Krok 1. Zamiana logarytmu na postać potęgi.
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\sqrt{7}\) aby otrzymać \(7\). Zamieniając ten logarytm na postać potęgi otrzymamy więc następujące równanie:
$$log_{\sqrt{7}}7=x \quad\Rightarrow\quad (\sqrt{7})^x=7$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej i prawej stronie równania będziemy mieć te same podstawy potęg. Skoro \(7\) możemy rozpisać jako \((\sqrt{7})^2\) to otrzymamy:
$$(\sqrt{7})^x=(\sqrt{7})^2$$

Podstawy potęg są jednakowe, możemy więc porównać do siebie wykładniki, zatem otrzymamy, że:
$$x=2$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(8-3\sqrt{7})^2=64-48\sqrt{7}+63=127-48\sqrt{7}$$

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Z treści zadania wynika, że:
$$0,75a=177 \           ,\
a=236$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
W bardzo podobny sposób możemy wyznaczyć wartość liczby \(b\):
$$0,59b=177 \           ,\
b=300$$

Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Tak naprawdę w odpowiedziach mamy działania \(b-a\) oraz \(a-b\) wraz z proponowanymi wynikami. Obliczmy zatem wartość każdego z tych wyrażeń:
$$b-a=300-236=64 \           ,\
a-b=236-300=-64$$

To oznacza, że poszukiwaną przez nas odpowiedzią jest \(b-a=64\).

Możemy to równanie rozwiązać w standardowy sposób wymnażając iksa przez wartość w nawiasie i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy wtedy równanie kwadratowe \(5x^2-4x-1=0\), które rozwiążemy klasyczną deltą. Wyjdzie nam wtedy, że \(Δ=36\), co doprowadzi nas do dwóch rozwiązań: \(x_{1}=-\frac{1}{5}\) oraz \(x_{2}=1\).

Jednak to zadanie da się zrobić nieco sprytniej w następujący sposób:
$$x(5x+1)=5x+1 \           ,\
x(5x+1)-5x-1=0 \           ,\
x\cdot(5x+1)-1\cdot(5x+1)=0 \           ,\
(x-1)(5x+1)=0$$

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 5x+1=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad 5x=-1 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{5}$$

To oznacza, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).

Podstawiając \(x=3\) i \(y=1\) do naszego układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
-3+12\cdot1=a^2 \           ,\
2\cdot3+a\cdot1=9
\end{cases}

\begin{cases}
-3+12=a^2 \           ,\
6+a=9
\end{cases}

\begin{cases}
a^2=9 \           ,\
a=3
\end{cases}

W pierwszym równaniu otrzymaliśmy proste równanie kwadratowe \(a^2=9\), którego rozwiązaniem są liczby \(a=3\) oraz \(a=-3\). W drugim równaniu wyszło nam, że \(a=3\). Co oznacza ta rozbieżność? Możemy to zinterpretować w taki sposób, że gdy \(a=-3\) to para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem tylko pierwszego równania, natomiast gdy \(a=3\), to wskazana para liczb jest rozwiązaniem jednego i drugiego równania (czyli całego układu równań). Z tego też względu rozwiązaniem tego zadania jest \(a=3\).

Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$(x-4)^2\neq0 \           ,\
x\neq4$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku:
$$\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-4)^2 \           ,\
(x-2)(x+4)=0$$

Aby to równanie było równe \(0\), to albo pierwszy nawias, albo drugi, muszą dać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To bardzo ważny krok, bowiem musimy jeszcze zweryfikować, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W naszym przypadku żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem możemy stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=2\) oraz \(x=-4\).

