Krok 1. Obliczenie ceny nart po pierwszej obniżce.
Jeżeli przyjmiemy początkową cenę nart jako \(x\), to po obniżce o \(20\%\) nasza nowa cena nart będzie równa \(80\%\) ceny wyjściowej, czyli \(0,8x\).

Krok 2. Obliczenie ceny nart po drugiej obniżce.
Tym razem ceną wyjściową do obniżki jest już \(0,8x\). Obniżka nastąpiła o \(30\%\), a więc nowa cena nart stanowi tym razem \(70\%\) ceny starej. To oznacza, że narty kosztują teraz \(0,7\cdot0,8x=0,56x\).

Krok 3. Obliczenie wysokości całkowitej obniżki.
Skoro na początku narty kosztowały \(x\), a teraz kosztują \(0,56x\), to ich cena spadła o \(x-0,56x=0,44x\), czyli o \(44\%\).

Zadanie polega tak naprawdę na poprawnym wykonaniu działań na potęgach i pierwiastkach. Pamiętaj, że ujemny wykładnik potęgi odwraca nam liczbę potęgowaną:
$$a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$$

Całość rozwiązania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}= \           ,\
=\sqrt[3]{\frac{1}{(-8)^1}}\cdot(2^4)^{\frac{3}{4}}= \           ,\
=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\cdot(2)^{4\cdot\frac{3}{4}}= \           ,\
=-\frac{1}{2}\cdot2^3= \           ,\
=-\frac{1}{2}\cdot8=-4$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) obliczmy pierwszą część naszego działania, a następnie uporządkujmy całe wyrażenie:
$$(3-\sqrt{2})^2+4(2-\sqrt{2})= \           ,\
3^2-6\sqrt{2}+2+8-4\sqrt{2}= \           ,\
9-10\sqrt{2}+10= \           ,\
=19-10\sqrt{2}$$

Obliczmy najpierw wartość samego logarytmu \(\log_{\frac{1}{3}}9\). Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść wartość \(\frac{1}{3}\) by otrzymać \(9\)? Tą liczbą będzie \(-2\), bo \((\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9\).
W treści zadania przed naszym logarytmem stoi jeszcze dwójka, tak więc otrzymany wynik musimy pomnożyć jeszcze przez \(2\). To oznacza, że:
$$2\log_{\frac{1}{3}}9=2\cdot(-2)=-4$$

Zgodnie z treścią zadania możemy podstawić każdą z liczb do równania i sprawdzić która z nich spełni to równanie. Już na wstępie możemy odrzucić liczby ujemne, bo po prawej stronie równania otrzymalibyśmy w ten sposób wynik ujemny, a wartość bezwzględna daje zawsze dodatni rezultat. Nie mniej jednak nawet jeśli tego nie dostrzeżemy, to nieprawidłowość tych równań wyjdzie nam podczas podstawiania każdej kolejnej liczby. Jedyną liczbą, która spełni to równanie będzie \(x=1\), bo otrzymamy wtedy:
$$|3\cdot1+1|=4\cdot1 \           ,\
|4|=4 \           ,\
4=4 \           ,\
L=P$$

Jeśli znamy wzory Viete'a (są zapisane w tablicach maturalnych) to wiemy, że:
$$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$$

(\(a\) oraz \(b\) to współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej).

Na maturze podstawowej jednak wzory te nie są obowiązkowe, więc możemy obliczyć to równanie kwadratowe metodą delty.

Krok 1. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-7\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-7)=9-(-56)=9+56=65 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{65}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{65}}{2\cdot2}=\frac{-3-\sqrt{65}}{4} \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{65}}{2\cdot2}=\frac{-3+\sqrt{65}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(x_{1}+x_{2}\).
Podstawmy do naszej sumy wyliczone przed chwilą liczby i otrzymamy:
$$x_{1}+x_{2}=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}+\frac{-3+\sqrt{65}}{4} \           ,\
x_{1}+x_{2}=\frac{-3-\sqrt{65}+(-3)+\sqrt{65}}{4} \           ,\
x_{1}+x_{2}=\frac{-6}{4} \           ,\
x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$$

