+1+2+2+3+3+1} \           ,\
śr=\frac{5+1+8+4+12+9+5}{13} \           ,\
śr=\frac{44}{13} \           ,\
śr\approx3,38$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W urnie mieliśmy \(9\) kul, do tego doszły jeszcze \(4\) nowe. To oznacza, że wszystkich kul, czyli zdarzeń elementarnych mamy \(|Ω|=9+4=13\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie białej kuli. Takich kul na początku mieliśmy \(3\), ale doszły jeszcze \(4\) kolejne, stąd też mamy \(7\) kul białych, czyli możemy napisać, że \(|A|=7\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{13}$$

Krok 1. Analiza podanej funkcji.
Z treści zadania wynika, że zbiór wartości naszej funkcji jest jednoelementowy. To oznacza, że dla każdego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje jednakową wartość. Takie funkcje nazywamy stałymi, a ich przykładowymi wzorami mogą być np. \(y=3\) albo \(y=-5\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\).
Nasza funkcja jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\). Skoro nasza funkcja jest stała, to wartość współczynnika \(a\) oraz \(b\) musi być równa \(0\). I tu uwaga, bo dane z treści zadania są na tyle niefortunne, że bardzo łatwo jest o pomyłkę. To nie liczba \(a\) oraz \(b\) ma być równa \(0\), tylko współczynniki \(a\) oraz \(b\) muszą być równe \(0\). Mówiąc wprost - to co znajduje się przed iksem kwadrat oraz przed iksem musi być równe \(0\). Skoro tak, to powstaną nam dwa równania z których da się zbudować układ równań:
\begin{cases}
2a+b=0 \           ,\
a+b-4=0
\end{cases}

\begin{cases}
b=-2a\           ,\
a+b-4=0
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$a+(-2a)-4=0 \           ,\
a-2a-4=0 \           ,\
-a-4=0 \           ,\
a=-4$$

Podstawiając teraz \(a=-4\) do wybranego równania obliczymy wartość \(b\):
$$b=-2a \           ,\
b=-2\cdot(-4) \           ,\
b=8$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\).
Na początek obliczmy wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\), podstawiając odpowiednio do wzoru funkcji \(x=0\) oraz \(x=1\):
$$f(0)=(a+1)\cdot(0-2)^2\cdot(0+1) \           ,\
f(0)=(a+1)\cdot(-2)^2\cdot1 \           ,\
f(0)=(a+1)\cdot4\cdot1 \           ,\
f(0)=4a+4$$

$$f(1)=(a+1)\cdot(1-2)^2\cdot(1+1) \           ,\
f(1)=(a+1)\cdot(-1)^2\cdot2 \           ,\
f(1)=(a+1)\cdot1\cdot2 \           ,\
f(1)=2a+2$$

Krok 2. Podstawienie obliczonych wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\) do nierówności.
Podstawmy teraz to co przed chwilą wyznaczyliśmy do wskazanej nierówności:
$$f(0)\cdot f(1)\le16 \           ,\
(4a+4)\cdot(2a+2)\le16 \           ,\
8a^2+8a+8a+8\le16 \           ,\
8a^2+16a+8\le16 \           ,\
8a^2+16a-8\le0 \quad\bigg/:2 \           ,\
a^2+2a-1\le0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=4-(-4)=4+4=8 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2} \           ,\
a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$$

Teraz musimy naszkicować naszą parabolę, zatem nanosimy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki muszą być zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni:


Z rysunku możemy teraz odczytać, że wartości mniejsze od zera są przyjmowane dla \(a\in\langle-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rangle\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy, że \(a\) oraz \(b\) to liczby parzyste, które są bohaterami naszego zadania. Zazwyczaj liczby parzyste opisujemy jednomianem \(2n\), ale tutaj skoro mogą to być dwie różne liczby, to możemy zapisać sobie, że \(a=2n\) oraz \(b=2m\), gdzie \(n\) oraz \(m\) są liczbami całkowitymi.