Krok 1. Ułożenie równania.
Miejscem zerowym funkcji są te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z tego też względu musimy rozwiązać następujące równanie:
$$9-(3-x)^2=0 \           ,\
9-(9-6x+x^2)=0 \           ,\
9-9+6x-x^2=0 \           ,\
-x^2+6x=0$$

Tutaj też częstą praktyką jest wymnożenie obydwu stron przez \(-1\), tak aby mieć z przodu wartość \(x^2\) bez minusa. Nie jest to konieczne do poprawnego rozwiązania, ale czyni to zapis nieco czytelniejszym. Gdybyśmy więc wymnożyli to równanie przez \(-1\) to otrzymamy:
$$x^2-6x=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie kwadratowe możemy standardowo obliczyć korzystając z delty (należy tylko pamiętać o tym, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Jednak tego typu równania można rozwiązać nieco szybciej, wyłączając przed nawias wspólny czynnik w następujący sposób:
$$x^2-6x=0 \           ,\
x(x-6)=0$$

To równanie będzie równe \(0\) tylko wtedy, gdy:
$$x=0 \quad\lor\quad x-6=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=6$$

To oznacza, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(x=0\) oraz \(x=6\).

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja ta przyjmuje wartości od minus nieskończoności aż do jedynki, zatem zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział \((-\infty;1\rangle\).

W tym zadaniu będziemy korzystać z działań na potęgach. Warto więc pamiętać, że podniesienie liczby do potęgi ujemnej związane jest z potęgowaniem odwrotności danej liczby, a podniesienie liczby do ułamka związane jest z pierwiastkami. Sprawdźmy zatem wartość każdej z liczb, korzystając z działań na potęgach:
\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}=25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \           ,\
(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{5}}=25^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{25} \           ,\
125^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{125^2}=\sqrt[3]{15625}=25 \           ,\
125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5\)

Liczbę większą od \(5\) otrzymaliśmy więc jedynie w trzecim przypadku.

Aby poznać wartość naszej niewiadomej \(a\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wskazanego równania. Podstawiając zatem \(x=a\) oraz \(y=3\) otrzymamy:
$$y=\frac{3}{4}x+6 \           ,\
3=\frac{3}{4}a+6 \           ,\
\frac{3}{4}a=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \           ,\
a=-4$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

W naszym przypadku \(a_{1}=-11\) oraz \(a_{9}=5\). Skoro mamy obliczyć sumę dziewięciu pierwszych wyrazów to musimy jeszcze podstawić \(n=9\), zatem:
$$S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot9 \           ,\
S_{9}=\frac{-11+5}{2}\cdot9 \           ,\
S_{9}=\frac{-6}{2}\cdot9 \           ,\
S_{9}=(-3)\cdot9 \           ,\
S_{9}=-27$$

Krok 1. Rozpisanie wartości piątego wyrazu.
Spróbujmy powiązać wartość piątego wyrazu z wyrazem drugim. Dzięki temu powstanie nam równanie z którego obliczymy iloraz naszego ciągu. Piąty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać jako:
$$a_{5}=a_{2}\cdot q\cdot q\cdot q \           ,\
a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Podstawiając do powyższego równania \(a_{2}=162\) oraz \(a_{5}=48\) otrzymamy:
$$48=162\cdot q^3 \           ,\
q^3=\frac{48}{162} \           ,\
q^{3}=\frac{8}{27} \           ,\
q=\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \           ,\
q=\frac{2}{3}$$

W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość cosinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość sinusa.
$$sin^2+cos^2α=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α+\frac{144}{169}=1 \           ,\
sin^2α=\frac{25}{169} \           ,\
sinα=\sqrt{\frac{25}{169}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{25}{169}} \           ,\
sinα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{5}{13}$$

