Zadanie jest podchwytliwe, bo bardzo łatwo jest obliczyć niektóre klocki podwójnie (zwłaszcza te będące wierzchołkami bryły), dlatego warto sobie przeanalizować wszystko krok po kroku.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Szkielet naszego prostopadłościanu będzie wyglądał mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie liczby pomarańczowych klocków.
Pomarańczowych klocków przy każdej krawędzi o długości \(36cm\) mamy dokładnie \(7\). Takich krawędzi mamy \(4\), zatem pomarańczowych klocków jest:
$$4\cdot7=28$$

Krok 3. Obliczenie liczby zielonych klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(28cm\) mieści się \(5\) klocków. Takich krawędzi mamy \(4\), zatem zielonych klocków jest:
$$4\cdot5=20$$

Krok 4. Obliczenie liczby niebieskich klocków.
Przy każdej krawędzi o długości \(20cm\) mieszczą się \(3\) klocki. Takich krawędzi mamy oczywiście \(4\), zatem niebieskich klocków jest:
$$4\cdot3=12$$

Krok 5. Obliczenie liczby fioletowych klocków.
Fioletowe klocki to te klocki znajdujące się w wierzchołkach graniastosłupa. Jest ich łącznie \(8\) sztuk.

Krok 6. Obliczenie łącznej liczby wszystkich klocków.
Wszystkich klocków mamy zatem:
$$28+20+12+8=68$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie nasz graniastosłup ma trójkąt równoboczny (wystarczy sobie odwrócić tę bryłę) o boku \(3cm\). Zgodnie ze wzorem na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4} \           ,\
P_{p}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa jest następujący:
$$\require{cancel}
V=P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{9\sqrt{3}}{\cancel{4}}\cdot \cancel{4}\sqrt{2} \           ,\
V=9\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} \           ,\
V=9\sqrt{6}$$

Krok 1. Obliczenie długości \(EW\).


Aby obliczyć długość odcinka \(EW\) musimy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa:
$$4^2+|EW|^2=5^2 \           ,\
16+|EW|^2=25 \           ,\
|EW|^2=9 \           ,\
|EW|=3$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OE\).
Odcinek \(OE\) ma długość równą połowie boku kwadratu, czyli \(OE=4\).

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Gdyby kawałek naszej siatki pokazać na rysunku ostrosłupa, to otrzymalibyśmy mniej więcej coś takiego:


Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OEW\). W trójkątach prostokątnych najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna. W tym przypadku, po złożeniu siatki tak się nie stało, bo przeciwprostokątną jest odcinek \(EW=3\), a dolna przyprostokątna ma długość \(OE=4\), co stoi w sprzeczności z zasadami budowy trójkątów prostokątnych. To właśnie ta informacja oznacza, że taki ostrosłup jest po prostu niemożliwy do stworzenia.

Krok 1. Zapisanie wzorów kuli i walca.
Objętość kuli opiszemy wzorem:
$$V_{k}=\frac{4}{3}πr^3$$

Objętość walca opiszemy wzorem:
$$V_{w}=P_{p}\cdot H \           ,\
V_{w}=πr^2\cdot r \           ,\
V_{w}=πr^3$$

Krok 2. Zapisanie stosunku objętości walca względem kuli.
$$V_{k}=\frac{4}{3}πr^3 \           ,\
V_{k}=\frac{4}{3}\cdot V_{w} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4} \           ,\
V_{w}=\frac{3}{4}V_{k}$$

Prawdziwe zatem było trzecie zdanie.

Krok 1. Obliczenie kosztu korzystania z basenu bez karty rabatowej.
Bez posiadania karty rabatowej za korzystanie z basenu przez \(16\) godzin zapłacilibyśmy:
$$16\cdot12zł=192zł$$

Krok 2. Obliczenie kosztu korzystania z basenu z kartą rabatową.
Jeżeli zapłacimy \(50zł\) za kartę, to możemy korzystać przez \(10\) godzin z basenu za \(8zł\) za godzinę, a za pozostałe \(6\) godzin zapłacimy \(9\) złotych za godzinę. Łączy koszt będzie więc równy:
$$50+10\cdot8zł+6\cdot9zł=50+80+54=184zł$$

Wyszło nam z tych obliczeń, że z kartą Wojtek zapłacił \(8zł\) mniej niż zapłaciłby bez karty, a to oznacza, że zakup karty rabatowej jest dla Wojtka opłacalny.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiedząc, że przyprostokątna \(AB\) jest połową przeciwprostokątnej \(BC\) możemy wywnioskować, że nasz trójkąt \(ABC\) jest połową trójkąta równobocznego. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę \(60°\), zatem \(|\sphericalangle ABC|=60°\).

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(ACB\) oraz \(KLM\) i zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-90°-60°=30° \           ,\
|\sphericalangle KLM|=180°-90°-60°=30°$$

W ten sposób udało nam się udowodnić, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary kątów (30°, 60°, 90°), zatem są one trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Krok 1. Obliczenie objętości dużego sześcianu.
Wiemy, że nasz duży sześcian składa się z \(64\) małych sześcianików z czego każdy taki mały sześcianik ma krawędź \(1cm\). Objętość każdego takiego małego sześcianu o krawędzi \(1cm\) wynosi:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm=1cm^3$$

Jeżeli mamy \(64\) takie sześcianiki, to objętość naszej bryły jest równa:
$$64\cdot1cm^3=64cm^3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nam do obliczeń potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu, którą wyznaczymy właśnie znając obliczoną przed chwilą objętość bryły:
$$V=a^3 \           ,\
64cm^3=a^3 \           ,\
a=4$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Znając krawędź sześcianu bez problemu obliczymy jego pole powierzchni. Nasz sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian z czego każda ma bok długości \(4cm\), zatem pole powierzchni sześcianu jest równe:
$$P_{p}=6\cdot4cm\cdot4cm \           ,\
P_{p}=6\cdot16cm^2 \           ,\
P_{p}=96cm^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły.
Teraz przystąpimy do obliczenia pola powierzchni ścian bocznych nowopowstałej bryły. W tym celu pomoże nam poniższy rysunek:


Taka figura znajduje się w każdej ze ścian bocznych, dlatego musimy obliczyć jej pole powierzchni. Możemy to zrobić na różne sposoby np. dzieląc sobie tę figurę na prostokąty i kwadraty, ale najprościej będzie chyba dostrzec, że pole takiej ściany bocznej jest równe polu kwadratu o wymiarach \(4cm\times4cm\) pomniejszonego o cztery małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\):
$$P=(4cm)^2-4\cdot(1cm)^2 \           ,\
P=16cm^2-4cm^2 \           ,\
P=12cm^2$$

Z racji tego iż mamy sześć takich ścian bocznych, to:
$$P_{b}=6\cdot12cm^2 \           ,\
P_{b}=72cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni wypustek.


Każda pojedyncza wypustka tworzy nam trzy małe kwadraty o wymiarach \(1cm\times1cm\). Czyli każda taka wypustka powiększa nam pole powierzchni bryły o:
$$3\cdot1cm\cdot1cm=3cm^2$$

Takich wypustek mamy łącznie \(8\), więc ich łączne pole powierzchni będzie równe:
$$8\cdot3cm^2=24cm^2$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej nowopowstałej bryły.
Pole powierzchni nowej bryły jest więc równe:
$$P_{c}=72cm^2+24cm^2 \           ,\
P_{c}=96cm^2$$