Mamy podaną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej. Aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wzór tej funkcji do zera. Pamiętaj, że iloczyn będzie równy zero tylko i wyłącznie wtedy, gdy jeden z czynników (czyli jeden z nawiasów) będzie równy zero. Stąd też:
$$-3(x-7)(x+2)=0 \           ,\
x-7=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=7 \quad\lor\quad x=-2$$

Jeżeli współczynnik \(a\) jest większy od zera (a tak wynika z treści zadania) to funkcja liniowa jest na pewno rosnąca. Nie znamy dokładnej wartości współczynnika \(a\), ale już nawet dla \(f(0)\) funkcja przyjmuje wartość równą \(6\), bo \(a\cdot0+6=6\). Z związku z tym skoro funkcja jest rosnąca i \(f(0)=6\), to tym bardziej \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) oraz \(f(4)\) muszą dać wynik większy od \(6\). To oznacza, że prawidłowo zapisaną zależnością jest tylko ta z pierwszej odpowiedzi.

Miejscem zerowym funkcji jest miejsce przecięcia się wykresu z osią \(Ox\) (czyli jest to taka wartość argumentu \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero). Prześledźmy każdy z wykresów:
Pierwsza funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).
Druga funkcja nie ma wcale miejsc zerowych.
Trzecia funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe i to jest interesujący nas przypadek.
Czwarta funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).

Krok 1. Odczytanie z tablic wartości \(tg30°\) oraz \(sin30°\).
Tak naprawdę to zadanie nie wymaga od nas szukania jakichś zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Wystarczy odczytać z tablic matematycznych poszczególne wartości, a następnie wykonać działanie odejmowania. \(tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\) natomiast \(sin30°=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Teraz musimy poprawnie odjąć od siebie te dwie wartości, pamiętając aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.
$$tg30°-sin30°=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2} \           ,\
tg30°-sin30°=\frac{2\sqrt{3}}{6}-\frac{3}{6} \           ,\
tg30°-sin30°=\frac{2\sqrt{3}-3}{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do wyliczenia wartości sinusa potrzebujemy znać długość odcinka \(|AC|\), czyli przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\). Wyliczymy ją oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
a^2+12^2=13^2 \           ,\
a^2+144=169 \           ,\
a^2=25 \           ,\
a=5$$

Zatem \(|AC|=5\).

Krok 3. Obliczenie wartości sinusa kąta \(ABC\).
Sinus kąta \(α\) jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. To oznacza, że \(sinα=\frac{5}{13}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Analizując rysunek możemy wywnioskować, że aby obliczyć długość podstawy \(AB\) wystarczy z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długości odcinków \(AD\) oraz \(DB\). Wiemy też, że te odcinki będą równej długości (bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwie równe części, zresztą widać to też wyraźnie z rysunku), więc wystarczy że obliczymy długość odcinka np. \(AD\) i pomnożymy ją przez \(2\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
a^2+2^2=5^2 \           ,\
a^2+4=25 \           ,\
a^2=21 \           ,\
a=\sqrt{21}$$

Zatem \(|AD|=\sqrt{21}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
$$|AB|=2\cdot|AD|=2\cdot\sqrt{21}=2\sqrt{21}$$

Krok 1. Ustalenie które boki trójkąta mają długość \(5\) i \(7\).
Główną trudnością w tym zadaniu jest zdobycie informacji o tym które z boków trójkąta prostokątnego mają długość \(5\) i \(7\). Czy są to przyprostokątne? A może jedną z tych długości jest przeciwprostokątna? Jeśli tak, to która?

Musimy pamiętać, że w trójkącie prostokątnym najdłuższy bokiem jest przeciwprostokątna. Stąd też skoro najdłuższymi bokami w tym trójkącie są boki o długości \(5\) i \(7\), to z całą pewnością przeciwprostokątna ma długość \(7\). I ta wiedza już nam wystarczy, bo z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy sobie teraz długość najkrótszego, która jest nam potrzebna do wyliczenia obwodu figury.