Z racji tego, iż kąt \(α\) jest kątem ostrym (tak jest to zapisane w treści zadania), to ujemną wartość sinusa musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie. To oznacza, że \(sinα=\frac{5}{13}\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDB\).
Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ \(|BC|=|BD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(DC\) mają jednakową miarę, a to oznacza, że:
$$|\sphericalangle CDB|=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt \(ADC\) oraz obliczony przed chwilą \(CDB\) to kąty przyległe, czyli takie których suma miar jest równa \(180°\). Możemy więc zapisać, że:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-72°=108°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACD\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADC\). To także jest trójkąt równoramienny, bowiem \(|AD|=|CD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć jednakową miarę. Wiemy już, że kąt \(ADC\) ma miarę \(108°\), czyli na dwa kąty przy podstawie \(AC\) zostaje nam: \(180°-108°=72°\). Skoro kąty przy podstawie \(AC\) muszą być jednakowej miary to:
$$|\sphericalangle ACD|=72°:2=36°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dobry rysunek jest tutaj kluczem do rozwiązania zadania. Narysujmy więc wskazany okręg, tak aby był on styczny do osi igreków i prostej o równaniu \(y=2\):


Krok 2. Obliczenie długości promienia.
Z rysunku widać wyraźnie, że promień naszego okręgu to będzie odcinek od środka okręgu do prostej \(y=2\). Odcinek ten ma długość trzech jednostek (bo \(5-2=3\)), zatem \(r=3\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wiemy, że w podstawie ostrosłupa mamy kwadrat (oznaczmy sobie jego bok jako \(a\)). Wiemy też, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Możemy więc powiedzieć, że w takim razie wszystkie krawędzie tej bryły mają jednakową miarę i jest ona równa \(a\). Dodatkowo możemy dostrzec, że skoro w podstawie jest kwadrat, to przekątna \(AC\) będzie mieć długość \(a\sqrt{2}\). Całość więc będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Dostrzeżenie połowy kwadratu i wyznaczenie miary kąta \(SAC\).
Na powyższym rysunku zaznaczyliśmy sobie trójkąt \(ASC\). Ma on ramiona o długości \(a\) i podstawę o długości \(a\sqrt{2}\). W tym momencie powinniśmy dostrzec, że to jest tak naprawdę połówka kwadratu o boku \(a\). Taka obserwacja prowadzi nas do wniosku, że kąt \(ASC\) jest kątem prostym, a kąty \(SAC\) oraz \(ACS\) mają po \(45°\). Nas interesuje właśnie miara kąta \(SAC\), zatem prawidłową odpowiedzią jest wartość \(45°\).

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakową wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku pierwsza prosta ma współczynnik \(a=4m+1\), natomiast druga prosta ma \(a=5m-4\). Skoro więc te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$4m+1=5m-4 \           ,\
1=m-4 \           ,\
m=5$$

Krok 1. Obliczenie współrzędnej iksowej punktu \(L\).
W tego typu zadaniach najlepiej jest obliczać oddzielnie współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową, tak aby nasz zapis był czytelny. Współrzędną iksową punktu \(L\) obliczymy z następującego wzoru:
$$x_{S}=\frac{x_{K}+x_{L}}{2}$$

Wiemy, że \(x_{S}=40\) oraz \(x_{K}=0\), zatem:
$$40=\frac{0+x_{L}}{2} \           ,\
80=0+x_{L} \           ,\
x_{L}=80$$

W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w ostatniej odpowiedzi mamy taką współrzędną iksową punktu \(L\), ale dla wprawy możemy jeszcze obliczyć brakującą współrzędną igrekową.

Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej punktu \(L\).
Skorzystamy z analogicznego wzoru co przed chwilą:
$$y_{S}=\frac{y_{K}+y_{L}}{2}$$

Podstawiając \(y_{S}=40\) oraz \(x_{K}=8\) otrzymamy:
$$40=\frac{8+y_{L}}{2} \           ,\
80=8+y_{L} \           ,\
y_{L}=72$$

Krok 1. Przekształcenie względem osi \(Ox\).
Na początek przekształćmy punkt \(P\) względem osi \(Ox\). Przekształcenie punktu względem osi iksów polega na tym, że zmienia nam się na liczbę przeciwną wartość współrzędnej igrekowej (czyli z wartości \(-8\) zrobi nam się \(8\)). To oznacza, że punkt \(P\) po taki przekształceniu będzie mieć współrzędne:
$$P'=(-6;8)$$