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Zgodnie z treścią zadania interesuje nas następujące działanie:
$$(a-b)^2+a^2-b^2= \           ,\
=a^2-2ab+b^2+a^2-b^2= \           ,\
=2a^2-2ab$$

Podstawiając teraz \(a=2n\) oraz \(b=2m\) otrzymamy:
$$2\cdot(2n)^2-2ab=2\cdot4n^2-2\cdot2n\cdot2m=8n^2-8nm=8n\cdot(n-m)$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Powiedzieliśmy sobie, że \(n\) oraz \(m\) to liczby całkowite. Różnica liczb całkowitych \(n-m\) jest liczbą całkowitą. Jeżeli tą całkowitą liczbę pomnożymy jeszcze przez \(n\) stojące przed nawiasem, to cały czas będziemy mieć całkowity wynik. W związku z tym, że na początku wyrażenia znalazła się jeszcze ósemka, a cała reszta jest liczbą całkowitą, to mamy dowód, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).

Krok 1. Zapisanie wzorów na obwód koła.
Standardowo obwód koła obliczamy ze wzoru \(Obw=2πr\). W tym zadaniu skorzystamy z jednej z odmian tego wzoru, bo operować będziemy na długościach średnicy, a nie długości promienia. Skoro każdy promień ma długość \(2r\), to wzór na obwód koła możemy zapisać jako \(Obw=πd\) (gdzie \(d\) to długość średnicy).

Podstawmy zatem do tego wzoru poszczególne długości średnic. Suma obwodów kół o średnicach \(a\) oraz \(b\) będzie równa:
$$Obw_{a+b}=πa+πb=π(a+b)$$

Suma obwodu koła o średnicy \(c\) będzie równa:
$$Obw_{c}=πc$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jedną z własności trójkątów jest to, że suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku (w przeciwnym wypadku nie da się stworzyć trójkąta). Możemy więc powiedzieć, że z własności trójkątów wynika, że \(a+b\gt c\). To właśnie dlatego \(π(a+b)\) jest większe od \(πc\), co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby dobrze zrozumieć istotę tego zadania to narysujmy sobie taki prowizoryczny okrąg z zaznaczonym trójkątem:


Najmniejszym kątem w tym trójkącie jest zaznaczony na zielono kąt \(β\). Tutaj kluczem do rozwiązania zadania jest dostrzeżenie, że ten kąt opiera się na tym samym łuku co kąt środkowy \(α\), którego miarę jesteśmy w stanie obliczyć.

Krok 2. Obliczenie miary kąta środkowego \(α\).
Z powyższego rysunku wynika, że cały łuk ma długość \(10+6+4=20\) jednostek. Najmniejszy kąt środkowy jest oparty na \(4\) jednostkach z \(20\), zatem jego miara będzie równa \(\frac{4}{20}\) kąta pełnego, czyli:
$$α=\frac{4}{20}\cdot360°=72°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta wpisanego β.
Z własności kątów środkowych i wpisanych, które są oparte na tym samym łuku wiemy, że miara kąta wpisanego będzie dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
$$β=72°:2 \           ,\
β=36°$$

Krok 4. Podanie przybliżonej wartości cosinusa kąta \(β\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać przybliżoną wartość cosinusa naszego kąta \(β\). Z tablic możemy odczytać, że:
$$cos36°\approx0,8090\approx0,81$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro okręgi są przystające to znaczy, że mamy tak naprawdę dwa identyczne okręgi (o tej samej długości promienia). Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(PQ\).
Skoro okręgi są przystające to punkt styczności \(S\) jest środkiem odcinka \(PQ\), bo \(PS=r\) oraz \(SQ=r\). Za chwilę współrzędne tego punktu przydadzą nam się do dalszych obliczeń, zatem już teraz możemy sobie wyznaczyć jego współrzędne, korzystając ze wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:
$$S=\left(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2};\frac{y_{P}+y_{Q}}{2}\right) \           ,\
S=\left(\frac{4+8}{2};\frac{5+9}{2}\right) \           ,\
S=\left(\frac{12}{2};\frac{14}{2}\right) \           ,\
S=(6;7)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(PQ\).
Za chwilę będziemy poszukiwać równania prostej prostopadłej do prostej \(PQ\), zatem przyda nam się znajomość współczynnika kierunkowego prostej \(PQ\). Oczywiście możemy wyznaczyć sobie całe równanie prostej \(PQ\) (np. metodą układu równań), ale nam tak naprawdę potrzebny będzie tylko ten współczynnik kierunkowy, który obliczymy ze wzoru:
$$a=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}} \           ,\
a=\frac{9-5}{8-4} \           ,\
a=\frac{4}{4} \           ,\
a=1$$