Krok 2. Obliczenie długości najkrótszego boku.
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
a^2+5^2=7^2 \           ,\
a^2+25=49 \           ,\
a^2=24 \           ,\
a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
$$Obw=5+7+2\sqrt{6}=12+2\sqrt{6}$$

Krok 1. Ułożenie odpowiedniego równania.
Skoro odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe to wiemy, że trójkąty \(EAB\) i \(ECB\) są podobne. W związku z tym stosunek długości odcinka \(EC\) względem \(DC\) jest taki sam jak stosunek odcinka \(EA\) i \(BA\). Zauważmy też, że \(|EC|=|AC|+2\). Wykorzystamy tę wiedzę i ułożymy następujące równanie:
$$\frac{|EC|}{7}=\frac{|EA|}{5} \           ,\
\frac{|EA|+2}{7}=\frac{|EA|}{5}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Równanie to możemy rozwiązać na wiele sposobów, ale najprościej jest chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$5\cdot(|EA|+2)=7|EA| \           ,\
5|EA|+10=7|EA| \           ,\
10=2|EA| \           ,\
|EA|=5$$

Krok 1. Ustalenie długości przekątnej kwadratu.
Z własności kwadratów wpisanych w okrąg wynika, że przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest równa \(2r\), czyli w naszym przypadku \(2\cdot5=10\).

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratu wiemy, że przekątną możemy opisać wzorem: \(d=a\sqrt{2}\).
Skoro przekątna kwadratu ma długość \(10\), to bok kwadratu jest równy:
$$10=a\sqrt{2} \           ,\
a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
$$P=a^2 \           ,\
P=(5\sqrt{2})^2=25\cdot2=50$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dzięki informacji, która mówi o tym że punkty \(A, B, C, D\) podzieliły nam okrąg na cztery równe łuki, jesteśmy w stanie stwierdzić, że odległości pomiędzy sąsiednimi punktami na okręgu są identycznej długości, a zaznaczony odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu. To oznacza, że trójkąt \(ADC\) jest równoramienny i w dodatku prostokątny, bo trójkąt oparty na średnicy jest zawsze prostokątny.

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACD\).
Jeżeli suma katów w trójkącie prostokątnym \(ACD\) jest równa \(180°\), a kąt \(|\sphericalangle ADC|=90°\), to:
$$|\sphericalangle ACD|+|\sphericalangle DAC|=180°-90°=90°$$

Skoro trójkąt \(ACD\) jest dodatkowo równoramienny to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć równą miarę. Zatem:
$$|\sphericalangle ACD|=90°:2=45°$$

Krok 1. Zapisanie informacji z treści zadania.
Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się tym, że każdy kolejny wyraz ciągu jest większy/mniejszy od poprzedniego o wartość różnicy \(r\). W treści zadania mamy podaną tę różnicę i jest ona równa \(r=20°\). To oznacza, że:
I kąt: \(a_{1}\)
II kąt: \(a_{1}+r=a_{1}+20°\)
III kąt: \(a_{1}+2r=a_{1}+40°\)
IV kąt: \(a_{1}+3r=a_{1}+60°\)

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{1}\), czyli miary najmniejszego kąta tego czworokąta.
Z własności figur geometrycznych wiemy też, że suma wszystkich kątów musi dać wartość równą \(360°\). To pozwoli nam ułożyć równanie, za pomocą którego obliczymy miarę najmniejszego kąta w czworokącie:
$$a_{1}+a_{1}+20°+a_{1}+40°+a_{1}+60°=360° \           ,\
4\cdot a_{1}+120°=360° \           ,\
4\cdot a_{1}=240° \           ,\
a_{1}=60°$$

Chcąc obliczyć piąty wyraz tego ciągu wystarczy podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=(-1)^5\cdot\frac{2-5}{5^2} \           ,\
a_{5}=-1\cdot\frac{-3}{25} \           ,\
a_{5}=\frac{3}{25}$$

Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Ściany sześcianu są kwadratami. Skoro pole jednej ściany jest równe \(4\), to krawędź sześcianu ma oczywiście długość \(2\) (bo \(P=a^2\)).

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3 \           ,\
V=2^3 \           ,\
V=8$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Widzimy, że promień, wysokość oraz tworząca stożka utworzyły nam trójkąt prostokątny \(ABC\). Znamy tylko długość tworzącej stożka oraz miarę kąta jej nachylenia do podstawy, więc chcąc obliczyć wysokość stożka musimy skorzystać albo z własności trójkątów \(45°, 45°, 90°\) albo z trygonometrii.

