Krok 1. Obliczenie miar brakujących kątów w trójkątach.
Aby mieć przejrzystą sytuację to obliczmy sobie brakujące miary kątów w każdym z tych trzech podanych trójkątów.
$$|\sphericalangle ABC|=180°-45°-76°=59° \           ,\
|\sphericalangle KLM|=180°-55°-49°=76° \           ,\
|\sphericalangle PQR|=180°-55°-76°=49°$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi:
Odp. A - to jest na pewno nieprawda, bo miary kątów w tych trójkątach są różne.
Odp. B - to zdanie jest prawdą, bo miary kątów są jednakowe oraz trójkąty te mają identyczną długość boku między kątami o identycznych miarach.
Odp. C - to zdanie jest nieprawdą, bo miary kątów w tych trójkątach są różne.
Odp. D - to zdanie jest nieprawdą, bo trójkąt \(ABC\) ma miary kątów inne niż pozostałe trójkąty.

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
W równoległoboku kąty przy jednym ramieniu mają łączną miarę \(180°\). Skoro tak, to kąt \(ABC\) ma miarę:
$$180°-106°=74°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AED\).
Skoro kąt \(ABC\) ma miarę \(74°\), to kąt \(ADE\) ma także miarę \(74°\). Wiemy, że trójkąt \(ADE\) jest równoramienny, zatem kąty przy jego podstawie muszą mieć tą samą miarę. Skoro tak, to kąt \(DAE\) jest również kątem o mierze \(74°\). Powstała nam więc następująca sytuacja:


Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADE\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem bez przeszkód obliczymy miarę tego trzeciego kąta:
$$|\sphericalangle AED|=180°-74°-74°=32°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(AEC\).
Kąty \(AED\) oraz \(AEC\) to kąty przyległe, a więc ich łączna miara wynosi \(180°\). Znając miarę kąta \(AED\) możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle AEC|=180°-32°=148°$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(BD\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$1^2+(\sqrt{2})^2=|BD|^2 \           ,\
1+2=|BD|^2 \           ,\
|BD|^2=3 \           ,\
|BD|=\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku \(CD\).
Z rysunku wynika, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem prostokątnym w którym znamy długości dwóch boków: \(|BC|=1\) oraz \(|BD|=\sqrt{3}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy teraz obliczyć długość poszukiwanego boku \(CD\):
$$1^2+(\sqrt{3})^2=|CD|^2 \           ,\
1+3=|CD|^2 \           ,\
|CD|^2=4 \           ,\
|CD|=2$$

Gdybyśmy ułożyli duży sześcian o wymiarach \(5\times5\times5\), to łącznie wykorzystalibyśmy \(5\cdot5\cdot5=125\) klocków.
Gdybyśmy ułożyli duży sześcian o wymiarach \(6\times6\times6\), to łącznie wykorzystalibyśmy \(6\cdot6\cdot6=216\) klocków.

Skoro mamy \(203\) klocki, to maksymalnie ułożymy sześcian o wymiarach \(5\times5\times5\), a to oznacza, że liczba klocków jakie nam zostaną jest równa:
$$203-125=78$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Liczenie sumy długości krawędzi patrząc się jedynie na siatkę bryły może być dość problematyczne (istnieje obawa, że pewne krawędzie policzymy podwójnie i tu tkwi największa pułapka w tym zadaniu). Dlatego też dobrze jest zacząć od narysowania sobie szkicu naszego ostrosłupa:


Krok 2. Obliczenie sumy długości krawędzi.
Z rysunku możemy odczytać, że masz ostrosłup prawidłowy czworokątny ma \(4\) krawędzie podstawy oraz \(4\) krawędzie boczne. Skoro krawędź podstawy ma długość \(40cm\), a krawędź boczna \(50cm\), to suma długości wszystkich krawędzi będzie równa:
$$4\cdot40cm+4\cdot50cm=160cm+200cm=360cm$$

Krok 1. Obliczenie ile procent meczów było przegranych.
Z diagramu kołowego wynika, że przegrane mecze stanowią:
$$100\%-45\%-25\%=30\%$$

Krok 2. Obliczenie ile było wszystkich meczów.
Skoro drużyna wygrała \(25\%\) meczów i było to \(10\) spotkań, to oznacza że drużyna rozegrała \(40\) meczów w trakcie całego sezonu.

Krok 3. Obliczenie ile meczów było przegranych.
Skoro drużyna przegrała \(30\%\) meczów, a takich spotkań rozegrała \(40\), to znaczy że liczba meczów zakończonych porażką jest równa:
$$0,3\cdot40=12$$

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy busa.
Czas jazdy busa możemy obliczyć korzystając ze wzoru na prędkość. Skoro bus przejechał trasę \(s=120km\) z prędkością \(v=80\frac{km}{h}\), to czas jazdy wyniósł:
$$v=\frac{s}{t} \           ,\
vt=s \           ,\
t=\frac{s}{v} \           ,\
t=\frac{120km}{80\frac{km}{h}} \           ,\
t=1,5h=90 minut$$

Krok 2. Obliczenie o ile krótszy był czas przejazdu samochodem.
Skoro bus jechał przez \(90\) minut, a samochód przez \(75\), to czas jazdy autem był szybszy o:
$$90min-75min=15min$$

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - liczba róż w bukiecie
\(2x\) - liczba goździków w bukiecie

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania.
Wiemy, że w bukiecie jest \(x\) róż, każda kosztuje \(4zł\). Wiemy też, że w bukiecie mamy \(2x\) goździków, z czego każdy kosztuje \(3zł\). Skoro cały bukiet kosztował \(35zł\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$4\cdot x+3\cdot2x=35 \           ,\
4x+6x=35 \           ,\
10x=35 \           ,\
x=3,5$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że aby bukiet kosztował zgodnie z założeniami \(35zł\), to w bukiecie powinno znaleźć się \(3,5\) róży. Otrzymanie wyniku niecałkowitego sprawia, że taki bukiet nie mógł kosztować \(35zł\).