Krok 4. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Oś symetrii zapiszemy w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Ustalmy najpierw jaki jest współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej. Jest to prosta prostopadła do prostej \(PQ\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(PQ\) ma \(a=1\), to oś symetrii musi mieć ten współczynnik równy \(-1\), bo \(-1\cdot1=-1\). Wiemy już zatem, że oś symetrii będzie wyrażać się równaniem \(y=-1x+b\), czyli \(y=-x+b\). Do ustalenia pozostał nam jeszcze współczynnik \(b\), a jego wartość poznamy podstawiając współrzędne punktu \(S=(6;7)\), przez który ta oś przechodzi:
$$y=-x+b \           ,\
7=-6+b \           ,\
b=13$$

To oznacza, że oś symetrii możemy opisać równaniem \(y=-x+13\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasze losowanie polega na tym, że losujemy jedną z kilkuset dostępnych kopert. Musimy więc teraz dobrze ustalić ile jest tych wszystkich kopert (czyli ile tak naprawdę jest liczb trzycyfrowych), bo wbrew pozorom nie będzie ich \(999-100=899\). To bardzo często popełniany błąd w tego typu zadaniach. Tak jak liczb np. od \(1\) do \(10\) nie jest \(10-1=9\), tylko \(10\), tak naszych kopert będziemy mieć \(900\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=900\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te liczby które są parzyste i które mają przynajmniej jedną czwórkę. Obliczenie ile jest takich liczb może sprawiać problemy, bo nie jest to takie proste do wyznaczenia. Rozpiszmy więc sobie wszystko bardzo dokładnie:

I sposób - analizując poszczególne możliwości.
Zacznijmy od rozpisania sytuacji w których jest tylko jedna czwórka w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić w rzędzie setek \(4■■\). Wtedy w rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu pozostałych cyfr (\(0,1,2,3,5,6,7,8,9\), czyli bez czwórki), a w rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\), bo liczba musi być parzysta). To oznacza, że tutaj zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(1\cdot9\cdot4=36\) zdarzeń sprzyjających.
2. Czwórka może wystąpić w rzędzie dziesiątek \(■4■\). W takiej sytuacji w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra, oprócz \(4\) oraz \(0\), bo nie ma takich liczb jak \(042\)). W rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\)). Zgodnie z regułą mnożenia mamy więc \(8\cdot1\cdot4=32\) zdarzenia sprzyjające.
3. Czwórka może wystąpić w rzędzie jedności \(■■4\). Tutaj w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (każda oprócz \(4\)). W związku z tym mamy tutaj \(8\cdot9\cdot1=72\) zdarzenia sprzyjające.

Teraz policzmy ile jest zdarzeń w których mamy dwie czwórki w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i dziesiątek \(44■\). Tutaj cyfrą jedności może być być jedna z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). Mamy zatem \(4\) zdarzenia sprzyjające.
2. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i jedności \(4■4\). Tutaj cyfrą dziesiątek może być jedna z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). Mamy zatem \(9\) zdarzeń sprzyjających.
3. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie dziesiątek i jedności \(■44\). Tutaj cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (bez \(0\) oraz bez \(4\)). Mamy zatem \(8\) zdarzeń sprzyjających.

No i jest jeszcze jedna możliwość, czyli wszystkie cyfry naszej liczby są równe \(4\), dzięki czemu powstanie liczba \(444\). Mamy więc jeszcze jedną dodatkową możliwość.