Krok 2. Przekształcenie względem osi \(Oy\).
Teraz nasz punkt \(P'\) musimy jeszcze przekształcić względem osi \(Oy\). Przekształcenie punktu względem osi igreków polega na tym, że zmienia nam się na liczbę przeciwną wartość współrzędnej iksowej (czyli z wartości \(-6\) zrobi nam się \(6\)). W związku z tym nasz punkt \(Q\) będzie miał współrzędne:
$$Q=(6;8)$$

Aby dwa punkty leżały w tej samej ćwiartce to muszą mieć jednakowe znaki przy współrzędnej iksowej oraz igrekowej. Nasz punkt \(P\) ma obydwie współrzędne ujemne, zatem spośród podanych punktów interesuje nas tylko ten, który także ma obydwie współrzędne ujemne. Takim punktem jest \(B\) i to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.

Przy okazji możemy sobie dodać, że zarówno punkt \(P\) jak i \(B\) znajdą się w III ćwiartce układu współrzędnych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.


Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$120^2+30^2=c^2 \           ,\
14400+900=c^2 \           ,\
c^2=15300 \           ,\
c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2 \           ,\
15300+1600=d^2 \           ,\
d^2=16900 \           ,\
d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900} \           ,\
d=130 \quad\lor\quad d=-130$$

Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).

Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Krok 1. Zapisanie wzorów i ułożenie równania.
Zapiszmy sobie na wstępie wzory na pole powierzchni całkowitej stożka oraz kuli:
$$P_{s}=πr(r+l) \           ,\
P_{k}=4πr^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej stożka jest \(3\) razy większe od pola kuli, zatem:
$$P_{s}=3P_{k} \           ,\
πr(r+l)=3\cdot4πr^2 \           ,\
πr(r+l)=12πr^2 \           ,\
r(r+l)=12r^2$$

Krok 2. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Szukamy długości tworzącej stożka, czyli \(l\). Z treści zadania wynika, że promień zarówno kuli jak i stożka to \(r=2\), zatem podstawiając to do wyznaczonego przed chwilą równania otrzymamy:
$$2\cdot(2+l)=12\cdot2^2 \           ,\
4+2l=12\cdot4 \           ,\
4+2l=48 \           ,\
2l=44 \           ,\
l=22$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy.

Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12 \           ,\
\frac{56+4x}{10}=12 \           ,\
56+4x=120 \           ,\
4x=64 \           ,\
x=16$$

Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$

Krok 3. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli:
$$m=\frac{12+16}{2} \           ,\
m=\frac{28}{2} \           ,\
m=14$$

Każda liczba czterocyfrowa ma tak zwany rząd tysięcy, setek, dziesiątek i jedności. Sprawdźmy zatem ile cyfr pasuje nam na każde miejsce, tak aby liczba spełniała warunki zadania:
Rząd tysięcy: tutaj może znaleźć się każda z trzech podanych cyfr.
Rząd setek: tutaj także możemy umieścić każdą z trzech cyfr.
Rząd dziesiątek: ponownie możemy tu umieścić każdą z trzech cyfr.
Rząd jedności: tutaj może znaleźć się jedynie cyfra \(2\), bo liczba musi być parzysta (gdybyśmy mieli na końcu liczby \(1\) lub \(3\), to cyfra byłaby nieparzysta).

