Krok 1. Ustalenie miar kątów ostrych w trójkącie \(ABS\).
Nasz trójkąt wpisany w okrąg jest na pewno trójkątem równoramiennym (ramiona mają jednakową długość równą długości promienia okręgu), a to z kolei oznacza, że kąty przy podstawie tego trójkąta mają jednakową miarę. Skoro suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to każdy z kątów ostrych musi mieć:
$$(180°-138°):2=42°:2=21°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Musimy wiedzieć, że styczna do okręgu jest zawsze prostopadła względem promienia okręgu. To znaczy, że kąt \(α\) wraz z kątem ostrym \(ABS\) tworzy kąt \(90°\). Jeżeli kąt \(ABS\) ma miarę \(21°\), to poszukiwany kąt ma miarę:
$$α=90°-21°=69°$$

Krok 1. Obliczenie pola prostokąta.
Prostokąt o bokach \(3\sqrt{3}cm\) i \(5\sqrt{3}cm\) ma pole powierzchni równe:
$$3\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}=15\cdot3=45[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie pola pojedynczego kwadratu.
Skoro nasz prostokąt jest podzielony na \(15\) kwadratów, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$45cm^2:15=3cm^2$$

Krok 1. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Objętość prostopadłościanu obliczymy ze wzoru:
$$V=abc$$

W kontekście zadania interesuje nas podanie objętości w litrach, a skoro \(1l=1dm^3\) to dobrze byłoby zamienić sobie centymetry na decymetry. I tak oto objętość całego prostopadłościanu wyniesie:
$$V=9dm\cdot4dm\cdot5dm \           ,\
V=180dm^3=180l$$

Krok 2. Obliczenie ilości wody potrzebnej do dolania.
Chcemy zapełnić połowę prostopadłościanu, czyli chcemy by znalazło się w nim:
$$180l:2=90l$$

Skoro mamy już \(40l\), to dolać musimy:
$$90l-40l=50l$$

Dokładnie siedem sześcianów będzie mieć pomalowane cztery ściany, oto one:

Krok 1. Obliczenie łącznej wartości trzech pierwszych liczb.
O trzech pierwszych liczbach wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa \(4\). Skoro tak, to łączna wartość tych trzech liczb jest równa:
$$4\cdot3=12$$

Krok 2. Obliczenie łącznej wartości dwóch pozostałych liczb.
O parze kolejnych liczb wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa \(2\). Czyli łączna wartość tych trzech liczb będzie równa:
$$2\cdot2=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Suma tych pięciu cyfr jest zatem równa \(12+4=16\). Średnia arytmetyczna pięciu cyfr których suma jest równa \(16\) wynosi \(\frac{16}{5}=3,2\), co kończy nasze dowodzenie.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(m\) - mała ciężarówka
\(d\) - duża ciężarówka

Z treści zadania wiemy, że:
$$5m+2d=27 \           ,\
3m+3d=27$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Powstały nam dwa równania z których możemy stworzyć prosty układ równań. Rozwiązując ten układ dowiemy jaka jest pojemność dużej ciężarówki (możemy też obliczyć jaka jest pojemność małej, ale to nam się nie przyda) i dzięki temu będziemy wiedzieć ile kursów trzeba będzie wykonać. Układ możemy rozwiązać w wygodny dla siebie sposób, np. metodą podstawiania:
\begin{cases}
5m+2d=27 \quad\bigg/\cdot3 \           ,\
3m+3d=27 \quad\bigg/\cdot5 \           ,\
\end{cases}

\begin{cases}
15m+6d=81 \           ,\
15m+15d=135 \           ,\
\end{cases}

\begin{cases}
15m=81-6d \           ,\
15m+15d=135
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$81-6d+15d=135 \           ,\
9d=54 \           ,\
d=6$$

Krok 3. Obliczenie liczby potrzebnych kursów.
Duża ciężarówka może przewieźć \(6\) ton, my potrzebujemy przewieźć \(27\) ton. To oznacza, że liczba kursów które musimy wykonać wynosi:
$$27:6=4,5$$

Teraz dobrze musimy zinterpretować nasz wynik. Nie da się zrobić \(4,5\) kursu. Taki wynik oznacza, że musimy zrobić \(5\) kursów ciężarówką i to jest dopiero poprawna odpowiedź.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść znane nam miary długości na nasz rysunek. Nanieśmy też sobie od razu informację gdzie w tej siatce znajduje się wysokość graniastosłupa, bo ona będzie nam potrzebna do obliczenia objętości.


Skrzydełka na górze i na dole siatki są trójkątami prostokątnymi, który znajduje się w podstawie. Skąd jednak wiemy, że boki o długości \(12cm\) oraz \(13cm\) są podpisane dobrze, a nie np. w odwrotnej kolejności? Faktycznie nie jest to zapisane wprost który bok ma jaką długość, ale my wiemy, że długości \(12cm\) oraz \(13cm\) to najdłuższe boki trójkąta prostokątnego. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna, stąd wiemy, że to ona ma konkretnie \(13cm\).

Krok 2. Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z treści zadania wiemy, że dwa boki trójkąta znajdującego się w podstawie mają długość \(12cm\) oraz \(13cm\). Możemy więc z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć trzecią długość:
$$x^2+12^2=13^2 \           ,\
x^2+144=169 \           ,\
x^2=25 \           ,\
x=5[cm]$$

To oznacza, że krótsza przyprostokątna (czyli najkrótsza krawędź podstawy graniastosłupa) ma długość \(5cm\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia wysokości graniastosłupa. Jak ją wyznaczymy? Skorzystamy tutaj z tego iż zacieniowaną figurą jest trapez o polu powierzchni równym \(168cm^2\). Dolna podstawa trapezu zgodnie z rysunkiem ma długość \(5+h+5=10+h\), natomiast górna podstawa ma długość \(h\). Wysokość trapezu jest równa \(12cm\). To oznacza, że \(h\) jest już jedyną niewiadomą, zatem wyznaczymy ją w prosty sposób:
$$168=\frac{1}{2}(10+h+h)\cdot12 \           ,\
168=(2h+10)\cdot6 \           ,\
168=12h+60 \           ,\
108=12h \           ,\
h=9[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt prostokątny o podstawie \(12cm\) i wysokości \(5cm\). Pole podstawy będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \           ,\
P_{p}=6\cdot5 \           ,\
P_{p}=30[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy już wszystkie dane. Pole podstawy jest równe \(30cm^2\), wysokość bryły wynosi \(9cm\), zatem objętość wynosi:
$$V=P_{p}\cdot H \           ,\
V=30cm^2\cdot9cm \           ,\
V=270cm^3$$