Krok 2. Obliczenie wysokości stożka.
Korzystając z zasad trygonometrii otrzymamy:
$$sin45°=\frac{h}{l} \           ,\
\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{4} \           ,\
h=2\sqrt{2}$$

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Aby móc wskazać równanie prostej równoległej musimy doprowadzić nasze równanie do postaci ogolnej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Aby tego dokonać wystarczy tak naprawdę przenieść wartości \(y\) na lewą stronę, a pozostałe wyrazy na prawą. Zatem:
$$3x-6y+7=0 \           ,\
-6y=-3x-7 \           ,\
6y=3x+7 \           ,\
y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{6}$$

Krok 2. Określenie wzoru prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć identyczną wartość współczynnika kierunkowego \(a\). W naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\), więc prawidłowa jest tylko i wyłącznie pierwsza odpowiedź.

Krok 1. Określenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt symetryczny względem osi \(x\) ma przeciwną wartość współrzędnej \(y\). To oznacza, że \(B=(5;-2012)\).

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt symetryczny względem osi \(y\) ma przeciwną wartość współrzędnej \(x\). Skoro punkt \(C\) jest symetryczny do punktu \(B\) względem osy \(y\), to jego współrzędne będą równe \(C=(-5;-2012)\).

Aby sprawdzić który punkt leży na okręgu opisanym danym wzorem wystarczy podstawić współrzędne punktu do tego wzoru i sprawdzić czy otrzymana równość jest prawidłowa.
W naszym przypadku równość będzie spełniona tylko dla punktu \(B=(2;-5)\), bo:
$$(x-2)^2+(y+7)^2=4 \           ,\
(2-2)^2+(-5+7)^2=4 \           ,\
0^2+2^2=4 \           ,\
0+4=4 \           ,\
4=4 \           ,\
L=P$$

Zewnętrzne pasy można wybrać na \(10\) różnych sposobów. Wewnętrzne możemy wybrać na \(9\) sposobów, bo zawsze odpadnie nam ten kolor, który jest już w pasie zewnętrznym. Z reguły mnożenia wynika więc, że mamy \(10\cdot9=90\) możliwości utworzenia takiej flagi.

\(\overline{x}\) - średnia cena akcji
\(x_{1}, x_{2}...\) - ceny poszczególnych akcji
$$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}$$

Z treści zadania wynika, że za pięć akcji zapłacono \(2300\), czyli:
$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2300$$

Wiemy też, że średnia cena akcji jest równa \(500\). Podstawiając te informacje do wzoru na średnią otrzymamy:
$$500=\frac{2300+x_{6}}{6} \           ,\
3000=2300+x_{6} \           ,\
x_{6}=700$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Zadanie obliczymy tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=15\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-2}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+2}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-5\) oraz \(x=-3\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla \(x\in(-\infty;-5)\cup(-3;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Spróbujmy przekształcić tę nierówność, tak aby móc wyciągnąć z niej jakieś wnioski. Zacznijmy od usunięcia postaci ułamka:
$$\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2} \quad\bigg/\cdot6 \           ,\
2a+2b+2c\gt3a+3b \           ,\
2c\gt a+b \           ,\
c+c\gt a+b$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanej nierówności.
Skoro liczba \(c\) jest największa spośród wszystkich niewiadomych, to możemy być pewni, że para liczb \(c+c\) jest większa od pary liczb \(a+b\). Dowód można uznać za zakończony.

Krok 1. Wyłączenie wspólnych części przed nawias.
Z pierwszych dwóch wyrazów tego wielomianu możemy wyłączyć przed nawias wartość \(x^2\). Z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-9\). Zatem:
$$x^3+4x^2-9x-36=0 \           ,\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \           ,\
(x^2-9)(x+4)=0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad x+4=0 \           ,\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-4$$

Porównując otrzymane wyniki okazuje się, że trzecim pierwiastkiem tego wielomianu (który nie znalazł się w treści zadania) jest \(x_{3}=-3\).

Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
\begin{cases}
2=-2a+b \           ,\
10=2a+b
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$-8=-4a \           ,\
a=2$$

Znając współczynnik \(a\) możemy jeszcze wyliczyć współczynnik \(b\) z dowolnego równania. Zatem:
$$2=-2\cdot2+b \           ,\
2=-4+b \           ,\
b=6$$

Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) opisana jest wzorem w postaci: \(y=2x+6\).

Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka \(AB\) obliczmy w następujący sposób:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \           ,\
S=\left(\frac{-2+2}{2};\frac{2+10}{2}\right) \           ,\
S=\left(\frac{0}{2};\frac{12}{2}\right) \           ,\
S=(0;6)$$

Krok 3. Wyznaczenie równania symetralnej.
Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=2\), to nasza symetralna ma na pewno współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\) (bo \(2\cdot-\frac{1}{2}=-1\)). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt \(S=(0;6)\). Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik \(b\) tej prostej prostopadłej, bo współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś \(Oy\). Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że \(b=6\). Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik \(b\) możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+b\), czyli:
$$6=-\frac{1}{2}\cdot0+b \           ,\
6=0+b \           ,\
b=6$$

Nasza symetralna jest więc opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu bardzo ważne jest to jak sobie oznaczymy poszczególne informacje. Oznaczmy więc sobie wszystko krok po kroku. Najpierw na rysunku nanieśmy kąty w naszym małym trójkącie \(APB\):
$$|\sphericalangle PAB|=α \           ,\
|\sphericalangle PBA|=β \           ,\
|\sphericalangle APB|=γ$$

Skoro dorysowane linie są dwusiecznymi, to także:
$$|\sphericalangle PAB|=α \           ,\
|\sphericalangle PBC|=β$$

No i na koniec oznaczmy jeszcze ostatni kąt:
$$|\sphericalangle ACB|=δ$$



Krok 2. Zapisanie odpowiednich równań i nierówności.
Suma kątów trójkąta \(ABC\) jest równa \(180°\). Czyli:
$$2α+2β+δ=180°$$

Kąt \(δ\) jest na pewno dodatni (nie wiemy ile ma stopni, ale jest na pewno dodatni). To oznacza, że suma kątów \(2α+2β\) jest mniejsza od \(180°\). Matematycznie możemy to zapisać jako:
$$2α+2β\lt180° \quad\bigg/:2 \           ,\
α+β\lt90°$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.
Nie wiemy jaka jest dokładna miara poszczególnych kątów, ale już wiemy, że suma kątów \(α+β<90°\). Spójrzmy teraz na mały trójkąt \(APB\). Tutaj suma kątów \(α+β+γ=180°\). Skoro suma \(α+β\) jest mniejsza od \(90°\), to kąt \(γ\) musi mieć więcej niż \(90°\) i w ten sposób możemy zakończyć nasz dowód.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Ważną informacją jest to, że losujemy liczby ze zwracaniem. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy jedną z siedmiu liczb i w drugim także mamy możliwość trafienia na jedną z siedmiu liczb. Łączną liczbę zdarzeń elementarnych wyznaczymy więc regułą mnożenia:
$$|Ω|=7\cdot7=49$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Szukamy par liczb, których iloczyn będzie podzielny przez \(6\). Najbezpieczniej jest wypisywać sobie wszystkie możliwe kombinacje w jak najbardziej uporządkowany sposób:
$$(1,6) \           ,\
(2,3),(2,6) \           ,\
(3,2),(3,4),(3,6) \           ,\
(4,3),(4,6) \           ,\
(5,6) \           ,\
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7) \           ,\
(7,6)$$

Takich par jest więc \(|A|=17\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{17}{49}$$

Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \           ,\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \           ,\
x=\frac{9+19}{2} \           ,\
x=\frac{28}{2} \           ,\
x=14$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.
Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{42}{14} \           ,\
q=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).
Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1} \           ,\
y=14\cdot3^2 \           ,\
y=14\cdot9=126 \           ,\
\text{oraz} \           ,\
a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1} \           ,\
z=14\cdot3^3 \           ,\
z=14\cdot27=378$$

Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).

Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).

Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \           ,\
\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \           ,\
|AE|=4\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2} \           ,\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \           ,\
V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \           ,\
V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)
\(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))
\(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)
\(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:
\begin{cases}
vt=210 \           ,\
(v-24)(t+1)=210
\end{cases}

Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:
$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210 \           ,\
210+\frac{210}{t}-24t-24=210 \           ,\
\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t \           ,\
210-24t^2-24t=0 \           ,\
-24t^2-24t+210=0$$

Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$-4t^2-4t+35=0$$

Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości.
Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.
Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5 \           ,\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.