W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$3\cdot3\cdot3\cdot1=27$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losować będziemy spośród grupy \(60\) osób, zatem \(|Ω|=60\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są sytuacje w których wylosujemy mężczyznę. Skoro wszystkich osób jest \(60\), a kobiet jest \(35\), to mężczyzn mamy: \(60-35=25\). Z tego też względu możemy napisać, że \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$$

Aby to równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z nawiasów musi być równa \(0\). W związku z tym:
$$x^2-16=0 \quad\lor\quad x^3-1=0 \           ,\
x^2=16 \quad\lor\quad x^3=1 \           ,\
x=4\quad\lor\quad x=-4 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Najprościej będzie wyliczyć to tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot2}=\frac{5-1}{4}=\frac{4}{4}=1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot2}=\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem ramiona paraboli będą skierowane do góry. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:


Miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera dla przedziału \(x\in\langle1;\frac{3}{2}\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Pierwszą rzeczą jaką chcielibyśmy zrobić to pomnożyć obydwie strony tego równania przez \(x\). Musimy się jednak pochylić nad tym działaniem, bowiem kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną to trzeba zmienić znak nierówności. Tutaj akurat tego problemu nie mamy, bo w treści zadania podano, że dowodzenie ma dotyczyć tylko liczb dodatnich. W związku z tym bez obaw możemy obustronnie pomnożyć to wyrażenie przez \(x\):
$$x+\frac{1-x}{x}\ge1 \quad\bigg/\cdot x \           ,\
x^2+1-x\ge x \           ,\
x^2-2x+1\ge0 \           ,\
(x-1)^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Każda liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik dodatni lub równy \(0\). Z tego też względu wartość \((x-1)^2\) jest na pewno większa lub równa zero, co kończy nasze dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania zadania jest dorysowanie odcinka \(CS\), który jest promieniem okręgu. Z własności stycznych do okręgu wiemy, że styczna tworzy z promieniem kąt prosty i to będzie dla nas bardzo ważna informacja w tym zadaniu dowodowym.

Drugą rzeczą, którą musimy dostrzec to fakt, że dorysowując odcinek \(CS\) utworzy nam się trójkąt równoramienny \(ASC\), którego ramiona są promieniami okręgu, a podstawą jest bok \(AC\). Co więcej, w treści zadania mamy tę długość podstawy opisaną jako \(|AC|=r\sqrt{3}\).

Nanosząc te wszystkie informacje oraz dorysowując jeszcze wysokość trójkąta równoramiennego \(ASC\) otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DC\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(DSC\). Długość odcinka \(DC\) jest równa połowie długości odcinka \(AC\) (bo wysokość padająca na podstawę dzieli podstawę na dwa równe odcinki). Możemy więc zapisać, że:
$$|DC|=\frac{1}{2}\cdot|AC| \           ,\
|DC|=\frac{1}{2}\cdot r\sqrt{3} \           ,\
|DC|=\frac{r\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACS\).
Ponownie spoglądamy na trójkąt prostokątny \(DSC\). Wiemy, że \(|SC|=r\) oraz że \(|DC|=\frac{r\sqrt{3}}{2}\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|DC|}{|SC|} \           ,\
cosα=\frac{\frac{r\sqrt{3}}{2}}{r} \           ,\
cosα=\frac{r\sqrt{3}}{2}:r \           ,\
cosα=\frac{r\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{r} \           ,\
cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze \(30°\), czyli \(|\sphericalangle ACS|=30°\).

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(ACB\) i zakończenie dowodzenia.
Kąt \(ACB\) jest sumą kątów \(ACS\) oraz \(SCB\). Przed chwilą wyliczyliśmy, że \(|\sphericalangle ACS|=30°\), a z własności stycznych do okręgu wiemy, że \(|\sphericalangle SCB|=90°\). W związku z tym:
$$|\sphericalangle ACB|=30°+90°=120°$$

W ten sposób dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną liczbę spośród wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych. Skoro naturalnych liczb dwucyfrowych jest \(90\), to znaczy że:
$$|Ω|=90$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Ustalmy najpierw co to jest rząd dziesiątek i jedności. Jeżeli mamy liczbę \(75\), to cyfrą dziesiątek jest \(7\), a cyfrą jedności jest \(5\).