W związku z tym wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=36+32+72+4+9+8+1=162$$

II sposób - nieco sprytniejszy, opierający się na tym ile zdarzeń nie jest sprzyjających.
Jak widać powyżej, obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających było dość trudne i bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę. Okazuje się, że znacznie szybciej dałoby się policzyć ile zdarzeń NIE jest sprzyjających.
1. Na pewno zdarzeniami niesprzyjającymi są wszystkie liczby nieparzyste, które stanowią połowę wszystkich zdarzeń elementarnych. Takich zdarzeń będzie więc \(450\).
2. Liczby nieparzyste odkładamy już na bok i ich nie analizujemy. Wśród pozostałych zdarzeń (czyli wśród liczb parzystych) zdarzeniami niesprzyjającymi będą teraz te liczby w których nie użyto cyfry \(4\). W takich liczbach w rzędzie setek możemy mieć więc \(8\) różnych cyfr (wszystkie cyfry oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). W rzędzie jedności będziemy mieć jedną z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). To oznacza, że parzystych liczb w których nie ma czwórki będzie łącznie \(8\cdot9\cdot4=288\).

W związku z tym wszystkich zdarzeń niesprzyjających mamy \(450+288=738\). Skoro zdarzeń elementarnych mamy \(900\), a zdarzeń niesprzyjających jest \(738\), to zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=900-738=162$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{162}{900}=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}$$

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu i różnicy ciągu.
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \           ,\
a_{20}=a_{1}+19r$$

Wiemy, że wartość \(a_{2}=1\) oraz że \(a_{20}=13\). Układając więc z tych wszystkich informacji układ równań będziemy w stanie obliczyć wartość \(a_{1}\) oraz \(r\):
$$\begin{cases}
a_{1}+r=1 \           ,\
a_{1}+19r=13
\end{cases}$$

Ten układ równań możemy rozwiązać na dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu odjąć te dwa równania stronami, otrzymując:
$$-18r=-12 \           ,\
r=\frac{2}{3}$$

Znając wartość różnicy ciągu możemy już bez przeszkód obliczyć wartość \(a_{1}\) podstawiając \(r=\frac{2}{3}\) do jednego z równań (np. pierwszego):
$$a_{1}+r=1 \           ,\
a_{1}+\frac{2}{3}=1 \           ,\
a_{1}=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Zapisanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i znając wartość \(a_{1}=\frac{1}{3}\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) możemy zapisać, że wzorem ogólnym naszego ciągu arytmetycznego jest:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \           ,\
a_{n}=\frac{1}{3}+(n-1)\cdot\frac{2}{3} \           ,\
a_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n-\frac{2}{3} \           ,\
a_{n}=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie liczby wyrazów, które są mniejsze od \(33\).
Chcąc się dowiedzieć ile wyrazów jest mniejszych od \(33\) musimy rozwiązać prostą nierówność:
$$\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}\lt33 \quad\bigg/\cdot3 \           ,\
2n-1\lt99 \           ,\
2n\lt100 \           ,\
n\lt50$$

Otrzymany wynik oznacza, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(50\), to wartość ciągu jest mniejsza od \(33\). To oznacza, że będziemy mieć \(49\) wyrazów mniejszych od \(33\) (będą to wyrazy od pierwszego do czterdziestego dziewiątego).

Krok 4. Obliczenie sumy \(49\) wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do obliczenia poszukiwanej sumy skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Znamy wszystkie potrzebne wartości, zatem podstawiając \(a_{1}=\frac{1}{3}\), \(r=\frac{2}{3}\) oraz \(n=49\) otrzymamy:
$$S_{49}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+(49-1)\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49 \           ,\
S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+48\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49 \           ,\
S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+32}{2}\cdot49 \           ,\
S_{49}=\frac{32\frac{2}{3}}{2}\cdot49 \           ,\
S_{49}=16\frac{1}{3}\cdot49 \           ,\
S_{49}=800\frac{1}{3}$$

Uwaga: To zadanie jest bardzo nieprecyzyjne. Można odnieść wrażenie, że pytają się nas w zadaniu o to jaka jest różnica między odcinkiem \(AE\) oraz \(AL\), bo są to jak najbardziej wysokości powstałych ostrosłupów, które padają na podstawy \(AKM\) oraz \(ABD\). Zarówno jeden jak i drugi ostrosłup ma wierzchołek w punkcie \(A\), więc wszystko jest zgodne z treścią zadania. Jak tak byśmy podeszli do zadania, to wysokości ostrosłupów są bardzo proste do policzenia, bowiem \(|AE|=10\), a skoro \(L\) jest środkiem odcinka \(AE\) to \(|AL|=5\). Różnica wysokości wyniosłaby więc \(5\).