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Cała sytuacja wyglądała następująco:
\(x\) - liczba wszystkich konkurencji
\(\frac{1}{2}x\) - liczba konkurencji zaplanowanych od 9:00 do 12:00

Skoro do godziny 12:00 zorganizowano \(\frac{1}{2}x\) konkurencji, a wszystkich konkurencji mieliśmy \(x\), to do zorganizowania zostało jeszcze
$$x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$$

Między 12:00-14:00 przeprowadzono \(\frac{1}{3}\) konkurencji z tych co pozostały! Czyli w tym czasie przeprowadzono:
$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}x$$

To oznacza, że łącznie przeprowadzono:
$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x=\frac{3}{6}x+\frac{1}{6}x=\frac{4}{6}x=\frac{2}{3}x$$

Wyszło nam, że przeprowadzono dwie trzecie wszystkich konkurencji. Tym samym oznacza to, że nie przeprowadzono:
$$x-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$$


Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich konkurencji.
Z treści zadania wynika, że nie przeprowadzono \(12\) konkurencji. Możemy więc ułożyć następujące równanie:
$$\frac{1}{3}x=12 \           ,\
x=36$$

To oznacza, że planowano przeprowadzić \(36\) konkurencji.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Wyznaczenie wartości \(x\).
Patrząc się na działkę możemy zauważyć, że jest ona prostokątem o bokach \(2x\) oraz \(3x\). Wiemy też, że jej pole powierzchni jest równe \(3750m^2\). Możemy zatem zapisać, że:
$$2x\cdot3x=3750m^2 \           ,\
6x^2=3750m^2 \           ,\
x^2=625m^2 \           ,\
x=25m$$

Krok 3. Wyznaczenie wymiarów działki.
Skoro boki działki to \(2x\) oraz \(3x\), to mają one długość:
$$2x=2\cdot25m=50m \           ,\
3x=3\cdot25m=75m$$

To zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby:
I sposób - obliczając obwody trójkąta i trapezu.
Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, że:
$$12^2+16^2=|BC|^2 \           ,\
144+256=|BC|^2 \           ,\
|BC|^2=400 \           ,\
|BC|=20$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABC\).
Trójkąt \(ABC\) ma obwód równy:
$$Obw_{ABC}=16cm+12cm+20cm=48cm$$

Krok 3. Obliczenie długości przecięcia.
Wiemy, że bok \(AC\) został podzielony przerywaną linią na dwie równe części, zatem powstała nam taka oto sytuacja:


Trójkąt \(DEC\) jest trójkątem podobnym do \(ABC\) (mają jednakowe miary kątów). Skoro tak, to stosunek długości odpowiadających boków musi być jednakowy, zatem możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|AB|}{|DE|}=\frac{|AC|}{|DC|} \           ,\
\frac{12}{|DE|}=\frac{16}{8}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$16\cdot |DE|=96 \           ,\
|DE|=6$$

Krok 4. Obliczenie długości ramion trapezu.
Spróbujmy nanieść na nasz trapez te wszystkie długości, które już znamy:
Kluczowe miary tego trapezu wyglądają następująco:


Do obliczenia obwodu trapezu brakuje nam jeszcze znajomości długości odcinków \(PT\) oraz \(SR\), czyli ramion trapezu. Te dwa odcinki są na pewno równej długości, bowiem jest to trapez równoramienny. Z Twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie wyliczyć długość ramienia \(PT\):
$$6^2+8^2=|PT|^2 \           ,\
64+36=|PT|^2 \           ,\
|PT|^2=100 \           ,\
|PT|=10$$

Wyszło nam więc, że ramiona tego trapezu mają długość \(10cm\).

Krok 5. Obliczenie obwodu trapezu \(PRST\).
Znamy już wszystkie miary w trapezie, zatem dodając do siebie poszczególne długości otrzymamy obwód równy:
$$Obw_{PRST}=6cm+12cm+10cm+6cm+10cm=44cm$$

Krok 6. Obliczenie różnicy obwodów.
Skoro obwód trójkąta jest równy \(48cm\), a obwód trapezu to \(44cm\), to różnica obwodów wynosi:
$$48cm-44cm=4cm$$

II sposób - bez liczenia dokładnych wartości obwodów trójkąta i trapezu.
Moglibyśmy rozwiązanie tego zadania nieco uprościć, bowiem tak prawdę mówiąc to nie ma konieczności obliczania długości ramion trapezu, a tym samym nie ma konieczności obliczania dokładnych obwodów obydwu figur. Z rysunku wynika, że miara odcinka \(CB\) jest równa sumie długości ramion \(PT\) oraz \(SR\). Naszym zadaniem jest podanie jedynie różnicy między obwodem trójkąta i trapezu, więc skoro te odcinki są sobie równe to możemy je pominąć. W związku z tym wystarczyłoby dojść do trzeciego kroku z pierwszego sposobu rozwiązania i porównać sumę odcinków \(|AB|+|AC|\) z sumą \(|PR|+|TS|\). Skoro tak, to:
$$|AB|+|AC|=12cm+16cm=28cm \           ,\
|PR|+|TS|=6cm+12cm+6cm=24cm$$

To oznacza, że różnica obwodów wynosi:
$$28cm-24cm=4cm$$