Sprzyjającymi zdarzeniami są liczby, które w rzędzie dziesiątek mają liczbę nieparzystą, a w rzędzie jedności mają liczbę parzystą. Takimi zdarzeniami byłyby więc przykładowo liczby \(14, 38, 52\) itd., ale już przykładowo \(21, 22, 84\) nie są sprzyjające.

Aby ustalić liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających skorzystamy z reguły mnożenia. W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z pięciu cyfr i w rzędzie jedności także możemy mieć jedną z pięciu cyfr. Zatem zgodnie z regułą mnożenia \(|A|=5\cdot5=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$$

Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).
Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:
$$\frac{1}{3}\cdot a=-1 \           ,\
a=-3$$

Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:
$$y=-3x+b \           ,\
-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b \           ,\
-1=\frac{63}{2}+b \           ,\
-1=31\frac{1}{2}+b \           ,\
b=-32\frac{1}{2}$$

To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340 \           ,\
\text{oraz} \           ,\
a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$

Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.

Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:
$$a_{2}=a_{1}+r \           ,\
a_{4}=a_{3}+r \           ,\
a_{40}=a_{39}+r$$

Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:
$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340 \           ,\
\text{czyli:} \           ,\
a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$

Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:
$$1400+20r=1340 \           ,\
20r=-60 \           ,\
r=-3$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:
$$S_{40}=1340+1400 \           ,\
S_{40}=2740$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\
S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$

Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40 \           ,\
2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40 \           ,\
2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20 \           ,\
137=2a_{1}-117 \           ,\
2a_{1}=254 \           ,\
a_{1}=127$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.
Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:
$$a_{40}=a_{1}+39r \           ,\
a_{40}=127+39\cdot(-3) \           ,\
a_{40}=127-117 \           ,\
a_{40}=10$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować tę sytuację, tak aby mieć lepszy ogląd całej sytuacji:


Patrząc się na rysunek widzimy, że powstał nam trójkąt, który jest równoramienny. Skąd wiadomo, że jest on równoramienny? Po prostu jego ramiona są promieniami naszego okręgu, czyli mają jednakową miarę.

Teraz przeanalizujmy odcinek, który łączy środek okręgu i cięciwę. Zgodnie z treścią zadania ma on długość równą \(10\). Z podstaw geometrii wiemy, że odległość z punktu do prostej jest zawsze linią prostopadłą do prostej, nie ma innej możliwości. To sprawia, że ten omawiany odcinek jest tak naprawdę wysokością naszego trójkąta równoramiennego.

Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli powstaje nam taki oto trójkąt prostokątny:


Krok 2. Ułożenie równania kwadratowego.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$\left(11+\frac{1}{2}r\right)^2+10^2=r^2 \           ,\
121+11r+\frac{1}{4}r^2+100=r^2 \           ,\
\frac{1}{4}r^2+11r+221=r^2 \quad\bigg/\cdot4 \           ,\
r^2+44r+884=4r^2 \           ,\
-3r^2+44r+884=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie długości promienia okręgu.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=44,\;c=884\)
$$Δ=b^2-4ac=44^2-4\cdot(-3)\cdot884=1936+10608=12544 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{12544}=112$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-44-112}{2\cdot(-3)}=\frac{-156}{-6}=26 \           ,\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-44+112}{2\cdot(-3)}=\frac{68}{-6}=-11\frac{1}{3}$$

Otrzymaliśmy dwie możliwości długości promienia, ale jedną z nich musimy odrzucić, bo promień nie może mieć ujemnej długości. W związku z tym jedyną poprawną odpowiedzią będzie \(r=26\).

Krok 1. Omówienie sytuacji z treści zadania.
Na początek warto zwrócić uwagę na to, że nasz ostrosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w tym konkretnym przypadku będziemy mieć w podstawie kwadrat.