Nieprecyzyjność tego zadania wynika z tego, że intencją autora było to, że wierzchołek \(A\) uznano za "górny wierzchołek", czyli że te dwa ostrosłupy powinny być obrócone w taki sposób, że w podstawie pierwszego znajduje się trójkąt \(MKL\), a w podstawie drugiego znajduje się trójkąt \(BDE\). Wtedy wysokość poprowadzona z wierzchołka \(A\) padałaby na te dwie płaszczyzny.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z głównych trudności w tym zadaniu jest prawidłowe odszukanie poszukiwanych ostrosłupów (o czym wspomniałem powyżej). Narysujmy więc sobie te dwa ostrosłupy oddzielnie i zróbmy to od razu tak, jak zazwyczaj rysujemy ostrosłupy (czyli podstawy \(MKL\) oraz \(DBE\) na dole, a wierzchołek \(A\) na górze).


Krok 2. Obliczenie długości boków \(BD\), \(BE\) oraz \(DE\).
Jak spojrzymy się na rysunek z treści zadania to możemy zauważyć, że boki \(BD\), \(BE\) oraz \(DE\) są przekątnymi kwadratów, które znalazły się w podstawie lub ścianie bocznej sześcianu. Z własności kwadratów wiemy, że przekątne kwadratów o boku \(a\) mają długość \(a\sqrt{2}\). Skoro więc krawędź kwadratu ma długość \(10\), to wszystkie te trzy boki będą miały długość \(10\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie wysokości dużego ostrosłupa.
Zacznijmy od policzenia wysokości dużego ostrosłupa. Tutaj też możemy sporządzić prosty rysunek, zaznaczając przy okazji trójkąt prostokątny z którego obliczymy poszukiwaną wysokość:


Widzimy wyraźnie, że dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego ma długość \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. Wysokość takich trójkątów obliczamy ze wzoru \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$BP=\frac{2}{3}h_{p} \           ,\
BP=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
BP=\frac{2}{3}\cdot\frac{10\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} \           ,\
BP=\frac{10\sqrt{6}}{3}$$

Teraz znając dwie długości boków w trójkącie prostokątnym \(BPA\) możemy bez problemu obliczyć poszukiwaną wysokość z Twierdzenia Pitagorasa:
$$\left(\frac{10\sqrt{6}}{3}\right)^2+H^2=10^2 \           ,\
\frac{100\cdot6}{9}+H^2=100 \           ,\
\frac{600}{9}+H^2=\frac{900}{9} \           ,\
H^2=\frac{300}{9} \           ,\
H^2=\frac{100}{3} \           ,\
H=\sqrt{\frac{100}{3}} \quad\lor\quad H=-\sqrt{\frac{100}{3}}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{\frac{100}{3}}\), co możemy jeszcze uprościć do następującej postaci:
$$H=\sqrt{\frac{100}{3}} \           ,\
H=\frac{10}{\sqrt{3}} \           ,\
H=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa ostrosłupów.
Jeżeli spojrzymy na nasze ostrosłupy, które narysowaliśmy sobie w pierwszym kroku, to powinniśmy dostrzec, że są one ostrosłupami podobnymi, bo każdy wymiar drugiego ostrosłupa jest dwukrotnie mniejszy od wymiaru pierwszego ostrosłupa. Jeżeli więc potraktujemy pierwszy ostrosłup jako bryłę podstawową, a drugi jako bryłę podobną, bo możemy zapisać, że skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\).

Krok 5. Obliczenie wysokości małego ostrosłupa.
Skoro skala podobieństwa tych ostrosłupów jest równa \(k=\frac{1}{2}\), to także wysokość małego ostrosłupa będzie dwukrotnie mniejsza od wysokości ostrosłupa dużego. W związku z tym:
$$H_{m}=\frac{1}{2}H \           ,\
H_{m}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \           ,\
H_{m}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Krok 6. Obliczenie różnicy między wysokością dużego i małego ostrosłupa.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć różnicę wysokości dwóch ostrosłupów, zatem:
$$H-H_{m}=\frac{10\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$