Spójrzmy teraz na trójkąt \(AOS\). Jest to trójkąt prostokątny na który składa się połowa przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna ostrosłupa. Naszym zadaniem będzie tak naprawdę poznanie długości jednej i drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (poznanie dolnej przyprostokątnej doprowadzi nas do poznania długości krawędzi podstawy, no a wysokość jest sama w sobie niezbędna do obliczenia objętości).

Podaną mamy wartość tangensa kąta \(α\) i długość przeciwprostokątnej, która jest równa \(12\). Cała trudność tego zadania opiera się na tym, że tangens odpowiada przecież za stosunek długości przyprostokątnych (czyli tych boków, które szukamy) i nie jest on w żaden sposób powiązany z przeciwprostokątną. Gdybyśmy mieli podaną wartość np. cosinusa zamiast tangensa, to wtedy błyskawicznie obliczylibyśmy sobie wysokość bryły. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by tangensa zamienić na cosinusa i to będzie nasz kolejny krok.

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Wiemy też z jedynki trygonometrycznej, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W związku z tym możemy przystąpić do zamiany tangensa na cosinusa:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{5}} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{\sqrt{5}} \           ,\
sinα=\frac{2}{\sqrt{5}}cosα$$

Podstawiając teraz wyznaczonego sinusa do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{2}{\sqrt{5}}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{4}{5}cos^2α+cos^2α=1 \           ,\
\frac{9}{5}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{9} \           ,\
cos^2α=\frac{5}{9} \           ,\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{3} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Nad otrzymanymi wynikami musimy się jeszcze pochylić, zastanawiając się nad tym, czy przypadkiem któregoś cosinusa nie trzeba odrzucić. Co prawda nie mamy wprost podane w treści zadania, że \(α\) jest kątem ostrym (gdyby tak było, to ujemne rozwiązanie trzeba odrzucić), ale wiemy że tangens był wartością dodatnią, czyli \(α\) rzeczywiście musi być kątem ostrym. Stąd też ujemnego cosinusa możemy odrzucić i zostaje nam, że \(cosα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Teraz sprawa z obliczeniem wysokości ostrosłupa jest już bardzo prosta, bowiem korzystając z cosinusa możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{H}{12} \           ,\
\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{H}{12} \           ,\
H=\frac{12\sqrt{5}}{3} \           ,\
H=4\sqrt{5}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W trójkącie \(AOS\) nasza dolna przyprostokątna \(AO\) ma długość równą połowie przekątnej podstawy. Wyznaczmy więc najpierw długość tej przyprostokątnej \(AO\), a potem obliczymy długość całej przekątnej \(AC\).

Do obliczenia długości \(AO\) możemy skorzystać albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo znamy już długości dwóch boków tego trójkąta), albo nawet z podanego tangensa (bo znamy już długość jednej przyprostokątnej). Korzystając więc z tangensa otrzymamy:
$$tgα=\frac{|AO|}{H} \           ,\
\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|AO|}{4\sqrt{5}} \           ,\
\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=|AO| \           ,\
|AO|=8$$

Odcinek \(AO\) jest połową przekątnej naszej podstawy, zatem cała przekątna będzie mieć długość:
$$|AC|=2\cdot8 \           ,\
|AC|=16$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie bryły jest kwadrat, bo ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro więc przekątna kwadratu ma długość \(16\), to:
$$a\sqrt{2}=16 \           ,\
a=\frac{16}{\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\
a=\frac{16\sqrt{2}}{2} \           ,\
a=8\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie jest kwadrat o boku \(a=8\sqrt{2}\), zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(8\sqrt{2})^2 \           ,\
P_{p}=64\cdot2 \           ,\
P_{p}=128$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiedząc już, że \(P_{p}=128\) oraz że \(H=4\sqrt{5}\) bez problemu obliczymy objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot128\cdot4\sqrt{5} \           ,\
V=\frac{512\sqrt{5}}{3} \           ,\
V=170\frac{2}{3}\sqrt{5}$$